高等数学：第三讲 导数的几何意义
导数的几何意义有什么
导数的几何意义有什么导数的几何意义有什么呢?同学们还有印象吗。
如果没有了，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“导数的几何意义有什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
导数的几何意义有什么导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
函数y=fx在x0点的导数f'x0的几何意义表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0fx0] 点的切线斜率。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
导数的应用导数与物理几何代数关系密切.在几何中可求切线在代数中可求瞬时变化率在物理中可求速度加速度.导数亦名纪数、微商微分中的概念是由速度变化问题和曲线的切线问题矢量速度的方向而抽象出来的数学概念.又称变化率.如一辆汽车在10小时内走了600千米它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中是有快慢变化的不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况可以缩短时间间隔设汽车所在位置s与时间t的关系为s=ft那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]当 t1与t0无限趋近于零时汽车行驶的快慢变化就不会很大瞬时速度就近似等于平均速度。
自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度。
拓展阅读：导数的概念及其几何意义的数学知识点一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率上式中的值可正可负，但不为0.f(x)为常数函数时，瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限.函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义:一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作或，即。
导数的几何意义 课件
2．(变条件)求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
[解]
设切点为Q(a，a2＋1)，
fa＋Δx－fa Δx
＝
a＋Δx2＋1－a2＋1 Δx
＝2a＋
Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，
a2＋a－11－0＝2a，解得a＝1± 2，所求的切线方程为y＝(2＋2_x_______.
思考： f′(x0)与 f′(x)有什么区别？ [提示] f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
导数几何意义的应用
(1)已知y＝f(x)的图象如图1-1-7所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系 是( )
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ 提示：不一定．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个 数不一定只有一个，如图所示．
已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． [思路探究] (1) 求y′|x＝1 ―→ 求切点 ―→ 点斜式方程求切线
求切点坐标
过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1) 平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
[解]
f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
＝
lim
Δx→0
x＋Δx2－x2 Δx
＝2x，设P(x0，y0)是满
足条件的点．
导数的几何意义 课件
1．导数的几何意义 (1)切线的定义．
如图，对于割线 PPn，当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线．
(2)导数的几何意义． 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝lim f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝f′(x0)． 温馨提示 若函数在某点不存在导数，不能认为函数
所以 k＝y′|x＝1＝3.
所以曲线在点 P(1，1)处的切线方程为 y－1＝3(x－
1)，
即 3x－y－2＝0.
y＝3x－2， x＝1， x＝－2，
(2)由
解得 或
y＝x3，
y＝1 y＝－8，
从而求得公共点为 P(1，1)或 M(－2，－8)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公 共点(－2，－8)．
的图象在该点没有切线，切线可能垂直于 x 轴．
2．导函数的概念 (1)定义：当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我 们称它为 f(x)的导函数(简称导数)．
(2) 记 法 ： f′(x) 或 y′ ， 即 f′(x) ＝ y′ ＝ f（x＋ΔΔx）x－f（x）．
类型 1 求曲线上某点处的切线方程(自主研析)
归纳升华 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)写出切线方程，即 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
π 特别注意：若在点(x0，y0 )处切线的倾斜角为2，此 时所求的切线平行于 y 轴，所以直线的切线方程为 x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
Δx
设 P(x0，y0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线 y＝4x＋8 平行，所以 2x0＝4， 解得 x0＝2，故 y0＝4，所以所求点 P 坐标为(2，4)．
3导数的几何意义
3导数的几何意义导数的几何意义是描述函数在其中一点上的变化率。
具体来说，导数告诉我们函数在特定点的斜率，也就是函数曲线在这一点处的切线的斜率。
通过导数，我们可以了解函数在不同点上的斜率以及函数的凹凸性，从而得到函数图像的一些几何特征。
对于具体函数f(x)，它在特定点x=a处的导数可以用极限的形式表示：f'(a) = lim(h -> 0) (f(a+h) - f(a))/h这个极限表示函数在点a处的斜率，也就是切线的斜率。
根据这个定义，我们可以进行以下几个几何推论。
一、导数与函数的增减性：如果函数在其中一区间上的导数恒大于0，那么函数在这个区间上是递增的；如果导数恒小于0，那么函数在这个区间上是递减的。
证明：假设函数f(x)在区间[a,b]上的导数恒大于0，即f'(x)>0，对于任意的x1和x2，其中a<=x1<x2<=b。
我们可以将函数f(x)在点x1处和x2处进行比较。
根据导数的定义，我们可以得到以下不等式：f(x2)-f(x1)=(x2-x1)*f'(c)，其中c介于x1和x2之间。
由于f'(c)>0，且(x2-x1)>0，所以有f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)。
这意味着函数f(x)在区间[a,b]上是递增的。
类似地，我们可以证明当导数恒小于0时，函数在其中一区间上是递减的。
二、导数与函数的凹凸性：函数在其中一点处的导数可以告诉我们函数图像是向上凸起还是向下凹陷。
如果函数在特定点处的导数大于0且导数的导数（也就是函数的二阶导数）恒大于0，那么函数在这一点是向上凸起的；如果函数在特定点处的导数小于0且导数的导数恒小于0，那么函数在这一点是向下凹陷的。
证明：假设函数f(x)在点x=a处的导数大于0，即f'(a)>0，且f''(a)>0。
对于任意的x1，其中x1!=a，我们可以考虑函数f(x)在点a和x1之间的变化。
导数的几何意义 课件
x0
x
＝lim［(x)2＋3x x＋3x2］＝3x2. x0
令3x2＝3，得x＝±1，
所以点P的坐标为(1,1)或(－1，－1).
答案:(1,1)或(－1，－1)
2.(1)设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为 y＝lim (x＋x)3－(x＋x)2＋1－(x3－x2＋1)＝3x2－2x，
x0
3
lim
x0
1 3
(
x
0
x)3 x
1 3
x
3 0
x 0 2，
所以切线方程为
y
1 3
x
3 0
x
2 0
(x
x0 )，
又因为切线过点A(1,0),所以
0
1 3
x
3 0
x
2 0
(1
x0 ),
化简得
2 3
x
3 0
x0解2 得0,x0=0或
x0
3 2
.
①当x0=0时，所求的切线方程为：y=0;
②当x0
时3 ，
【解题探究】1.曲线上一点切线的斜率与该点的导数有什么 关系? 2.切点的坐标满足切线方程吗？是否也满足曲线的方程？ 探究提示： 1.曲线上一点切线的斜率就是该点的导数. 2.切点的坐标既满足切线方程，同时也满足曲线的方程.
【解析】1.因为y＝x3，所以 y＝lim (x＋x)3－x3
x0
x
＝lim (x)3＋3x (x)2＋3x2 x
3 27
将切点坐标 (－1，2代3入) 直线y＝x＋a，
3 27
得 a＝ 23＋1故＝32， a＝32 .
27 3 27
27
(2)由(1)知切点坐标是 (－1，23).
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
导数的几何意义与计算
导数的几何意义与计算导数是微积分中的重要概念，它既有几何意义，也有计算方法。
在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率，而在计算上，导数代表了函数的变化率。
一、导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处可导。
则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数图像在点(x=a,f(a))处的切线的斜率。
这也可以理解为函数f(x)在点x=a处的瞬时变化率。
对于曲线上的任意一点，导数给出了曲线在该点处的瞬时变化情况。
以函数y=x^2为例，我们可以计算出其在点(1,1)处的导数。
首先，我们求得函数在该点的切线方程，即y-1=2(x-1)，然后求出斜率为2，表示函数在该点附近变化的速率。
在图像上，可以看到切线的斜率为正，说明函数在该点的右侧局部增加。
二、导数的计算：导数的计算方法有很多种，下面介绍两种常见的计算方法：导数定义和导数的基本公式。
1.导数定义：导数的定义是通过函数的极限来计算的。
设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)也就是说，导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的极限值。
以函数y=x^2为例，我们来计算其在点x=1处的导数。
根据导数定义，我们有：f'(1) = lim(x->1) [x^2-1] / (x-1)= lim(x->1) (x+1)=2所以函数y=x^2在点x=1处的导数为22.导数的基本公式：导数的基本公式可以通过一些公式和规则直接计算导数，而不需要通过极限的定义。
下面是几个常用的导数公式：(1)常数规则：若c是一个常数，则导数f(x)=c的结果为0。
(2)幂规则：若f(x)=x^n，其中n是一个非零常数，则导数f'(x)=n*x^(n-1)。
导数的几何意义 课件
1 85
,
6 12
.
(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,
所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0=1.
所以该点的坐标为(1,10).
(3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直,
所以切线的斜率为12,即f'(x0)=6x0=12,得x0=2.
所以该点的坐标为(2,19).
反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由
切线与x轴正方向的夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重
合.
2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的
直线是切线”的区别是什么?
剖析:在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时,
我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做
切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切
点斜式方程求切线方程;解答第(2)小题,可把第(1)小题中求得的直
线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.
解:(1)将 x=2 代入曲线 C 的方程,得 y=4,
∴切点的坐标为(2,4).
y
Δx→0 x
∴y'|x=2= lim
=
1 (2 + Δx)3 + 4 - 1 × 23 - 4
需注意f'(x0)与f'(x)的意义不同,f'(x)为f(x)的导函数,而f'(x0)为f(x)在
x=x0处的导函数值.
区别
f'(x0)是具体的值,是数
值
f'(x)是 f(x)在某区间 I
f'(x) 上每一点都存在导数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数的产生与发展过程 好像总是跟几何有关系…
是的！学习导数的时候 必须深刻理解导数的
几何意义！
导数的几何意义
函数y=f(x)在点 x0处的导 数 的几何意义就是曲线 y=f (x) 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜 率,
即 k切=tan = f (x0).
y y = f (x)
例题：
求曲线y e x在横坐标x 1的点处的切线方程
和法线方程.
解 易求得切点为 1,e.
一求切点
又因为y ex ,
故k切 e x x1 e,
k法
-1, e
切线方程: y - e ex -1,
即y ex.
法线方程 : y - e - 1 x -1.
e
二求斜率
谢谢
P(x0 ,f(x0))
O
x0
x
应用
由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为
y - y0 = f ( x0)(x - x0) .
法线 (过曲线上一点且垂直于该点处的切线的直线)方程为
y - y0
f
-1 ( x0
)
(x
-
x0
)
其中 y0 = f ( x0).
( f (x0 ) 0).