6.4-4导数的应用 渐近线
渐近线公式
渐近线公式渐近线是指曲线在一定条件下趋向于某条直线的现象。
当曲线与直线越来越接近时，我们可以使用渐近线来近似地表示曲线的行为。
在数学上，这种趋势被称为渐进行为。
在本文中，我们将介绍渐近线的概念、种类和公式。
这些知识对于了解各种曲线的行为、进行科学计算和数学建模非常重要。
一、概念渐近线是指一条直线在曲线趋近于无限远处时与曲线趋于相交的点的位置越来越靠近的现象。
在数学中，我们将曲线绘制在笛卡尔坐标系中，并在该坐标系中绘制直线。
当曲线趋近于直线时，我们可以使用该直线作为曲线的近似函数。
二、种类曲线可以有三种类型的渐近线：1. 水平渐近线当曲线在无限远处趋近于水平线时，我们称该线为水平渐近线。
水平渐近线的方程为y=b，其中b是曲线上的一个常数。
例如，曲线y=1/x在无限远处趋近于x轴，因此x轴是该曲线的水平渐近线。
2. 垂直渐近线当曲线在无限远处趋近于垂直线时，我们称该线为垂直渐近线。
垂直渐近线的方程为x=a，其中a是曲线上的一个常数。
例如，曲线x=1/y的垂直渐近线为y轴。
3. 斜渐近线当曲线在无限远处趋近于斜线时，我们称该线为斜渐近线。
斜渐近线的方程为y=mx+b，其中m和b是常数。
例如，曲线y=x-2/x-3的斜渐近线为y=x-2。
三、公式在数学中，我们使用以下公式来计算曲线的渐近线：1. 水平渐近线如果一个函数f(x)在x趋近于正无穷或负无穷时趋近于一个常数b，则y=b是函数f(x)的一个水平渐近线。
2. 垂直渐近线如果一个函数f(x)在x=a的左边和右边趋近于正无穷或负无穷，则x=a是函数f(x)的一个垂直渐近线。
3. 斜渐近线如果一个函数f(x)在x趋近于正无穷或负无穷时与一条直线y=mx+b趋近，则y=mx+b是函数f(x)的一个斜渐近线。
四、例题1. 给定函数f(x) = (x^2 + 1) / x，求出其渐近线和渐近值。
解：首先，我们要求出函数f(x)的水平和垂直渐近线。
水平渐近线：当x趋近于正无穷或负无穷时，f(x)趋近于x，因此y=0是f(x)的一个水平渐近线。
导数与函数的渐近线
导数与函数的渐近线在微积分中，导数与函数的渐近线是两个重要的概念。
导数描述了函数在某一点处的变化率，而函数的渐近线则描述了函数在某一区间上的趋势。
本文将介绍导数的计算方法以及渐近线的概念和性质。
一、导数的计算方法导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的计算方法有多种，下面我们将介绍其中几种常见的方法。
1.1 用极限的定义计算导数根据导数的定义，函数f(x)在某一点x处的导数可以通过极限的计算得到。
具体而言，导数可以定义为：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x))/h (h→0)其中h为无穷小量，表示x的增量。
通过求取极限，我们可以计算出函数在某一点处的导数。
1.2 利用公式计算导数除了使用极限的定义计算导数之外，还可以利用一些常用的导数公式来直接计算导数。
如：- 常数函数的导数为0- 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)- 自然指数函数e^x的导数为e^x- 对数函数ln(x)的导数为1/x通过运用这些公式，我们可以更便捷地计算函数的导数。
二、函数的渐近线函数的渐近线是指函数图像在某一区间上的趋势线。
渐近线对函数的图像特征起到了重要的作用，它们可以帮助我们更好地理解函数的行为。
2.1 水平渐近线当函数的导数为0时，函数的图像可能会与某一水平线无限接近，这时该水平线就是函数的水平渐近线。
水平渐近线可以通过求解函数导数为0的点来确定。
2.2 垂直渐近线当函数的导数不存在时，函数的图像可能会出现垂直方向上的无穷大变化，这时该垂直线就是函数的垂直渐近线。
垂直渐近线可以通过求解函数导数不存在的点来确定。
2.3 斜渐近线如果函数的趋势逐渐接近某一斜线，该斜线就是函数的斜渐近线。
斜渐近线可以通过求解函数的极限来确定。
三、导数与函数的渐近线的关系导数与函数的渐近线之间存在着紧密的关系。
通过函数的导数，我们可以推断出函数的渐近线。
导数与函数的渐近线关系解析与归纳
导数与函数的渐近线关系解析与归纳简介：在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
与导数相关联的一个重要概念是渐近线，它描述了函数在无穷远处的行为。
本文旨在解析和归纳导数与函数的渐近线之间的关系。
一、导数与函数的定义导数是描述函数斜率的概念。
对于一个可导的函数f(x)，其导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数可以通过极限的方式定义为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h函数是描述输入和输出关系的规则，可以表示为y = f(x)。
导数描述了函数在任意点x处的变化率。
二、函数的渐近线定义渐近线是描述函数在无穷远处的趋势的线。
具体来说，当x趋近于正无穷或负无穷时，函数趋近于渐近线。
1. 水平渐近线如果函数f(x)在无穷远处趋近于某一个横线y=c（c为常数），那么这条横线就是函数的水平渐近线。
2. 垂直渐近线如果函数f(x)在某个点x=a的附近无限趋近于正无穷或负无穷，那么直线x=a就是函数的垂直渐近线。
3. 斜渐近线如果函数f(x)在无穷远处趋近于一条倾斜的直线L，那么直线L就是函数的斜渐近线。
三、导数与渐近线的关系导数可以帮助我们确定函数的渐近线类型和位置。
下面分别从水平、垂直和斜渐近线的角度来探讨导数与渐近线之间的关系。
1. 水平渐近线与导数函数有水平渐近线的条件是导数为零或不存在。
因为当导数为零或不存在时，函数在无穷远处不会有明显的变化，因此趋近于某一水平横线。
2. 垂直渐近线与导数函数有垂直渐近线的条件是导数趋近于正无穷或负无穷。
当导数趋近于正无穷或负无穷时，函数在该点附近无限增长或减小，因此趋近于某一垂直线。
3. 斜渐近线与导数函数有斜渐近线的条件是导数的极限值存在有限值。
当导数的极限值存在有限值时，函数在无穷远处趋近于一条倾斜的直线。
四、归纳与总结通过对导数与函数的渐近线关系的解析，可以归纳出以下结论：1. 水平渐近线由导数为零或不存在的点确定；2. 垂直渐近线由导数趋于正无穷或负无穷的点确定；3. 斜渐近线由导数的极限值存在有限值的点确定。
渐近线在微积分中的应用
渐近线在微积分中的应用微积分是研究一种变化的学科，渐近线是微积分中的一种重要概念。
我们从渐近线这一基本概念出发，来介绍他在微积分中的应用。
一、渐近线的定义首先，我们需要明确渐近线这一概念的定义。
渐近线又叫做渐进线，是在曲线近似无限地趋近于某一直线时所得的一条线。
可以理解为曲线在无限趋近于一条直线之后的情形。
举个例子，我们可以考虑下图中的函数$f(x)=\frac{1}{x}$。
随着$x$的不断增大，$f(x)$越来越靠近$x$轴。
在$x$取极限时，$f(x)$趋近于0，但是并不能等于0，因为$x=0$是不在函数的定义域之内的。
因此，我们可以认为$x$轴是$f(x)$的一个渐近线。
二、渐近线的作用渐近线虽然是一条不存在的直线，但是它在微积分中有着重要的应用和作用。
1. 求曲线的极限当我们遇到一个函数的极限问题时，可能需要考虑到曲线是否存在渐近线。
如果曲线存在渐近线，那么渐近线所在的方向可以协助我们判断函数的趋势和极限。
比如，函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-x-6}$。
当$x$接近$-2$和$3$时，我们可以看到分母接近于0，分子为非零的值，因此函数在这两点附近都存在无穷的极限。
此时，我们可以利用分子分母同除以$x^2$，将函数化简为$f(x)=\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1-\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}$。
接下来，在$x$无限趋近于无穷时，我们可以看到分母趋向于1，分子趋向于0，因此函数趋于0。
而此时，$x$轴成为$f(x)$的渐近线。
2. 计算曲线的斜率当我们需要计算某个曲线的斜率时，渐近线也可以派得上用场。
比如，函数$f(x)=\frac{1}{x}$的运动学意义是物体在直线上做匀速直线运动，其速度为$f(x)$。
这个函数的一阶导数为$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，我们可以发现，函数在$x=0$处斜率不存在，也就是说在$x$轴处竖直地退化成了点。
ch4-4渐近线及画图
f ( x) 2( x − 2)( x + 3) 又 Q lim = lim = 2, x →∞ x →∞ x x ( x − 1)
2( x − 2)( x + 3) lim[ − 2 x] x →∞ x −1
2( x − 2)( x + 3) − 2 x ( x − 1) = 4, = lim x →∞ x −1
3 3 (5) 拐点: A(−3 , − ) , O(0 , 0) , B(3 , ) 2 2 3 3 极值: 极小值 y( 3) = 3 极大值 y(− 3) = − 3 2 2
(6) 描点作图:
y B
-4 A
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
4( x + 1) 例2 作函数 f ( x ) = − 2 的图形 . 2 x 解 D : x ≠ 0, 非奇非偶函数 且无对称性 非奇非偶函数,且无对称性 且无对称性.
f ′( x )
f ′′( x ) f ( x)
− −
0
拐点
(−3,− 26 ) 9
− +
0
+ +
不存在
− +
极值点
−3
间 断 点
补充点 : (1 − 3 ,0), (1 + 3 ,0);
A ( −1,−2), B (1,6), y
C ( 2,1).
作图
6 B
1
− 3 − 2 −1
C
1 2
o
x
−2
A
−3
4( x + 1) f ( x) = −2 2 x
1 例3 作函数 ϕ( x ) = e 2π
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
导数与函数的函数渐近线关系剖析
导数与函数的函数渐近线关系剖析函数是数学中的重要概念，而导数是函数研究中的重要工具。
函数的导数描述了函数在某一点上的变化率，对于理解函数的性质和行为具有重要意义。
而函数的渐近线则是函数图像上的一条特殊线，它和函数的图像之间有着特定的关系。
本文将剖析导数与函数的函数渐近线之间的关系。
一、导数的基本概念导数是函数微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
对于一个函数f(x)，其在某一点x处的导数可以通过极限的概念进行定义，即导数f'(x)等于极限lim(h→0){f(x+h)-f(x)}/h。
导数可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率，表征了函数在该点附近的变化情况。
二、导数与函数的函数渐近线之间的关系导数与函数的函数渐近线之间存在着密切的关系。
首先，函数的导数为0的点可能是函数的渐近线。
当函数f(x)在某点x处的导数f'(x)等于0时，表明函数在该点附近变化较缓，即曲线处于平稳状态，从而可能存在水平渐近线。
其次，函数在某一点的导数不存在或为无穷大时，也可能存在函数的渐近线。
当函数f(x)在某点x处的导数f'(x)不存在或为无穷大时，表明函数在该点存在间断或突变，从而可能存在垂直渐近线或斜渐近线。
最后，导数可以帮助确定函数的渐近线的类型。
根据函数的导数的性质，可以确定函数的渐近线是水平渐近线、垂直渐近线还是斜渐近线。
例如，当函数的导数为正无穷大或负无穷大时，说明函数在该点附近呈现增长或减小的趋势，存在斜渐近线；而当函数的导数为0时，说明函数在该点附近呈现平稳状态，存在水平渐近线；当函数的导数不存在时，说明函数在该点存在间断，存在垂直渐近线。
三、导数与函数的函数渐近线实例分析为了更好地理解导数与函数的函数渐近线之间的关系，下面以两个实例进行分析。
1. 函数f(x) = 1/x在x=0附近的渐近线分析：根据函数的定义，f'(x) = -1/x^2，在x=0处导数不存在。
第8讲 函数图像的渐近线及其应用(教师版)
§8 函数图像的渐近线及其应用秒杀知识点①②知识点1：（渐近线的定义与类型）1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线．2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α⎛⎫= ⎪⎝⎭和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角．知识点2：（渐近线的求法）设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离()()cos PN PM f x kx b α==-+．① 根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有()()lim 0x f x kx b →+∞-+=⎡⎤⎣⎦，②或()lim x f x kx b →+∞-⎡⎤⎦=⎣，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x→+∞→+∞⎛⎫-=-=⋅=⎪⎝⎭． 得()limx f x k x→+∞=．④于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题．若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞=或()lim x f x b →-∞=，反之，则y b =是曲线()y f x =的水平渐近线．若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0lim x x f x →=∞或()0lim x x f x +→=∞，()0lim x x f x -→=∞，反之，则说明0x x =是曲线()y f x =的垂直渐近线．知识点3：（正确认识渐近线——关于渐近线的几点注记）第一，并不是所有无限伸展或远离原点的曲线都有渐近线，如2y x =，sin y x =等都没有渐近线． 第二，在定义“无限地远离原点”中的原点，也未必是原点，可以是任意一个给定的点，两者是等价的，只不过原点比较有名且明确而已．如1x =是()211y x =-的垂直渐近线，“无限地远离原点”和无限地远离点()1,0，甚至点(),a b 没有本质区别．第三，定义中，当曲线上的动点无限地远离原点时，只需要以某种方式远离即可，不需要以任意方式都远离．如0y =是2x y =的水平渐近线，动点P 无限地远离原点，即这只是当x →-∞时，2x y =无限接近于x 轴，而当x →+∞时，2x y =无限远离x 轴．第四，若曲线存在渐近线，则当x 充分大（或充分小），或无限趋于0x （0x x =是其垂直渐近线）时，曲线基本就像相应渐近线那样近似于一条直线，如，双曲线存在渐近线，而抛物线则没有，从渐近线的角度很容易明白两者的区别．第五，曲线与其渐近线是可以相交的，甚至曲线在“渐近”的过程中与其渐近线可无限次地穿过来穿过去． 高中教材唯一一次挑明渐近线身份是学习双曲线时，给出指示性定义后教材补充一句“也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交”．因此可能会给学生造成一般的渐近线都不能与曲线相交的错误认识．如sin x y x =，因为sin lim 0x x x →∞=，所以0y =是该偶函数的水平渐近线，但sin x y x =在区间()0,+∞内有无数个零点，如图所示．第六，曲线与其渐近线可以是相切的，而且可以有无数个切点．如sin 1x y x +=，因为sin 1lim 0x x x →∞+=，0sin 1lim x x x→+=∞，所以0y =，0x =分别是该函数的水平渐近线和垂直渐近线．但该函数与其水平渐近线0y =有无数个切点3π2π,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k +∈N ，如图所示．第七，根据以上讨论知，曲线并不都是一直“单调”接近渐近线的．知识点4：（求渐近线举例）【示例】求曲线()3223x f x x x =+-的渐近线． 【解析】由④()33223f x x xx x x=+-，所以332lim 123x x x x x →∞=+-，即1k =． 由③及1k =得：()()32lim lim 223x x x f x kx x x x →∞→∞⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，即2b =-． 从而曲线的渐近线方程为2y x =-．又()3223x f x x x =+-，得()3lim x f x →-=∞，()1lim x f x →=∞．所以垂直渐近线为3x =-和1x =．（如上图所示）秒杀思路分析一般用渐近线分析函数性质，常见的有()b f x ax x =+和()()f x yg x =（其中()f x ，()g x 都是关于x 的非零多项式）两种类型．（1）关于型如()b f x ax x =+的分析：当0a =，0b ≠时，()b f x x=为反比例函数；当0a ≠，0b =时，()f x ax =为正比例函数（一次函数）； 当0ab ≠时，0lim x b ax x →⎛⎫+=∞ ⎪⎝⎭，则0x =是其一条垂直渐近线． 又lim x b ax x a x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，lim 0x b ax ax x →∞⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则y ax =是其一条斜渐近线，即()b f x ax x =+的图像是夹在两条渐近线0x =和y ax =之间的双曲线，具体情况如下图所示．（2）对于有理分式函数()()f x yg x =的渐近线有如下一般结论：第一，若0x 是方程()0g x =的实数解，且()00f x ≠，则有理分式函数图像存在垂直渐近线0x x =； 第二，若多项式()f x 和()g x 的次数相等，且它们的最高次项系数分别为a ，b ，则该函数图像存在水平渐近线a y b=；第三，若多项式()f x 的次数小于()g x 的次数，则0y =为该函数图像的水平渐近线；第四，若多项式()f x 的次数比()g x 的次数大1，则该函数图像存在斜渐近线，可用公式④和③求解． 【示例】讨论下列三个函数图像的渐近线．（1）()2221x x f x x x +=-+； （2）()221x g x x x =+-； （3）()3221x x h x x x +=+-． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，图像如图（1）所示，存在水平渐近线12y =．（2）函数()g x 的定义域为{}112x x x ≠-≠且，图像如图（2）所示，存在水平渐近线0y =和垂直渐近线1x =-，12x =．（3）函数()h x 的定义域为{}112x x x ≠-≠且，图像如图（3）所示，存在垂直渐近线1x =-，12x =和斜渐近线1124y x =-．方法对比【例1】（2015年安徽卷理9）函数()()2ax b f x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【例2】（2002年全国卷）函数111y x =--的图像是（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【例3】（2004年湖北卷文）已知52x ≥，则()24524x x f x x-+=-有（ ）A ．最大值5B ．最小值5C ．最大值1D ．最小值1秒杀训练【试题1】曲线()1ln 1e x y x =++渐近线的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，则0x =是垂直渐近线；()1lim lim ln 1e 0x x x y x →-∞→-∞⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦，则0y =是曲线的水平渐近线； ()2ln 1e 1lim lim 1x x x y x x x →+∞→+∞⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥⎣⎦=，则y x =是其斜渐近线． 综上，共有3条渐近线，故选D ． 【试题2】已知函数()321x y x =-，求函数图像的渐近线． 【解析】()321lim 1x x x →=+∞-，1x =是垂直渐近线． ()22lim lim 11x x y x x x →∞→∞==-，且()()32lim lim 21x x x y x x x →∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 从而2y x =+是图像的斜渐近线．【试题3】如图所示的是一个函数的图像，在下面的四个函数中，其图像是所给图像的是（ ）A ．ln y x x =+B ．ln y x x =-C ．ln y x x =-+D ．ln y x x =--【解析】易知选择B ．真题回放【试题1】（2017年全国卷Ⅲ文7）函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为（如图所示）（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】31sin limlim 11x x y x x x x →+∞→+∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭．()2sin lim lim 11x x x y x x →+∞→+∞⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭． 所以1y x =+是其斜渐近线，排除C ，B ．又20sin lim 1x x x x +→⎛⎫++=+∞ ⎪⎝⎭，故选择D ． 【试题2】（2010福建卷理10）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{}1D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x = ②()102x f x -=+，()23x g x x-=；③()21x f x x +=，()ln 1ln x x g x x +=； ④()221x f x x =+，()()21e x g x x -=--． 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④【解析】①两个函数图像都没有渐近线；②当x →+∞时，()f x 从直线2y =上方趋近2，而()g x 从直线2y =下方趋近2，故2y =是两函数图像的“分渐近线”；③()f x 是双曲线型函数，存在渐近线0x =，y x =，而()g x 存在渐近线1x =，y x =．但是，当x →+∞时，()f x x >，()g x x >．即()f x 和()g x 都是从直线y x =上方趋于渐近线y x =，故不满足题意． ④当x →+∞时，()()()221211f x x x x =-+→-+，()()()22121e x g x x x =--→-．并且()()21f x x >-，()()21g x x <-．所以()21y x =-是()f x 和()g x 的斜渐近线且分别从两侧趋于()21y x =-．故选C ．。
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由此得到斜渐近线的求法:
f ( x) 再求 lim [ f ( x ) kx] b. 先求 lim k, x x x
则y kx b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意: 如 果
f ( x) (1) l i m 不存在 ; x x
f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim [ f ( x ) ax ] 不存在, x x x
y 1
y
1
o
x
( x 3) 3. 求曲线 y 的渐近线。 4(x-1)
2
例22
( x 3)2 lim x 1 4(x-1)
( x 3)2 lim x 1 4(x-1)
y
f ( x) ( x 3) 2 1 k lim lim x x x 4x(x-1) 4
曲线有一条斜渐近线 y 2x 4 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
y
x=1
x
总结
曲线渐近线的求法 垂直渐近线
x x0
lim f ( x)
f (x ) lim k, x x
x
斜渐近线
lim [ f (x ) kx ] b.
x
当 MO 时， PM 0， MN 0
由 lim [ f ( x ) ( kx b)] 0, 得
x
lim [ f ( x ) kx] b.
x
f ( x) 1 又由 lim [ k ] lim [ f ( x ) kx] 0 b 0 x x x x f ( x) 得 lim k. x x
b lim( f ( x) kx)
x
5 4
x 5 y 4 4
o
x 1
x
例 23
x 2 2x 1 4. 求曲线 f ( x) 的渐近线。 x
y
o
x
作业
P320 15(1)(3)
曲线有垂直渐近线 x 1.
lim f ( x ) , 无水平渐近线。
x
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1)
2( x 2)( x 3) 2 x( x 1) 2( x 2)( x 3) 4, lim[ 2 x ] lim x x x 1 x 1
可利用极限求曲线y f ( x ) 的渐近线。
1.垂直渐近线
如果 lim f ( x ) 或 lim f ( x ) 或 lix x0 就是 y f ( x ) 的一条垂直渐近线.
这里可以是 或 。但x0不能是或 。
即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点 到直线x=x0距离趋于0。
1 例1 y ( x 1)( x 2) ,
y
1 lim , x 1 ( x 1)( x 2)
x
1 lim , x 2 ( x 1)( x 2)
有垂直渐近线两条: x
1, x 2.
或 lim [ f ( x ) ( kx b )] 0 ( k , b 为常数) 那么 y kx b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线.
即动点沿着直线y=kx方向无限远离原点时， 动点到直线y=kx+b距离趋于0。
渐近线
y M
N P
y kx b
y f ( x)
例2 y arctanx, x R
x
y
2
lim arctan x
2
,
y arctan x
lim arctan x . x 2
y
2
有水平渐近线两条:
y , 2
y . 2
3.斜渐近线
如果
x x
lim [ f ( x ) ( kx b )] 0
水平渐近线
x
lim f ( x) b
思考与练习1
1. 曲线 y 提示: lim
1 e 1 e
x2 x2
的渐近线
lim 1 e
x2
2
1 e
x2
2
x 1 e x
1;
x 0 1 e x
2. 曲线 y 1 e
x 2 的渐近线
都可以断定x 时 y f ( x) 不存在斜渐近线 .
(3) 水平渐近线可以看作斜渐近线k=0的情况
2( x 2)( x 3) 例3 求 f ( x ) 的渐近线. x 1 解 lim f ( x ) , lim f ( x ) ,
x 1 x 1
第六章 微分学基本定理及其应用
6.4 导数在研究函数上的应用
曲线的渐近线
给出下列函数的渐近线
给出下列函数的渐近线1
y
o
x
给出下列函数的渐近线2
y
x
给出下列函数的渐近线3
渐近线
y M
P x
当 MO 时， PM 0
五、曲线的渐近线
定义: 若点 P 沿曲线 C : y f ( x ) 无限远离原点时， 点P 到某直线 L 的距离趋向于零，则称 L为C 的一条 渐近线 .
求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。
2.水平渐近线
如果
x
l i m f ( x ) b 或 l i m f ( x ) b (b 为 常 数 )
x
那 么 y b 就 是 y f ( x) 的 一 条 水平渐近线.
即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点 到直线y=b距离趋于0。