福建省漳州市2017-2018学年高三数学上学期期末试卷 文(含解析)
数学---福建省漳州市华安中学2017-2018学年高一(上)期末试卷(解析版)
福建省漳州市华安中学2017-2018学年高一（上）期末数学试卷一、选择题1．（5分）函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6）B．（3，4）C．（2，3）D．（1，2）2．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B． C． D．3．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线交DC于点F，若，，则=（）A．B．C．D．4．（5分）函数的递增区间是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，） C．D．6．（5分）sin210°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]8．（5分）下列命题中，正确的是（）A．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行9．（5分）函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在10．（5分）设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a11．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009二．填空题13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）若tan（）=2，则=．15．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．16．（5分）下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tan x在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．三、解答题17．（10分）求值：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0；（2）sin+cos+tan（）.18．（12分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．19．（12分）如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是60m．（1）用宽x（单位m）表示所建造的每间熊猫居室的面积y（单位m2）；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？20．（12分）已知函数f（x）=sin2x sin x cos x（1）求f（x）的最小正周期以及图象的对称轴方程；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a，（1）若a=2，求f（x）在区间[0，3]上的最小值；（2）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．22．（12分）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）.（1）判断函数f（x）的单调性并给出证明；（2）若存在实数a使函数f（x）是奇函数，求a；（3）对于（2）中的a，若f（x）≥，当x∈[2.3]恒成立，求m的最大值．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵函数f（x）=2x﹣8+log3x是连续函数，f（3）=﹣1，f（4）=log34＞0，f（3）f（4）＜0，故函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（3，4）内，故选B．2．C【解析】将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin[（x+）﹣]，即y=sin（x﹣），故选：C．3．A【解析】如图，由题意得，==（﹣）=（﹣），=+=（﹣）+=（+3）；∵A、E、F三点共线，∴∥，结合选项可知，=；故选A．4．D【解析】∵，==cos（2x+），∴2x+∈[2kπ﹣π，2kπ]，∴，故选D．5．C【解析】由已知，f1（x）=（2a﹣1）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单减，∴2a﹣1＜0，a＜①f2（x）=a x在[1，+∞）上单减，∴0＜a＜1．②且且当x=1时，应有f1（x）≥f2（x）．即9a﹣3≥a，∴a≥③由①②③得，a的取值范围是[，）故选C．6．B【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选B.7．D【解析】A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．8．C【解析】A错，当=时，由与共线，与共线推不出与也共线，B错，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上，C对，D错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线．故选C．9．C【解析】∵函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则f（0）=0，即lg（2+a）=0，则a=﹣1，此时，f（x）=lg，是奇函数，满足条件，故选：C．10．A【解析】根据题意，假设有指数函数y=a x与y=b x，若x＞0，有0＜b x＜a x＜1，则有a＞1且b＞1，若0＜b x＜a x＜1，则有=（）x＜1，又由x＞0，则＜1，即a＞b，则有1＞a＞b；故选：A．11．D【解析】f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sin x，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sin x=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D.12．C【解析】∵函数f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+==1，∴f（）+f（）+…+f（）=1008×1=1008．故选：C．二．填空题13．（﹣1，3）∪（3，+∞）【解析】由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．﹣【解析】∵tan（）==2，∴tanα=，则===﹣，故答案为：﹣．15．（0，1）【解析】令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．16．②④【解析】①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z }={θ|θ=nπ+，n∈Z }，不正确；②令x﹣=kπ+，k∈Z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈Z，令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），故正确；③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=＜1=tan45°，∴函数y=tan x在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；④由于函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移个长度单位即可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故正确；故答案为：②④．三、解答题17．解：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0 =3lg2+3lg5﹣49+23+1=﹣37；（2）sin+cos+tan（）=sin+cos﹣tan=+﹣1=0．18．解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．19．解：（1）设熊猫居室的宽为x（单位m），由于可供建造围墙的材料总长是60m，每间熊猫居室的长为30﹣x（单位m），所以两间熊猫居室的面积y=x（30﹣x）又，得0＜x＜20，于是y=﹣x2+30x，（0＜x＜20）为所求；（2）又（1）y=﹣x2+30x=﹣3（x﹣10）2+150，二次函数图象开口向下，对称轴x=10，且x∈（0，20），当x=10时，所建造的熊猫居室面积最大，使熊猫居室的宽10m，每间居室的长为15m时，所建造的熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150m2．20．解：（1）函数f（x）=sin2x sin x cos x=+sin2x=sin（2x﹣）+，故它的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ+，求得x=+，可得f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，当2x﹣=﹣时，即x=0时，函数f（x）取得最小值0；当2x﹣=时，即x=时，函数f（x）取得最大值．21．解：（1）若a=2，则f（x）=﹣x2+4x﹣1=﹣（x﹣2）2+3，函数图象开口向下，对称轴为x=2，所以函数f（x）在区间[0，3]上是增加的，在区间[2，3]上是减少的，有又f（0）=﹣1，f（3）=2，∴f（x）min=f（0）=﹣1 ；（2）对称轴为x=a当a≤0时，函数在f（x）在区间[0，1]上是减少的，则f（x）max=f（0）=1﹣a=3，即a=﹣2；当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增加的，在区间[a，1]上是减少加的，则f（x）max=f（a）=a2﹣a+1=3，解得a=2或﹣1，不符合；当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增加的，则f（x）max=f（1）=﹣1+2a+1﹣a=3，解得a=3；综上所述，a=﹣2或a=3.22．解：（1）不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则=，由x1＜x2，知0＜，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．（2）∵存在实数a使函数f（x）是奇函数，∴由f（﹣x）=﹣f（x），得，解得a=1．（3）由条件可得m≤2x（1﹣）=（2x+1）+﹣3恒成立，m≤（2x+1）+﹣3恒成立，m≤（2x+1）+﹣3的最小值，x∈[2，3]，设t=2x+1，则t∈[5，9]，函数g（t）=t+﹣3在[5，9]上单调递增，∴g（t）的最小值是g（5）=，m，∴m的最大值为．。
2017-2018学年福建省高三(上)第三次联考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年福建省高三（上）第三次联考试卷]（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）经过点P（2，﹣2），中心为原点、焦点在x轴上且离心率e=的双曲线方程是（）A．B．C．D．3．（5分）若x+2y=4，则2x+4y的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．44．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．5．（5分）若•+=0，则△ABC为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形6．（5分）数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（）A．﹣2016 B．﹣1008 C．2016 D．10087．（5分）不等式组x，y满足，所围成的平面区域面积是（）A．3 B．C．D．58．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（2）＜f（5）＜f（8）B．f（5）＜f（8）＜f（2）C．f（5）＜f（2）＜f（8）D．f（8）＜f（2）＜f（5）10．（5分）已知命题p：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A．“p∧q”为真 B．“p∨q”为假 C．p真q假D．p假q真11．（5分）己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，） C．（﹣∞，] D．（0，3）12．（5分）已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若＜，＞=60°，则直线：xcosα﹣ysinα+=0与圆：（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1的位置关系是（）A．相交 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a= ．14．（5分）椭圆的离心率为，则m= ．15．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题（1）f（1）=0（2）f（x）在[﹣2，2]上有4个零点（3）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（4）x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．则正确是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1，（1）求{a n}，{b n}的通项公式．（2）若{c n}={}，{c n}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．20．（12分）已知抛物线C的准线方程为x=﹣．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数．21．（12分）已知a是大于0的实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，求a值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设g（x）=f（x）+是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值．请考生在第（22）、（23）两题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．《选修4-4》22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．《选修4-5》23．选修4﹣5；不等式选讲已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R．（I）求实数m的取值范围：（II）在（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断是否成立？并证明你的结论．2017-2018学年福建省高三（上）第三次联考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2014•西藏一模）已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【分析】化简集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，根据两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣4≤2x≤4，x∈R}={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}={x|0≤x≤8，x∈Z}={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={x|0，1，2}，故选D．【点评】本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2015秋•福建月考）经过点P（2，﹣2），中心为原点、焦点在x轴上且离心率e=的双曲线方程是（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的离心率设出双曲线的方程，考虑到焦点在x轴和在y轴两种情况，再代入P（2，﹣2），求出双曲线方程即可．【解答】解：由双曲线离心率e=，焦点在x轴时，设双曲线的方程为=λ，代入点P（2，﹣2），解得，λ=1故双曲线的方程为=1．故选C．【点评】本题考查了求双曲线的标准方程，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．3．（5分）（2015秋•福建月考）若x+2y=4，则2x+4y的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．4【分析】由基本不等式可得2x+4y=2x+22y≥2=2=8，注意等号成立的条件即可．【解答】解：∵x+2y=4，∴2x+4y=2x+22y≥2=2=2=8当且仅当2x=22y即x=2且y=1时取等号，∴2x+4y的最小值是8故选：B【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．4．（5分）（2012•和平区校级四模）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．【点评】本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．5．（5分）（2012春•舟山期末）若•+=0，则△ABC为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【分析】由向量式易得•=0，可得∠BAC为直角，可判三角形形状．【解答】解：∵•+=0，∴•（+）=0，∴•=0，∴∠BAC为直角，∴△ABC为直角三角形．故选：A【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及向量的数量积与垂直关系，属基础题．6．（5分）（2016春•武汉校级月考）数列{（﹣1）n•n}的前2016项的和S2016为（）A．﹣2016 B．﹣1008 C．2016 D．1008【分析】将数列中相邻的两项两两组合，即可得出结果．【解答】解：S2016=﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣2015+2016=（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…+（﹣2015+2016）=1+1+1+…+1=1008．故选：D．【点评】本题考查了分项法数列求和，属于中档题．7．（5分）（2015秋•福建月考）不等式组x，y满足，所围成的平面区域面积是（）A．3 B．C．D．5【分析】先画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，再由三角形面积公式求之即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，解得A（﹣2，2）、B（3，﹣2）、O（0，0），所以S△ABO=×5×2=5．故选：D．【点评】本题考查了二元一次不等式与一次函数的关系及三角形面积的计算方法，注意运用图形结合可以更直观地得解．8．（5分）（2011•浙江）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos （α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两角和公式进行求解．9．（5分）（2012秋•天山区校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（2）＜f（5）＜f（8）B．f（5）＜f（8）＜f（2）C．f（5）＜f（2）＜f（8）D．f（8）＜f（2）＜f（5）【分析】根据f（x﹣4）=﹣f（x），可得f（5）=﹣f（1），f（8）=f（0）．结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）=0，再由[0，2]上f（x）是增函数，得f（2）＞f（1）＞0，所以f（5）＜0，f（8）=0，而f（2）＞0，可得正确选项．【解答】解：∵f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），∴取x=5，得f（1）=﹣f（5），即f（5）=﹣f（1）取x=8，得f（4）=﹣f（8）．再取x=4，得f（0）=﹣f（4），可得f（8）=f（0）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0，得f（8）=0∵函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，∴f（0）＜f（1）＜f（2），可得f（1）是正数，f（5）=﹣f（1）＜0，f（2）＞0，因此f（5）＜f（8）＜f（2）故答案为：B【点评】本题在已知抽象函数的单调性和奇偶性的前提下，比较几个函数值的大小，考查了函数的单调性、奇偶性等知识，属于基础题．10．（5分）（2016春•武汉校级月考）已知命题p：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A．“p∧q”为真 B．“p∨q”为假 C．p真q假D．p假q真【分析】根据对数函数的性质判断命题p，根据三角函数的性质判断命题q，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：x=﹣1，y=log a（﹣a+2a）=1，故命题p为真，命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为π，故命题q为假，故选：C．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数以及三角函数的性质，是一道基础题．11．（5分）（2016•三亚校级模拟）己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，） C．（﹣∞，] D．（0，3）【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=（a﹣3）＞0，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2012•顺庆区校级模拟）已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若＜，＞=60°，则直线：xcosα﹣ysinα+=0与圆：（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1的位置关系是（）A．相交 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离【分析】利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=，求出圆心到直线的距离正好等于圆的半径，从而得出结论．【解答】解：由题意可得||=2，||=3，=2×3×cos60°=2×3×=3，又=（2cosα，2sinα）•（3cosβ，3sinβ）=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，∴cosαcosβ+sinαsinβ=．圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1的圆心坐标为（cosβ，﹣sinβ），半径为1；∵圆心（cosβ，﹣sinβ）到直线2xcosα﹣2ysinα+1=0的距离为==1，∴直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，故选 C．【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识，属于中档题．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2012•梅州一模）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a= 2 ．【分析】复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．【解答】解：因为==，是纯虚数，所以a=2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的基本运算﹣﹣复数的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力．14．（5分）（2010•建德市校级模拟）椭圆的离心率为，则m= 3或．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得 m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得 m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．15．（5分）（2010•普陀区二模）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）（2015秋•福建月考）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f （x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题（1）f（1）=0（2）f（x）在[﹣2，2]上有4个零点（3）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（4）x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．则正确是（1）（3）．【分析】根据函数奇偶性和周期性，单调性之间的关系，分别进行判断即可得到结论．【解答】解：∵对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，∴对∀x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，∴f（1）=f（﹣1）．∵当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，∴在区间（0，1]上函数为减函数．又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（1）=﹣f（﹣1）．∴f（1）=0，即（1）正确；满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：由图可知：f（x）在[﹣2，2]上有：﹣2，﹣1，0，1，2，共5个零点，即（2）错误；所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，故（3）（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，正确；函数y=f（x）图象无对称轴，故（4）错误．∴正确的命题是：（1）（3）．故答案为：：（1）（3）．【点评】本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，单调性和对称性，综合考查函数的性质的综合应用，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015秋•福建月考）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1，（1）求{a n}，{b n}的通项公式．（2）若{c n}={}，{c n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求出数列的首项与公差，求解通项公式；由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1求解数列{b n}的通项公式．（2）通过裂项法求解数列的前n项和即可．【解答】（12分）解：（1）因为{a n}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．所以，解得，所以a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）．…（3分）在{b n}中，因为当n=1时，b1=2b1﹣1，所以b1=1．当n≥2时，由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1可得b n=2b n﹣2b n﹣1，所以b n=2b n﹣1．所以{b n}是首项为1公比为2的等比数列，所以b n=2n﹣1（n∈N*）．…（6分）（2）c n=（），…（8分）T n=c1+c2+…+c n=…（10分）=（1﹣）．（n∈N*）．…（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．18．（12分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC 的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．【点评】本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（12分）（2016春•武汉校级月考）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值．（2）求三棱锥C﹣B1D1F的体积．【分析】（1）连结BD1，则∠D1BC位所求线面角，在Rt△BCD1中计算tan∠D1BC；（3）证明CF⊥平面BDD 1B1，则V=．【解答】解：（1）连接BD1，∵E，F分别为线段DD1，BD的中点，∴EF∥BD1，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角．∵BC⊥平面CDD1C1，CD1⊂平面CDD1C1，∴BC⊥CD1．∵正方体棱长为2，∴CD1=2，∴tan∠D1BC==，所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为．（2）∵BB1⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴BB1⊥CF，∵CB=CD，F是BD中点，∴CF⊥BD，又BB1∩BD=B，BB1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，∴CF⊥平面BDD1B1，又CF=BD=，S==2．∴V===，所以三棱锥C﹣B1D1F的体积为．【点评】本题考查了空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2014秋•福建校级期末）已知抛物线C的准线方程为x=﹣．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数．【分析】（Ⅰ）直接利用抛物线的准线方程，求解抛物线C的标准方程即可；（Ⅱ）设出直线方程与抛物线联立，转化原点O落在以AB为直径的圆上，得到=0，求出t的值即可证明结果．【解答】解：（Ⅰ）由准线方程为可设抛物线C的方程y2=2px，（p＞0）．求得p=，…（2分）故所求的抛物线C的方程为：y2=x；…（4分）（Ⅱ）证明：依题意可设过P的直线l方程为：x=my+t（m∈R），…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得：y2=my+t，依题意可知△＞0恒成立，且y1•y2=﹣t，…（8分）原点O落在以AB为直径的圆上．令=0即x1x2+y1y2=（y1•y2）2+y1•y2=（﹣t）2﹣t=0．…（10分）解得：t=1，t=0即t为常数，∴原题得证．…（12分）（说明：直线l方程也可设为：y=k（x﹣t），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）【点评】本题考抛物线的标准方程的求法，直线与椭抛物线的位置关系，抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）（2014秋•福建校级期末）已知a是大于0的实数，函数f（x）=x2（x﹣a）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，求a值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设g（x）=f（x）+是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值．【分析】（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义和条件列出方程，求出a的值；（Ⅱ）由f′（x）=0求出临界点，根据已知的区间和临界点进行分类讨论，由导数的符号判断出函数f（x）的单调性，再分别求出函数f（x）的最小值；（Ⅲ）由题意和求导公式求出g′（x），利用导数与函数单调性的关系，将条件转化为：g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，设t=（x﹣1）2代入g′（x）化简后，分离出参数m后，利用二次函数的性质求出实数m 的范围以及m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=x2（x﹣a）+x=x3﹣ax2，所以f′（x）=3x2﹣2ax，…（1分）因为在点（2，f（2））处的切线平行与X轴，所以f′（2）=3×4﹣2a×2=0，解得a=3；…（3分）（Ⅱ）令f′（x）=3x2﹣2ax=0，解得x1=0，，…（5分）①当时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，则f min=f（2）=8﹣4a …（6分）②当，即0＜a＜3时，f（x）在[0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，从而f min=f（）=…（7分）综上所述，当0＜a＜3时，f min=f（）=，当a≥3时，f min=f（2）=8﹣4a；…（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）得a=3，所以g（x）=x3﹣3x2+，则…（9分）∵g（x）是[3，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，即在[3，+∞）上恒成立．…（10分）设t=（x﹣1）2，t∈[4，+∞），∴在[4，+∞）上恒成立．∴在[4，+∞）上恒成立…（12分）令，t∈[4，+∞），∴h（t）min=h（4）=36，则m≤36，∴实数m的最大值是36．…（14分）【点评】本题考查求导公式和求导法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、最值的关系，考查分离参数法，分类讨论思想和化简计算能力，属于中档题．请考生在第（22）、（23）两题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．《选修4-4》22．（10分）（2015•开封模拟）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【分析】（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．【解答】解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin（θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin（θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．【点评】本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．《选修4-5》23．（2009•锦州一模）选修4﹣5；不等式选讲已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R．（I）求实数m的取值范围：（II）在（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断是否成立？并证明你的结论．【分析】（I）由绝对值不等式的性质：|a±b|≤|a|+|b|，可得已知不等式左边的最小值为3，由此结合题意可得m的取值范围是（﹣∞，3]．（II）在（I）条件下，即证明成立，注意到不等式两边都是正数，所以证明不等式左边的平方大于右边的平方，再开方即可得到不等式成立．【解答】解：（I）由绝对值不等式性质知：|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3对x∈R恒成立故不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R，只须m≤3即可∴m的取值范围是（﹣∞，3]…（4分）（II）由（I）知实数m的最大值为3当m=3时，不等式即这是一个正确的不等式，证明如下：∵2＞2∴6+2+7≥3+2+10，即（）2＞（）2两边开方得，故原不等式成立．…（10分）【点评】本题以含有绝对值的不等式恒成立为载体，求参数的最大值，并在此情况下证明含有根式的不等式正确，着重考查了绝对值不等式的性质和不等式证明的常用方法等知识，属于基础题．。
2017-2018学年福建省福州市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|（x﹣6）（x+1）＜0}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，6）B．（﹣1，1）C．（1，6）D．∅2．（5分）若复数为纯虚数，则实数a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）已知，，则＝（）A．B．C．D．4．（5分）＝（）A．B．C．1D．5．（5分）已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为．若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A．4πB．C．D．16π7．（5分）如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的Mod （N，m）＝n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod（10，3）＝1．执行该程序框图，则输出i的等于（）A．23B．38C．44D．588．（5分）将函数y＝2sin x+cos x的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y＝sin x﹣2cos x B．y＝2sin x﹣cos xC．y＝﹣sin x+2cos x D．y＝﹣2sin x﹣cos x9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．8B．2C．2D．210．（5分）已知函数，若f（a）＝3，则f（a﹣2）＝（）A．B．3C．或3D．或311．（5分）过椭圆的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝e x+e2﹣x，若关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0恰有3个整数解，则实数a的最小值为（）A．1B．2e C．e2+1D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．14．（5分）曲线y＝x3﹣2x2+2x在x＝1处的切线方程为．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为．16．（5分）某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元．该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）设b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92．（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差s2；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%）参考数据：．19．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点．（1）证明：AF∥平面BCE；（2）若，求三棱锥B﹣CEF的体积．20．（12分）抛物线C：y＝2x2﹣4x+a与两坐标轴有三个交点，其中与y轴的交点为P．（1）若点Q（x，y）（1＜x＜4）在C上，求直线PQ斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝elnx﹣ax（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝e时，证明：xf（x）﹣e x+2ex≤0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数，t＞0）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．（1）若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；（2）若曲线C上存在点到l距离的最大值为，求t的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3﹣f（x﹣1）的解集；（2）已知关于x的不等式f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|的解集为M，若，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{x|（x﹣6）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜6}＝（1，6）．故选：C．2．【解答】解：复数＝+1＝+1＝+1﹣i，由于复数为纯虚数，∴+1＝0，且﹣≠0，∴a＝﹣2，故选：A．3．【解答】解：∵，∴＝2（1，2）﹣（﹣1，1）＝（3，3），则＝3，故选：B．4．【解答】解：＝﹣2sin15°•sin30°＝﹣sin15°＝﹣2（）＝﹣2sin（﹣45°）＝．故选：D．5．【解答】解：双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为．若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，可得c＝，则a＝1，所以b＝，所以双曲线方程为：．故选：C．6．【解答】解：由题意，球心O为圆柱高的中点，如图OM＝1，MN＝，∴求半径ON＝2，∴＝16π，故选：D．7．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余3，③被7除余2，最小两位数，故输出的n为23，故选：A．8．【解答】解：函数y＝2sin x+cos x的周期为2π，将函数y＝2sin x+cos x的图象向右平移个周期后，即平移π个单位，所得图象对应的函数为y＝2sin（x+π）+cos（x+π）＝﹣2sin x﹣cos x，故选：D．9．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体列出为2的一部分，A﹣BCD，三棱锥的表面积为：＝2．故选：D．10．【解答】解：∵函数，f（a）＝3，∴当a＞0时，f（a）＝＝3，解得a＝2，f（a﹣2）＝f（0）＝4﹣2﹣1＝﹣；当a≤0时，f（a）＝4a﹣2﹣1＝3，解得a＝3，不成立．综上，f（a﹣2）＝﹣．故选：A．11．【解答】解：直线l的方程为：，椭圆的右焦点（c，0），过椭圆的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，可得：可得：b≥2c，即a2﹣c2≥4c2，即：e2，∵e∈（0，1），解得：0＜e≤．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）的导数为f′（x）＝e x﹣e2﹣x，当x＞1时，f（x）递增，x＜1时，f（x）递减，x＝1处f（x）取得最小值2e，且f（0）＝f（2）＝1+e2，如图所示，[f（x）]2﹣af（x）≤0，当a＞0时，0≤f（x）≤a，由于关于x的不等式[f（x）]2﹣af（x）≤0恰有3个整数解，因此其整数解为0，1，2，可得a≥1+e2，a≤0不必考虑，可得实数a的最小值是1+e2，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，基本事件总数n＝＝6，角梳与纸伞的宣传画相邻包含的基本事件个数m＝＝4，∴角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是p＝＝．故答案为：．14．【解答】解：y＝x3﹣2x2+2x的导数为y′＝3x2﹣4x+2，可得切线的斜率为k＝f′（1）＝3﹣4+2＝1，且切点为（1，1），可得切线的方程为y﹣1＝x﹣1．即y＝x．故答案为：y＝x．15．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：（sin A cos C﹣sin C cos A）＝sin B，可得：sin（A﹣C）＝sin B＝，∴sin（A﹣C）＝，∵A+C＝120°，又∵0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，∴A﹣C＝30°，∴解得：A＝75°．故答案为：75°．16．【解答】解：设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为p，目标函数为：p＝15x+20y，则，作出可行域：把直线l：3x+4y＝0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点B，此时p＝1500x+2000y取最大值，解方程，得B的坐标为（200，900）．p＝1500×200+2000×900＝2100000．∴每天应生产桌子200张，椅子900张才能获得最大利润2100000（元）．故答案为：2100000．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，所以a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1），所以a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是以a1＝1为首项，以2为公比的等比数列．（2）由（1）知，，所以，所以（1）（2）（1）﹣（2）得：＝＝（3﹣2n）2n﹣3，所以．18．【解答】解：（1）由题意得，在第一分段里随机抽到的评分数据为92，其对应的编号为4，则通过系统抽样分别抽取编号为4，8，12，16，20，24，28，32，36，40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有（78﹣83）2+（77﹣83）2+（89﹣83）2]＝33（3）由题意知评分在，即（77.26，88.74）之间，从调查的40名用户评分数据中在（77.26，88.74）共有21人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为．19．【解答】证明：（1）证法一：取CE的中点M，连接FM，BM．因为点F为棱DE的中点，所以FM∥CD且，因为AB∥CD且AB＝2，所以FM∥AB且FM＝AB，所以四边形ABMF为平行四边形，所以AF∥BM，因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．证法二：在平面ABCD内，分别延长CB，DA，交于点N．因为AB∥CD，CD＝2AB，所以A为DN中点．又因为F为DE的中点，所以AF∥EN．因为EN⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE．证明法三：取棱CD的中点G，连接AG，GF，因为点F为棱DE的中点，所以FG∥CE，因为FG⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以FG∥平面BCE；因为AB∥CD，AB＝CG＝2，所以四边形ABCG是平行四边形，所以AG∥BC，因为AG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG∥平面BCE；又因为FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE；因为AF⊂平面AFG，所以AF∥平面BCE．解：（2）因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC．因为，所以CD2+CE2＝DE2，所以CD⊥CE，因为BC∩CE＝C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE．因为点F为棱DE的中点，且CD＝4，所以点F到平面BCE的距离为 2.．三棱锥B﹣CEF的体积＝．20．【解答】解法一：（1）由题意得P（0，a）（a≠0），Q（x，2x2﹣4x+a）（1＜x＜4）．故＝2x﹣4∈（﹣2，4）（2）由（1）知，点P坐标为（0，a）（a≠0）．令2x2﹣4x+a＝0，解得，故．故可设圆E的圆心为M（1，t），由|MP|2＝|MA|2得，，解得，则圆E的半径为．所以圆E的方程为，所以圆E的一般方程为，即．由得或，故E都过定点．解法二：（1）同解法一．（2）由（1）知，点P坐标为（0，a）（a≠0），设抛物线C与x轴两交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．设圆E的一般方程为：x2+y2+Dx+Fy+G＝0，则因为抛物线C与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），所以x1，x2是方程2x2﹣4x+a＝0，即的两根，所以，所以，所以圆E的一般方程为，即．由得或，故E都过定点．21．【解答】解：（1），①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为増函数；②若a＞0，则当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．故在上，f（x）为増函数；在上，f（x）为减函数．（2）因为x＞0，所以只需证，由（1）知，当a＝e时，f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，所以f（x）max＝f（1）＝﹣e．记，则，所以，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，所以g（x）min＝g（1）＝﹣e．所以当x＞0时，f（x）≤g（x），即，即xf（x）﹣e x+2ex≤0．解法二：（1）同解法一．（2）由题意知，即证exlnx﹣ex2﹣e x+2ex≤0，从而等价于．设函数g（x）＝lnx﹣x+2，则．所以当x∈（0，1））时，g'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．从而g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（1）＝1．设函数，则．所以当x∈（0，1））时，h'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0．故h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递増．从而h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）＝1．综上，当x＞0时，g（x）＜h（x），即xf（x）﹣e x+2ex≤0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）因为直线l的极坐标方程为，即ρcosθ+ρsinθ＝2，所以直线l的直角坐标方程为x+y＝2；因为（α参数，t＞0）所以曲线C的普通方程为，由消去x得，（1+t2）y2﹣4y+4﹣t2＝0，所以△＝16﹣4（1+t2）（4﹣t2）＜0，解得0＜t＜，故t的取值范围为．（2）由（1）知直线l的直角坐标方程为x+y﹣2＝0，故曲线C上的点（t cosα，sinα）到l的距离，故d的最大值为由题设得，解得．又因为t＞0，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）因为f（x）≤3﹣f（x﹣1），所以|x﹣1|≤3﹣|x﹣2|，⇔|x﹣1|+|x﹣2|≤3，或或解得0≤x＜1或1≤x≤2或2＜x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f（x）≤3﹣f（x﹣1）的解集为[0，3]．（2）因为，所以当时，f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|恒成立，而f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|⇔|x﹣1|﹣|x|+|x﹣a|≤0⇔|x﹣a|≤|x|﹣|x﹣1|，因为，所以|x﹣a|≤1，即x﹣1≤a≤x+1，由题意，知x﹣1≤a≤x+1对于恒成立，所以，故实数a的取值范围．。
福建省漳州市2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年福建省漳州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x∈N|﹣1＜x＜4}的真子集个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．若复数z满足i•z=1+i，则z的共轭复数的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣13．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的底面为直角梯形，则该几何体体积为（）A．8 B．10 C．12 D．245．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=30°，AD为BC边上的高，若，则等于（）A．2 B．C．D．6．执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．4 C．5 D．67．设函数f（x）=2cos2（x+）+sin（2x+），x∈（0，3π）则下列判断正确的是（）A．函数的一条对称轴为B．函数在区间内单调递增C．∃x0∈（0，3π），使f（x0）=﹣1D．∃a∈R，使得函数y=f（x+a）在其定义域内为偶函数8．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l与坐标轴交于点M，P为抛物线第一象限上一点，F为抛物线焦点，N为x轴上一点，若∠PMF=30°，，则=（）A．B．C．2 D．9．某校投篮比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为（）A．B．C．D．10．已知（2x﹣1）10=a0+a1x+a2x2++a9x9+a10x10，求a2+a3+…+a9+a10的值为（）A．﹣20 B．0 C．1 D．2011．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．312．已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为．14．已知θ是三角形的一个内角，且sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+px﹣2=0的两根，则θ等于．15．已知球O被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为2，若两圆的半径分别为和3，则球O的表面积为．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点（1，0），且P与点F1关于直线y=﹣对称，则双曲线方程为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成立的最小的正整数n的值．18．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点N（，﹣l）．21．已知函数f（x）=﹣2ax+1+lnx（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．四.请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省漳州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x∈N|﹣1＜x＜4}的真子集个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】子集与真子集．【分析】把集合A利用列举法写出，即A={0，1，2，3}，可得集合A的真子集个数为24﹣1=15．【解答】解：∵A={x∈N|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，∴集合A的真子集个数为24﹣1=15．故选：C．2．若复数z满足i•z=1+i，则z的共轭复数的虚部是（）A．i B．1 C．﹣i D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则，求出z以及z的共轭复数，写出的虚部即可．【解答】解：复数z满足i•z=1+i，∴z===1﹣i，∴z的共轭复数是=1+i，则的虚部是1．故选：B．3．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的底面为直角梯形，则该几何体体积为（）A．8 B．10 C．12 D．24【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得该几何体为底面为直角梯形的四棱锥，其高为2，直角梯形的高为3，两底长分别为3，5，运用棱锥的体积公式计算即可得到所求值．【解答】解：该几何体为底面为直角梯形的四棱锥，其高为2，直角梯形的高为3，两底长分别为3，5，如右：h=××2=8．其体积为V=S底故选：A．5．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=30°，AD为BC边上的高，若，则等于（）A．2 B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作出图形，根据条件便可求出，从而可得出，这样根据向量加法的几何意义并进行向量的数乘运算便可以得出，从而根据平面向量基本定理便可求出λ，μ的值，从而求出的值．【解答】解：如图，由题意得，；∴；∴===；又；∴；∴．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据输出的S值，确定跳出循环的n值，从而得判断框内的条件．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S==1﹣=．∴n=5，∴跳出循环的n值为5，∴判断框的条件为n＜5．即a=5．故选：C．7．设函数f（x）=2cos2（x+）+sin（2x+），x∈（0，3π）则下列判断正确的是（）A．函数的一条对称轴为B．函数在区间内单调递增C．∃x0∈（0，3π），使f（x0）=﹣1D．∃a∈R，使得函数y=f（x+a）在其定义域内为偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用降幂公式和辅助角公式化简，然后利用余弦函数的性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：f（x）=2cos2（x+）+sin（2x+）=1+cos（2x+）+sin（2x+）=，x∈（0，3π）．∵f（）=，∴A错误；当x∈时，2x∈[π，]，∴B错误；由f（x）=﹣1，得，即cos2x=，∴不存在实数x使f（x）=﹣1，C错误；当时，f（x+a）=f（x）=为偶函数，∴D正确．故选：D．8．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l与坐标轴交于点M，P为抛物线第一象限上一点，F为抛物线焦点，N为x轴上一点，若∠PMF=30°，，则=（）A．B．C．2 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由已知可得当P点到准线的距离为d时，d=|PF|=|PM|，|PM|=|PN|，进而得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l与坐标轴交于点M，P为抛物线第一象限上一点，F为抛物线焦点，N为x轴上一点，设P点到准线的距离为d，∵∠PMF=30°，则d=|PF|=|PM|，又∵，∴PM⊥PN，故|PM|=|PN|，故===，故选：B9．某校投篮比赛规则如下：选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是0.6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意得，该选手第二次不中，第三次和第四次必须投中，由此能求出该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率．【解答】解：根据题意得，该选手第二次不中，第三次和第四次必须投中，∴该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为：．故选：D．10．已知（2x﹣1）10=a0+a1x+a2x2++a9x9+a10x10，求a2+a3+…+a9+a10的值为（）A．﹣20 B．0 C．1 D．20【考点】二项式定理的应用．【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，再求出a1=﹣20，代入即求答案．【解答】解：令x=1得，a0+a1+a2+…+a9+a10=1，再令x=0得，a0=1，所以a1+a2+…+a9+a10=0，又因为a1=﹣20，代入得a2+a3+…+a9+a10=20．故选：D．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为（）A．B．C．D．3【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由正弦定理将2ccosB=2a+b，转化成2sinC•cosB=2sin A+sinB，由三角形内角和定理，将sin A=sin（B+C），利用两角和的正弦公式展开，化简求得，sinC的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值．【解答】解：由正弦定理，有===2R，又2c•cosB=2a+b，得2sinC•cosB=2sin A+sinB，由A+B+C=π，得sin A=sin（B+C），则2sinC•cosB=2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cosC+sinB=0，又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC=﹣，因为0＜C＜π，得C=，则△ABC的面积为S△=ab sinC=ab，即c=3ab，由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2ab cosC，化简，得a2+b2+ab=9a2b2，∵a2+b2≥2ab，当仅当a=b时取等号，∴2ab+ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是．故答案选：B．12．已知函数f（x）=x﹣存在单调递减区间，且y=f（x）的图象在x=0处的切线l与曲线y=e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，讨论a＜0，a ＞0可得a＞0成立，求得切线l的方程，再假设l与曲线y=e x相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，设h（x）=e x x﹣e x﹣1，求出导数和单调区间，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判断不存在．【解答】解：函数f（x）=x﹣的导数为f′（x）=1﹣e，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y=f（x）在x=0处的切线l的方程为y=（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y=e x相切，设切点为（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，设h（x）=e x x﹣e x﹣1，则h′（x）=e x x，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为5．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值即可．【解答】解：根据约束条件画出可行域直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值5，即目标函数z=5x+y的最大值为5，故答案为5．14．已知θ是三角形的一个内角，且sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+px﹣2=0的两根，则θ等于．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用韦达定理、同角三角函数的基本关系，求得cosθ的值，可得θ的值．【解答】解：由题意利用韦达定理可得，联立sin2θ+cos2θ=1，求得，由θ为三角形内角得，∴，∴，故答案为：．15．已知球O被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为2，若两圆的半径分别为和3，则球O的表面积为44π．【考点】球的体积和表面积．【分析】可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案，利用圆的几何性质求解．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，设圆O1的半径为O1A=，圆O2的半径为3于是O1E=O2E=设圆O1的半径为，圆O2的半径为3，则，O2A=3，所以球的半径，所求表面积为S=4πR2=44π．故答案为：44π．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点（1，0），且P与点F1关于直线y=﹣对称，则双曲线方程为x2﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF1|﹣|PF2|=（PB+BF1）﹣（PC+CF2），由此得到△PF1F2的内切圆的圆心横坐标．即为a=1，运用对称思想，结合中点坐标公式和两直线垂直的条件，再由直线的斜率公式和点P满足双曲线方程，化简整理，即可得到b=2，进而得到双曲线方程．【解答】解：点P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．设B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：PF1﹣PF2=（PB+BF1）﹣（PC+CF2）=BF1﹣CF2=AF1﹣F2A=（c+x）﹣（c﹣x）=2x=2a，即x=a，所以内切圆的圆心横坐标为a．由题意可得a=1，设P（m，n），F1（﹣c，0），P与点F1关于直线y=﹣对称，可得=，n=﹣（m﹣c），解得m=，n=．即有P（，），代入双曲线的方程可得﹣=1，由a=1，c2﹣b2=1，解得b=2，c=，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 4（1﹣S n+1）（n ∈N *），T n =++…+，求使T n ≥成立的最小的正整数n 的值． 【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）n=1时，易求a 1=，当n ≥2时，S n +a n =1①，S n ﹣1+a n ﹣1=1②，①﹣②可得数列递推式，由此可判断{a n }是等比数列，从而可求a n ．（Ⅱ）由（1）可求得b n ，利用裂项相消法可求得T n ，然后可解得不等式T n ≥得到答案；【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1，由S 1+a 1=1⇒a 1=，当n ≥2时，S n +a n =1①，S n ﹣1+a n ﹣1=1②，①﹣②，得=0，即a n =a n ﹣1，∴{a n }是以为首项，为公比的等比数列．故a n ==3（n ∈N *）；（Ⅱ）由（1）知1﹣S n+1==，b n =log 4（1﹣S n+1）==﹣（n+1），=，T n =++…+=（）+（）+…+（）=，≥⇒n ≥2014，故使T n ≥成立的最小的正整数n 的值n=2014．18．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E （ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，能求出m，由频率分布直方图，能求出抽取样本的平均数．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，∴m=35，由频率分布直方图，得：．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为0.05×100=5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，，，∴ξ所以．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由平行四边形的性质可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性质得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；（II）以A为原点建立空间直角坐标系，设=λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量及的坐标，根据线面角相等列方程解出λ．【解答】（Ⅰ）证明：∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，∵AB=AC，∴AB⊥AC．∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥AC．∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD．又EF⊂底面ABCD，∴PA⊥EF．又∵PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），∴=（2，0，﹣2），=（﹣2，2，﹣2），，=（1，1，﹣2）．设=λ（0≤λ≤1），则=（﹣2λ，2λ，﹣2λ），∴==（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），显然平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即令x=1，得=（1，1，1）．∴cos＜，＞==，cos＜＞==．∵直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，∴||=||，即，解得，或（舍）．∴．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点N（，﹣l）．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）由离心率为得，由直线l与圆相切得=b，再由b2+c2=a2即可解得a，b值；（Ⅱ）要证明直线AB过定点N（，﹣l），可证．设MA：y=k1x+1，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可表示点A坐标，同理可得点B坐标，由向量共线的条件可证；【解答】解：（I）由已知得：，解得，故椭圆方程为：；（Ⅱ）由（I）知M（0，1），设MA：y=k1x+1，由得：，则，所以，所以A（﹣，），同理可得B（﹣，），所以=（，），，所以•﹣===0，故，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（﹣，﹣1）．21．已知函数f（x）=﹣2ax+1+lnx（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x1，证明：x1lnx1﹣ax12＞﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由基本不等式可得斜率的最小值，及切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，讨论判别式的符号，设出二次方程的两根，运用韦达定理和构造函数，x∈（0，1），求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）∵a=0，∴，∴，当仅当时，即x=1时，f'（x）的最小值为2，∴斜率k的最小值为2，切点A，∴切线方程为，即4x﹣2y﹣1=0；（Ⅱ）∵，①当﹣1≤a≤1时，f（x）单调递增无极值点，不符合题意；②当a＞1或a＜﹣1时，令f'（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数f（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x1＜1，∴f′（x1）=0，，则，∵==，x1∈（0，1），令，x∈（0，1），∴，∴h′（x）=﹣3x+=，x∈（0，1），当时，h′（x）＞0，当时，h′（x）＜0，∴h′（x）在上单调递增，在上单调递减，∴，∴h（x）在（0，1）上单调递减．∴h（x）＞h（1）=﹣1，原题得证．四.请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C 的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2017-2018学年6月20日。
2017-2018学年福建省漳州市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案写在答题卷上）1．（5分）设集合，，则∁A B＝（）A．{0}B．C．{﹣2}D．2．（5分）下列函数的定义域与相同的是（）A．y＝2x B．y＝lgx C．D．3．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A．B．C．﹣2D．4．（5分）幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）下列判断正确的是（）A．1.61.5＞1.62B．0.50.2＞0.50.3C．1.60.3＜0.53.1D．log20.5＞log326．（5分）已知函数f（x）＝﹣2x2+mx﹣1在区间[1，+∞）上单调递减，则m取值的集合为（）A．{4}B．{m|m＜4}C．{m|m≤4}D．{m|m≥4} 7．（5分）已知，，且∥，则的值是（）A．1B．C．D．8．（5分）要得到的图象，只需将y＝2sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）如图是某市夏季某一天从6时到24时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），则该市这一天20时的气温大约是（）A．11°C B．13°C C．27°C D．28°C10．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点E满足，则＝（）A．12B．10C．8D．611．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），f（x+1）＝﹣f（x），且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，若A、B是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sin A）＞f（cos B）B．f（cos B）＞f（sin A）C．f（sin A）＞f（sin B）D．f（cos B）＞f（cos A）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案写在答题卷上）13．（5分）＝．14．（5分）若，，，则与的夹角为．15．（5分）化简：sin40°（tan10°﹣）＝．16．（5分）已知函数，g（x）＝x2﹣2x，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求m的值．18．（12分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|k＜x＜2﹣k}．（Ⅰ）当k＝﹣1时，求A∪B；（Ⅱ）若A∩B＝B，求实数k的取值范围．19．（12分）已知，（ω＞0），函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．20．（12分）已知定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用单调性的定义加以证明；（Ⅲ）解关于x的不等式f（log2x）＜f（1）．21．（12分）某水仙花经营部每天的房租、水电、人工等固定成本为1000元，每盆水仙花的进价是10元，销售单价x（元）（x∈N*）与日均销售量y＝g（x）（盆）的关系如下表，并保证经营部每天盈利．（Ⅰ）在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对（x，y）的对应点，并确定y与x的函数关系式；（Ⅱ）求出g（x）﹣g（x+1）的值，并解释其实际意义；（Ⅲ）请写出该经营部的日销售利润f（x）的表达式，并回答该经营部怎样定价才能获最大日销售利润？22．（12分）对定义域分别是D f、D g的函数y＝f（x），y＝g（x），定义一个函数h（x）：h（x）＝．（Ⅰ）若f（x）＝﹣x+2（x≥1），g（x）＝x﹣1（x∈R），写出函数h（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若sinθ﹣2h（x）≥0恒成立，求实数θ的取值范围；（Ⅲ）当f（x）＝2sin x+1（﹣π≤x≤0），g（x）＝|lnx|时，若函数φ（x）＝h（x）﹣a 有四个零点，分别为x1，x2，x3，x4，求x1+x2+x3+x4的取值范围．2017-2018学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案写在答题卷上）1．【解答】解：集合，，则∁A B＝{0}．故选：A．2．【解答】解：的定义域为{x|x≠0}．而函数y＝2x的定义域为R，y＝lgx的定义域为{x|x＞0}，的定义域为{x|x≥0}，的定义域为{x|x≠0}．∴与有相同的定义域的是．故选：D．3．【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点P （1，﹣2），则tanα＝＝﹣2，故选：C．4．【解答】解：设幂函数为y＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（8，2），∴2＝8α，∴＝23α，∴α＝，∴f（x）＝＝，则函数的变化越来越慢，故选：D．5．【解答】解：1.61.5＜1.62，0.50.2＞0.50.3，1.60.3＞1＞0.53.1，log20.5＜0＜log32．∴只有B正确．故选：B．6．【解答】解：∵对称轴x＝，函数f（x）＝﹣2x2+mx﹣1在区间[1，+∞）上单调递减∴≤1≤﹣1，解得：m≤4，故选：C．7．【解答】解：∵已知，，且∥，∴cosα﹣2sinα＝0，tanα＝，则＝＝＝，故选：C．8．【解答】解：＝2（sin2x﹣cos2x）＝2sin（2x﹣），根据左加右减的原则，要得到的图象，只需将y＝2sin2x的图象向右平移个单位．故选：D．9．【解答】解：由图可知：y min＝10，y max＝30，∴A＝＝＝10，B＝＝＝20，＝14﹣6＝8，T＝16，∴ω＝＝＝，∴y＝10sin（x+φ）+20，又点（14，30）在y＝10sin（x+φ）+20上，∴30＝10sin（×14+φ）+20，化简得：sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，∴φ＝﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴k＝1，φ＝，∴y＝10sin（x+）+20，∴x＝20时，y＝10sin（×20+）+20＝20﹣5≈13故选：B．10．【解答】解：∵，，∴＝＝＝，则＝（）•＝＝＝12故选：A．11．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣2）＝0，∵xf（x）＞0∴①，∴，∴0＜x＜2；②，∴，∴x＜﹣2．∴不等式xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：C．12．【解答】解：根据题意，设0＜x1＜x2＜1，则﹣1＜x1﹣1＜x2﹣1＜0，则f（x1）＝f[（x1﹣1）+1]＝﹣f（x1﹣1），f（x2）＝f[（x2﹣1）+1]＝﹣f（x2﹣1），则f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（x1﹣1）+f（x2﹣1），又由f（x）在[﹣1，0]上是增函数，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（x1﹣1）+f（x2﹣1）＞0，则函数f（x）在[0，1]上为减函数，若A、B是锐角三角形的两个内角，则A+B＝π﹣C＞，则有A＞﹣B，则sin A＞sin（﹣B）＝cos B，则有f（cos B）＞f（sin A）；故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案写在答题卷上）13．【解答】解：原式＝2﹣1×（﹣2）+﹣2＝4+4﹣2＝6．故答案为：6．14．【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵，，，∴＝•，即3＝•2•cosθ，求得cosθ＝，∴θ＝，故答案为：．15．【解答】解：＝sin40°（）＝sin40°•＝＝＝＝×2＝﹣＝﹣1故答案为：﹣116．【解答】解：当x∈[，2]时，f（x）＝log x+a为递减函数，∴f（x）∈[﹣1+a，2+a]；当x∈[﹣1，2]时，g（x）＝x2﹣2x∈[﹣1，3]，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）⇔[﹣1+a，2+a]⊆[﹣1，3]，∴，解得0≤a≤1，故答案为[0，1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵向量，．∴＝（1，6），∴＝＝．…………………………………………（4分）（2）∵＝（3﹣m，2+2m），…………………………………………………………（6分）又，∴（）＝﹣1×（3﹣m）+2×（2+2m）＝0，……………………………………………（9分）解得m＝﹣．……………………………………………………………………………（10分）18．【解答】解：（Ⅰ）当k＝﹣1时，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，．……………………（4分）（Ⅱ）∵A∩B＝B，则B⊆A．………………………………………………………………（5分）（1）当B＝∅时，k≥2﹣k，解得k≥1；……………………………………………（8分）（2）当B≠∅时，由B⊆A得，即，解得0≤k≤1．………（11分）综上，k≥0．……………………………………………………………………………（12分）19．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵，（ω＞0），函数的最小正周期为π．∴f（x）＝cosωx（ωx﹣cosωx）+＝ωx cosωx﹣cos2ωx+1＝ωx﹣+1＝sin（2ωx﹣）+．……………………………………………………（4分）∵f（x）的最小正周期为π，∴＝π，解得ω＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）+．……………………………………………………（6分）（Ⅱ）当﹣+2k，k∈Z时，f（x）单调递增，即﹣，k∈Z．∴f（x）单调递增区间是[﹣]，k∈Z．……………………………………（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，∴1+a＝0，∴a＝﹣1；（Ⅱ）f（x）在R上是增函数．证明如下：由（Ⅰ）得，f（x）＝2x﹣，设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＝2﹣﹣2+＝2﹣2+＝（2﹣2）（1+），∵x1，x2∈R，且x1＜x2，∴2﹣2＞0，1+＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是增函数；（Ⅲ）∵f（x）在R上是增函数，∴f（log2x）＜f（1）⇔log2x＜1，∴0＜x＜2，∴不等式解集为（0，2）．21．【解答】解：（Ⅰ）由题表作出（20，400），（35，250），（40，200），（500，100）的对应点，它们分布在一条直线上，如图所示．设它们共线于y＝kx+b，则取两点（20，400），（40，200）的坐标代入得，解得k＝﹣10，b＝600∴y＝﹣10x+600（1≤x＜60，且x∈N*），经检验（35，250），（50，100）也在此直线上．∴所求函数解析式为y＝g（x）＝﹣10x+600（1≤x＜60，且x∈N*），（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g（x）﹣g（x+1）＝10，实际意义表示：销售单价每上涨1元，日销售量减少10盆．（Ⅲ）依题意f（x）＝（10x+600）（x﹣10）﹣1000＝﹣10x2+700x﹣700＝﹣10（x﹣35）2+5250．（1≤x＜60，且x∈N*），∴当x＝35时，f（x）有最大值5250，故销售单价定为35元时，才能获得最大日销售利润．22．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）＝﹣x+2（x≥1），g（x）＝x﹣1（x∈R），依题意可得当x≥1时，h（x）＝f（x）g（x）＝（2﹣x）（x﹣1）＝﹣x2+3x﹣2；当x＜1时，h（x）＝g（x）＝x﹣1，所以h（x）＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得x≥1时，h（x）＝﹣（x﹣）2+≤，当x＜1，h（x）＝g（x）＝x﹣1＜0，可得h（x）的最大值为．又sinθ﹣2h（x）≥0恒成立，可得sinθ≥2h（x）恒成立，等价于sinθ≥2h（x）max＝．则实数θ的取值范围是；（Ⅲ）依题意可得h（x）＝，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，结合图象知x1+x2＝﹣π，且0＜x3＜1，x4＞1，由|lnx3|＝|lnx4|＝a得﹣lnx3＝lnx4，所以x3x4＝1，且x4∈（1，e]，x3+x4＝x4+，当x4∈（1，e]时递增，所以x3+x4∈（2，e+]，故x1+x2+x3+x4的取值范围是（2﹣π，e+﹣π]．。
2017-2018年福建省漳州市华安中学高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2017-2018学年福建省漳州市华安中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）2．（5.00分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B． C． D．3．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线交DC于点F，若，，则=（）A．B．C．D．4．（5.00分）函数的递增区间是（）A．B．C．D．5．（5.00分）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．D．6．（5.00分）sin210°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（5.00分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2]C．[1，2） D．（1，2]8．（5.00分）下列命题中，正确的是（）A．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行9．（5.00分）函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在10．（5.00分）设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a11．（5.00分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B． C．D．12．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）函数的定义域是．14．（5.00分）若tan（）=2，则=．15．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m 有3个零点，则实数m的取值范围是．16．（5.00分）下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）求值：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0（2）sin+cos+tan（）18．（12.00分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．19．（12.00分）如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是60m．（1）用宽x（单位m）表示所建造的每间熊猫居室的面积y（单位m2）；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？20．（12.00分）已知函数f（x）=sin2x sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期以及图象的对称轴方程（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a，（1）若a=2，求f（x）在区间[0，3]上的最小值；（2）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．22．（12.00分）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）（1）判断函数f（x）的单调性并给出证明；（2）若存在实数a使函数f（x）是奇函数，求a；（3）对于（2）中的a，若f（x）≥，当x∈[2，3]恒成立，求m的最大值．2017-2018学年福建省漳州市华安中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣8+log3x是连续函数，f（3）=﹣1，f（4）=log34＞0，f（3）f（4）＜0，故函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（3，4）内，故选：B．2．（5.00分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．B． C． D．【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，得函数y=sin[（x+）﹣]，即y=sin（x﹣），故选：C．3．（5.00分）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线交DC于点F，若，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，==（﹣）=（﹣），=+=（﹣）+=（+3）；∵A、E、F三点共线，∴∥，结合选项可知，=；故选：A．4．（5.00分）函数的递增区间是（）A．B．C．D．【解答】解：∵==cos（2x+）∴2x+∈[2kπ﹣π，2kπ]，∴故选：D．5．（5.00分）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．D．【解答】解：由已知，f1（x）=（2a﹣1）x+7a﹣2在（﹣∞，1）上单减，∴2a﹣1＜0，a＜①f2（x）=a x在[1，+∞）上单减，∴0＜a＜1．②且当x=1时，应有f1（x）≥f2（x）．即9a﹣3≥a，∴a≥③且由①②③得，a的取值范围是[，）故选：C．6．（5.00分）sin210°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选：B．7．（5.00分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2]C．[1，2） D．（1，2]【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选：D．8．（5.00分）下列命题中，正确的是（）A．与共线，与共线，则与也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C．向量与不共线，则与都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行【解答】解：A错，当=时，由与共线，与共线推不出与也共线，B错，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上，C对，D错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线．故选：C．9．（5.00分）函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在【解答】解：∵函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则f（0）=0，即lg（2+a）=0，则a=﹣1，此时，f（x）=lg，是奇函数，满足条件，故选：C．10．（5.00分）设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a【解答】解：根据题意，假设有指数函数y=a x与y=b x，若x＞0，有0＜b x＜a x＜1，则有a＞1且b＞1，若0＜b x＜a x＜1，则有=（）x＜1，又由x＞0，则＜1，即a＞b，则有1＞a＞b；故选：A．11．（5.00分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B． C．D．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D．12．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+==1，∴f（）+f（）+…+f（）=1008×1=1008．故选：C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5.00分）若tan（）=2，则=﹣．【解答】解：∵tan（）==2，∴tanα=，则===﹣，故答案为：﹣．15．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．16．（5.00分）下列说法中，所有正确说法的序号是②④．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．【解答】解：①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z}，不正确；②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），故正确；③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=＜1=tan45°，∴函数y=tanx在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；④由于函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移个长度单位即可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故正确；故答案为：②④．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10.00分）求值：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0（2）sin+cos+tan（）【解答】解：（1）lg8+lg125﹣（）﹣2+16+（）0 =3lg2+3lg5﹣49+23+1=﹣37（2）sin+cos+tan（）=sin+cos﹣tan=+﹣1=0．18．（12.00分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【解答】解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．19．（12.00分）如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是60m．（1）用宽x（单位m）表示所建造的每间熊猫居室的面积y（单位m2）；（2）怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？【解答】解：（1）设熊猫居室的宽为x（单位m），由于可供建造围墙的材料总长是60m，每间熊猫居室的长为30﹣x（单位m），所以两间熊猫居室的面积y=x（30﹣x）又，得0＜x＜20，于是y=﹣x2+30x，（0＜x＜20）为所求；（2）又（1）y=﹣x2+30x=﹣3（x﹣10）2+150，二次函数图象开口向下，对称轴x=10，且x∈（0，20），当x=10时，所建造的熊猫居室面积最大，使熊猫居室的宽10m，每间居室的长为15m时，所建造的熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为150m2．20．（12.00分）已知函数f（x）=sin2x sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期以及图象的对称轴方程（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，故它的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ+，求得x=+，可得f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，当2x﹣=﹣时，即x=0时，函数f（x）取得最小值0；当2x﹣=时，即x=时，函数f（x）取得最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a，（1）若a=2，求f（x）在区间[0，3]上的最小值；（2）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=﹣x2+4x﹣1=﹣（x﹣2）2+3，函数图象开口向下，对称轴为x=2，所以函数f（x）在区间[0，3]上是增加的，在区间[2，3]上是减少的，有又f（0）=﹣1，f（3）=2∴f（x）min=f（0）=﹣1 …（3分）（2）对称轴为x=a当a≤0时，函数在f（x）在区间[0，1]上是减少的，则f（x）max=f（0）=1﹣a=3，即a=﹣2；…（6分）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增加的，在区间[a，1]上是减少加的，则f（x）max=f（a）=a2﹣a+1=3，解得a=2或﹣1，不符合；…（9分）当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增加的，则f（x）max=f（1）=﹣1+2a+1﹣a=3，解得a=3；…（11分）综上所述，a=﹣2或a=3 …（12分）22．（12.00分）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）（1）判断函数f（x）的单调性并给出证明；（2）若存在实数a使函数f（x）是奇函数，求a；（3）对于（2）中的a，若f（x）≥，当x∈[2，3]恒成立，求m的最大值．【解答】解：（1）不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则=，由x1＜x2，知0＜，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴不论a为何实数，f（x）在定义域上单调递增．（2）∵存在实数a使函数f（x）是奇函数，∴由f（﹣x）=﹣f（x），得，解得a=1．（3）由条件可得m ≤2x （1﹣）=（2x +1）+﹣3恒成立，m ≤（2x +1）+﹣3恒成立，m ≤（2x +1）+﹣3的最小值，x ∈[2，3]，设t=2x +1，则t ∈[5，9]，函数g （t ）=t +﹣3在[5，9]上单调递增，∴g （t ）的最小值是g （5）=，m ，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∴m的最大值为．。
福建省漳州三中2017-2018学年高三第二次月考数学文试题 Word版含答案
2017-2018学年高三毕业班第二次月考文科数学检测卷一．选择题：共12小题，每小题4分，共48分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、集合{|A x y ==，{}|128x B x =≤≤，则A B ⋂=（ ）A ．[13]，B ．(23]，C ．[23]，D ．(13]， 2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．x y sin =B ．xy )21(=C ．x y =D ．3x y -=3、下列说法中正确的是（ ） A ．“5x >”是“3x >”必要条件B ．命题“x R ∀∈，210x +>”的否定是“x R ∃∈，210x +≤”C ．R m ∈∃，使函数)()(2R x mx x x f ∈+=是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f (log 312)的值是（ ）A. 5B. 3C. －1D. 725、“1=a ”是“直线01:1=-+y ax l 与直线05)3(4:2=++++a y a x l 平行”的（ ） A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6、化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a 7、当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点（ ）A ．(2，－2)B ．(2，－3)C ．(1，－2)D ．(1，－3) 8、下列函数图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9、定义在R 上的偶函数y = f (x )满足f (x +1) =－f (x )，且在[－1，0]上单调递增，设a = f （3），b =f (2)，c =f （－2），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>c>aD ．c>b>a10、函数2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y )的一部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）A ．y=sin(x +3π) B ．y=sin(x －3π) C ．y=sin(2x +3π) D ．y=sin(2x －3π)11、已知F 1、F 2分别是双曲线()22221x y a b a b-=>0,>0的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．∞)B ．(2，＋∞)C ．2)D ．(1,2)12、已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（ ）A ．（2，+∞）B ．（－∞，－2）C ．（1，+∞）D ．（－∞，－1）二．填空题：本大题共四小题，每小题4分。
2017-2018年福建省漳州市东山二中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年福建省漳州市东山二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．（5分）i是虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 3．（5分）已知函数f（x）=x2+（sinα﹣2cosα）x+1是偶函数，则sinαcosα的值为（）A．B．C．D．04．（5分）已知向量，满足，，且，则向量，的夹角θ为（）A．B．C． D．5．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．7．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若=2，则S2012的值等于（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2010 D．﹣20138．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．2k﹣1项D．2k项9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且a+b=5，则c等于（）A．B． C．4 D．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，且不等式x+2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[6，9]B．[6，10] C．[8，9]D．[8，10]11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（x﹣b）2（b∈R）在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，函数y=log2（x+2）的定义域为集合B，则集合（C U A）∩B=．14．（5分）在平面几何里，有：“若△ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径=（a+b+c）r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四为r，则三角形面积为S△ABC面体A﹣ACD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4内切球的半径为r，则四面体的体积为．15．（5分）若函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x﹣m在[0，]上有零点，则实数m的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD 的面积为4，则AC的长为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）某服装超市举办了一次有奖促销活动，顾客消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性抽出3个小球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球则打6折，若摸到1个红球，则打7折；若没有摸到红球，则不打折；方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回的摸取，连续3次，每摸到1个红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，则该顾客选择哪种抽奖方案更合适？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）设A，B为曲线：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a为常数．（1）若0＜a＜1，求证：；（2）当f（x）存在三个不同零点时，求a的取值范围．选修4-5：不等式选讲22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|，x∈R．（1）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；（2）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤﹣1}，求a的取值范围．2017-2018学年福建省漳州市东山二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．（5分）i是虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵==i2+i=﹣1+i，∴，故选：D．2．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=x2+（sinα﹣2cosα）x+1是偶函数，则sinαcosα的值为（）A．B．C．D．0【解答】解：函数f（x）=x2+（sinα﹣2cosα）x+1是偶函数，可得sinα﹣2cosα=0，可得tanx=2．sinαcosα===．故选：A．4．（5分）已知向量，满足，，且，则向量，的夹角θ为（）A．B．C． D．【解答】解：向量，满足，，且，∴（﹣）•（+）=﹣•﹣=4﹣×2×1×cosθ﹣×1=0，解得cosθ=，∴向量，的夹角θ=．故选：B．5．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．6．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选：C．7．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若=2，则S2012的值等于（）A．﹣2011 B．﹣2012 C．﹣2010 D．﹣2013【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则其前n项和为S n=na1+，∴=a1+，∴﹣=，∴{}为公差是的等差数列，∴﹣=2×=d，又﹣=2，∴d=2．∵数列{a n}为等差数列，a1=﹣2 012，∴S2012=2012a1+=2012×（﹣2012）+×2=﹣2012．故选：B．8．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且a+b=5，则c等于（）A．B． C．4 D．【解答】解：∵cosC=，，∴•=abcos（π﹣C）=﹣abcosC=﹣ab=﹣2，解得：ab=8，a+b=5，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC=25﹣16﹣4=5，则c=．故选：A．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，且不等式x+2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[6，9]B．[6，10] C．[8，9]D．[8，10]【解答】解：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x+2y在点（6，a﹣6）处取得最大值2a﹣6，由2a﹣6≤14得，a≤10，故8≤a≤10，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（x﹣b）2（b∈R）在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．【解答】解：∵函数f（x）在区间上存在单调增区间，∴函数f（x）在区间上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．，设h（x）=2x2﹣2bx+1，则h（2）＞0或，即8﹣4b+1＞0或，得．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，函数y=log2（x+2）的定义域为集合B，则集合（C U A）∩B=（﹣2，﹣1] ．【解答】解：函数y=中x+1＞0，解得：x＞﹣1，∴A=（﹣1，+∞），又全集U=R，∴C U A=（﹣∞，﹣1]，函数y=log2（x+2）中x+2＞0，解得：x＞﹣2，∴B=（﹣2，+∞），则（C U A）∩B=（﹣2，﹣1]．故答案为：（﹣2，﹣1]14．（5分）在平面几何里，有：“若△ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径为r，则三角形面积为S=（a+b+c）r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四△ABC面体A﹣ACD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4内切球的半径为r，则四面体的体积为V=）r．四面体A﹣BCD【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为故答案为：（S1+S2+S3+S4）r．15．（5分）若函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x﹣m在[0，]上有零点，则实数m的取值范围是[﹣1，] ．【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x﹣m=sin2x﹣cos2x﹣m=sin（2x ﹣）﹣m 在[0，]上有零点，故函数y=sin（2x﹣）的图象和直线y=m在[0，]上有交点，函数y=sin（2x﹣）在[0，]上的值域为[﹣1，]，故m∈[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．16．（5分）在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD 的面积为4，则AC的长为4或2．【解答】解：由题意可得CB•CD•sin∠BCD=4，即×2×2 sin∠BCD=4，解得sin∠BCD=．①当∠BCD 为锐角时，cos∠BCD=．△BCD中，由余弦定理可得BD==4．△BCD中，由正弦定理可得，即，故sinB=．在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得AC=4．②当∠BCD 为钝角时，cos∠BCD=﹣．△BCD中，由余弦定理可得BD==4 ．△BCD中，由正弦定理可得，即，故sinB=．在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得AC=2．综上可得AC=4或2，故答案为4或2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，n≥2时，+2a n﹣1=4S n﹣1+3，相减可得：a n2+2a n﹣（+2a n﹣1）=4a n，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=2，又=4a1+3，a1＞0，解得a1=3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和=+…+==．18．（12分）某服装超市举办了一次有奖促销活动，顾客消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性抽出3个小球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球则打6折，若摸到1个红球，则打7折；若没有摸到红球，则不打折；方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回的摸取，连续3次，每摸到1个红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，则该顾客选择哪种抽奖方案更合适？【解答】解：（1）选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球，设一位顾客享受免单优惠为事件A，则P（A）==，所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P（A）•P（A）=；（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000；计算P（X=0）==，P（X=600）==，P（X=700）==，P（X=1000）==；所以随机变量X的分布列为：X的数学期望为：E（X）=0×+600×+700×+1000×=（元）；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则Z=1000﹣200Y，由已知可得Y～B（3，），数学期望为E（Y）=3×=，所以E（Z）=E（1000﹣200Y）=1000﹣200E（Y）=820（元）；因为E（X）＜E（Z），所以该顾客选择第一种抽奖方案更合适．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为20．（12分）设A，B为曲线：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y=上两点，则直线AB的斜率为k==（x1+x2）=×4=1；（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=，可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，再由y=的导数为y′=x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，解得m=2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM=﹣1，即为•=﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为﹣4t+8+20=0，解得t=7．则直线AB的方程为y=x+7．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a为常数．（1）若0＜a＜1，求证：；（2）当f（x）存在三个不同零点时，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax+，∴f（）=ln﹣+=2lna﹣+﹣ln2，令g（a）=2lna﹣+﹣ln2，∴g′（a）=﹣﹣=，∴a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，∴g（a）＞g（1）=2﹣﹣ln2＞0，∴当0＜a＜1时，f（）＞0；（2）∵f′（x）=﹣a（1+）=，令f′（x）=0，∴﹣ax2+x﹣a=0，∵函数f（x）存在不同的零点，∴△=1﹣4a2＞0，解得﹣＜a＜；①当a≤0时，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；②当a≥时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；③当0＜a＜时，令f′（x）=0，得，x1=，x2=，此时，f（x）在（0，x1）上递减，（x1，x2）上递增，（x2，+∞）上递减，∴f（x）至多有三个零点．∵f（x）在（x1，1）递增，∴f（x1）＜f（1）=0，又∵f（）＞0，∴∃x0∈（，x1），使得f（x0）=0，又f（）=﹣f（x0）=0，f（1）=0，∴恰有三个不同零点：x0，1，，∴函数f（x）存在三个不同的零点时，a的取值范围是（0，）．选修4-5：不等式选讲22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|，x∈R．（1）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；（2）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤﹣1}，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥|x+1|+1，即|x﹣1|≥|x+1|+1，即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，而﹣0.5对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，故不等式f（x）≥|x+1|+1的解集为{x|x≤﹣0.5}．（2）若不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x，即，当a=0时，求得x≤0，显然满足条件；当a＜0时，求得x≤，由于它包含{x|x≤﹣1}，故有≥﹣1，求得﹣4≤a＜0；当a＞0时，求得x≤﹣，由于它包含{x|x≤﹣1}，故有﹣≥﹣1，求得0＜a ≤2．综上可得，要求的a的取值范围为[﹣4，2]．。
福建省漳州市第一中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
漳州一中2017-2018学年高三年期中考文科数学 试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设全集U ={}5,4,3,2,1,集合{}4,3,2=A ,集合{}5,2=B ,则=)(A C B U ( ){}5.A{}5,2,1.B {}5,4,3,2,1.Cφ.D2.若复数i m m )1()1(2++-为实数(i 为虚数单位),则实数m 的值为( )1.-A0.B1.C1.-D 或13．已知向量),1(n a =，)2,1(--=n b ，若a 与b 共线.则n 等于（ ）A ．1BC ．2D ．44. ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =2c =，2cos 3A =，则=b （ ） A .2 BC .2D .35．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ． 2- D ．7 6. 已知直线0=++cby ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则⋅ 的值是( ) A ．12- B ．12C ．34-D ．0 7. 函数xex f x1)(ln +=的大致图象为( )A. B. C. D.8.抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ，若线段AF 的中点B 在抛物线上，则||BF =( ) A.54 B.529.等差数列{}n a 中，35a =，且4822a a +=，则11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前20项和为( ) A.4041 B.2041 C.4243 D.214310.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式2275V L h ≈，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A ．227 B ．258C ．15750D ．355113 11.已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点分别为21,F F ，若双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ． 3321<<e B ．31<<e C ． 3>e D ． 332>e 12.已知,αβ为锐角ABC ∆的两个内角，22sin cos sin cos )(,--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∈x x x f R x αββα，则关于x 的不等式0)1()12(>+--x f x f 的解集为( )A. ),2()34,(+∞⋃-∞ B.)2,34( C.),2()34,(+∞⋃--∞ D.)2,34(- 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，满分20分)13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。
2017-2018年漳州市高一上期末考数学参考答案与评分标准
2017—2018学年上学期漳州市期末质量检测高一数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）三、解答题（本大题共6小题，共74分．） 17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知得2(1,6)a b += ，所以2a b += 4分（2）依题意得(3,22)a mb m m +=-+，…………………………………………………………6分又 (+)⊥ a mb b ，∴(+)0a mb b = ，即1(3)2(22)0m m --++=，……………………………………………9分解得15m =-． ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1k =-时，{}|13B x x =-<<，则{}|13A B x x =-<< ．……………………4分（Ⅱ） A B B = ，则B A ⊆．………………………………………………………………5分（1）当B =∅时，2k k ≥-，解得1k ≥； ……………………………………………8分（2）当B ≠∅时，由 B A ⊆得2122k k k k <-⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，即110k k k <⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩，解得01k ≤<． ………11分综上，0k ≥ ． ……………………………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）11()cos cos )22f x x x x ωωω=-++2cos cos 1x x x ωωω⋅-+1cos 2212x x ωω+=-+ 1sin(2)62x πω=-+． ……………………………………………………4分()f x 的最小正周期为π， 2=2ππω∴，解得1ω=， 1()sin(2)62f x x π∴=-+ ． ……………………………………………………6分（Ⅱ）当222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈时，()f x 单调递增，即,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈． ∴()f x 单调递增区间是[]()63k k k Z ππππ-++∈，． ……………………………………12分（注：答案的表达形式不唯一）20.（本小题满分12分）解: （Ⅰ） 函数()f x 是定义在R 上奇函数，∴(0)0f =，即(0)=10f a +=，解得1a =-，经检验，符合题意，∴1a =-． ………………………………………………………………………………2分（Ⅱ）()f x 在R 上是增函数． ……………………………………………………………3分 证明如下：由（Ⅰ）可得，1()22xx f x =-，设12,x x R ∈，且12x x >，则 12121211()()2222x x x x f x f x -=--+122111(22)()22x x x x =-+-12121222(22)2x x x x x x +-=-+12121(22)(1)2x x x x +=-+ …………………………………………………6分12,x x R ∈，且12x x >，∴1212122,102x x x x +>+>,∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,因此，()f x 在R 上是增函数．…………………………………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）()f x 在R 上是增函数，所以，不等式2(log )(1)f x f <等价于2log 1x <， ……………………………………10分 解得02x <<，∴不等式的解集为{}|02x x <<． ………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：(Ⅰ)由题表作出(20,400)，(35,250)，(40,200)，(50,100)的对应点，它们分布在一条直线上，如图所示． …………………………………………………2分 设它们共线于y kx b =+，则取两点(20,400)，(40,200)的坐标代入得2040040200k b y k b +=⎧=⎨+=⎩⇒10.600.k b =-⎧⎨=⎩…………………4分 ∴10600y x =-+(160x ≤<，且*x N ∈)，经检验(35,250)，(50,100)也在此直线上．∴所求函数解析式为()10600y g x x ==-+(160x ≤<，且*x N ∈)． ……………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)可得()(1)10g x g x -+=，实际意义表示：销售单价每上涨1元，日销售量减少10盆．………………………………………………8分（Ⅲ）依题意()(10600)(10)1000f x x x =-+--2107007000x x =-+-210(35)5250x =--+(160x ≤<，且*x N ∈). …………………………11分∴当35x =时，()f x 有最大值5250，故销售单价定为35元时，才能获得最大日销售利润．…………………………………………………12分22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由于 ()2(1)f x x x =-+≥，()=1()g x x x R -∈，依题意可得当1≥x 时，()()()(2)(1)h x f x g x x x ==-+-232x x =-+-；当1<x 时，()()=1h x g x x =-，所以232,(1)()1,(1)x x x h x x x ⎧-+-≥=⎨-<⎩. ……………………………………………………4分（Ⅱ）由(Ⅰ)可得1x ≥时，2311()()244h x x =--+≤，当1<x ，()()=10h x g x x =-<，∴()h x 的最大值为14．又sin 2()0h x θ-≥恒成立，∴sin 2()h x θ≥恒成立，等价于max 1sin 2()2h x θ≥=． ∴实数θ的取值范围是522,66k k k Z ππθπθπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．……………………………8分 （Ⅲ）依题意可得2sin 1,(0)()ln ,(0)x x h x x x π+-≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，不妨设1234x x x x <<<，结合图像知12x x π+=-，且301x <<，41x >，由34ln ln x x a ==得34ln ln x x -=，所以34=1x x ，且4(1,]x e ∈，34441x x x x +=+当4(1,]x e ∈时递增，所以341(2,]x x e e +∈+，故1234+++x x x x 的取值范围是1(2,]e eππ-+-．……………………………………………12分。
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福建省漳州市东山二中2017-2018学年高三（上）期末数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则M∩N=（ ）
A．∅ B．{x|x＞0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}
2．复数a2﹣a﹣6+（a2+a﹣12）i为纯虚数的充要条件是（ ）
A．a=3或a=﹣2 B．a=3或a=﹣4 C．a=3 D．a=﹣2
3．已知命题p：∃x∈[0，π]，sinx＜，则￢p为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m B．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α D．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
6．若直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最
小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．已知，若垂直，则=（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
8．定义在R上的奇函数f（x）满足：x≤0时f（x）=ax+b（a＞0且a≠1），f（1）=，则
f（2）=（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
9．如果函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点成中心对称，且，
则函数为（ ）
A．奇函数且在上单调递增 B．偶函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递减 D．奇函数且在上单调递减
10．已知数列{an}，{bn}满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2﹣bnx+2n的两个零点，则b
10
等于（ ）
A．24 B．32 C．48 D．64
11．函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
①函数y=f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）；
②函数y=f（x）满足f（x+2）=f（﹣x）；
③函数y=f（x）满足f（﹣x）=f（x）；
④函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x）．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
12．已知函数f（x）在R上单调递增，设，若有f（α）
﹣f（β）＞f（1）﹣f（0），则λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，
+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．给出如图的程序框图，那么输出的数是 ．
14．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为 ．
15．如图，F1、F2为双曲线的焦点，A、B为双曲线的顶点，
以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的
离心率为 ．
16．有下列四个命题：
①的夹角为锐角的充要条件是．
②∃x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；
③∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a1﹣2x+1都恒过定点；
④方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2﹣4F≥0；
其中正确命题的序号是 ．（将正确命题的序号都填上）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1=2，a3=a22﹣10．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是以1为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an﹣bn}的前n项和Sn．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=DC=1，BP=BC=，PC=2，AB⊥平面PBC，F为PC
中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面ADP⊥平面PDC；
（Ⅲ）求VP﹣ABCD．
19．（Ⅰ）一个骰子投掷2次，得到的点数分别为a，b，求直线y=a﹣b与函数y=sinx图象
所有交点中相邻两个交点的距离都相等的概率．
（Ⅱ）若a是从区间[0，6]上任取一个数，b是从区间[0，6]上任取一个数，求直线y=a﹣b
在函数y=sinx图象上方的概率．
20．将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移后得到g（x）
图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于
点B、C，点M为最高点，且S△MBC=．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式，并判断（﹣，0）是否是g（x）的一个对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，g（A）=1，且a=，求S△ABC的最
大值．
21．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A为上顶点，AF1交椭
圆E于另一点B，且△ABF2的周长为8，点F2到直线AB的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；