中考数学动点综合问题
2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题(课后练)
2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式202022解答题9(1)①圆上的点到圆心的距离都相等（即为半径），全等三角形的判定（SAS）②全等三角形的对应角相等，三角形内外角关系(2)切线性质，扇形面积计算(1)①求证三角形全等②写出三个角间的数量关系，并证明(2)指出线段与半圆的位置关系，求扇形面积20222510(1)弧长公式，锐角三角函数，平行线的性质(2)点圆最值，直线与圆的位置关系，勾股定理(3)分类讨论思想，勾股定理，锐角三角函数(1)求角度数及x的值(2)求x最小值，指出直线与圆的位置关系(3)求x的值例(2022河北预测卷)如图，点A是⊙O外一点，连接AO交⊙O于点B，点P从点B出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，过点P且垂直于AO的射线PM也随之运动，PM交AO于点C，交⊙O于点Q.连接AQ，OP，AP.例题图(1)求证：AP＝AQ；(2)若AO＝2PO＝6.最大时，求AQ的值；①当S△APO②当AP与⊙O相切时，求点P运动路径的长．练习(2022河北定心卷)如图，∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别过点A，C，作⊙O的切线AB，CB，两切线交于点B，点M是线段OA上一点(不与点A，O重合)，连接CM并延长交⊙O于点D，OE平分∠AOD交DC于点E.练习题图(1)求证：四边形OABC为正方形；(2)连接AC，若OD∥AC，求∠ODC的度数；(3)随着点M位置的改变，直接写出点E所经过的路径l的取值范围．练习(2022河北定制卷)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M 从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t(s)(t>0).练习题图(1)试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；(2)当t为何值时，MN与⊙O相切？(3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取值范围．答案典例精讲例(1)证明：∵PQ⊥AO于点C，OB为⊙O的半径，∴PC＝QC，∠ACP＝∠ACQ＝90°，在△ACP和△ACQ中，A＝A∠A＝∠AA＝A，∴△ACP≌△ACQ(SAS),∴AP＝AQ；(2)解：①如解图①，∵S△APO＝12×AO·PC，且AO＝6，＝3PC，∴当PC最大时，S△APO最大，∴S△APO最大，∴当点C与点O重合时，PC最大，即S△APO∵AO＝2PO＝6，∴PO＝3，在Rt△AOP中，AP＝B2＋B2＝62＋32＝35，由(1)得AP＝AQ，∴AQ＝35；解图①②当AP与⊙O相切时，则AP⊥PO，即∠APO＝90°，当点P在AO上方时，如解图②，∵AO＝2PO＝6，∠APO＝90°，∴PO＝3，∴cos∠AOP＝B B＝12，∴∠AOP＝60°，∴点P运动路径的长为60H3180＝π；解图②解图③例题图当点P在AO下方时，如解图③，根据圆的轴对称性可得点P运动路径的长为300H3180＝5π.综上所述，点P的运动路径长为π或5π.课堂练兵练习(1)证明：∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BAO＝∠BCO＝90°.又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC为矩形.∵OA＝OC，∴四边形OABC为正方形；(2)解：如解图，连接AC，∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.又∵OD∥AC，∴∠DOC＝180°－∠OCA＝135°.∵OD＝OC，∴∠ODC＝180°－135°2＝22.5°；解图(3)在⊙O中，已知∠AOD=2∠DCA，∵OE平分∠AOD，∴∠EOA=∠DCA∴A、C、O、E四点共圆∵∠AOC＝90°，∴AC为直径如解图，连接AC ，取AC 的中点Q ，AQ 为半径∴点E 在以AC 的中点Q 为圆心，AQ 为半径的圆弧OA 上运动．连接QO ，∵OA ＝OC ＝3，Q 为AC 的中点，∴∠OQA ＝90°，AC ＝32，∴QA ＝322，∴OA ︵的长为90×π×322180＝32π4.∴点E 所经过的路径l 的取值范围为0＜l ＜32π4.例题解图课后小练练习解：(1)由题意得，AM ＝2t ，CN ＝3t ，在Rt △ABC 中，AC ＝B 2＋A 2＝62＋82＝10，∴AN ＝AC －CN ＝10－3t ，∵AB ＝6cm ，动点M 速度为2cm /s ，∴动点M 的最长运动时间为62＝3s ，∵AC ＝10cm ，动点N 的速度为3cm /s ，∴动点N 的最长运动时间为103s ，∴t 的取值范围为0＜t ≤3；(2)若MN 与⊙O 相切，则AB ⊥MN ，即∠AMN ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠AMN ＝∠ABC ，∵∠MAN ＝∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，A B ＝A A ，即26＝10－310，解得t ＝3019，∴当t ＝3019时，MN 与⊙O 相切；(3)由(2)得，当t＞3019时，直线MN与⊙O有两个交点，如解图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，∵AM为⊙O的直径，∴∠ANM＝90°＝∠B，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，A A＝A B，即210＝10－36，解得t＝5021，∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为3019<t≤5021.解图。
专题28 动点综合问题(共32题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题28动点综合问题（32题）1．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在ABC 中，1068AB BC AC ===，，，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M 、作PN BC ⊥于点N ，连接MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t （秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为（）A ．()55，B ．246,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．32,55⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在Rt ABC △中，动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止，速度为2单位/s ，其中BP 长与运动时间t （单位：s ）的关系如图2，则AC 的长为（）A ．1552B ．427C ．17D ．533．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒2个单位长度沿折线A B C --向终点C 运动；点N 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x 秒，AMN 的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y 与x 函数关系的图象是（）．．．．（2023·黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）如图，在正方形ABCD 同时出发，沿射线AB 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接动的路程为(0x x ≤≤，下列图像中能反映S A ．．．．5．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点运动的路程为x ，PB PC，图2是点P 运动时关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（A ．6B ．3C ．43236．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =--与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 、D 是半径为1的O 上两动点，且2CD =，P 为弦CD 的中点．当C 、D 两点在圆上运动时，PAB 面积的最大值是（）A ．8B ．6C ．4D ．37．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．A．10B．910C 9．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点P是等边AP BP CP为边的三角形中，最小内角的大小为（段,,A．14︒B．16︒C 10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，正方形→匀速运动，运动到点C时停止．设点发沿AB BC象如图2所示，则点M的坐标为（）4,23B．()4,4A．()11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在∥交AC于点E；过点D作DF∥DE AB的面积，则一定能求出（上的点，2DM ME=．若已知CMNA．AFE△的面积C ．BCN △的面积D ．DCE △的面积12．（2023·安徽·统考中考真题）如图，E 是线段AB 上一点，ADE V 和BCE 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点,P F 分别是,CD AB 的中点．若4AB =，则下列结论错误．．的是（）A ．PA PB +的最小值为33B ．PE PF +的最小值为23C ．CDE 周长的最小值为6D ．四边形ABCD 面积的最小值为33二、填空题13．（2023·四川达州·统考中考真题）在ABC 中，43AB =，60C ∠=︒，在边BC 上有一点P ，且12BP AC =，连接AP ，则AP 的最小值为___________．14．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，E 为AB 边上一点，以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D ，连接AD ，3,35BE BD ==．P 是AB 边上的动点，当ADP △为等腰三角形时，AP 的长为_____________．15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边ABC 的两个顶点A B 、分别在两条射线OM ON 、上滑动，若OM ON ⊥，则OC 的最大值是_________．16．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上17．（2023·河南·统考中考真题）以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，18．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形B C D A→→→运动．运动过程中，线段CB'19．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为，的中点，则N分别是EF AF20．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形点E在线段BC上运动，点21．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，对角线AC 与BD交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF AC ⊥，EG BD ⊥，垂足分别为点F ，G ，则EF EG +=___________．22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA →→匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．23．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在ABCD Y 中，6AB =，8BC =，120ABC ∠=︒，点E 是AD 上一动点，将ABE 沿BE 折叠得到A BE ' ，当点A '恰好落在EC 上时，DE 的长为______．24．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________25．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线段AB 上一动点，点H 是直线BE DF +取最小值时，3BH 三、解答题26．（2023·重庆·统考中考真题）如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．27．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与直线BC 相交于点A ，(),0P t 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点P 作PD x ⊥轴交直线BC 于点D ．OAB 与DPB 的重叠面积为S ．S 关于t 的函数图象如图2所示．(1)OB 的长为_______________；OAB 的面积为_______________．(2)求S 关于t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围．28．（2023·河北·统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(,)x y 移动到点(2,1)x y ++称为一次甲方式：从点(,)x y 移动到点(1,2)x y ++称为一次乙方式．例、点P 从原点O 出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点(4,2)M ；若都按乙方式，最终移动到点(2,4)N ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点(3,3)E ．(1)设直线1l 经过上例中的点,M N ，求1l 的解析式；并直接．．写出将1l 向上平移9个单位长度得到的直线2l 的解析式；(2)点P 从原点O 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点(,)Q x y ．其中，按甲方式移动了m 次．①用含m 的式子分别表示,x y ；②请说明：无论m 怎样变化，点Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为3l ，在图中直接画出3l 的图象；(3)在（1）和（2）中的直线123,,l l l 上分别有一个动点,,A B C ，横坐标依次为,,a b c ，若A ，B ，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时a ，b ，c 之间的关系式．29．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB 的边OC 在x 轴上，60AOC ∠=︒，OC 的长是一元二次方程24120x x --=的根，过点C 作x 轴的垂线，交对角线OB 于点D ，直线AD 分别交x 轴和y 轴于点F 和点E ，动点M 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OD 向终点D 运动，动点N 从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE 向终点E 运动．两点同时出发，设运动时间为t 秒．(1)求直线AD 的解析式．(2)连接MN ，求MDN △的面积S 与运动时间t 的函数关系式．(3)点N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q ．使得以A ，C ，N ，Q 为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．30．（2023·江苏苏州·统考中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道AB ，长度为1m 的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿AB 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9m /s ，滑动开始前滑块左端与点A 重合，当滑块右端到达点B 时，滑块停顿2s ，然后再以小于9m /s 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A 重合，滑动停止．设时间为()s t 时，滑块左端离点A 的距离为()1m l ，右端离点B 的距离为()2m l ，记12,d l l d =-与t 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 4.5s t =和5.5s 时，与之对应的d 的两个值互为相反数；滑块从点A 出发到最后返回点A ，整个过程总用时27s （含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：(1)滑块从点A 到点B 的滑动过程中，d 的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）(2)滑块从点B 到点A 的滑动过程中，求d 与t 的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若18d =，求t 的值．31．（2023·天津·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点(3,0),(0,1),(23,1)A B D ，矩形EFGH 的顶点1130,,3,,0,222E F H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．32．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为AC 上一点，P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，到达点边作正方形DPEF 设点P 的运动时间为s t ，正方形DPEF 的而积为S ，探究S 与t 的关系(1)初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当1t =时，S =_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①12t t +=_______；②当314t t =时，求正方形DPEF 的面积．。
2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题
2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题一、单选题1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（）A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s2．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为(12，0)，D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时，点D的坐标为()A．(1，√3)B．(2，2√3)C．(4，4√3)D．(8，8√3)3．如图，在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE△AC，DF△BC，垂足分别为E，F，则DE+DF的值等于（）A．125B．3C．245D．64．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连结DE，点F为DE的中点，连结CF.若AB＝2a（a为常数，a＞0），当点C在线段AB上运动时，线段CF的长度l的取值范围是（）A．√3a3≤l≤√3a2B．√3a2≤l≤aC．a2≤l≤√3a3D．√3a3≤l≤a5．如图，在等边△ABC中，BC=12,D、E是BC边上的两点，BD=CE=2，点M,N,P分别是线段AB,AC,DE上的一动点，连接MN、AP,MN与AP交于点G，若四边形AMPN是平行四边形，则点P由点D移动到点E的过程中，下列结论正确的是（）①MG=NG；②△NPC∼△ABC；③当P运动到BC中点时，四边形AMPN是菱形，且菱形面积为18√3；④点P由点D移动到点E的过程中，点G所走的路径长为4A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（）A．5B．4C．3D．07．在四边形ABCD中，△A＝45°，△D＝90°，AD△BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以√2个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2二、填空题9．在△ABC中，AB=AC，BC=5，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，A、E两点间的最小距离为．10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，△B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．11．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC=BF，连接FC。
中考数学：几何动态综合题(含答案解析)
题型六几何动态综合题类型一点动型探究题针对演练1. (2016赤峰12分)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/秒，Q点的运动速度是2 cm/秒，连接AP，并过Q作QE⊥AP垂足为E.(1)求证：△ABP∽△QEA；(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；(3)设△QEA的面积为y，用运动时间t表示△QEA的面积y.(不要求考虑t的取值范围)(提示：解答(2)(3)时可不分先后)第1题图2. (2015省卷25，9分) 如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC 和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AB＝BC＝4 cm.(1)填空：AD＝________(cm)，DC＝________(cm)；(2)点M、N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN.求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；(3)在(2)的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．(参考数据：sin75°＝6＋2 4，sin15°＝6－24)第2题图3. (2016梅州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．第3题图4. 如图，在▱ABCD中，BC＝8 cm，CD＝4 cm，∠B＝60°，点M从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2 cm/s，点N从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1 cm/s，过点M作MF⊥CD，垂足为F，延长FM交BA的延长线于点E，连接EN，交AD于点O，设运动时间为t (s )(0＜t ＜4)．(1)连接AN ，MN ，设四边形ANME 的面积为y (cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式； (2)是否存在某一时刻t ，使得四边形ANME 的面积是 ▱ABCD 面积的2132？若存在，求出相应的t 值，若不存在，请说明理由；(3)连接AC ，交EN 于点P ，当EN ⊥AD 时，求线段OP 的长度．第4题图 备用图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为每秒2 cm 和1 cm ，FQ ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点P 和Q ，设运动时间为t 秒(0＜t ＜4)．(1)连接EF，若运动时间t＝23秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；(2)连接EP，设△EPC的面积为y cm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；(3)若△EPQ与△ADC相似，求t的值．6. (2015郴州)如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4 cm，DC＝5 cm，AB＝8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB 方向向点B匀速运动，它们的速度均为1 cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？(2)设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；(3)当△PQB为等腰三角形时，求t的值．第6题图【答案】1．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，QE⊥AP，∴∠QEA＝∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠QAE＝∠APB，∴△ABP∽△QEA；…………………………………………(3分)(2)解：由题意得：BP＝t cm，AQ＝2t cm，要使△ABP≌△QEA，则AQ＝AP＝2t cm，在Rt △ABP 中，由勾股定理得：32＋t 2＝(2t)2， 解得t ＝±3(负值舍去)，即当t ＝3时，△ABP ≌△QEA ；…………………………(7分)(3)解：在Rt △ABP 中，由勾股定理得：AP ＝32＋t 2，∵△ABP ∽△QEA ， ∴AB QE ＝BPAE ＝APAQ ，∴3QE ＝tAE＝32＋t 22t ， ∴QE ＝6t32＋t 2，AE ＝2t 232＋t 2，∴y ＝12QE ·AE ＝12·6t32＋t 2·2t 232＋t 2＝6t 3t 2＋9.……………(12分)2．解：(1)26，22；【解法提示】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋42＝4 2 cm ，在Rt △ACD 中，AD ＝AC ·co s 30°＝42×32＝2 6 cm ，DC ＝AC ·sin30°＝42×12＝2 2 cm.(2)如解图，过点N 作NE ⊥AD 于点E ，作NF ⊥DC 交DC 延长线于点F ，则NE ＝DF . ∵∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°， ∴∠NCF ＝75°，∠FNC ＝15°，在Rt △NFC 中， 第2题解图 ∵sin ∠FNC ＝FCNC，∴sin15°＝FCNC，又∵NC＝x cm，∴FC＝NC·sin15°＝6－24x cm，∴NE＝DF＝DC＋FC＝(22＋6－24x)cm，∴点N到AD的距离为(22＋6－24x)cm；(3)如解图，在Rt△NFC中，∵sin75°＝NFNC，∴NF＝NC·sin75°＝6＋24x cm，∵P为DC中点，DC＝2 2 cm，∴DP＝CP＝ 2 cm，∴PF＝DF－DP＝22＋6－24x－2＝(6－24x＋2) cm，∵S△PMN＝S四边形DFNM－S△DPM－S△PFN，即S△PMN＝12(NF＋MD)·NE－12MD·DP－12PF·NF，∴y＝12×(6＋24x＋26－x)×(22＋6－24x)－12×(26－x)×2－12×(6－24x＋2)×6＋24x，即y＝2－68x2＋7－3－224x＋23，∵12－68＜0， ∴当x ＝－7－3－2242×2－68＝36－23＋22－22秒时，y 取得最大值为4×2－68×23－（7－3－224）24×2－68＝236＋83＋92－1616cm 2.3．解：(1)根据题意BM ＝2t cm ，BC ＝5×tan60°＝5 3 cm ，BN ＝BC －3t ＝(53－3t)cm ，∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15；…………………………………………(2分)(2)分两种情况讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cosB ＝cos30°＝BM BN，∴2t 53－3t＝32，解得t ＝157；(4分)第3题解图②当∠MNB ＝∠ACB ＝90°时，如解图②，△MBN ∽△ABC ，cosB ＝cos30°＝BNBM，∴53－3t2t＝32，解得t ＝52，故若△MBN 与△ABC 相似，则t 的值为157秒或52秒；……(6分)(3)如解图③，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ， ∴△BMD ∽△BAC ， ∴BM BA＝MD AC，又∵BA ＝cos 60AC＝10， 第3题解图③∴2t10＝5MD，解得MD ＝t. 设四边形ACNM 的面积为y ，则 y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ×BC － 12BN ·MD＝12×5×53－ 12(53－3t)·t＝32t 2－532t ＋ 2532 ＝32(t －52)2＋7538，…………………………………………(8分) ∴当t ＝52秒时，四边形ACNM 的面积最小，最小值为7538cm 2.…………………………………………………………………(10分)4．解：(1)如解图①，过点A 作AG ⊥BC ，垂足为点G .第4题解图①∵∠AGB ＝90°，∠B ＝60°， ∴AG ＝32AB ＝2 3 cm.由题可知，MD ＝2t cm ，则AM ＝(8－2t ) cm ， ∵AB ∥CD ，MF ⊥CD ， ∴ME ⊥AB ，∴∠MEA ＝∠MFD ＝90°， ∵AD ∥BC ，∴∠EAM ＝∠B ＝60°， ∴AE ＝12AM ＝(4－t) cm , ME ＝3(4－t) cm ，∴y ＝S △ANM ＋S △AEM ＝12×(8－2t)×23＋12×(4－t)×3×(4－t) ＝32t 2－63t ＋163(0＜t ＜4)；(2)存在．由四边形ANME 的面积是▱ABCD 面积的2132可得：32t 2－63t ＋163＝2132×8×23，整理得：t 2－12t ＋11＝0， 解得t ＝1或t ＝11(舍去)，所以当t ＝1s 时，四边形ANME 的面积是▱ABCD 面积的2132；(3)如解图②，第4题解图②由(1)可知AE ＝(4－t ) cm ， ∴BE ＝AB ＋AE ＝(8－t ) cm. ∵∠B ＝60°，EN ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴BN ＝12BE ＝(4－12t ) cm ，BG ＝12AB ＝2 cm.又∵BN ＝t ，∴4－12t ＝t ，解得t ＝83，∴BN ＝83cm ，∴GN ＝BN －BG ＝23cm ，∴AO ＝23 cm ，NC ＝BC -BN =163 cm.设PO ＝x cm ，则PN ＝(23－x ) cm.∵AO ∥NC ， ∴△AOP ∽△CNP ，∴AO NC ＝POPN，即23163＝x23－x，解得x ＝239，∴当EN ⊥AD 时，线段OP 的长度为239cm.5．(1)证明：若运动时间t ＝23秒，则BE ＝2×23＝43 cm ，DF ＝23 cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝8 cm ，AB ＝DC ＝6 cm ，∠D ＝∠BCD ＝90°， ∵FQ ⊥BC ，∴∠FQC ＝∠D ＝∠QCD ＝90°， ∴四边形CDFQ 是矩形，∴CQ ＝DF ＝23 cm ，CD ＝QF ＝6 cm ，∴EQ ＝BC －BE －CQ ＝8－43－23＝6 cm ，∴EQ ＝QF ＝6 cm ，∴△EQF 是等腰直角三角形； (2)解：∵∠FQC ＝90°，∠B ＝90°， ∴∠FQC ＝∠B ， ∴PQ ∥AB ， ∴△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝QC BC ，即6PQ ＝t 8， ∴PQ ＝34 t cm ，∵BE =2t ,∴EC =BC -BE =8-2t , ∵S △EPC ＝12EC ·PQ ，∴y ＝12(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3(0＜t ＜4).∵－34＜0，∴当t ＝2秒时，y 有最大值，y 的最大值为3 cm 2； (3)解：分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，点E 在Q 的左侧，①当△EPQ ∽△ACD 时， 第5题解图①可得PQ CD ＝EQAD ，即348t ＝8－3t 8，解得t ＝2；②当△EPQ ∽△CAD 时，可得PQ AD ＝EQCD ，即348t ＝8－3t 6，解得t ＝12857；(ⅱ)如解图②，点E 在Q 的右侧， ∵0＜t ＜4，∴点E 不能与点C 重合， ∴只存在△EPQ ∽△CAD ，可得PQ AD ＝EQCD ，即348t ＝3t －86，解得t ＝12839， 第5题解图②故若△EPQ 与△ADC 相似，则t 的值为2秒或12857秒或12839秒．6．解：(1)如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， ∵DC ∥AB ，DA ⊥AB ，CE ⊥AB ， ∴四边形AECD 是矩形，∴AE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝4， 第6题解图 ∴BE ＝AB －AE ＝8－5＝3， ∴由勾股定理得：BC ＝22+BE CE ＝32＋42＝5，∴BC ＜AB ，∵当点P 运动到点C 时，P 、Q 同时停止运动， ∴t ＝51＝5 s ，即t ＝5 s 时，P 、Q 两点同时停止运动； (2)由题意知，AQ ＝BP ＝t ， ∴QB ＝8－t.如解图，过点P 作PF ⊥QB 于点F ，则△BPF ∽△BCE ， ∴PF CE ＝BP BC ，即PF 4＝t5，∴PF ＝4t 5，∴S ＝12QB ·PF ＝12×(8－t)×4t 5＝－252t ＋16t5＝－25(t －4)2＋325(0＜t ≤5)．∵－25＜0，∴当t ＝4 s 时，S 有最大值，最大值为3252CM ；(3)∵cos B ＝BE BC ＝35，∴BF ＝PB ·cos B ＝t ·cos B ＝3t5，∴QF ＝AB －AQ －BF ＝8－8t5，∴QP ＝当△PQB 为等腰三角形时，分以下三种情况：①当PQ ＝PB 时，即t ， 解得：1t ＝4011，2t＝8，∵t2＝8＞5，不合题意， ∴t ＝4011；②当PQ ＝BQ 时，即8－t ，解得：1t ＝0(舍去)，2t ＝4811；③当QB ＝BP 时，即8－t ＝t ， 解得t ＝4；综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，则t 的值为4011 s 或4811 s 或4 s.类型二 线动型探究题针对演练1. 如图，已知矩形ABCD ，AB ＝3，BC ＝3，在BC 上取两点E ，F (E 在F 左边)，以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE ，PF 分别交AC 于点G ，H .(1)求△PEF 的边长；(2)若△PEF 的边EF 在射线BC 上移动，(点E 的移动范围在B 、C 之间，不与B 、C 两点重合)，设BE ＝x ，PH ＝y .①求y与x的函数关系式；②连接BG，设△BEG面积为S，求S与x的函数关系式，判断x为何值时S最大，并求最大值S.第1题图2. 已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12 cm，BD ＝16 cm，点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1 cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P 的运动时间为t(s)(0＜t＜10)．(1)填空：AB＝________cm；(2)当t为何值时，PE∥BD；(3)设四边形APFE的面积为y(cm2)．①求y与t之间的函数关系式；②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE＝825S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2014省卷25，9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于点E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．(1)当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由．4. (2016镇江改编)如图①，在菱形ABCD中，AB＝65，tan∠ABC＝2，点E从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(秒)．将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CF.(1)求证：BE＝DF；(2)如图②，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q.当t为何值时，△EPQ是直角三角形？(3)如图③，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α(α＝∠BCD)，得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．第4题图【答案】1．解：(1)如解图①，过点P作PQ⊥BC于点Q，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴AB⊥BC，又∵AD∥BC，∴PQ＝AB＝3，∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ＝60°，在Rt△PQF中，sin∠PFQ＝PQ PF，∴PF＝3÷32＝2，第1题解图①∴△PEF 的边长为2；(2)①在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3，由勾股定理得，AC ＝23，∴∠ACB ＝30°，又∵△PEF 是等边三角形，∴∠PFE ＝60°，∴∠FHC ＝30°，∴FH ＝FC ，∵HF ＝2－PH ＝2－y ，∴FC ＝2－y ，又∵BE ＋EF ＋FC ＝BC ，∴x ＋2＋2－y ＝3，即y ＝x ＋1(0＜x ＜3)；②如解图②，过点G 作GM ⊥BC 于点M ，∵△PEF 为等边三角形，∴∠PEF ＝60°，∵Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3，第1题解图②∴∠ACB ＝30°，∴∠EGC ＝180°－30°－60°＝90°，∵BE ＝x ，∴EC ＝3－x ，∴EG ＝3－x2，∵∠GEM ＝60°，sin ∠GEM ＝GM GE ，∴GM ＝EG ·sin60°＝32×3－x 2＝33－3x 4， ∴S ＝12x ×33－3x 4 ＝－38x 2＋338x ＝－38(x －32)2＋9332， ∵－38＜0， ∴当x ＝32时，S 最大＝9332. 2．解：(1)10；【解法提示】如解图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝12 cm ，BD ＝16 cm ，∴ BO ＝DO ＝8 cm ，AO ＝CO ＝6 cm ，∴ AB ＝82＋62＝10 cm.(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠ADB ＝∠CDB ，又∵PF ∥AD ，∴四边形APFD 为平行四边形，∴DF ＝AP ＝t cm ，又∵EF ⊥BD 于点Q ，且∠ADB ＝∠CDB ，∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF ＝t cm ，∴AE ＝(10－t ) cm ，当PE ∥BD 时，△APE ∽△ABD ， ∴AP AB ＝AE AD ， ∴t 10＝10－t10，∴t ＝5，∴当t ＝5 s 时，PE ∥BD ；(3)①∵∠FDQ ＝∠CDO ，∠FQD ＝∠COD ＝90°，∴△DFQ ∽△DCO ，∴QF OC ＝DFDC ，即QF6＝t10，∴QF ＝3t5 cm ，∴EF ＝2QF ＝6t5 cm ，同理，QD ＝4t5 cm ，如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵S 菱形ABCD ＝AB ·CG ＝12AC ·BD ，即10CG ＝12×12×16，第2题解图∴CG ＝485 cm ，∴S ▱APFD ＝DF ·CG ＝485t cm 2，∴S △EFD ＝12EF ·QD ＝12×6t 5×4t 5＝1225t 2 cm 2， ∴y ＝485t －1225t 2. ②存在．当S 四边形APFE ＝825S 菱形ABCD 时，则485t －1225t 2＝825×12×16×12， 整理得，t 2－20t ＋64＝0，解得t 1＝4，t 2＝16＞10(舍去)，∴当t ＝4s 时，S 四边形APFE ＝825S 菱形ABCD .3．(1)证明：如解图①，连接DE ，DF ，当t ＝2时，DH ＝AH ＝4，则H 为AD 的中点，∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线，∴AE ＝DE ，AF ＝DF .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵AD ⊥BC ，∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∠AFE ＝∠C ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ，∴四边形AEDF 为菱形；第3题解图(2)解：如解图②，连接PE ，PF ，由(1)知EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AH AD ，即EF 10＝8－2t 8，解得EF ＝10－52t ， ∴S △PEF ＝12EF ·DH ＝12(10－52t)·2t ＝－52t 2＋10t ＝－52(t －2)2＋10(0＜t ≤103)， ∴当t ＝2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10 cm 2，此时BP ＝3t ＝6 cm ；(3)解：存在．(ⅰ)若点E 为直角顶点，如解图③，连接PE ，PF ，此时PE ∥AD ，PE ＝DH ＝2t ，BP ＝3t.∵PE ∥AD ，∴△BEP ∽△BAD ，∴PE AD ＝BP BD ，即2t 8＝3t 5，此比例式不成立，故此种情形不存在；第3题解图(ⅱ)若点F 为直角顶点，如解图④，连接PE ，PF ，此时PF ∥AD ，PF ＝DH ＝2t ，BP ＝3t ，CP ＝10－3t.∵PF ∥AD ，∴△CFP ∽△CAD ，∴PF AD ＝CP CD ，即2t 8＝10－3t 5， 解得t ＝4017； (ⅲ)若点P 为直角顶点，如解图⑤，连接PE ，PF ，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，则EM ＝FN ＝DH ＝2t ，EM ∥FN ∥AD .∵EM ∥AD ，∴△BEM ∽△BAD ，∴EM AD ＝BM BD ，即2t 8＝BM 5， 解得BM ＝54t ， ∴PM ＝BP －BM ＝3t －54t ＝74t. 在Rt △EMP 中，由勾股定理得， 222PE EM PM =+＝(2t)2＋(74t)2＝11316t 2.∴△CFN ∽△CAD ，∴FN AD ＝CN CD ，即2t 8＝CN 5， 解得CN ＝54t ， ∴PN ＝BC －BP －CN ＝10－3t －54t ＝10－174t. 在Rt △FNP 中，由勾股定理得， 222PF FN PN =+＝(2t)2＋(10－174t)2＝35316t 2－85t ＋100. 又∵EF ＝MN ＝BC －BM －CN ＝10－52t ， 在Rt △PEF 中，由勾股定理得，222EF PE PF =+，即(10－52t)2＝11316t 2＋(35316t 2－85t ＋100)， 化简得183t 2－280t ＝0，解得t ＝280183或t ＝0(舍去)， ∴t ＝280183. 综上所述，当t ＝4017秒或t ＝280183秒时，△PEF 为直角三角形．(9分) 4．(1)证明：∵∠ECF ＝∠BCD ＝α，∴∠ECF －∠ECD ＝∠BCD －∠ECD ，即∠DCF ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是菱形，在△DCF 与△BCE 中，CF CEDCF BCEDC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCF ≌△BCE (SAS)，∴BE ＝DF ；(2)解：∵CE ＝CF ，∴∠CEQ <90°.①当∠EQP ＝90°时，如解图①，∵∠ECF ＝∠BCD ，BC ＝DC ，EC ＝FC ，∴△BCD ∽△ECF ，∴∠CBD ＝∠CEF .∵∠BPC ＝∠EPQ ， 第4题解图①∴∠BCP ＝∠EQP ＝90°，∴∠CED ＝90°，在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，∵CD ＝AB ＝65，tan ∠ABC ＝tan ∠ADC ＝2，∴ECDE ＝2，即EC ＝2DE ，∵222CD EC DE =+，即CD ＝5DE ，∴DE ＝5CD ＝655＝6，∴t ＝6；②当∠EPQ ＝90°时，如解图②，∵菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD ，∴EC 和AC 重合， 第4题解图②∴DE ＝65， ∴t ＝6 5.综上所述，当t ＝6秒或65秒时，△EPQ 为直角三角形； (3)解：y ＝255t －12－ 2455. 【解法提示】点G 即为t ＝0时点E 的对应点．当点F 在直线AD 上方时，如解图③，连接GF ，分别交直线AD 、BC 的延长线于点M 、N ，过F 点作FH ⊥AD ，垂足为H ，由(1)得∠1＝∠2.易证△DCE ≌△GCF (SAS)，∴∠3＝∠4，∵DE ∥BC ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴GF ∥CD ，∴四边形DCNM 为平行四边形，易得MN ＝6 5.∵∠BCD ＝∠DCG ，∠DCN ＋∠BCD ＝∠DCG ＋∠CGN ＝180°，∴∠CGN ＝∠DCN ＝∠CNG ，∴CN ＝CG ＝CD ＝6 5.∵tan ∠ABC ＝2， ∴tan ∠CGN ＝2， ∴GN ＝12， ∴GM ＝65＋12. 第4题解图③∵GF ＝DE ＝t ×1＝t ， ∴FM ＝t －65－12.∵tan ∠FMH ＝tan ∠ABC ＝2， ∴FH ＝255(t －65－12)，即y ＝255t －12－2455.类型三 形动型探究题针对演练1. 在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC ＝∠AGF ＝90°，它们的斜边长为2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合)，设BE ＝m ，CD ＝n.(1)求证：△ABE ∽△DCA ；(2)求m 与n 的函数关系式，并直接写出自变量n 的取值范围； (3)在旋转过程中，试判断等式222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第1题图2. (2015吉林)两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内)．其中，∠C＝∠DEF ＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝6 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE 方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________ cm；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中，点M 与点N之间距离的最小值．第2题图3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，BC ＝5，高AD ＝4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H .(1)求证：AHAD ＝EFBC；(2)设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．第3题图4. 如图，在▱ABCD中，AD⊥BD，AB＝10，AD＝6，以AD为斜边在▱ABCD的内部作Rt△AED，使∠EAD＝∠DBA，点A′、E′、D′分别与点A、E、D重合，△A′E′D′以每秒5个单位长度的速度沿DC方向平移，当点E′落在BC边上时停止移动，线段BD交边A′D′于点M，交边A′E′或D′E′于点N，设平移的时间为t(秒)．(1)DM的长为________(用含t的代数式表示)；(2)当E′落在BD上时，求t的值；(3)若△A′E′D′与△BDC重叠部分图形的面积为S(平方单位)，求S与t之间的函数关系式；(4)在不添加辅助线的情况下，直接写出平移过程中，出现与△DMD′全等的三角形时t 的取值范围．第4题图5. (2016益阳14分)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB 的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．第5题图6. (2015青岛)已知：如图①，在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥AB.△ACD 沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1 cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②.设移动时间为t(s)(0＜t＜4)，连接PQ，MQ，MC.解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥MN?(2)设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．第6题图【答案】1．(1)证明：∵∠BAE＝∠BAD＋45°，∠CDA＝∠BAD＋45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∵∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；(2)解：∵△ABE∽△DCA，∴BECA＝BACD，依题可知CA＝BA＝2，∴m2＝2n，∴m＝2n，自变量n的取值范围为1＜n＜2；(3)解：成立．理由如下：如解图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE＝HB，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°，连接HD，在△EAD和△HAD中，∵AE＝AH，∠HAD ＝∠EAH－∠FAG＝45°＝∠EAD，AD＝AD，∴△EAD≌△HAD(SAS)，∴DH＝DE，又∠HBD＝∠ABH＋∠ABD＝90°，∴BD2＋HB2＝DH2，即BD2＋CE2＝DE2.2．解：(1)15；【解法提示】如解图①，作CG⊥AB于G点，CH⊥CE于点H，第2题解图①在Rt △ABC 中，由AC ＝6，∠ABC ＝30°，得BC ＝tan 30?AC＝6 3 cm.在Rt △BCG 中，BG ＝BC ·cos30°＝9 cm. ∵四边形CGEH 是矩形，∴CH ＝GE ＝BG ＋BE ＝9＋6＝15 cm. (2)①当0≤x ＜6时，如解图②，由∠GDB ＝60°，∠GBD ＝30°，DB ＝x ，得DG ＝12x ，BG ＝32x ，重叠部分的面积y ＝12DG ·BG ＝12×12x ×32x ＝38x 2；第2题解图②②当6≤x ＜12时，如解图③，BD ＝x ，DG ＝12x ，BG ＝32x ，BE ＝x －6，EH ＝33(x －6)，重叠部分的面积y ＝S △BDG －S △BEH ＝12DG ·BG －12BE ·EH ，即y ＝12×12x ×32x －12(x －6)×33(x －6)，第2题解图③化简得y ＝－324x 2＋23x －63；③当12≤x ≤15时，如解图④，AC ＝6，BC ＝63，BD ＝x ，BE ＝x －6，EG ＝33(x －6)，重叠部分的面积y ＝S △ABC －S △BEG ＝12AC ·BC －12BE ·EG ，即y ＝12×6×63－12(x －6)×33(x －6)，化简得y ＝－36x 2＋23x ＋123；第2题解图④综上所述，y ＝2223(0683-233(624323315x x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪++⎪⎪⎩≤＜）＜＜）（≤≤）12 (3)如解图⑤所示，作NG ⊥DE 于点G ， 点M 在NG 上时MN 最短，NG 是△DEF 的中位线，NG ＝12EF ＝33，∵MB ＝12CB ＝33，∠B ＝30°，∴MG ＝12MB ＝332，则MN min ＝NG －MG ＝33－332＝332.第2题解图⑤3．(1)证明：∵四边形EFPQ 是矩形， ∴EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ，∵AD 是△ABC 的高，AH 是△AEF 的高， ∴AHAD ＝EFBC；(2)解：∵AHAD ＝EFBC，EF ＝x ，AD ＝4，BC ＝5，∴AH 4＝5x ， ∴AH ＝4x 5，∴HD ＝4－4x 5，∴S 矩形EFPQ ＝EF ·HD ＝x (4－4x5)＝－45x 2＋4x＝－45(x －52)2＋5.∵－45＜0，∴当x ＝52时，矩形EFPQ 的面积最大，最大面积为5；(3)解：由(2)可知，当矩形EFPQ 的面积最大时，矩形的长EF 为52，宽HD ＝4－45x ＝2，在矩形EFPQ 沿射线AD 的运动过程中：(ⅰ)当0≤t ≤2时，如解图①所示．第3题解图①设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 分别交于点H 1、D 1.此时DD 1＝t ，H 1D 1＝2，∴HD 1＝HD －DD 1＝2－t ，HH 1＝H 1D 1－HD 1＝t ，AH 1＝AH －HH 1＝2－t ， ∵KN ∥EF ， ∴KN EF＝AH 1AH，即KN 52＝2－t 2，解得KN ＝54(2－t )，∴S ＝S 梯形KNFE ＋11EFPQ S 矩形 ＝12(KN ＋EF )·HH 1＋EF ·EQ 1＝12[54(2－t )＋52]×t ＋52(2－t )＝－58t 2＋5； (ⅱ)当2＜t ≤4时，如解图②所示．第3题解图②设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 交于点D 2，此时DD 2＝t ，AD 2＝AD －DD 2＝4－t ，∵K ′N ′∥EF ， ∴K ′N ′EF＝AD 2AH，即K ′N ′52＝4－t 2，解得K ′N ′＝5－54t ，∴S ＝S △AKN ＝12 K ′N ′·AD 2＝12×(5－54t )×(4－t )＝58t 2－5t ＋10.综上所述，S 与t 的函数关系式为：S ＝2255(028551048t t t t t ⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩≤≤）（2＜≤）.4．解：(1)4t ；【解法提示】∵AD ⊥BD ， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD＝102－62＝8，∵AD ∥A ′D ′， ∴A ′D ′⊥BD ，∴∠DMD ′＝∠ADB ＝90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠D ′DM ＝∠ABD ， ∴△DMD ′∽△BDA ，∴DM BD＝'DD AB ＝'MD AD， ∴8DM ＝510t ＝'6MD ， ∴DM ＝4t ，MD ′＝3t .(2)如解图①，当E ′在BD 上时，第4题解图①∵∠ D ′E ′M ＋∠A ′E ′M ＝90°，∠MA ′E ′＋∠A ′E ′M ＝90°， ∴∠ D ′E ′M ＝∠MA ′E ′， ∵CD ∥AB ， ∴∠CDB ＝∠ABD ， ∵∠ MA ′E ′＝∠ABD ， ∴∠D ′DE ′＝∠D ′E ′D ， ∴DD ′＝D ′E ′，由△ADE ∽△BAD 得到，DE ＝185，AE ＝245，∴5t ＝185，∴t ＝1825；(3)①当0＜t ≤1825时，如解图②，重叠部分是△D ′MK ，S ＝12D ′M ×MK ＝12×3t ×4t ＝6t 2；图②图③第4题解图②当1825＜t ≤3225时，如解图③，重叠部分是四边形D ′E ′KM ，S ＝S △A ′D ′E ′－S △A ′MK ＝12×185×245－12(6－3t )×34(6－3t )＝－278t 2＋272t －24350.综上所述，S ＝2218602527272431832+82502525t t t t t ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩（＜≤）—（＜≤）；(4)平移过程中，当0＜t ≤1825或t ＝1或t ＝65 s 时，出现与△DMD ′全等的三角形．【解法提示】①当0＜t ≤1825时，如解图②，△DMD ′≌△KMD ′，②当DD ′＝D ′C 时，△DMD ′≌△BMA ′，此时t ＝1， ③当DD ′＝AD 时，△DMD ′≌△AED ，此时5t ＝6，t ＝65，综上所述，当0＜t ≤1825或t ＝1或t ＝65s 时，出现与△DMD ′全等的三角形．5．解：(1)在Rt △ACB 中，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2AC ＝2， ∵点D 是AB 的中点， ∴AD ＝12AB ＝1＝CD ，∵EF 是△ACD 的中位线， ∴EF ＝DF ＝12＝12CD ，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在Rt △FGD 中，GF ＝DF ·sin60°＝34，∴矩形EFGH 的面积＝EF ·FG ＝12×34＝38；………………(3分)(2)根据第(1)问，易得GD ＝12DF ＝14，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，如解图①，当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，0＜x ≤14，第5题解图①则此时重叠部分三角形的高为3x ， ∴重叠部分的面积S ＝12x ·3x ＝316，解得x ＝24＞14(舍去)；如解图②，当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，14＜x ≤12，则此时重叠部分直角梯形的高为34，上底边长为x ，下底边长为x －14，第5题解图②∴重叠部分的面积S ＝12[x ＋(x －14)]·34＝316，解得x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316；(8分)(3)如解图③，过H 2作H 2K ⊥AB 于点K . 在Rt △F 1G 1B 中，∠B ＝30°，F 1G 1＝34，第5题解图③∴BG 1＝34，∴DG 1＝BD －BG 1＝1－34＝14，设KD ＝a ，则H 2K ＝3a ，在Rt △H 2G 1K 中，有H 2K 2＋G 1K 2＝H 2G 21， 即(3a )2＋(a ＋14)2＝(12)2，解得，a 1＝－1＋1316，a 2＝－1－1316(舍去)，∴cos α＝cos ∠H 2G 1K ＝KG 1H 2G 1＝13－116＋1412＝13＋38.……(14分) 6．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .∵AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，AC ⊥AB ， 由勾股定理得：AC ＝BC 2－AB 2＝4 cm.∴cos ∠ACB ＝AC BC ＝45.∵△ACD 沿AC 方向平移得到△PNM ，平移的速度为1 cm/s ， ∴MN ∥AB ，PC ＝(4－t ) cm.∵点Q 在BC 上运动，运动的速度为1 cm/s ，第6题解图①∴QC ＝t cm.如解图①，当PQ ∥MN 时， 则PQ ∥AB ， ∴PQ ⊥AC ， ∴cos ∠ACB ＝PCQC ＝45， 即4－t t ＝45，解得t ＝209.∴当t ＝209s 时，PQ ∥MN ；第6题解图②(2)如解图②，过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ， 则PH ＝PC ·sin ∠PCQ ＝35(4－t )，∴y ＝12·QC ·PH ＝12t ·35(4－t )＝－310t 2＋65t ，即y 与t 之间的函数关系式为y ＝－310t 2＋65t (0＜t ＜4)；(3)存在．∵△PMN 是由△ACD 沿AC 平移得到的， ∴PM ∥BC ， ∴S △PCQ ＝S △QMC ， 由(2)得S △QCP ＝S △QMC ， ∵S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4， ∴S △QCP ∶S 四边形ABQP ＝1∶4， ∴S △QCP ∶S △ACB ＝1∶5.∵S △ACB ＝12AB ×AC ＝12×3×4＝6 cm 2，∴S △QCP ＝15S △ABC ＝65cm 2，即－310t 2＋65t ＝65，整理得：t 2－4t ＋4＝0， 解得t ＝2，∴t ＝2 s 时，使得S △QMC ∶S 四边形ABQP ＝1∶4； (4)存在．如解图③，过点P 作PH ⊥BC 于H ，过点M 作MG ⊥HC ，交HC 的延长线于点G ，第6题解图③∴MG ＝PH ＝35(4－t )，tan ∠PCH ＝PH HC ＝AB AC ＝34，∴HC ＝45(4－t )，又∵QC ＝t ，HG ＝PM ＝BC ＝5， ∴HQ ＝HC －QC ＝45(4－t )－t ＝165－95t ，∴QG ＝HG －HQ ＝5－(165－95t )＝95t ＋95.∵∠PQM ＝90°，∴∠PQH ＋∠MQG ＝90°， 又∵∠HPQ ＋∠PQH ＝90°， ∴∠HPQ ＝∠GQM ， ∴△PHQ ∽△QGM ， ∴PHHQ ＝QGGM，。
九年级数学中考专题：动点问题综合压轴题
2023年九年级数学中考专题：动点问题综合压轴题1．如图，在ABC 中，4AB =，6BC =，P 是BC 边上一动点，60APN B ∠=∠=︒，过A 点作射线AM BC ∥，交射线PN 于点D ．(1)求AC 的长； (2)求证：2=?AP BP AD ；(3)连接CD ，若ACD 为直角三角形，求BP 的长．2．如图1，,=90DC AB D ∠︒，,10cm,6cm AC BC AB BC ⊥==．点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿AB 方向向点B 运动，同时点Q 以2cm/s 的速度从点B 出发，沿B →C →A 方向向点A 运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t （s ）．(1)AD 的长为 ；(2)求t 为何值时，PQ 平行于ABC ∆的一边；(3)当点Q 在边BC 上运动，求t 为何值时，PBQ ∆的面积为264cm 53．如图1，正方形ABCD 中，点P 为对角线BD 上一动点，点E 在AD 的延长线上，且62AP PE AB DE ===，，．(1)填空：PE 的长为______；(2)如图2，过点P 作PF EC ⊥于点F ，交DC 于点H ，延长FP 交AB 于点G ，求证：BG CH DE =+；(3)若点E 在直线AD 上运动，直线PE 与直线CD 交于点M ，其他条件不变，则PM 的长为______；(4)若点P 为正方形ABCD 对角线BD 上的动点，则22PD BP +的最小值为______．4．如图1，在Rt ABC △中，=90=6cm =8cm ACB AC BC ∠︒，，，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t ＜＜，连接PQ ．(1)若BPQ 与ABC △相似，求t 的值； (2)直接写出BPQ 是等腰三角形时t 的值； (3)如图2，连接AQ 、CP ，若AQ CP ⊥，求t 的值．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0)2，，点C 是x 轴上的动点，线段CA 绕着点C 逆时针旋转90°至线段CB ，连接BO ，设点C 的横坐标为m ．(1)BC 的长度是________(用含m 的式子表示)； (2)求点B 的坐标(用含m 的式子表示)； (3)求线段BO 长度的最小值．6．如图，Rt ACB △中，90,ACB AC BC ∠=︒=，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．(1)如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：EC CD DF +=； (2)如图2，连接BF 交AC 于G 点，若3AGCG=，求证：E 点为BC 中点； (3)当E 点在射线CB 上，连接BF 与直线AC 交于G 点，若52BC BE =，则AGCG= （直接写出结果）．7．如图，以AB 为直径作⊙O ，点C 是直径AB 上方半圆上的动点，连接AC ，BC ，过点C 作ACB ∠的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作AB 的平行线交CB 的延长线于点E ．(1)当CA CD =时，求E ∠的大小；(2)若⊙O 的半径为5，8AC =，求CD 的长；(3)如图2，当CD 不过点O 时，过点O 作OM CD ⊥交CD 于点M ，试判断AC BCOM-是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．8．已知：AB 为O 的直径，BC AC =，D 为弦AC 上一动点（不与A 、C 重合）．(1)如图1，若BD 平分CBA ∠，连接OC 交BD 于点E ． ⊙求证：CE CD =； ⊙若2OE =，求AD 的长．(2)如图2，若BD 绕点D 顺时针旋转90︒得DF ，连接AF ．求证：AF 为O 的切线．9．如图，在锐角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D ，E 分别是边,AB AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．(1)如图1，若AB AC >，且,BD CE BCD CBE =∠=∠，求CFE ∠的度数；(2)如图2，若=AB AC ，且=BD AE ，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段,,BF CF CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．10．如图，正方形ABCD 中，=4AB ，点M 是射线BA 上的一动点，BP CM ⊥，垂足为P ，PD PN ⊥，与射线BC 交于点N ，连接DN ．(1)若点M 在边AB 上（与点B 、A 不重合）． ⊙求证：BP BNCP BC=； ⊙连接DN ，设BM x =，DPNBPCS y S ∆∆=，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； (2)若3DPNCPNS S=，求出BM 的长．11．如图⊙，在矩形ABCD 中，AB ＜AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB →BC →CD 向点D 运动．设点P 运动的路程为x ，设AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图⊙所示．(1)AB＝cm，AD＝cm；(2)若点P运动的速度为1cm/s，另一点Q同时以23cm/s的速度从A出发沿AD运动，点P运动的时间为t．当P、Q中有一点到达点D时，另一点随之停止．如图⊙，连接OQ、BQ、DP，设⊙BOQ面积为S 1，DOP面积为S2，当点P在BC上时，若S1与S2的乘积为S，求S与t的函数关系式．(3)点P运动的时间为t，连接DP，将点A沿直线DP翻折到点E，连接PE、DE，DE 交射线AC于点F，当t为何值时，DAF为等腰三角形．12．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊙PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，AC＝5．设AP的长为x．(1)AB＝_______；当x＝1时，PEPB＝______；(2)试探究：PEPB是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)连接BE，设⊙PBE的面积为S，求S的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，设=AB a ，AD b =，且>a b ．(1)若a b ，为方程240x kx k -++=的两根，且BD =k 的值．(2)在（1）的条件下，P 为CD 上一点（异于C D 、两点），P 在什么位置时，APB △为直角三角形？(3)P 为CD 上一动点（异于C D 、两点），当a b ，满足什么条件时，使APB △为直角三角形的P 点有且只有一个？请直接写出a b ，满足的数量关系．14．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ．(1)求线段CE 的长；(2)如图2，M ，N 分别是线段AG DG ，上的动点（与端点不重合），且DMN DAM ∠=∠，设DN x =．⊙求证四边形AFGD 为菱形；⊙是否存在这样的点N ，使DMN 是直角三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．15．如图，矩形ABCO 中，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B 的坐标是（-6，8），矩形ABCO 沿直线BD 折叠，使得点A 落在对角线OB 上的点E 处，折痕与0A 、x 轴分别交于点D 、F ．(1)求证：⊙BOF 是等腰三角形； (2)求直线BD 的解析式；(3)若点P 是平面内任意一点，点M 是线段BD 上的一个动点，过点M 作MN ⊙x 轴，垂足为点N 在点M 的运动过程中是否存在以P 、N 、E 、O 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标：若不存在，请说明理由16．如图，在Rt ABC △中，⊙ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，过点B 作射线1BB AC ∥．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊙AB 于H ，过点E 作EF ⊙AC 交射线BB ′于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，AD ＝AB ，并求出此时DE 的长度； (2)当DEG △与ACB △相似时，求t 的值；(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A C ''．当线段A C ''与射线BB '，有公共点时，求t 的取值范围．17．在菱形ABCD 中，6AB =，=60A ∠︒，点E 在AD 边上，4AE =，点P 是边AB 上△沿EP翻折得到FEP．一个动点，连结EP，将AEP(1)当EF AB∥时，求AEP的度数；(2)若点F落在对角线BD上，求证：DEF BFP；(3)若点P在射线BA上运动，设直线PF与直线BD交于点H，问当AP为何值时，BHP 为直角三角形．18．已知ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP．(1)如图1，点E在AC边上且AE＝BP，连接BE交CP于点F．⊙求证：BE＝CP；⊙求⊙BFC的度数．(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D．设BP＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式．19．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ(1)点B 的坐标为 ；(2)⊙如图⊙，当点P 在x 轴负半轴运动时，求证：⊙ABQ =90°；⊙当点P 在x 轴正半轴运动时，⊙中的结论是否仍然成立？请补全图⊙，并作出判断（不需要说明理由）；(3)在点P 运动的过程中，若△OBQ 是直角三角形，直接．．写出点P 的坐标.20．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数2y =+的图像经过点A (m )，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ．抛物线213y x bx c =-++经过点A 交y 轴于点D (0，6)．(1)求m 的值及抛物线的表达式；(2)如图2，点E 为抛物线上一点且在直线AC 上方，若EAC 的面积为E 的坐标；(3)坐标轴上有一动点F ，连接AF ，当⊙BAF =60°时，直接写出点F 的坐标．参考答案：1．(1)AC =(3)满足条件的PB 的长为42．(1)4.8cm (2)3013t =或t =5 (3)23．(1)(4)364．(1)t 的值为1或4132(2)BPQ 是等腰三角形时t 的值为：23或89或6457(3)78t =5．(2)(2,)m m --(3)当1m =时OB 最小，最小值为2OB =6． (3)67．(1)67.5E ∠=︒(2)CD =(3)AC BC OM-=8．(1)；⊙49．(1)60︒(2)2BF CF CN +=，10．(1)⊙2832(04)16x x y x -+=<<(2)BM 的长为2或10±11．(1)3；4 (2)()23272706884S t t t =-+-≤＜(3)4312．(1)4，34(2)是定值，34(3)542513．(1)k=8(2)P 在(3或(3位置时，APB △为直角三角形(3)2a b =14．(1)3(2)⊙见解析；⊙5=2x 或215．(1)见解析(2)y =12-x +5 (3)存在，M 点的坐标为（245-，375）、(4,7)-或（103-，203）16．(1)当t =1时，AD ＝AB ，此时DE 的长度为1(2)t =34或16或94或176 (3)56≤t ≤433017．(1)60°；(3)4或2+2或4+18．(1)⊙120︒ (2)12(04)2y x x =-≤≤19．1)(2)成立(3)(0)或0)20．(1)m 的值为4，2163y x x =-+；(2)E （0，6）或（0）；(3)F （0）或（0，203）．。
中考数学压轴题专题-动点综合问题
专题15动点综合问题【考点1】动点之全等三角形问题【例1】1．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s 的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【变式1-1】已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点（1）如果动点E 、F 满足BE ＝OF （如图），且AE ⊥BF 时，问点E 在什么位置？并证明你的结论；（2）如果动点E 、F 满足BE ＝CF （如图），写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．【变式1-2】如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝10cm ．现将△ABC 和△EDF 按如图②的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm /s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以acm /s （0＜a ＜3）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为ts （0≤t ≤5）．（1）当t ＝2时，S △AQF ＝3S △BQC ，则a ＝；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△BQC 全等时，求a 的值；（3）如图③，在动点P 、Q 出发的同时，△ABC 也以3cm /s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△EFQ 全等时，求a 与t 的值．【考点2】动点之直角三角形问题【例2】如图，在四边形纸片ABCD 中，//AB CD ，60A ∠=︒，30B ∠=︒，2CD =，4BC =，点E 是AB 边上的动点，点F 是折线A D C --上的动点，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点A '落在AB 边上，连接A C '，若A BC ' 是直角三角形，则AE 的长为________．【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+4的图象与x 轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y 轴交于点C ，过点C 作BC 平行于x 轴交抛物线于点B ，连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度向点A 运动；点N 从点B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N 作NQ 垂直于BC 交AC 于点Q ，连结MQ.①求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t 为何值时，S 有最大值，并求出S 的最大值；②是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【变式2-2】如图，在矩形OAHC 中，8,12OC OA ==，B 为CH 中点，连接AB .动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接,,CM CN MN ，设运动时间为t （秒）(010)t <<.则t =_____时，CMN ∆为直角三角形【考点3】动点之等腰三角形问题【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，10cm AB =，6cm BC =．若点P 是直径AB 上一动点，当PBC 是等腰三角形时，AP =__________cm ．【变式3-1】如图①，已知正方形ABCD 边长为2，点P 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BP 的对称点是点Q ，连结PQ 、DQ 、CQ 、BQ .设AP=x.（1）当1x =时，求BP 长；（2）如图②，若PQ 的延长线交CD 边于E ，并且90CQD ∠=o ，求证：CEQ ∆为等腰三角形；（3）若点P 是射线AD 上的一个动点，则当CDQ ∆为等腰三角形时，求x 的值.【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线y=ax 2+bx+3交y 轴于点A ，交x 轴于点B （-3，0）和点C （1，0），顶点为点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 为x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点E 的坐标；（3）点F 为直线AB 上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标．【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线2y mx =和直线y x b =-+都经过点()2,4M -，点O 为坐标原点，点P 为抛物线上的动点，直线y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于A B 、两点．（1）求m b 、的值；（2）当PAM ∆是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin BOP ∠的值．【考点4】动点之相似三角形问题【例4】如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC 是相似三角形，求AP的长．【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝3 4AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【变式4-2】如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PE⊥DQ于点E．（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）【例5】如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的动点，且满足2PAO PCO S S ∆∆=，求出P 点的坐标；（3）连接BC ，点E 是x 轴一动点，点F 是抛物线上一动点，若以B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F 的坐标．备用图【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图1，2，3中，已知，，点为线段上的动点，连接，以为边向上作菱形，且．（1）如图1，当点与点重合时，________°；（2）如图2，连接．①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；②求证：点在的平分线上；（3）如图3，连接，，并延长交的延长线于点，当四边形是平行四边形时，求的值．【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数213y x bx c =-++的图象过原点，与x 轴的另一个交点为()8,0（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线1y m=，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（0t>）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，AOB∆的顶点O是坐标原点，点A坐标为()1,3，A、B两点关于直线y x=对称，反比例函数()0ky xx=>图象经过点A，点P是直线y x=上一动点.（1）B点的坐标为______；（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是线段OP 上一点（O 不与O 、P 重合），当四边形AOBP 为菱形时，过点Q 分别作直线OA 和直线AP 的垂线，垂足分别为E 、F ，当QE QF QB ++的值最小时，求出Q 点坐标.【考点6】动点之线段面积问题【例6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形．抛物线经过点A 、C 、A′三点．（1）求A 、A′、C 三点的坐标；（2）求平行四边形和平行四边形重叠部分的面积；（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．【变式6-1】（1）发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC =α，AB b =(0)a b >>，当点A 位于时，线段AC 的长取得最大值，最大值为（用含,a b 的式子表示）；（2）应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，2AC =，以AB 为边作等边ABD ∆，连接CD ，求线段CD 的最大值；（3）拓展：如图3，线段3AB =，点P 为线段AB 外一动点，且2AP =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时PBM ∆的面积．【变式6-2】如图，矩形ABCD 中，3,4AD AB ==，点P 是对角线AC 上一动点（不与A C 、重合），连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，以线段,PE PB 为邻边作矩形BPEF ，过点P 作GH CD ⊥。
专题26动点综合问题(共45题)-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)
中考数学真题分项汇编（全国通用）专题26 动点综合问题【共45题】一．选择题（共11小题）1．（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．【解析】由题意当0≤x≤4时，y=12×AD×AB=12×3×4＝6，当4＜x＜7时，y=12×PD×AD=12×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．2．（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．【解析】如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=√32EJ=√32x，∴y=12EJ•GH=√34x2．当x＝2时，y=√3，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y =12FJ •GH =√34（4﹣x ）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A ． 3．（2020•江西）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt △OAB 向右上方平移，得到Rt △O 'A 'B '，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A 'B '的表达式为（ ）A ．y ＝xB ．y ＝x +1C ．y ＝x +12D ．y ＝x +2【分析】求得A 、B 的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A ′（1，n ），则B ′（4，n +3），把B ′（4，n +3）代入抛物线解析式求得n ，即可求得A ′、B ′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A 'B '的表达式．【解析】如图，∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，令y ＝0，解得x ＝﹣1或3，令x ＝0，求得y ＝﹣3，∴A （3，0），B （0，﹣3），∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3的对称轴为直线x =−−22×1=1，∴A ′的横坐标为1，设A ′（1，n ），则B ′（4，n +3），∵点B '落在抛物线上，∴n +3＝16﹣8﹣3，解得n ＝2，∴A ′（1，2），B ′（4，5），设直线A 'B '的表达式为y ＝kx +b ，∴{k +b =24k +b =5， 解得{k =1b =1∴直线A 'B '的表达式为y ＝x +1，故选：B ．4．（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高BM的长，从而可以求得平行四边形的面积．【解析】过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM=√2，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×√2=3√2．故选：B．5．（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12x2+2x=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故选：A．6．（2020•孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．【解析】①当点P在AB上运动时，y=12AH×PH=12×AP sin A×AP cos A=12×x2×√34=√38x2，图象为二次函数；②当点P在BC上运动时，如下图，由①知，BH′＝AB sin A＝4×12=2，同理AH′＝2√3，则y=12×AH×PH=12（2√3+x﹣4）×2＝2√3−4+x，为一次函数；③当点P在CD上运动时，同理可得：y=12×（2√3+6）×（4+6+2﹣x）＝（3+√3）（12﹣x），为一次函数；故选：D．7．（2020•淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12B．24C．36D．48【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC=√BC2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故选：D．8．（2020•广元）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→B→O的路线匀速运动，设∠APD＝y（单位：度），那么y与点P运动的时间（单位：秒）的关系图是（）A．B．C．D．【分析】根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→B运动时；（3）当点P沿B→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．【解析】（1）当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y＝90°，当点P在点C的位置时，∵OA＝OC，∴y＝45°，∴y由90°逐渐减小到45°；（2）当点P沿C→B运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2＝45°；（3）当点P沿B→O运动时，当点P在点B的位置时，y＝45°，当点P在点O的位置时，y＝90°，∴y由45°逐渐增加到90°．故选：B．9．（2020•金昌）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4√2B．4C．3√3D．2√2【分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE＝2√5，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2√5，∴x2+（2x）2＝（2√5）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4√2，故选：A ．10．（2020•台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v （单位：m /s ）与运动时间t （单位：s ）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y （单位：m ）与运动时间t （单位：s ）之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y 是t 的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．【解析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y 是t 的二次函数，图象是先缓后陡， 在右侧上升时，情形与左侧相反，故选：C ．11．（2020•河南）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ．（32，2）B ．（2，2）C ．（114，2）D ．（4，2）【分析】根据已知条件得到AC ＝6，OC ＝2，OB ＝7，求得BC ＝9，根据正方形的性质得到DE ＝OC ＝OE ＝2，求得O ′E ′＝O ′C ′＝2，根据相似三角形的性质得到BO ′＝3，于是得到结论．【解析】如图，设正方形D ′C ′O ′E ′是正方形OCDE 沿x 轴向右平移后的正方形，∵顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0），∴AC ＝6，OC ＝2，OB ＝7，∴BC ＝9，∵四边形OCDE 是正方形，∴DE ＝OC ＝OE ＝2，∴O ′E ′＝O ′C ′＝2，∵E ′O ′⊥BC ，∴∠BO ′E ′＝∠BCA ＝90°，∴E ′O ′∥AC ，∴△BO ′E ′∽△BCA ， ∴E′O′AC =BO′BC ， ∴26=BO′9，∴BO ′＝3，∴OC ′＝7﹣2﹣3＝2，∴当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（2，2），故选：B ．二．填空题（共11小题）12．（2020•通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 4+2√3 ．【分析】点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，进而求解．【解析】如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，设菱形的边长为2m，在△ABC中，BC＝2BO＝2×AC sin∠OAC＝4m×sin60°＝2√3m，从图②看，AB+BE＝3√3=3m，解得：m=√3；点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，则∠BAA′＝60°，故AA′B为等边三角形，∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，而AB∥A′C，故∠P A′C为直角，则a＝PC=A′Ccos∠BCA′=2mcos30°=4√33m，此时b＝AA′＝2m，则a+b＝2m+4√33m＝4+2√3．故答案为4+2√3．13．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE 的面积最小．【解析】如图，连接OB ，取OA 的中点M ，连接CM ，过点M 作MN ⊥DE 于N ．∵AC ＝CB ，AM ＝OM ，∴MC =12OB ＝1，∴点C 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的⊙M ，设⊙M 交MN 于C ′．∵直线y =34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，∴D （4，0），E （0，﹣3），∴OD ＝4，OE ＝3，∴DE =√32+42=5，∵∠MDN ＝∠ODE ，∠MND ＝∠DOE ，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE =DM DE ， ∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2， 故答案为2．14．（2020•福建）设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k x 图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）【分析】如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．【解析】如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，15．（2020•淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y=k1x（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，则k2＝1．【分析】用待定系数求得反比例函数y=k1x，再与直线y＝x联立方程组求得D点坐标，再题意求得运动后P 点的坐标，最后将求得的P 点坐标代入y =k 2x （x ＞0）求得结果． 【解析】把A （﹣1，﹣4）代入y =k 1x 中得，k 1＝4， ∴反比例函数y =k 1x 为y =4x ， ∵A （﹣1，﹣4）、B （﹣4，﹣1），∴AB 的垂直平分线为y ＝x ，联立方程驵{y =4x y =x，解得{x =−2y =−2，或{x =2y =2， ∵AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴CD 是AB 的垂直平分线，∵CD 与反比例函数y =k 1x （x ＜0）的图象于点D ， ∴D （﹣2，﹣2），∵动点P 从点D 出发，沿射线CD 方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y =k2x （x ＞0）图象上一点，∴设移动后的点P 的坐标为（m ，m ）（m ＞﹣2），则(x +2)2+(x +2)2=(3√2)2，∴x ＝1，∴P （1，1），把P （1，1）代入y =k2x （x ＞0）中，得k 2＝1， 故答案为：1．16．（2020•德州）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3+2，AD =√3．把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB边上的D ′处，再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，得到△A 'ED ″，使得EA ′恰好经过BD ′的中点F ．A ′D ″交AB 于点G ，连接AA ′．有如下结论：①A ′F 的长度是√6−2；②弧D 'D ″的长度是5√312π；③△A ′AF ≌△A ′EG ；④△AA ′F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是 ①②④ ．【分析】由折叠的性质可得∠D ＝∠AD 'E ＝90°＝∠DAD '，AD ＝AD '，可证四边形ADED '是正方形，可得AD＝AD'＝D'E＝DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD'＝∠AED'＝45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE＝A'E=√6，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，可求A'F=√6−2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED'＝30°，由弧长公式可求弧D'D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∠A'AF＝7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∴∠D'GE＝∠D''GE＝52.5°，可证△AF A'∽△EFG，可判断④，即可求解．【解析】∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四边形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'=√3，∴四边形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵点F是BD'中点，∴D'F＝1，∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE＝A'E=√6，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F=√6−2，故①正确；∵tan∠FED'=D′FD′E=1√3=√33，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度=75°×π×√3180°=5√312π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AF A'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AF A'＝∠EFG，∴△AF A'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．17．（2020•东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝2√3，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为2√2．【分析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ=√OP2−1，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【解析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2=√OP2−1，当OP最小时，线段PQ长度的最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，∴OA=OBtanA=6，在Rt△AOP′中，∠A＝30°，∴OP′=12OA＝3，∴线段PQ长度的最小值=√32−1=2√2，故答案为：2√2．18．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2√5−2．【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．【解析】如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE=12MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．19．（2020•鄂州）如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒（2−√3）cm 的速度向左运动 1或（11+6√3） 秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（23π−√3）cm 2．【分析】分两种情形：如图1中，当点A ，B 落在⊙O 上时，如图2中，当点C ，D 落在⊙O 上时，分别求解即可解决问题．【解析】如图1中，当点A ，B 落在⊙O 上时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（23π−√3）cm 2此时，运动时间t ＝（2−√3）÷（2−√3）＝1（秒）如图2中，当点C ，D 落在⊙O 上时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（23π−√3）cm 2此时，运动时间t ＝[4+2﹣（2−√3）]÷（2−√3）＝（11+6√3）（秒），综上所述，满足条件的t 的值为1秒或（11+6√3）秒．故答案为1或（11+6√3）．20．（2020•鄂州）如图，已知直线y =−√3x +4与x 、y 轴交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 为AB 上一动点，PQ 切⊙O 于Q 点．当线段PQ 长取最小值时，直线PQ 交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P 到直线a 的距离的最大值为 2√3 ．【分析】在直线y=−√3x+4上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x=4√33，可得OB＝4，OA=4√33，得角OBA＝30°，根据PQ切⊙O于Q点可得OQ⊥PQ，由OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP ⊥AB，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长．【解析】如图，在直线y=−√3x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x=4√3 3，∴OB＝4，OA=4√3 3，∴tan∠OBA=OAOB=√33，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP=12OB＝2，此时PQ=√22−12=√3，BP=√42−22=2√3，∴OQ=12OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP=12BP=√3，∴BE=√(2√3)2−(√3)2=3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE=12OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2√3．故答案为：2√3．21．（2020•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ 于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ 长度的最大值为3√2，线段DH长度的最小值为√13−√2．【分析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．首先利用相似三角形的性质证明EM＝2FN，推出EM＝2，FN＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出OD，OH即可解决问题．【解析】连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB，∴四边形ADFE是矩形，∴EF＝AD＝3，∵FQ∥PE，∴△MFQ∽△MEP，∴MFME =FQPE，∵PE＝2FQ，∴EM＝2MF，∴EM＝2，FM＝1，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√AE2+ME2=√22+22=2√2，MQ=√FQ2+MF2=√12+12=√2，∴PQ＝3√2，∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=12(FM+BC)=2，∴OD=√DN2+ON2=√32+22=√13，∵BH⊥PQ，∴∠BHM＝90°，∵OM＝OB，∴OH=12BM=12×√22+22=√2，∵DH≥OD﹣OH，∴DH≥√13−√2，∴DH的最小值为√13−√2，故答案为3√2，√13−√2．22．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为3cm或5cm．【分析】当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH﹣OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果．【解析】∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时，切点为H，∴OH＝1cm，当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，故答案为：3cm或5cm．三．解答题（共23小题）23．（2020•临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？【分析】（1）连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF＝EF和CF＝AF即可得证；（2）连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；（3）延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，再由AF＝CF＝EF ，得到∠AEF ＝∠EAF ，∠FEC ＝∠FCE ，从而推断出∠AFD ＝∠F AE +∠ABF ＝∠F AE +∠CEF ，从而可求出∠ABF ＝∠CEF ＝30°，即可证明．【解析】（1）连接CF ，∵FG 垂直平分CE ，∴CF ＝EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，即MN +NG 的最小值为12；（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠F AE+∠FEA，∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD＝∠CFD=12∠AFC，∵AF＝CF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，∴∠AFD＝∠F AE+∠ABF＝∠F AE+∠CEF，∴∠ABF＝∠CEF，∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．24．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．（2）连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题．（3）首先证明AK＝3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE∥DF，AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵四边形ABOC是正方形，∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，∵E，D分别是OC，OB的中点，∴CE＝BD，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形．（2）解：如图1中，连接DE．∵S△ADB＝S△ACE=12×8×4＝16，S△EOD=12×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴OK ＝KE ＝KD ＝2√2，∵AO ＝8√2，∴AK ＝6√2，∴AK ＝3DK ，①当AP 为菱形的一边，点Q 在x 轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设AG 交PQ 于H ，过点H 作HN ⊥x 轴于N ，交AC 于M ，设AM ＝t ．∵菱形P AQG ∽菱形ADFE ，∴PH ＝3AH ， ∵HN ∥OQ ，QH ＝HP ，∴ON ＝NP ，∴HN 是△PQO 的中位线，∴ON ＝PN ＝8﹣t ，∵∠MAH ＝∠PHN ＝90°﹣∠AHM ，∠PNH ＝∠AMH ＝90°，∴△HMA ∽△PNH ，∴AMNH =MHPN =AHPH =13， ∴HN ＝3AM ＝3t ，∴MH ＝MN ﹣NH ＝8﹣3t ，∵PN ＝3MH ，∴8﹣t ＝3（8﹣3t ），∴t ＝2，∴OP ＝2ON ＝2（8﹣t ）＝12，如图3中，过点H 作HI ⊥y 轴于I ，过点P 作PN ⊥x 轴交IH 于N ，延长BA 交IN 于M ．同法可证：△AMH ∽△HNP ，∴AM HN =MH PN =AH HP =13，设MH ＝t ， ∴PN ＝3MH ＝3t ，∴AM ＝BM ﹣AB ＝3t ﹣8，∵HI 是△OPQ 的中位线，∴OP ＝2IH ，∴HI ＝HN ，∴8+t ＝9t ﹣24，∴t ＝4，∴OP ＝2HI ＝2（8+t ）＝24，∴P （24，0）．②当AP 为菱形的边，点Q 在x 轴的下方时，有图4，图5两种情形：如图4中，QH ＝3PH ，过点H 作HM ⊥OC 于M ，过D 点P 作PN ⊥MH 于N ．∵MH 是△QAC 的中位线，∴MH =12AC ＝4， 同法可得：△HPN ∽△QHM ，∴NPHM =HN MQ =PH QH =13， ∴PN =13HM =43，∴OM ＝PN =43，设HN ＝t ，则MQ ＝3t ，∵MQ ＝MC ，∴3t ＝8−43，∴t =209，∴OP ＝MN ＝4+t =569， ∴点P 的坐标为（569，0）．如图5中，QH ＝3PH ，过点H 作HM ⊥x 轴于M 交AC 于I ，过点Q 作QN ⊥HM 于N ．∵IH 是△ACQ 的中位线，∴CQ ＝2HI ，NQ ＝CI ＝4，同法可得：△PMH ∽△HNQ ， ∴MH NQ =PM HN =PH HQ =13，则MH =13NQ =43， 设PM ＝t ，则HN ＝3t ，∵HN ＝HI ，∴3t ＝8+43，∴t =289，∴OP ＝OM ﹣PM ＝QN ﹣PM ＝4﹣t =89，∴P （89，0）． ③如图6中，当AP 为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点H 作HM ⊥y 轴于于点M ，交AB 于I ，过点P 作PN ⊥HM 于N ． ∵HI ∥x 轴，AH ＝HP ，∴AI ＝IB ＝4，∴PN ＝IB ＝4，同法可得：△PNH ∽△HMQ ，∴PNHM =HNMQ =PHHQ =13， ∴MH ＝3PN ＝12，HI ＝MH ﹣MI ＝4，∵HI 是△ABP 的中位线，∴BP ＝2IH ＝8，∴OP ＝OB +BP ＝16，∴P （16，0），综上所述，满足条件的点P 的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）． 25．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车⊙O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是⊙O 的切线，且与直线AB 交于点M ，MO ＝8m ．求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈1115，sin16°＝cos74°≈1140，sin22°＝cos68°≈38）【分析】（1）如图1中，连接OA ．求出∠AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问题．（2）如图2中，盛水筒P 浮出水面3.4秒后，此时∠AOP ＝3.4×5°＝17°，过点P 作PD ⊥OC 于D ，解直角三角形求出CD 即可．（3）如图3中，连接OP ，解直角三角形求出∠POM ，∠COM ，可得∠POH 的度数即可解决问题．【解析】（1）如图1中，连接OA ．由题意，筒车每秒旋转360°×56÷60＝5°，在Rt △ACO 中，cos ∠AOC =OC OA =2.23=1115．∴∠AOC ＝43°，∴180−435=27.4（秒）．答：经过27.4秒时间，盛水筒P 首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒P 浮出水面3.4秒后，此时∠AOP ＝3.4×5°＝17°，∴∠POC ＝∠AOC +∠AOP ＝43°+17°＝60°，过点P 作PD ⊥OC 于D ，在Rt △POD 中，OD ＝OP •cos60°＝3×12=1.5（m ），2.2﹣1.5＝0.7（m ），答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面0.7m ．（3）如图3中，∵点P 在⊙O 上，且MN 与⊙O 相切，∴当点P 在MN 上时，此时点P 是切点，连接OP ，则OP ⊥MN ，在Rt △OPM 中，cos ∠POM =OP OM =38，∴∠POM ＝68°，在Rt △COM 中，cos ∠COM =OC OM =2.28=1140，∴∠COM ＝74°，∴∠POH ＝180°﹣∠POM ﹣∠COM ＝180°﹣68°﹣74°＝38°， ∴需要的时间为385=7.6（秒），答：盛水筒P 从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN 上．26．（2020•潍坊）如图1，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC =√2+1，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ＝1，连接DE ．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE ，BD ，CD ．（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE ＝BD ；（2）如图3，当α＝90°时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ；（3）在旋转过程中，求△BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．【分析】（1）利用“SAS ”证得△ACE ≌△ABD 即可得到结论；（2）利用“SAS ”证得△ACE ≌△ABD ，推出∠ACE ＝∠ABD ，计算得出AD ＝BC =√2+2，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，∵∠CAE +∠BAE ＝∠BAD +∠BAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD ，在△ACE 和△ABD 中，{AC =AB ∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD （SAS ），∴CE ＝BD ；（2）证明：如图3中，根据题意：AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，在△ACE 和△ABD 中，{AC =AB ∠CAE =∠BAD AE =AD，∴△ACE ≌△ABD （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC ＝90°，且∠AEC ＝∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB ＝90°，∴∠EFB ＝90°，∴CF ⊥BD ，∵AB ＝AC =√2+1，AD ＝AE ＝1，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，∴BC =√2AB =√2+2，CD ＝AC +AD =√2+2， ∴BC ＝CD ，∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线； （3）解：△BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时△BCD 的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，如图4中：∵∵AB ＝AC =√2+1，AD ＝AE ＝1，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，DG ⊥BC 于G ，∴AG =12BC =√2+22，∠GAB ＝45°，∴DG ＝AG +AD =√2+22+1=√2+42，∠DAB ＝180°﹣45°＝135°，∴△BCD 的面积的最大值为：12BC ⋅DG =12(√2+2)(√2+42)=3√2+52， 旋转角α＝135°．27．（2020•苏州）如图，已知∠MON ＝90°，OT 是∠MON 的平分线，A 是射线OM 上一点，OA ＝8cm ．动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1cm /s的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为t （s ），其中0＜t ＜8．（1）求OP +OQ 的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（3）求四边形OPCQ 的面积．【分析】（1）由题意得出OP ＝8﹣t ，OQ ＝t ，则可得出答案；（2）如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ ．设线段BD 的长为x ，则BD ＝OD ＝x ，OB =√2BD =√2x ，PD ＝8﹣t ﹣x ，得出PDOP =BDOQ ，则8−t−x8−t =xt ，解出x =8t−t 28．由二次函数的性质可得出答案； （3）证明△PCQ 是等腰直角三角形．则S △PCQ =12PC •QC =12×√22PQ ⋅√22PQ =14PQ 2．在Rt △POQ 中，PQ 2＝OP 2+OQ 2＝（8﹣t ）2+t 2．由四边形OPCQ 的面积S ＝S △POQ +S △PCQ 可得出答案．【解析】（1）由题意可得，OP ＝8﹣t ，OQ ＝t ，∴OP +OQ ＝8﹣t +t ＝8（cm ）．（2）当t ＝4时，线段OB 的长度最大．如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ ．∵OT 平分∠MON ，∴∠BOD ＝∠OBD ＝45°，∴BD ＝OD ，OB =√2BD ．设线段BD 的长为x ，则BD ＝OD ＝x ，OB =√2BD =√2x ，PD ＝8﹣t ﹣x ，∵BD ∥OQ ，∴PD OP =BD OQ ， ∴8−t−x 8−t =x t ，∴x =8t−t 28． ∴OB =√2⋅8t−t 28=−√28(t −4)2+2√2．当t ＝4时，线段OB 的长度最大，最大为2√2cm ．（3）∵∠POQ ＝90°，∴PQ 是圆的直径．∴∠PCQ ＝90°．∵∠PQC ＝∠POC ＝45°，∴△PCQ 是等腰直角三角形．∴S △PCQ =12PC •QC =12×√22PQ ⋅√22PQ =14PQ 2． 在Rt △POQ 中，PQ 2＝OP 2+OQ 2＝（8﹣t ）2+t 2．∴四边形OPCQ 的面积S ＝S △POQ +S △PCQ =12OP ⋅OQ +14PQ 2，=12t(8−t)+14[(8−t)2+t 2]，＝4t −12t 2+12t 2+16﹣4t ＝16．∴四边形OPCQ 的面积为16cm 2．28．（2020•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是x 2﹣3x ﹣18＝0的根，连接BD ，∠DBC ＝30°，并过点C 作CN ⊥BD ，垂足为N ，动点P 从B 点以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到D 点为止；点M 沿线段DA 以每秒√3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）线段CN ＝ 3√3 ；（2）连接PM 和MN ，求△PMN 的面积s 与运动时间t 的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN 是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．【分析】（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长；（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【解析】（1）∵AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，∴AB＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，∵∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝12，BC=√3CD＝6√3，∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，∴CN=12BC＝3√3，故答案为：3√3．（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∴MH=12MD=√32t，∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，∴BN=√3CN＝9，当0＜t ＜92时，△PMN 的面积s =12×（9﹣2t ）×√32t =−√32t 2+9√34t ； 当t =92时，点P 与点N 重合，s ＝0，当92＜t ≤6时，△PMN 的面积s =12×（2t ﹣9）×√32t =√32t 2−9√34t ； （3）如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，当PN ＝PM ＝9﹣2t 时，∵PM 2＝MH 2+PH 2，∴（9﹣2t ）2＝（√32t ）2+（12﹣2t −32t ）2， ∴t ＝3或t =73，∴BP ＝6或143，当BP ＝6时，∵∠DBC ＝30°，PE ⊥BC ，∴PE =12BP ＝3，BE =√3PE ＝3√3，∴点P （3√3，3），当BP =143时，同理可求点P （7√33，73）， 当PN ＝NM ＝9﹣2t 时，∵NM 2＝MH 2+NH 2，∴（9﹣2t ）2＝（√32t ）2+（32t ﹣3）2， ∴t ＝3或24（不合题意舍去），∴BP ＝6，∴点P （3√3，3），综上所述：点P 坐标为（3√3，3）或（7√33，73）． 29．（2020•河北）如图1和图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，tan C =34．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且AM ＝CN ＝2．点P 从点M 出发沿折线MB ﹣BN 匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持∠APQ ＝∠B ．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将△ABC 的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当0≤x ≤3及3≤x ≤9时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ 扫描△APQ 区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若AK =94，请直接写出点K 被扫描到的总时长．【分析】（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ．解直角三角形求出AH 即可．（2）利用相似三角形的性质求解即可．（3）分两种情形：当0≤x ≤3时，当3＜x ≤9时，分别画出图形求解即可．（4）求出CK 的长度，以及CQ 的最大值，利用路程与速度的关系求解即可．【解析】（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ．∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝4，∠B ＝∠C ，∴tan ∠B ＝tan ∠C =AH BH =34，∴AH ＝3，AB ＝AC =√AH 2+BH 2=√32+42=5．∴当点P 在BC 上时，点P 到A 的最短距离为3．。
人教版九年级数学中考动点问题专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考动点问题专项练习例题1. 抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y轴相交于点C ，顶点为D .⑴ 直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；⑵ 连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为；① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？② 设BCF ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式． 【答案】⑴()10A -，，()30B ，，()03C ，．抛物线的对称轴是：1x =．⑵①设直线BC 的函数关系式为：y kx b =+． 把()()3003B C ，，，分别代入得：303.k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-=，． 所以直线BC 的函数关系式为：3y x =-+． 当1x =时，132y =-+=，∴()12E ，． 当x m =时，3y m =-+， ∴()3P m m -+，．在223y x x =-++中，当1x =时，4y =． ∴()14D ，当x m =时，223y m m =-++∴()223F m m m -++，．∴线段422DE =-=，线段()222333PF m m m m m =-++--+=-+． ∵PF DE ∥∴当PF ED =时，四边形PEDF 为平行四边形． 由232m m -+=解得：1221m m ==，．（不合题意，舍去）． 因此，当2m =时，四边形PEDF 为平行四边形．②设直线PF 与x 轴交于点M ，由()30B ，，()00O ，，可得：3OB OM MB =+=． ∵BPF CPE S S S ∆∆=+．即()11112222S PF BM PF OM PF BM OM PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅．∴()()221393303222S m m m m m =⨯-+=-+≤≤．例题2. 如图，已知抛物线(1)2)0y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【答案】（1）∵抛物线2(1))0y a x a =-+≠经过点()20A -，，∴09a =+a =∴二次函数的解析式为：2y =+（2）∵D 为抛物线的顶点∴(1D 过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =，3AN =，∴6AD ==∴60DAO ∠=︒∵OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 ∴6OP =∴()6t s =②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形 过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =） ∴5OP DH ==，()5t s =③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 ∴2624OP AD AH =-=-=∴()4t s =综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60OC OB COB OCB =∠=，，°△是等边三角形 则62OB OC AD OP t BQ t =====，，，∴()6203OQ t t =-<< 过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =∴113322263(62)BCPQ t S t -=⨯⨯⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 ∴此时33324OQ OP OE ==，=，∴39334443PE QE ===- ∴222233933442PE QE PQ ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=例题3. 已知⊙O 的半径为3，⊙P 与⊙O 相切于点A ，经过点A 的直线与⊙O 、⊙P 分别交于点B 、C ，cos ∠BAO ＝13．设⊙P 的半径为x ，线段OC 的长为y ．（1）求AB 的长；（2）如图1，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA ＝∠OPC 时，求⊙P 的半径．图1 【答案】（1）如图2，作OE ⊥AB ，垂足为E ，由垂径定理，得AB ＝2AE ．在Rt △AOE 中，cos ∠BAO ＝13AE AO =，AO ＝3，所以AE ＝1．所以AB ＝2．（2）如图2，作CH ⊥AP ，垂足为H ． 由△OAB ∽△P AC ，得AO AP AB AC =．所以32x AC =．所以23AC x =． 在Rt △ACH 中，由cos ∠CAH ＝13，得1322AH AC CH==． 所以1239AH AC x ==，224239CH AC x ==． 在Rt △OCH 中，由OC 2＝OH 2＋CH 2，得222422()(3)99y x x =++． 整理，得23649813y x x =++．定义域为x ＞0．图2 图3（3）①如图3，当⊙P 与⊙O 外切时，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△OCA ∽△OPC ．因此OA OCOC OP =．所以2OC OA OP =⋅． 解方程236493(3)813x x x ++=+，得154x =．此时⊙P 的半径为154．②如图4，图5，当⊙P 与⊙O 内切时，同样的△OAB ∽△P AC ，23AC x =． 如图5，图6，如果∠OCA ＝∠OPC ，那么△ACO ∽△APC ．所以AO ACAC AP =．因此2AC AO AP =⋅． 解方程22()33x x =，得274x =．此时⊙P 的半径为274．图4 图5 图6例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1【答案】（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2y x=．图2 图3 图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BN DM==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m=．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．图5 图6例题5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3【答案】（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM==，所以65MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM==，所以85BO =．此时425OA =．③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45BF y =．在Rt △ONF 中，4105OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1【答案】 （1）当M 、N 都在O 右侧时，24122OM t t OA-==-，642163ON t t OB-==-，所以OM ON OAOB≠．因此MN 与AB 不平行．（2）①如图2，当M 、N 都在O 右侧时，∠OMN ＞∠B ，不可能△OMN ∽△OBA ．②如图3，当M 在O 左侧、N 在O 右侧时，∠MON ＞∠BOA ，不可能△OMN ∽△OBA ．③如图4，当M 、N 都在O 左侧时，如果△OMN ∽△OBA ，那么ON OA OMOB=．所以462426t t -=-．解得t ＝2．图2 图3 图4（3）①如图2，24OM t =-，12OH t =-，2)MH t =-．(64)(12)52NH ON OH t t t =-=---=-．②如图3，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(64)(21)52NH ON OH t t t =+=-+-=-．③如图4，42OM t =-，21OH t =-，1)MH t =-．(21)(46)52NH OH ON t t t =-=---=-．综合①、②、③，s 222MN MH NH ==+22221)(52)16322816(1)12t t t t t ⎤=-+-=-+=-+⎦． 所以当t ＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例题7. 已知点 (1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】点(1，3)在函数k y x=的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m). 过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m=. 又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m===. 故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m). 因此22m mBF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =. 即有32m m=.解得m =而0m >，故m =则E 点坐标为【答案】例题8. 如图，11POA ∆、212PA A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【解析】分别过点1P 、2P 做x 轴的垂线，根据题意易得1PC OC =，21P D A D =，14PC OC ⋅=，24P D OD ⋅=，得2OA =，所以2A(0).【答案】2A(0).例题9. 如图所示，()()111222P x y P x y ，，，，……，()n n n P x y ，在函数()90y x x=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．【解析】由已知易得()133P ，，则13y =，点2P 横坐标为26y +， 那么可得()2269y y +=，解得23y =，同理点3P横坐标为3y，那么可得()339y y =，解得3y =依此类推，n P的纵坐标为n y =∴1233n y y y +++=+++……【答案】例题10. 如图，P 是函数12y x=(0x >)图象上一点，直线1y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，PM Ox ⊥轴于M ，交AB 于E ，PN Oy ⊥轴于N ，交AB 于F.求AF BE ⋅的值.【解析】设点P (x ，y )，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，21AF BE xy ⋅==. 【答案】1例题11. 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与BC ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． ∴1111122S x y k ==，2221122S x y k ==．∴12S S =，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S =---=---=--△△△△△△矩形∴2112S k k =-+． 当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，∵90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠= ∴EMN MFB ∠=∠．又∵90ENM MBF ∠=∠=， ∴ENM MBF △∽△． ∴EN EM MB MF= ∴11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴94MB =．222MB BF MF +=，解得218k =．∴21432k BF ==∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．例题12. 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m k ，的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．【解析】（1）由题意可知，()()()131m m m m +=+-．解，得3m =．∴()()3462A B ，，，；∴4312k =⨯=．（2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴上时，设1M 点坐标为()10x ，，1N 点坐标为()10y ，． ∵ 四边形11AN M B 为平行四边形，∴线段11N M 可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 坐标为（3，4），B 坐标为（6，2），∴1N 点坐标为042（，-），即102N （，）； 1M 点坐标为（6－3，0），即1M （3，0）．设直线11M N 的函数表达式为12y k x =+，把30x y ==，代入，解得123k =-． ∴ 直线11M N 的函数表达式为223y x =-+．②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设2M 点坐标为20x （，），2N 点坐标为20y （，）．∵11221122AB N M AB M N AB N M AB M N ∥，∥，＝，＝，∴1221122N M M N N M M N ∥，＝． ∴线段22M N 与线段11N M 关于原点O 成中心对称． ∴2M 点坐标为（-3，0），2N 点坐标为（0，-2）．设直线22M N 的函数表达式为22y k x =-，把30x y =-=，代入，解得223k =-，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为223y x =--．所以，直线MN 的函数表达式为223y x =-+或223y x =--．【答案】（1）3m =，12k =；（2）223y x =-+或223y x =--。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动点综合问题一
【例1】（2016广东梅州）如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛
物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．
（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
【例2】（2016四川攀枝花）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心
Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方
向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，P A长为半径的⊙P
与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．
（1）当t为何值时，点Q与点D重合？
【例3】（2016山东济南）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、
E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折
线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其
中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大
致图象为（）
（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．
5．（2016青海西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=3
同步练习
一、选择题
1．（2016山东泰安）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）4．（2016湖北荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O 于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接A D、CD，若∠APB=80°，则∠ADC 的度数是（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
2．（2016山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发
（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大
致是（）
4，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB
向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分
别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）
A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2
3．（2016广东省）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）二、填空题
6．（2016四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C （1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．
7．（2016江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，23），
C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P
作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标
为．
9．（2016浙江舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），
∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q
随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．
8．（2016江苏镇江）如图1，⊙O的直径AB=4厘米，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，
0＜x＜90），优弧ABC的弧长与劣弧AC的弧长的差设为y（单位：厘米），图2表示y与x的函数关
系，则α=度．
10．（2016辽宁沈阳）如图，在△Rt ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点
M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，M E，DN与ME相交于点O．若
△OMN是直角三角形，则DO的长是．
x
三、解答题
11．（2016四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与
y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形A BPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形
ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否
存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直
线m的解析式，若不存在，请说明理由．
13．（2016四川雅安）已知△Rt ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、
C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是△Rt？若存在，求此时的的值；若不存在，请说明理由．
12．（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，
且OA=1，OB=3，OC=4．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并
直接写出|PM﹣AM|的最大值．
14．（2016山东枣庄2015江苏盐城）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在
线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=63，∠BAD=60°，且AB＞63．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（△3）若EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小
值．
15．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．16．（2016山东青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，
交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S
五边形OECQF
：△S
ACD
=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
17．（2016广东梅州）如图，在△Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm 的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（△2）若MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．18．（2016广西南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。