动力学基本定律 质点的运动微分方程
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理论力学第10章 质点动力学
4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点运动微分方程
质点运动微分方程
质点运动微分方程是描述质点在运动中位置、速度和加速度之间关系的微分方程。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与作用在质点上的合力成正比，与质点的质量成反比。
因此，可以得到质点的运动微分方程为 F = ma，即 F(x(t), v(t), t) = m * v'(t)，其中 F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，v(t)表示质点的速度，x(t)表示质点的位移。
解决质点运动微分方程可以得到质点的速度和位移的函数表达式，从而可以进一步分析质点的运动规律和特性。
质点运动微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛应用，例如在运动学、力学、电学、热学等方面，都需要使用微分方程来研究质点的运动。
- 1 -。
质点动力学的基本方程
y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解：
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动： 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x （特征根法） 0 m 1 0 2 m
理论力学10质点运动微分方程
= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
第十章 质点及刚体的运动微分方程
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
解 分别取圆轮和物块A为研究对象 设滑块A有向下加速度a，圆轮有角加速度ε。由运动学知 a=rε 即a =0.4ε 取物块A为研究对象，受力图如图所示，物块有向下的加速 度a做平移运动。列出动力学基本方程
再取圆轮为研究对象,受力图如 图所示, 列出动力学基本方程
F=ma
质点动力学 基本方程
F表示作用于质点上力系的合力，加速 度a的方向与质点合力F的方向相同。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－1 动力学基本定律
质点动力学基本方程具有下列几个方面的含义：
(1)作用在质点上的力与质点的加速度是 瞬时关系。两者同瞬时产生，同瞬时 消失；力变化时，加速度随着变化； 若合力为零，质点作惯性运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
转动惯量 I. 转动惯量的概念
mi代表各质点的质量，ri为各质点 到转动轴线的距离
飞轮
刚体的质量愈大，或质量分布离转轴愈 远，则转动惯量就愈大；反之，则愈小。
第3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
式中,Fx表示作用于质点上的合力沿x轴方向的投影，Fy 表示合力沿y轴方向的投影, ax为加速度在x轴方向的投 影, ay为加速度在y轴方向的投影。 第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－2 质点运动微分方程及其应用
求解质点动力学的两类问题
1.质点动力学的第一类问题---已知运动 求作用力
已知质点的运动(运动方程、速度方程和 加速度),将运动方程或速度方程对时间求 导得到加速度,将加速度代入基本方程,可 求解出质点上的作用力。求解较容易。
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
解 分别取圆轮和物块A为研究对象 设滑块A有向下加速度a，圆轮有角加速度ε。由运动学知 a=rε 即a =0.4ε 取物块A为研究对象，受力图如图所示，物块有向下的加速 度a做平移运动。列出动力学基本方程
再取圆轮为研究对象,受力图如 图所示, 列出动力学基本方程
F=ma
质点动力学 基本方程
F表示作用于质点上力系的合力，加速 度a的方向与质点合力F的方向相同。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－1 动力学基本定律
质点动力学基本方程具有下列几个方面的含义：
(1)作用在质点上的力与质点的加速度是 瞬时关系。两者同瞬时产生，同瞬时 消失；力变化时，加速度随着变化； 若合力为零，质点作惯性运动。
第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
转动惯量 I. 转动惯量的概念
mi代表各质点的质量，ri为各质点 到转动轴线的距离
飞轮
刚体的质量愈大，或质量分布离转轴愈 远，则转动惯量就愈大；反之，则愈小。
第3 刚体绕定轴转动的微分方程及转动惯量
式中,Fx表示作用于质点上的合力沿x轴方向的投影，Fy 表示合力沿y轴方向的投影, ax为加速度在x轴方向的投 影, ay为加速度在y轴方向的投影。 第十章 质点及刚体的运动微分方程
§10－2 质点运动微分方程及其应用
求解质点动力学的两类问题
1.质点动力学的第一类问题---已知运动 求作用力
已知质点的运动(运动方程、速度方程和 加速度),将运动方程或速度方程对时间求 导得到加速度,将加速度代入基本方程,可 求解出质点上的作用力。求解较容易。
第11章动力学基础(牛顿定律质点的运动微分方程).
动力学两 类基本问 题：
(1) 已知运 动求力； (2) 已知力 求运动。
ma F
此外，尚有虚位移原理（分析力学一部分）——用动力学方法求解静力学 问题。
6
（动）力学原理分类：
先了解一下
微分 形式 力学 原理 积分 形式
非变分形式（如牛顿定律、普遍定理、 达朗伯原理、拉氏方程） 变分形式（如虚位移（功）原理、动力 学普遍方程） 非变分形式（如普遍定理、能量守恒原理） 变分形式（如哈密顿原理）
8
三、质点运动微分方程（动力学基本方程）（指惯性参考系下）
即牛二定律的微分形式： ma F
d 2r 矢径式 m 2 F dt
d2 x m 2 X dt 2 d 直角坐标式 m y Y 2 dt d2 z m 2 Z dt
d2s m 2 F dt 2 v 自然坐标式 m Fn 0 Fb
作业：11-3, 11-4
10
如此诸多名称，你一下子记不住，可以在后面学习中 慢慢理解。
7
第11章 动力学基础(牛顿定律 质点的运动微分方程)
牛顿三大定律——动力学的理论基础（相当于静力学的公理）
复习或简介以下内容：
一、牛顿三大定律： 请同学叙述，请其他同学回答叙述是否正确。
问题：牛顿定律对刚体是否成立？
二、（运动）参考系：
提问：①什么是惯性参考系和非惯性参考系？一般如何确定惯性参考系？
4
哲 学 家 云： 静止是相对的，运动是绝对的 物理学家云：静止是相对的，运动也是相对的
运动学——仅从几何角度 研究 物体 的 运动规律。
（动）点 刚体 (无质量) 绝对法 合成法 点的 运动 学
质点动力学基本方程
t
dt
vx0
Fx
0
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
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1
2
动力学
第十章
质点动力学的基本方程
11
动力学基本定律 质点的运动微分方程 §11–1 §11–2 §11–3 引言 动力学基本定律 质点的运动微分方程
3
动力学
引言
§11–1 引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象：
二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点； 质点。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F f 2 x mM mg f R2 m gR2 F x2
建立质点运动微分方程
m
dx 2 dt
2
mgR2 x2
即：
dvx R 2 mg mvx 2 dx x
动力学
质点动力学的基本方程
dy v0 sin 0 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, 即 t dt g 将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
v0 cos 0
sg 2 gH
v0 sin 0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易 改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量； 另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和 工程单位制的换算关系。
7
动力学
第十章
质点动力学的基本方程
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向 相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体， 而且也适用于任何运动的物体。
2 gR 2 v (v 0 2 gR) x
可见，v 随着 x 的增加而减小。若
2 v0 2 gR
则在某一位置 时，无论
2 2 gR x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0
x多大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一 去不返 时（x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s) （第二宇宙速度）
动力学
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a at an n
单位矢量，如图 10 1所示，
,
ab 0
式中τ 和 n为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m Fti dt i 1
充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米
的顶板A处。求 (1)充填材料需有多
大的初速度v0 ? (2)初速 0 与水平的 夹角0？ 解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
t 0, x0 0, y0 0; v0 x v0 cos0 v0 y v0 sin 0 , 其中v0 , 0 待求
9
动力学
质点动力学的基本方程
§11-3
质点的运动微分方程
质点受到n个力F1，F2，Fn时，由质点动力学第二定律，
有
ma Fi
i 1
n
或
d 2r n m 2 F dt i 1
上式是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时， 需应用它的投影形式
10
动力学
质点动力学的基本方程
1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变， 这种性质称为惯性。
6
动力学
质点动力学的基本方程
第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 该定律的数学表达式为：
ma F
上式称为质点动力学的基本方程。建立了质点的加速度、质量 与作用力之间的定量关系。当质点受到多个力作用时，该式中
的力F应为共点力系的合力。
24
动力学
t
则有
质点动力学的基本方程
2
2 时， a x r , cos l 2 r 2 l ，
mr 2 F l 2 r 2 l
得
F mr2 2
AB杆受压力。
l 2 r2
y
O
A
F B β x β
FN B x mg
25
动力学 [例5]
质点动力学的基本方程
⑤求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动
的初始条件，求出质点的运动。
14
动力学
质点动力学的基本方程
[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为P的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 ν0 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象
设矢径 r 在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z,力Fi在轴
上的投影分别Fxi, Fxi, Fxi ，则前式在直角坐标轴上的投影 形式为
d2 x n m 2 Fxi dt i 1
,
d2 y n m 2 Fyi dt i 1
,
d2 z n m 2 Fzi dt i 1
11
v0 (v0 cos 0 ) (v0 sin 0 )
2 2
g 2s2 2 gH 10 .5 m/s 2 gH
0 tan
1
பைடு நூலகம்
v0 sin 0 1 2 H tan 31 v0 cos 0 s
20
动力学
质点动力学的基本方程
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
t 瞬时 , M A , x S , y H , vx , v y
18
动力学
质点动力学的基本方程
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算 微分方程 积分一次 再积分一次
dvx m d t 0 m dv y m g dt
dx c1 dt dy gt c 2 dt
max F cos
a x r 2 (1 ), 且 0 ，得 当 t 0 时，
AB杆受的拉力
y
d2 x ax 2 r 2 (cos t cos 2t ) dt
F mr 2 (1 )
FN β
O
A
F B β x
B
x mg
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统 的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的
关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在
总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律 第一定律（惯性定律） 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于
如图所示得摆动输送机，由曲柄带动货架AB输送木
箱M，两曲柄等长，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，设在θ＝
45°处由静止开始运动，已知曲柄O1A的初角加速度 0 5rad/s2 。
如启动瞬时木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系 数是多少？
y
O1
O2
P
at
A
0
M
F
FN
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系
的质点组成的系统。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。
非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
4 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
动力学
引言
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 三. 动力学分类: 质点动力学 质点动力学是质点 系动力学的基础。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
13
动力学
质点动力学的基本方程
第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 解题步骤如下： ①正确选择研究对象。
②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确 定出其运动初始条件）。 ④选择并列出适当的质点运动微分方程。
质点系动力学
四. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
5
动力学
质点动力学的基本方程
§11-2
动力学的基本定律
,
m
v2
Fni
i 1
n
,
0 Fbi
i 1
12
n
动力学
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题:
第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
d 2 x dvx dvx dx vx dvx ( 2 ) dt dt dx dt dx
21
动力学
质点动力学的基本方程
v x m gR2 m vx dvx 2 dx x v0 R
2
动力学
第十章
质点动力学的基本方程
11
动力学基本定律 质点的运动微分方程 §11–1 §11–2 §11–3 引言 动力学基本定律 质点的运动微分方程
3
动力学
引言
§11–1 引
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象：
二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点； 质点。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
mM F f 2 x mM mg f R2 m gR2 F x2
建立质点运动微分方程
m
dx 2 dt
2
mgR2 x2
即：
dvx R 2 mg mvx 2 dx x
动力学
质点动力学的基本方程
dy v0 sin 0 代入最高点A处值，得： v0 sin 0 gt 0, 即 t dt g 将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程， 得
v0 cos 0
sg 2 gH
v0 sin 0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易 改变，也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量； 另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和 工程单位制的换算关系。
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动力学
第十章
质点动力学的基本方程
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向 相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体， 而且也适用于任何运动的物体。
2 gR 2 v (v 0 2 gR) x
可见，v 随着 x 的增加而减小。若
2 v0 2 gR
则在某一位置 时，无论
2 2 gR x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0
x多大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一 去不返 时（x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s) （第二宇宙速度）
动力学
质点动力学的基本方程
2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
a at an n
单位矢量，如图 10 1所示，
,
ab 0
式中τ 和 n为沿轨迹切线和主法线 的
质点动力学基本方程在 自然轴系上的投影为
n dv m Fti dt i 1
充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米
的顶板A处。求 (1)充填材料需有多
大的初速度v0 ? (2)初速 0 与水平的 夹角0？ 解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
t 0, x0 0, y0 0; v0 x v0 cos0 v0 y v0 sin 0 , 其中v0 , 0 待求
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动力学
质点动力学的基本方程
§11-3
质点的运动微分方程
质点受到n个力F1，F2，Fn时，由质点动力学第二定律，
有
ma Fi
i 1
n
或
d 2r n m 2 F dt i 1
上式是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时， 需应用它的投影形式
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动力学
质点动力学的基本方程
1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变， 这种性质称为惯性。
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动力学
质点动力学的基本方程
第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 该定律的数学表达式为：
ma F
上式称为质点动力学的基本方程。建立了质点的加速度、质量 与作用力之间的定量关系。当质点受到多个力作用时，该式中
的力F应为共点力系的合力。
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动力学
t
则有
质点动力学的基本方程
2
2 时， a x r , cos l 2 r 2 l ，
mr 2 F l 2 r 2 l
得
F mr2 2
AB杆受压力。
l 2 r2
y
O
A
F B β x β
FN B x mg
25
动力学 [例5]
质点动力学的基本方程
⑤求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动
的初始条件，求出质点的运动。
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动力学
质点动力学的基本方程
[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为P的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 ν0 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象
设矢径 r 在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z,力Fi在轴
上的投影分别Fxi, Fxi, Fxi ，则前式在直角坐标轴上的投影 形式为
d2 x n m 2 Fxi dt i 1
,
d2 y n m 2 Fyi dt i 1
,
d2 z n m 2 Fzi dt i 1
11
v0 (v0 cos 0 ) (v0 sin 0 )
2 2
g 2s2 2 gH 10 .5 m/s 2 gH
0 tan
1
பைடு நூலகம்
v0 sin 0 1 2 H tan 31 v0 cos 0 s
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动力学
质点动力学的基本方程
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
t 瞬时 , M A , x S , y H , vx , v y
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动力学
质点动力学的基本方程
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算 微分方程 积分一次 再积分一次
dvx m d t 0 m dv y m g dt
dx c1 dt dy gt c 2 dt
max F cos
a x r 2 (1 ), 且 0 ，得 当 t 0 时，
AB杆受的拉力
y
d2 x ax 2 r 2 (cos t cos 2t ) dt
F mr 2 (1 )
FN β
O
A
F B β x
B
x mg
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统 的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的
关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在
总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律 第一定律（惯性定律） 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于
如图所示得摆动输送机，由曲柄带动货架AB输送木
箱M，两曲柄等长，即O1A=O2B=l=1.5m，O1O2=AB，设在θ＝
45°处由静止开始运动，已知曲柄O1A的初角加速度 0 5rad/s2 。
如启动瞬时木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系 数是多少？
y
O1
O2
P
at
A
0
M
F
FN
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系
的质点组成的系统。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。
非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
4 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
动力学
引言
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 三. 动力学分类: 质点动力学 质点动力学是质点 系动力学的基础。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
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动力学
质点动力学的基本方程
第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 解题步骤如下： ①正确选择研究对象。
②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确 定出其运动初始条件）。 ④选择并列出适当的质点运动微分方程。
质点系动力学
四. 动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
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动力学
质点动力学的基本方程
§11-2
动力学的基本定律
,
m
v2
Fni
i 1
n
,
0 Fbi
i 1
12
n
动力学
质点动力学的基本方程
应用质点运动微分方程，可以求解下面两类质点动 力学的问题:
第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
d 2 x dvx dvx dx vx dvx ( 2 ) dt dt dx dt dx
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动力学
质点动力学的基本方程
v x m gR2 m vx dvx 2 dx x v0 R