四年级奥数生活中的数学(教师版)
四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题
四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三讲方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人这个方阵共有五年级学生多少人解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）- 10 -- 11 -第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
四年级奥数第10讲间隔问题(教师版)
四年级奥数第10讲间隔(jiàn gé)问题（教师版）λ封闭与非封闭植树路线(lùxiàn)的讲解及生活运用. λ掌握空心方阵(fānɡ zhèn)和实心方阵的变化规律．一、植树问题(w ènt í)路线（一）不封闭的植树(zhí shù)路线.① 若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数全长株距全长=株距(棵数)株距=全长÷(棵数1-)② 如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距； 株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+). 全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距. 二、解植树问题的三要素知识梳理教学目标（1）总路线长（2）间距(jiān jù)（棵距）长（3）棵数,只要(zhǐyào)知道这三个要素中任意两个要素,就可以(kěyǐ)求出第三个．三、方阵(fānɡ zhèn)问题（1）明确空心(kōng xīn)方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷”；（3）每向里一层每边棋子数减少；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法,及每层个数的变化规律。
典例分析例1、大头儿子的学校旁边的一条路长400米,在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树,一共能种几棵树?【解析】从图上可以看出,每隔4米种一棵树,如果20米长的路的一边共种了6棵树,这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵,就是说种树的棵树要比间距的个数多1,所以列式为：400÷4+1101（棵）.例2、一条马路长200米,在马路两侧每隔4米种一棵树,则一共要种树___________棵。
苏教版小学四年级下册数学奥数题带答案
苏教版小学四年级下册数学奥数题带答案一、拓展提优试题1．甲、乙、丙三校合办画展，参展的画中，有41幅不是甲校的，有38幅不是乙校的，甲、乙两校参展的画共43幅，那么，丙校参展的画有幅．2．有一笔钱，用来给四（1）班的学生每人买一个笔记本，若每本3元，则可多买6本；若每本5元，则差30元．若用完这笔钱，恰好给每人买一个笔记本，则共买笔记本24个，其中3元的笔记本个．3．一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米．这捆电线原来有多少米？4．如果，那么＝．5．一列火车身长90米，火车以每分钟160米的速度通过山洞，用了3分钟，山洞长390米．6．有6个数排成一行，它们的平均数是27，已知前4个数的平均数是23，后3个数的平均数34，第4个数是．7．两数相除，商是12，余数是3，被除数最小是．8．如图，小明从A走到B再到C再到D，走了38米，小马从B到C再到D再到A，走了31米，此问长方形ABCD的周长多少米？9．定义运算：A△B＝2A+B，已知（3△2）△x＝20，x＝．10．小东和小荣同时从甲地出发到乙地，小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米，小荣到达乙地后立即返回，若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距米．11．爸爸比儿子大24岁，今年爸爸的年龄是儿子的五倍，年后爸爸的年龄是儿子的三倍．12．一个正方形的面积与一个长方形的面积相等，若长方形的长是1024，宽是1，则正方形的周长是．13．四年级的两个班共有学生72人，其中有女生35人，四（1）班有学生36人，四（2）班有男生19人，则四（1）班有女生人．14．有白棋子和黑棋子共2014个，按照如图的规律从左到右排成一行，其中黑棋子的个数是．○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○…15．小明有100元钱，买了3支相同的钢笔后还剩61元，则他最多还可以买支相同的钢笔．16．如图，一个大正方形被分成四个相同的小长方形和一个小正方形，若一个小长方形的周长是28，则大正方形的面积是．17．3年前，爸爸的年龄是明明年龄的8倍，在今年，爸爸的年龄是明明年龄的5倍，则爸爸今年岁．18．甲、乙二人从同一天开始工作，公司规定：甲每工作3天后休息1天，乙每工作7天后连续休息3天，则在开始的前1000天中，甲、乙同一天休息的日子有天．．19．袋子中有黑白两种颜色的棋子，黑子的个数是白子的个数的2倍，每次从袋中同时取出3个黑子和2个白子，某次取完后，白子剩下1个，黑子剩下31个，则袋中原有黑子个．20．五个人站成一排，每个人戴一顶不同的帽子，编号为1、2、3、4、5．每人只能看到前面的人的帽子．小王一顶都看不到；小孔只看到4号帽子；小田没有看到3号帽子，但看到了1号帽子；小严看到了有3顶帽子，但没有看到3号帽子；小韦看到了3号帽子和2号帽子，小韦戴号帽子．21．如果a表示一个三位数，b表示一个两位数，那么，a+b最小是a+b最大是，a﹣b最小是，a﹣b最大是．22．三个连续自然数的乘积是120，它们的和是．23．今年，小军5岁，爸爸31岁，再过年，爸爸的年龄是小军的3倍．24．如图，把一个边长是5cm的正方形纸片沿虚线分成5个长方形，然后按照箭头标记的方向移动其中的4个长方形，则所得图形的周长是cm．25．观察7＝5×1+2，12＝5×2+2，17＝5×3+2，这里7，12和17被叫做“3个相邻的被5除余2的数”，若有3个相邻的被5除余2的数的和等于336，则其中最小的数是．26．有一个数学运算符号“⊙”，使下列算式成立：2⊙4＝8，4⊙6＝14，5⊙3＝13，8⊙7＝23．按此规定，9⊙3＝．27．相传唐代诗仙李白去买酒，提壶街上走，遇店加1倍，见花喝2杯．途中四遇店和花，最后壶中还剩2杯酒．壶中原有杯酒．28．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成个没有重复数字的偶数．29．粮店里有6袋面粉，分别重15、16、18、19、20、31千克，食堂分两次买走了其中5袋，已知第一次买走得重量是第二次的两倍，剩下的一袋重量为千克．30．小慧从开始站立的A点向西走了15米，到达B点，接着从B点向东走了23米，到达C点，那么从C点到A点的距离是米．31．定义新运算：a△b＝（a+b）×b，a□b＝a×b+b，如：1△4＝（1+4）×4＝20，1□4＝1×4+4＝8，按从左到右的顺序计算：1△2□3＝．32．一次乐器比赛的规则规定：初赛分四轮依次进行，四轮得分的平均分不低于96分的才能进入决赛，小光前三轮的得分依次是95、97、94．那么，他要进入决赛，第四轮的得分至少是分．33．如果今天是星期五，那么从今天算起，57天后的第一天是星期．34．如图所示，5个相同的两位数相加得两位数，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则＝．35．只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，如：2，3，5，7等．那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是．36．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有块糖果．37．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有个．38．在□中填上适当的数，使竖式成立．39．A说：“我10岁，比B小2岁，比C大1岁．”B说：“我不是年龄最小的，C和我差3岁，C是13岁．”C说：“我比A年龄小，A是11岁，B比A 大3岁．”以上每人所说的三句话中都有一句是错误的，请确定其中A的年龄是岁．40．空心圆和实心圆排成一行如下图所示：○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●…在前200个圆中有个空心圆．【参考答案】一、拓展提优试题1．【分析】41幅不是甲校的，就是乙校和丙校的，38幅不是乙校的，就是甲校和丙校，其中丙校的数量同时包含在41与38中，所以41+38＝79（幅）是甲校、乙校和丙校的2倍的总和，减去甲乙两校一共展出的数量，得出丙校的2倍，再除以2就是丙校参展的画的数量．解：（41+38﹣43）÷2＝（79﹣43）÷2＝36÷2＝18（幅）答：丙校参展的画有 18幅．故答案为：18．【点评】解决本题的关键是明确其丙校的数量同时包含在41与38中，所以，41与38的和是甲校、乙校和丙校的2倍的总和，减去甲乙两校一共展出的数量，再除以2就是丙校参展的画的数量．2．【分析】若每本3元，则多3×6＝18元，则总人数为（18+30）÷（5﹣3）＝24人，总钱数有5×24﹣30＝90元，进而可得结论．解：由题意得若每本3元，则多3×6＝18元，则总人数为（18+30）÷（5﹣3）＝24人，总钱数有5×24﹣30＝90元，若钱用完刚好买24本，则3元的笔记本有（24×5﹣90）÷（5﹣3）＝15个，故答案为24，15．【点评】本题考查分配盈亏问题，考查学生的计算能力，属于中档题．3．解：[（15+7﹣10）×2+3]×2＝[12×2+3]×2＝[24+3]×2＝27×2＝54（米）答：这捆电线原来长54米．4．解：因为，所以（b+10a）×65＝4800+10a+b，即10a+b＝75，因此b＝5，a＝7．即＝75．故答案为：75．5．解：160×3﹣90，＝480﹣90，＝390（米），答：山洞长390米．故答案为：390．6．解：23×4+34×3﹣27×6，＝92+102﹣162，＝194﹣162，＝32．答：第4个数是32．故答案为：32．7．解：除数最小为：3+1＝412×4+3＝48+3＝51故答案为：51．8．解：长方形长比宽多：38﹣31＝7（米），长方形宽：（38﹣7×2）÷3，＝24÷3，＝8（米），长：8+7＝15（米），（15+8）×2，＝23×2，＝46（米），答：长方形ABCD的周长46米．9．解：（3△2）△x＝20，（2×3+2）△x＝20，8△x＝20，2×8+x＝20，16+x＝20，x＝20﹣16，x＝4；故答案为：4．10．【分析】两人从出发到相遇用了10分钟，也就是二人相遇时都行了10分钟，行了两个单程，因此先求出两人的速度和，再乘上相遇时间，再除以2，解决问题．解：（50+60）×10÷2＝110×10÷2＝1100÷2＝550（米）答：甲、乙两地相距550米．故答案为：550．【点评】此题根据关系式：速度和×相遇时间＝路程，进而解决问题．11．解：根据题意，由差倍公式可得：今年爸爸的年龄是儿子的五倍时，儿子的年龄是：24÷（5﹣1）＝6（岁）；爸爸的年龄是儿子的三倍时，儿子的年龄是：24÷（3﹣1）＝12（岁）；12﹣6＝6（年）．答：6年后爸爸的年龄是儿子的三倍．故答案为：6．12．【分析】若长方形的长是1024，宽是1，根据长方形的面积＝长×宽，可求出长方形的面积，再根据正方形的面积公式可求出正方形的边长，然后再根据正方形的周长＝边长×4可求出它的周长．解：1024×1＝10241024＝2×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝32×32，所以正方形的边长是32．32×4＝128答：正方形的周长是128．【点评】本题主要考查了学生对长方形面积和正方形面积与周长公式的掌握．13．【分析】先用两个班的总人数减去四（1）班的人数，求出四（2）班的人数，再用四（2）班的人数减去四（2）班男生的人数，求出四（2）班女生的人数，再用女生的总人数35人，减去四（2）班的女生人数，就是四（1）班的女生人数．解：35﹣（72﹣36﹣19）＝35﹣17＝18（人）答：四（1）班有女生 18人．故答案为：18．【点评】解决本题注意理解题意，把总人数按照两种方法进行分类：总人数＝四（1）班人数+四（2）班人数＝男生人数+女生人数．14．【分析】根据每9个棋子是一个循环，用2014除以9，用得到的商乘以一个循环中黑棋子的个数，再根据余数的情况判断最后需加上几个黑棋子即可．解：2014÷9＝223…7，循环了223次后，还剩7个，里面有4个黑棋子，223×6+4＝1338+4＝1342（个）答：其中黑棋子的个数是1342个．故答案为：1342．【点评】答此类问题的关键是找出每几个数或每几个图形是一个循环．15．【分析】根据题意，可用100减去61计算出购买3支钢笔花的钱数，然后再除以3计算出每支钢笔的钱数，最后再用100除以每支钢笔的钱数进行计算，得到的商就是最多购买钢笔的支数，得到的余数就是剩余的钱数，最后再用最多购买的钢笔数减去原来买的3支即可．解：（100﹣61）÷3＝39÷3＝13（元）100÷13＝7（支）…9（元）7﹣3＝4（支）答：他最多还可以买4支同样的钢笔．故答案为：4．【点评】此题主要考查的有余数除法计算方法的应用，解答时关键求出每支钢笔的单价．16．【分析】一个小长方形的周长是28，也就是小长方形的长和宽的和是28÷2＝14，也就是大正方形的边长，然后根据正方形的面积公式，解决问题．解：28÷2＝1414×14＝196答：大正方形的面积是196．故答案为：196．【点评】根据长方形的长和宽与正方形边长之间的关系，先求出小长方形的长和宽的和，即求出了大正方形的边长．17．【分析】3年前，爸爸的年龄是父子年龄差的，今年后爸爸的年龄是年龄差的，共经过了3年，对应的分率是（），用除法可以求出父子的年龄差，进而可以求出爸爸今年的年龄．据此解答．解：3÷（）＝3÷（）＝3×＝28（岁）28×＝35（岁）答：爸爸今年35岁．故答案为：35．【点评】父子年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同．我们可以抓住“差不变”这个特点，再根据父子年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件解答这类应用题．18．【分析】甲的休息天数为4的倍数，即4，8，12，…1000；乙的休息日为：8，9，10，18，19，20，…，那么甲只要在4的倍数天休息就行了，每三个数中有一个数是4的倍数，那么也就是说，乙每工作10天才会有1天与喜羊羊的重合，那么以10为周期，共有1000÷10＝100个周期，每一周期有一天重合，那么100周期共有100天重合解：甲的休息天数为4的倍数，即4，8，12，…1000；乙的休息日为：8，9，10，18，19，20，…，那么乙只要在4的倍数天休息就行了，每三个数中有一个数是4的倍数，那么也就是说，乙每工作10天才会有1天与喜羊羊的重合，那么以10为周期，共有1000÷10＝100个周期每一周期有一天重合，那么100周期共有100天重合．故答案为：100．【点评】本题主要考查了公约数与公倍数问题．关键是乙每工作10天才会有1天与甲的重合．19．【分析】因黑子个数是白子个数的2倍，可假设黑子每次取的个数也是白子的2倍，即黑子每次2×2＝4个、白子每次取2个，则白子余1个时，黑子余2个．现每次黑子取少4﹣3＝1个了，则黑子多出来的数量，除以应取和实取的差，就是取的次数．据此解答．解：假设黑子每次取的个数也是白子的2倍，即黑子每次2×3＝6个、白子每次取3个，则：（31﹣1×2）÷（2×2﹣3）＝29÷1＝29（次）3×29+31＝87+31＝118（个）答：袋中原有黑子 118个．故答案为：118．【点评】本题的关键是根据黑子是白子个数的2倍，假设每次取黑子的个数是白子的2倍，与实际取黑子的差，及实际取与假设取应剩下黑子的差，进行解答．20．解：根据分析，首先从“小王一顶都看不到”判断出小王排在第一位的位置上；然后从“小孔只看到4号帽子”判断出小孔排在第二的位置上；接着从“小严看到了有3顶帽子”判断出小严在第四的位置上；结合小田没看到3，小韦看到3对比可知小田在第三位，小韦在第五位；由于第二位的小孔只看到4，所以小王的帽子编号为4；由第三位的小田看到1，可知第二位的小孔的帽子编号为1；因为第四位的小严没看到3，而第五位的小韦看到了3和2，所以小田帽子编号为2，小严帽子编号为3，小韦帽子编号为5．故答案是：5．21．【分析】两个数越大，和就大，越小和就小，两个数越接近差越小，反之差就大，所以根据条件找出最大与最小的三位数与二位数，计算即可解答．解：a+b最小是10+100＝110，a+b最大是99+999＝1098，a﹣b最小是100﹣99＝1，a﹣b最大是999﹣10＝989．故答案为：110，1098，1，989．【点评】本题主要考查最大与最小问题，解题关键是知道最小的三位数是100，最大的三位数是999，最小的二位数是10，最大的二位数是99．22．【分析】首先把120分解质因数，把质因数分作三组，使各组数字相乘后的结果是三个连续的自然数，即可得解．解：120＝2×2×2×3×5＝（2×2）×（2×3）×5，2×2＝4，2×3＝6，5，即，三个连续自然数的乘积是120，这三个数是4、5、6，所以，和是：4+5+6＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了灵活应用合数分解质因数来解决较复杂问题．23．【分析】根据“今年，小军5岁，爸爸31岁”求出父子的年龄差是（31﹣5）岁，由于此年龄差不会改变，倍数差是3﹣1＝2，所以利用差倍公式，求出当父亲年龄是儿子年龄的3倍时儿子的年龄，由此进一步解决问题．解：父子年龄差是：31﹣5＝26（岁），爸爸的年龄是小军的3倍时，小军的年龄是：26÷（3﹣1）＝26÷2＝13（岁），13﹣5＝8（年），答：再过8年，爸爸的年龄是小军的3倍．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是根据两人的年龄差不会随着时间的改变而变化，利用差倍公式求出儿子相应的年龄，由此解决问题．差倍问题的关系式：数量差÷（倍数﹣1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）．24．【分析】本题考察图形边长的平移．解：画出移动后的图，所得图形的周长是5×2+（5+1×2+2×2+3×2+4×2+5）＝10+30＝40cm．【点评】本题主要抓住平移后的图形每条边边长为多少即可求解．25．【分析】本题主要考察等差数列中最小的项．解：因为这三个数都是被5除余2，所以这三个相邻的数是个等差数列，中间数是336÷3＝112，所以最小的是112﹣5＝107．【点评】本题主要找到每相邻两个数相差5就能解答．26．解：9⊙3＝9×2+3＝21；故答案为：21．27．解：设李白壶中原有x杯酒，由题意得：{[（x×2﹣2）×2﹣2]×2﹣2}×2﹣2＝2，{[（2x﹣2）×2﹣2]×2﹣2}×2﹣2＝2，{[4x﹣6]×2﹣2}×2﹣2＝2，{8x﹣14}×2﹣2＝2，16x﹣30＝2，16x＝32，x＝2；答：壶中原有2杯酒．故答案为：2．28．解：一位偶数有：0，2和4，3个；两位偶数：10，20，30，40，12，32，42，14，24，34，一共有10个；三位偶数：位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有A42＝12种结果，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个共有A21A31A31＝18种结果，根据分类计数原理知共有12+18＝30种结果；四位偶数：当个位数字为0时，这样的四位数共有：＝24个，当个位数字为2或者4时，这样的四位数共有：2×C41×＝36个，一共是24+36＝60（个）五位偶数：当个位数字为0时，这样的五位数共有：A44＝24个，当个位数字为2或者4时，这样的五位数共有：2×C31A33＝36个，所以组成没有重复数字的五位偶数共有24+36＝60个．一共是：3+10+30+60+60＝163（个）；答：可以组成 163个没有重复数字的偶数．故答案为：163．29．解：15+16+18+19+20+31＝119（千克），食堂共买走的总量是：119﹣20＝99（千克），99÷3＝33（千克），第二次买走得重量是：15+18＝33（千克），第一次买走得重量是：16+31+19＝66（千克）；答：剩下的一袋重量为20千克．故答案为：20．30．【分析】我们通过画图进行解决，向西走15米，然后再向东走23米其实，从C点到A点的距离是就是23米与15米的差．解：画图如下：从C点到A点的距离是：23﹣15＝8（米），答：从C点到A点的距离是8米．31．【分析】定义新运算需要理解题中给出的运算过程，△的运算是两数和再乘以第二个数的积运算．□的运算是两数的积与第二个数的和运算．解：依题意可知：a△b＝（a+b）×b得1△2＝（1+2）×2＝6a□b＝a×b+b得6□3＝3×6+3＝21故答案为：21【点评】本题的关键是找到新定义的符号的意义和运用．同时注意做题时的顺序是从左向右的顺序计算，那么代表他们是同级运算．问题解决．32．【分析】要想四轮得分的平均分不低于96分，总分应该达到96×4＝384分，用这一分数减去小光前三轮的得分即可解答．解：96×4﹣95﹣97﹣94，＝384﹣95﹣97﹣94，＝98（分）；答：第四轮的得分至少是98分．【点评】本题主要考查简单规划问题，熟练掌握平均数的定义与求法是解答本题的关键．33．【分析】今天算起，57天后的第一天也就是经过了57天，用57除以7，求出经过了多少周，还余几天，然后根据余数推算．解：57÷7，＝57÷7，＝8（周）…1（天）；余数是1，星期五再过1天是星期六．故答案为：六．【点评】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．34．【分析】根据整数加法竖式计算的方法进行推算即可．解：根据题意，由加法竖式可得：个位上，5×B的末尾还是B，由5×0＝0，5×5＝25可得：B＝0或B＝5；假设B＝0，那么十位上，5×A＝M，M要小于10，只有当A＝1时，5×1＝5，符合；所以，A＝1，B＝0；由以上推算可得：假设B＝5时，5×5＝25，向十位进2；十位上，5×A+2＝M，M要小于10，只有当A＝1时，5×1+2＝7，符合；所以，A＝1，B＝5；由以上推算可得：因此两位数是：10或15．故答案为：10或15．【点评】推算过程中，本题的关键是末尾数字相同，然后再进一步解答即可．35．【分析】根据质数的概念：指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没其它约数的数；然后列举出比40大并且比50小的质数；求小于100的最大的质数，应从100以内的最大数找起：99、98是合数；进而得出结论．解：比40大比50小的质数有：41、43、47；小于100的最大质数是97；故答案为：41、43、47，97．【点评】解答此题的关键：根据质数的定义，并结合题意，进行例举即可．36．【分析】通过题意，甲取1块，乙取2块，甲取4块，乙取8块， (1)20，2＝21，4＝22，8＝23…，可以看出，甲取的块数是20+22+24+26+28+…，相应的乙取得块数是21+23+25+27+29+…，我们看一看90是甲取了几次，乙相应的取了多少次，把两者总数加起来，即可得解．解：甲取的糖果数是20+22+24+…+22n＝90，因为1+4+16+64+5＝90，所以甲共取了5次，4次完整的，最后的5块是包裹中的糖果少于应取的块数，说明乙取了4次完整的数，即乙取了21+23+25+27＝2+8+32+128＝170（块），90+170＝260（块），答：最初包裹中有 260块糖果．故答案为：260．【点评】判断出甲乙取得次数是解决此题的关键．37．【分析】可以看做4个4个地数，少2个；6个6个地数，少2个；8个8个地数，也是少2个．也就是4、6、8的公倍数减2．[4、6、8]＝24．可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，x＝6．这筐桃子共有24×6﹣2，计算即可．解：[4、6、8]＝24．这筐桃子的数量可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，所以x＝6，这筐桃子共有：24×6﹣2＝142（个）．答：这筐桃子共有142个．故答案为：142．【点评】关键是通过把原题转化，运用了求最小公倍数以及解不等式的方法解决问题．38．解：根据题干分析可得：39．解：根据题干分析，将讨论分析的过程利用表格的形式进行统计如下：×√第一句第二句第三句A说我10岁×比B小2岁√比C大1岁√B说我不是最小的C和我差3岁C是13岁C说我比A年龄小×A是11岁√B比A大3岁√以得出：B是11+2＝13岁，C是11﹣1＝10岁；即A11岁、B13岁、C10岁；将这个结论代入上表中，可以得出B说的C是13岁时错误的，其他两句正好符合题意是正确的，由此可得，此假设成立；答：由上述推理可以得出A是11岁．故答案为：11．40．解：200÷9＝22…2，所以22×3+1＝67（个），答：前200个圆中有67个空心圆．故答案为：67．。
小学数学四年级思维奥数寒假讲义--乘法竖式谜(教师版)
小学数学四年级思维奥数寒假讲义-第4讲 乘法竖式谜（教师版）【课前小热身】下面的竖式谜，你还记得吗？注意寻找突破口来解题哦。
（1）43□□□⨯（2）64□□□⨯（3）□□□84⨯（4）□□□□7⨯【知识梳理】 一、末位分析乘法竖式问题中常用的突破口有：首位、末位、位数、进位及重复出现的汉字或字母。
末位分析：①×2，×4，×6，×8有两个答案，如□× 2= 4，□有2、7两个答案； ②×1，×3，×7，×9有一个答案，如□× 3= 8，□只有6一个答案； ③×5，乘积的末位为0，有5个答案；乘积的末位为5，也有5个答案； ④×0，乘积的末位只能是0，有10个答案。
【典例精讲】【例题1】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：“爱我中华”所表示的四位数是多少？华中我爱爱华中我36⨯ 【答案】2758【解析】从末位开始，3×6=18，因此“华”代表8，然后依次进行即可，即7586×3=22758。
【训练1】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：竖式的乘积是多少？石穿水滴水石穿水84⨯【答案】31392【解析】从末位分析，4×8=32，则“石”=2，然后依次进行即可，即3924×8=31392。
【例题2】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：“优邦学”所表示的三位数是多少？【答案】296【解析】末位分析，学×9= 4，则“学”=6，个位向十位进位5，依次类推，“数”=9，十位向百位进位8，“爱”=2，即296×6=2664。
【训练2】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：“一丝不苟”所表示的四位数是多少？43苟不丝苟不丝一⨯ 【答案】1428【解析】末位分析，苟×3= 4，则“苟”=8，个位向十位进位2，依次类推，“不”=2，十位没有向百位进位，“丝”=4，百位向千位进位1，“一”=1，即1428×3=4284。
四年级奥数-教师版-第五讲倒推法的应用题
第五讲倒推法的应用知识导航在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例1：一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？解析:这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56［（□－8）＋10]÷7＝56÷4=14（□－8）＋10=14×7=98□－8=98-10=88□=88+8=96答：于昆这次数学考试成绩是96分.【巩固】某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_____.解析：{［（□ + 6）×6］- 6}=6解：运用倒推法知这个数为（6×6+6）÷6-6=1【解题技巧】解答此类问题的方法规律是：原题加，逆推为减；原题减，逆推为加；原题乘，逆推为除；原题除，逆推为乘。
四年级(奥数作业)第16讲：生活中的数学
四年级（奥数作业）第16讲：生活中的数学x（必做与选做）1. 早上妈妈买来一块烧饼,米德就想如果将这块烧饼切5次,最多可以切成（）块。
A. 14B. 15C. 16D. 17解析：根据题意已知米德是要将烧饼切5次,那么可以利用切的次数与块数之间的关系：（次数×次数+次数+2）÷2=块数解答,即一共是切了（5×5+5+2）÷2=16（块）。
所以选C。
2.阿博士生日,许多同学都参加了生日会,博士只要将蛋糕切6下就可以每人收能分到一块蛋糕,但是后面又来了几个学生,这时博士需要切7下才能每人都分到一块蛋糕；后面来了（）个学生。
A. 6B. 7C. 8D. 9解析：根据题意可以先将原来有的人数求出来,是（6×6+6+2）÷2=22（人）,然后根据加了几个学生后,博士需要切7下,可以将后面的总人数求出来,是（7×7+7+2）÷2=29（人）,可知后面是来了29-22=7（人）。
所以选B。
3. 卡尔要将一个大蛋糕分成7块与她的同学们一起分享,则她最少要切（）次,一共有（）个同学参加了她的生日会。
A. 3 6B. 4 7C. 5 8D. 6 9解析：根据题意首先可以知道是6个同学参加她的生日会,分成了7块,根据切的次数与块数之间的关系可以可以推出是切了3次。
所以选A。
4. 在2016×2016的方格中,画一条直线,最多可穿过（）个方格。
A. 4032B. 4031C. 2016D. 2015解析：根据题意,可以利用穿过的格数与边长数的关系：边长数的2倍减去1就是穿过的格数解答,所以一共是可以穿过2016×2-1=4031（个）。
所以选B。
5. 阿尔法在一个正方形方格中画一条直线,发现做事可以穿过89个方格,则阿尔法画的这个正方形网格的边长是（）个方格。
A. 43B. 44C. 45D. 46解析：根据题意,可以利用穿过的格数与边长数的关系：边长数的2倍减去1就是穿过的格数逆推进行解答,所以是（89+1）÷2=45（个）方格。
(完整版)四年级奥数奇数与偶数(教师用含答案)
第二讲：奇数与偶数教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论：推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数【巩固】 123456799100999897967654321+++++++++++++++++++++L L 的和是奇数还是偶数？为什么？【解析】 在算式中，1~99都出现了2次，所以123499999897964321++++++++++++++L L 是偶数，而100也是偶数，所以1234567991009998979676++++++++++++++++L L54321+++++的和是偶数．【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？【解析】 偶数。
小学数学4年级培优奥数讲义 第10讲-间隔问题(教师版)
第10讲间隔问题教学目标封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用.掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．知识梳理一、植树问题路线(一)不封闭的植树路线.①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)(二)封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素(1)总路线长(2)间距(棵距)长(3)棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．三、方阵问题(1)明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.(2)每边的个数＝总数÷41+”；(3)每向里一层每边棋子数减少2；(4)掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
例1、大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？【解析】从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101(棵).例2、一条马路长200米，在马路两侧每隔4米种一棵树，则一共要种树___________棵。
【解析】考察植树问题，200÷4=50(段)，(50+1)×2=102例3、一条公路的一旁连两端在内共植树91棵，每两棵之间的距离是5米，求公路长是多少米？【解析】根据植树问题得到：()9115450-⨯=(米)例4、校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆？【解析】从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(61)5--=(盆)花，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花就是第：10(81)3--=(盆)花，典例分析--=(盆)．一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532例5、从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵) ，综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).例6、马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？【解析】第一棵树到第153棵树中间共有153-1=152(个)间隔，⨯(米)，每个间隔长8米，所以第一棵树到第153棵树的距离是：1528=1216÷(米),汽车经过1216米用了4分钟，1分钟汽车经过：12164=304⨯(米)，半小时汽车经过：30430=9120即小明的家距离学校9120米.例7、一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？(家门口没有树)【解析】从家门口走到第11棵树是走了11个间隔，走一个间隔所用时间是：11÷11=1(分钟)，那么走24分钟应该走了：24÷1=24(个)间隔，所以老爷爷应该走到了第24棵树.例8、元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？【解析】一共挂了21只彩灯说明彩灯中间的间距有：21-1=20(个)，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：30÷2=15(分米)，所以学而思学校的大门宽度为：15×20=300(分米)例9、有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒．如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒．现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？【解析】每次敲完以后，声音持续3秒，-=(秒)，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是43340-=(个)间隔，而这之间只有615÷=(秒)，所以每个间隔时间是4058现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，⨯+=(秒)．一共需要时间是：118391例10、小明家的小狗喝水时间很规律，每隔5分钟喝一次水，第一次喝水的时间是8点整，当小狗第20次喝水时，时间是多少？【解析】第20次喝水与第1次喝水之间有20119-=(个)间隔，因为小狗每隔5分钟喝一次，⨯=(分钟)，所以到第20次喝水中间间隔的时间是：19595也就是1个小时35分钟，所以小狗第20次喝水时时间是：9时35分．例11、科学家进行一项试验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？【解析】我们先要弄清楚从第一次记录到第十二次记录中间经过的时间是多少．⨯=(小时)．第1次到第12次有11个间隔：51155然后我们要知道55小时，时针发生了怎样的变化．时针每过12小时就会转一圈回到原来的状态，所以时针转了4圈以后，÷=(小时)而这时时针指向9点，又经过了7个小时．551247所以原来时针指向2点．例12、裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？【解析】如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，……我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1．因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了．÷=(个)16米中包含2米的个数：1628-=(天)，剪去最后一段所用的天数：817所以裁缝第7天剪去最后一段．例13、有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟? 【解析】求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯312-=次，锯3根木料要⨯=次，问题随之可求．236解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次?312-=(次)②锯开三根木料要多少次?236⨯=(次)③锯三根木料要多少时间?3618⨯=(分钟)综合算式：3[(31)3]18⨯-⨯=(分钟)⨯-⨯=(分钟)或3(31)318例14、甲、乙、丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8米,10米,6米长的木棍，要求都按2米的规格锯开．劳动结束后，甲,乙,丙分别锯了24, 25, 27段，那么锯木棍速度最快的比速度最慢的多锯次．【解析】甲每锯一根出824÷=(段) 需要锯413÷⨯=(次)-=(次)甲锯24段需要锯244318乙每锯一根出1025÷⨯=(次)-=(次)甲锯24段需要锯255420÷=(段)需要锯514丙每锯一根出623÷⨯=(次)÷=(段) 需要锯312-=(次)甲锯24段需要锯273218锯的速度快的甲和丙比锯的慢的乙多锯2次例15、在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5 厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有多少根？【解析】由于100是5的倍数，所以自右向左每隔5厘米染一个红点相当于自左向右每隔5厘米染一个红点．而每隔30厘米可得到2个4厘米的短木棍．最后10030310-⨯=(厘米)也可以得一个短木棍，故共有2317⨯+=(根)4厘米的短棍．例16、甲、乙俩人对一根3米长的木棍涂色，首先甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为 厘米．【解析】考虑60cm 长的一段木棍中，没有被涂黑的部分长度总和为1354215（）++++=cm (如上图)，所以3米长的木棍中共有153006075（）（）⨯÷=cm 长未被涂黑．例17、大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级不同的台阶？【解析】大头儿子踏过的台阶数是：3002150÷=(级)，小头爸爸踏过的台阶数是3003100÷=(级)，父子俩每236⨯=(级)台阶要共同踏1级台阶，共重复踏了300650÷=(级)，所以父子俩共踏了：150********+-=(级)．例18、北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进．排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？【解析】这道题仍是植树问题的逆解题，它与植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相当．逆解时要注意段数比树的棵数少1．所以，⑴每队的人数是： 60000252400÷=(人)⑵每队可以分成的排数是： 240012200÷=(排)⑶200排的全长米数是： 1(2001)199⨯-=(米)⑷25个队的全长米数是： 199254975⨯=(米)⑸25个队之间的距离总米数是：4(251)96⨯-=(米)⑹游行队伍的全长是： 4975965071+=(米)例19、思考乐学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成66⨯的方块队(即每行每列都是6人)，前后每行间隔为2米．他们以每分钟40米的速度，通过长30米的主席台，需要多少分钟？【解析】运用植树问题的逆解思路，即前后每行间隔长×间隔数=方块队长．方块队长：2(61)10⨯-= (米)，方块队通过主席台行进路程总长：103040+=(米)，方块队通过主席台需要：40401÷=(分钟)，综合算式：[2(61)30]401⨯-+÷=(分钟)例20、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问：他从乙站到甲站用了多少分钟？【解析】这个人前后一共看见了12辆电车，每两辆车的间隔是5分钟，开出12辆电车共有12111-=(个)间隔，这样可以计算出从第1辆电车开出到第12辆电车开出所用的时间，共经了51155⨯=(分钟)，由于他出发的时候，第1辆电车巳到达乙站，所以这个人从乙站到甲站用了551540-=(分钟)．➢ 课堂狙击1、 在一条长240米的水渠边上植树，每隔3米植1棵。
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生活中的数学
生活中到处有数学，例如，人们经常要外出学习，工作或活动、买东西，就要走路、乘车、坐船。
在在这些过程中，都会遇到许多数学问题。
用数学知识来解决这些问题，这就是数学实际问题的应用。
学会解决生活中乘车、坐船、走路、买东西、切西瓜等常见的数学问题，可以提高我们动手、动脑的能力和巧妙解决问题的能力。
例1.有25人要到河的对岸去，河边只有一条小船，船上每次只能坐5人，小船至少要载几次，才能全部过河？、分析：如果直接用25÷5=5（次）来计算，那就错了。
因为虽然船上每次能坐5个人，但在船返回的时候，必须有一个人跟着船一起返回。
所以，每次只能有5-1=4（人）过河。
只有在最后一次的时候由于不需要再返回，所以能运5人。
那么，小船至少要载（25-5）÷4+1=6（次），才能全部过河。
解答：每次过河的人数：5-1=4（人）
小船至少要载的次数：（25-5）÷4+1=6（次）
答：小船至少要载6次，才能全部过河.
结论：划小船，要有人划，回来还要留1人在船上，划一次船载5人，只能把4人送到河对岸，有1人划回来，但是最后一趟就不需要再划回去。
练习1.有41人要过河，河边只有一条能坐6人的小船，至少要渡几次才能使大家全部过河？
练习2.有34人要过河，一条只能坐4人的小船，至少要渡几次才能让大家全部过河？
练习3.有21个小朋友要去小河对岸，只有一条小船，每次最多能坐6人。
最少要几次，小朋友才能全部渡河？
例2.旅游团有30人要去机场乘飞机，团里有两种车，一种是面包车，每辆可乘9人；另一种是小轿车，每辆可乘4人。
应怎样派车把这30人送到机场？哪一种派车方案比较合理？
分析:我们可以只派面包车，30÷9=3（辆）……3（人），3+1=4（辆），要派4辆面包车；也可以只派小轿车，30÷4=7（辆）……2（人），7+1=8（辆），要派8辆小轿车；还可以两种车同时派，根据面包车的数量从多到少考虑，派车的方案列表格如下：
3种方案，即派2辆面包车和3辆小轿车比较好，派出的这5辆车正好坐满，空座位数是0.
解答：最好派2辆面包车，3辆小轿车。
结论：乘车时如果是几种车辆的组合，就要用凑数的方法，看用几辆大车和几辆小车把人一起运走比较合适，可以用列表格的方法将所有方案列举出来，相互比较，得出最优方案。
练习1.一个旅游团20人要过河，河边有大、小两种船，大船每条可坐9人，小船每条可坐4人，应怎样租船把这20人送过河？哪一种租船方案比较好？
练习2.有一架天平，3个砝码分别是1克，3克和6克的。
如果只允许在天平的一端放砝码，最多可以量出多少种不同的重量？各是多少克？
练习3.学校食堂买白菜4筐，每筐有6棵，这些菜可供食堂用3天，平均每天用多少棵白菜？
例3.有一块蛋糕，要把它切成11块，至少要切几刀？
分析：试试看，把1块蛋糕切1刀、2刀、3刀各可以分成几块？要想使切得块数多，切线要两两相交。
2块 4块 7块
想一想，再切1刀，最多能分成多少块？
解答：至少要切4刀
结论：要把一个正方形、长方形或圆分成几块，要求块数尽量多，就要使直线两两相交。
如果把一块蛋糕切1刀，分成2块，切2刀，分成了4块（多2块），切3刀，分成了7块（多3块），切4刀，可分成11块（多4块）。
练习1。
一个木工要把一块正方形木板切成16块，至少要切几刀？
练习2.一根电线把它对折，再对折后长4米，这根电线长多少米？
练习3.把一张白纸折三下，折痕最多能把白纸分成几块？
例4.一次篮球比赛共有10个小组参加，每个小组只要输一场，就被淘汰（不能再比了）。
如果哪个小组一场都不输，那么就是这次比赛的冠军。
要在10个小组中决出谁是冠军，一共要比赛多少场？
分析：我们可以把10个小组排起队来，两组赛一场，一共赛几场呢？
其实我们可以这样想，每淘汰出局1个小组，就要比赛1场，要淘汰9个小组产生1名冠军，要比几场呢？
解答：方法一：一共要比5+2+1+1=9（场）
方法二：产生一个冠军，就要淘汰9组，每淘汰1组就要比1场，所以一共要比9场。
结论：体育比赛一般有两种，一种是淘汰赛产生一名冠军，比赛的次数比人数（或球队数）少1；如果是循环赛，每两个队都要赛一场，求赛几场，方法是：球队数×（球队数-1）÷2.
练习1.学校进行羽毛球比赛，共有6人参加，比赛采用循环赛，即每个人都要与其他5名选手赛一场，一共要比赛多少场？
练习2.30名选手参加乒乓球比赛，采用淘汰制，最后产生1名冠军，一共要比几场？
练习3.同学们进行体操比赛，站成6行，每行8人，其中男生20人，剩下的是女生，女生有多少人？
习题检测
1.100名小选手参加象棋比赛，采用淘汰制，最后产生1名冠军，一共要比几场？
2.王刚和张雨共重60千克，两人体重都超过28千克，而且都是整千克数。
王刚和张雨的体重各是多少千克？
3.王叔叔养了40只兔子，每4只兔子圈在一个笼子里养，每天给每个笼子里放2千克草，王叔叔每天要喂多少千克草？
4.有4支足球队，采用循环赛，也就是每两个队都要赛一场，最后根据各个队的成绩排出名次，这次比赛一共要赛几场？
5.把一盒蛋糕平均分给4个小朋友，每个小朋友吃掉2块蛋糕后，吃掉的总块数等于原来2个小朋友分得蛋糕的块数。
这盒蛋糕被分成了多少块？
6.白纸上有一个正方形，老师要求用最少的直线将这个正方形分成尽量多的块数，如果只画5条直线，最多能分成多少块？只画9条直线呢？。