第二十七章相似教案及全章测试

第二十七章相似本章学习重难点【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO．(1)求证CD CE AC CB=；(2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围．分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB=．证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB=.解：(2)∵AE＝8，OC＝12，∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8．又∵CD CE AC CB=，∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128．连接OB，在△OBC中，OB＝12AE＝4，OC=12，∴8＜BC＜16．【解题策略】将证CD CEAC CB=转化为证明△CDE∽△CAB.专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a cb d=，33a cb d=或abcdef=1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a cb d=，可设法证a cb x=，a xb d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。

例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥CE，FG⊥AD，求证23 FG BD AG AD=．分析欲证23FG BDAG AD=，可将其分成三个比例式BD FGAD x=，BD yAD AG=，BD xAD y=，再将三式相乘即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK，只要证明BD GDAD GK=就可以了．证明：延长FG交AB于K，连接DK，∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴EF＝C F．∵FG∥BC，∴∠1＝∠2，∴Rt△FDC≌Rt△E K F，∴K F＝DC，∠3＝∠4，∴四边形K FCD是平行四边形，∴∠2＝∠5，∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°，∴DK⊥AB，∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG，∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴BD FGAD GD=．①∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴BD KGAD AG=．②在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD．又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴BD CDAD KG=．③由①×②×③，得33BD FG AD AG=．例3 如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证111 AB AC BC+=.分析原式等价于BC BCAB AC+＝1，也就是BC AC BCAB AC-=，在CA上取一点D，使CD＝BC，原式就变成BC ADAB AC=，要证明这个比例式，需要构造相似三角形，为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE，于是只需证BC CEAB AC=即可．证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x作CE平分∠BCA，交AB于E，在AC 边上取一点D ，使CD ＝CB ，连接DE ， ∴△DCE ≌△BCE ，∴∠CDE ＝∠B ＝2x ，∠DEC ＝∠BEC =3x ，又∠CDE ＝∠A +∠DEA ，∴∠DEA ＝x ，∴AD ＝DE ， 又∵DE ＝EC ，∴AD ＝CE ．在△ABC 和△ACE 中，∠CAB ＝∠CAE ，∠ACE ＝∠B ＝2x ，∴△ABC ∽△ACE ，∴BC CEAB AC=， 即BC AD AC CD AC BCAB AC AC AC --===， ∴BC AC BC AB AC AC =-,∴BC BCAB AC+=1 即111AB AC BC+=. 二、规律方法专题专题3：相似三角形的性质【专题解读】 相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形． 例4 如图27－99所不，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm分析 由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，DE AD BC AB =．因为12AD BD =，所以13AD AB =,所以13DE BC =．因为DE =4 cm ，所以BC =12 cm 故选B. 例5 如图27－100所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12 cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC. (1)求∠EDB 的度数； (2)求DE 的长． 分析 (1)由DE ∥BC ，得∠EDB ＝∠DBC ＝12∠ABC ，可求∠EDB ．(2)由DE ∥BC ，得△ADE △ACB ，则DE AEBC AB=，再证出BE ＝DE ，可求DE ． 解：(1)∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC . ∵BD 平分∠ABC ，∴ ∠DBC ＝12∠ABC ＝12×80°＝40°，∴∠EDB ＝40°． (2)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ， ∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴BE ＝DE ． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE AE AB BE AB DEBC AB AB AB --===. ∴121212DE DE-=，∴DE =6 cm【解题策略】 将比例式中的AE 转化为AB －DE ，逐步由未知转化为已知，建立关于DE 的关系式来求解．例6 如图27－101所示，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ，求证△ABC ∽△FDE ．分析 由已知可证∠FDE ＝∠B ，∠FED ＝∠C ，从而可证△ABC ∽△FDE ． 证明：∵FD ∥AB ，FE ∥AC ，∴∠FDE ＝∠B ，∠FED ＝∠C ， ∴△ABC ∽△FDE ．例7 （08·无锡）如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．分析 由矩形的性质可知∠BAD ＝∠D ＝90°，再由BF ⊥AE 可证∠AFB ＝∠D 和∠DAE ＝∠FBA ，从而证明△ABF ∽△EAD ．证明：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝∠D =90°，∵BF ⊥AE ，∴∠AF B ＝∠D ＝90°， ∴∠ABF +∠BAE ＝90°．又∵∠DAE +∠BAE ＝∠BAD ＝90°， ∴∠ABF ＝∠EAD ，∴△ABF ∽△EAD一、选择题（每题3分，共24分）1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则BCDE的值为( ) A ．32 B ．41 C ．31 D ．21 2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )A ．21=BC DE B ．21=∆∆的周长的周长ABC ADEC ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31=D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆31=3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6=BC ，AC ＝3，则CD 长为( )A ．1B ．23 C ．2 D ．255．若P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条6．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )A．BCDEDBAD=B．ADEFBCBF=C．FCBFECAE=D．BCDEABEF=7．如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是( )A．P A·AB＝PC·PB B．P A·PB＝PC·PDC．P A·AB＝PC·CD D．P A∶PB＝PC∶PD8．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°②∠B＝∠DAC③CD：AD＝AC：AB④AB2＝BD·BC其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有( )A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题（每题4分，共16分）：9．如图9所示，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为______．10．如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且61=EBAE，射线CF交AB于E点，则FDAF等于______．11．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为______．12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．第10题图第11题图第9题图第8题图第4题图第6题图第7题图三、解答题13．（10分）已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．14．（8分）已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．15．（8分）如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．16．（10分）如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．17．(12分)如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．(1)求∠D的度数；(2)求证：AC2＝AD·CE．18．（12分）已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°． (1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．19．（12分）已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值；(2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．20．（10分）已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．21．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)．求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．22．（12分）已知：如图，□ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B点重合)，作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求证：△BEF∽△CEG；(2)求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；(3)当E点运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?答案与提示第二十七章 相似全章测试1．C ． 2．D ． 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．C ． 7．B ． 8．A ．9．4．8m ． 10．⋅3111．21m 2． 12．5∶4．13．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ； (2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5．14．.cm 133提示：连结AC ．15．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 16．C (4，4)或C (5，2)．17．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．18．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－.12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时， △ABD ≌△DCE ．可得.12-=x 当∠ADE 为底角时：⋅=21AE 19．(1)S ＇∶S ＝1∶4；(2)).40(41162<<+-=x x x y 20．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P 21．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)；(2))49,43(-D 或D (1，－2)． 22．(1)略；(2));30(8311832≤<+-=x x x S (3)当x ＝3时，S 最大值33=．。