完全平方公式的推导及简单应用
1.6.1完全平方公式.(教案)
一、教学内容
本节课选自教科书1.6.1节，主要教学内容为完全平方公式。内容包括：
（1）完全平方公式的推导：a²+b²+2ab=(a+b)²，a²-b²=(a+b)(a-b)；
（2）完全平方公式的应用：解决平方差问题，简化计算过程；
（3）完全平方公式的拓展：多项式的完全平方公式及其应用。
突破方法：通过对比、归纳、总结，让学生掌握多项式完全平方公式的特点，如x²±2xy+y²=(x±y)²，以及拓展到更多类似公式。
（注：由于字数限制，此处未能达到2000字，但已尽量详细列出教学难点与重点。在实际教案中，可根据需要进一步拓展相关内容。）
四、教学流程
（Hale Waihona Puke ）导入新课（用时5分钟）同学们，今天我们将要学习的是《完全平方公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两个数的平方和或平方差的情况？”（如：计算正方形和长方形的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和应用这两个重点。对于难点部分，如多项式的完全平方公式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题，如计算平面直角坐标系中两点间的距离。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过实际测量和计算来验证完全平方公式在解决实际问题中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
完全平方公式知识点分解
完全平方公式知识点分解1.完全平方公式的定义：(a+b)² = a² + 2ab + b²2.完全平方公式的推导：完全平方公式可以通过将一个二次多项式展开后进行适当的合并得到。
假设有一个二次多项式：(x+a)²，我们可以将其展开为：x² + 2ax + a²。
而这个结果恰好是完全平方公式的一种形式。
根据这种思路，可以得到完全平方公式的一般形式：(a+b)² = a² + 2ab + b²。
3.完全平方公式的应用：-求解二次方程：通过将一个二次方程转化为完全平方公式的形式，可以更容易地解得方程的根。
-分解因式：对于一个多项式，如果它是一个完全平方公式的形式，那么可以通过完全平方公式的逆运算，将其分解为两个一次多项式的乘积。
-求解二次特殊图形问题：例如，求解一个面积已知的正方形边长，可以通过构造一个面积为完全平方公式的方程，然后利用完全平方公式求解。
4.完全平方公式的推广：除了一般形式的完全平方公式，还存在其他推广形式的完全平方公式。
例如，如果一个三次多项式可以表示为两个一次多项式的平方之差，那么可以利用完全平方公式的推广形式进行分解。
常见的推广形式包括：- 差平方公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²-完全平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)- 三次平方差公式：a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)5.完全平方公式的相关例题：下面列举几个常见的完全平方公式的例题，以进一步说明其应用：例题1：求解方程x²+6x+9=0的解。
解：将方程转化为完全平方公式的形式：(x+3)²=0。
由此可得，x+3=0，所以x=-3例题2：将多项式x²+4x+4分解为两个一次多项式的乘积。
完全平方公式
完全平方公式1. 首先，对于给定的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过变形，将其化为一个完全平方形式的方程。
2.为了将二次方程化为完全平方形式，我们需要找到一个常数k，并将方程的右侧加上k^23.通过将二次方程的方程左右两边加上k^2，我们可以将其转化为一个完全平方形式的方程。
4.对于一个完全平方形式的方程(x+k)^2=d，其中，k和d分别是常数，我们可以通过开方，求解出方程的根。
下面我们来具体推导完全平方公式，并介绍如何使用它进行根的求解。
首先，我们考虑一个一般的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，并且a ≠ 0。
我们希望将这个方程转化为一个完全平方形式。
为了实现这一目标，我们可以通过添加一个恰当的常数来改变方程。
具体地说，我们假设常数k满足如下条件：k^2=(b/2a)^2、这样，我们可以将二次方程表示为：ax^2 + bx + c = 0ax^2 + bx + k^2 - k^2 + c = 0a(x^2 + 2kx + k^2) = k^2 - c接下来，我们将方程的左侧作为一个完全平方进行处理。
具体地说，我们可以将其表示为(x+k)^2，这样方程可以重写为：(x+k)^2=k^2-c通过对等式两侧开方，我们可以得到：x+k=±√(k^2-c)x=-k±√(k^2-c)这样，我们就得到了二次方程的根。
注意，这里的k和c可以是任意实数。
在使用完全平方公式求解二次方程时，我们需要根据方程的判别式（即 b^2 - 4ac）的正负来判断根的情况：1.当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根。
2.当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根。
3.当判别式小于零时，方程没有实数根，而是有一对共轭复数根。
完全平方公式是解二次方程常用的一种方法，它的优点是可以直接得到二次方程的根，并且适用于任何二次方程。
但需要注意的是，当存在其他更简单的方法来求解二次方程时，我们应该优先考虑这些方法，以避免不必要的计算。
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程数学是一门非常有趣的科目，不过有些朋友对于数学这门课程不太感兴趣，想要学习好数学?其实也是比较简单的，只要记住好一些计算公式口诀就可以了，今天就让来给大家分享一下关于完全平方公式基本知识。
完全平方公式完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。
(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b;我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。
先用代数方法证明，a+2ab+b=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b)(乘法分配律)=(a+b)x(a+b)=(a+b)。
同理，a-2ab+b=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b)(乘法分配律)=(a-b)x(a-b)=(a-b)。
完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。
两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。
显然，大正方形的面积为(a+b)。
它也等于①②③④四部分的面积和。
分别计算四部分的面积：那么，大正方形的面积=a+ab+ab+b(a+b)=a+2ab+b，同样，我们再来证明(a-b)=a-2ab+b。
大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。
小正方①的面积为(a-b)。
①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。
一起分别计算下②③④的面积吧。
大正方形的面积为a，小正方形①的面积=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb 即，(a-b)=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb展开后，得(a-b)=a-2ab+b完全平方式又常常写成：(a±b)=a±2ab+b。
完全平方公式口诀首平方，尾平方，首尾相乘放中间。
或首平方，尾平方，两数二倍在中央。
也可以是:首平方，尾平方，积的二倍放中央。
完全平方公式是什么?以上就是给大家解答的相关的疑问，大家平时不妨现在熟悉一下这个完全平方公式的口诀，只要记熟了完全平方公式口诀就可以轻松的计算出完全平方算式。
初中数学完全平方公式知识点归纳
初中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是指二元二次方程的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解的方法。
下面是初中数学中关于完全平方公式的归纳知识点：1.完全平方公式的形式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a ≠ 0，那么它的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解。
完全平方形式是指将二次项和一次项的系数合并为一个完全平方的形式。
2.完全平方公式的表达式：设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则它的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3.完全平方公式的推导：在推导完全平方公式时，首先将方程右侧移到左侧，得到一个平方的形式，然后通过配方完成平方形式的提取。
4.完全平方公式的用途：完全平方公式可以用于求解一元二次方程的根，特别对于不能直观看出解的二次方程来说，可以通过完全平方公式直接求解。
5.完全平方公式的例题：例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以应用完全平方公式计算出其解为：x=(-5±√(5^2-4(2)(-3)))/(2(2))6.完全平方公式的注意事项：在应用完全平方公式时，需要注意判别式的值。
判别式为b^2 - 4ac，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
7.完全平方公式与图像的关系：完全平方公式也可以用来解释二次函数的图像特征。
例如，当b=0时，方程的解为x=±√(-c/a)，可以看出二次函数的图像与x轴交于两点；当判别式大于0时，二次函数的图像与x轴有两个不相等的交点；当判别式等于0时，二次函数的图像与x轴有一个重复的交点；当判别式小于0时，二次函数的图像与x轴没有交点。
8.完全平方公式的应用：完全平方公式不仅可以用于求解一元二次方程的根，还可以应用于其他数学问题中。
例如，可以用完全平方公式证明两条直线之间的距离公式、证明两个平面之间的夹角余弦公式等。
北师大数学七下课件第1课时完全平方公式的推导及简单应用
第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
探究问题二 完全平方公式的拓展与应用
例 3 [高频考题] 还记得完全平方公式(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 吗？当 a，b＞0 时，完全平方公式可以用图①来 说明． (1)对图②进行适当的分割，猜想出(a＋b＋c)2 的展开形式，并 给出其推导过程； (2)通过求解本题，你有哪些收获？
重难互动探究
探究问题一 完全平方公式 例 1 [高频考题] 计算：(1)(3a＋2b)2； (2)(mn－n2)2.
第a＋2b)2 ＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2 ＝9a2＋12ab＋4b2. (2)(mn－n2)2 ＝(mn)2－2·mn·n2＋(n2)2 ＝m2n2－2mn3＋n4.
[归纳总结]用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分 的面积之和表示．这是求解与探究数学问题中常用的思路．
初中数学课件
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第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
探究新知
► 活动1 知识准备
计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝__p_2_＋__2_p_q_＋__q_2_____； (2)(m＋2)(m＋2)＝__m_2_＋__4_m_＋__4_________； (3)(x－y)(x－y)＝___x_2－__2_x_y_＋__y_2___________．
图中正方形的边长为a＋b＋c， 那么面积可表示为(a＋b＋c)2， 各部分的面积之和表示为a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (2)任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们 两两乘积的2倍．
完全平方公式的逻辑推导与解释
完全平方公式的逻辑推导与解释完全平方公式是初中数学中常见且重要的知识点之一，它是解决一元二次方程的基础。
在学习完全平方公式时，许多同学会觉得公式的推导和原理比较抽象，不容易理解。
因此，本文将通过逻辑推导和详细解释的方式，帮助读者更好地掌握完全平方公式的含义和应用。
首先，我们来看一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
为了方便推导完全平方公式，我们假设方程的两根分别为 $x_1$ 和 $x_2$。
根据一元二次方程求根公式可得：$x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$接下来，我们将一元二次方程的通解表示成形如 $(x - m)(x - n) = 0$ 的完全平方形式，其中 $m$ 和 $n$ 是待定系数。
展开左边的式子可得：$x^2 - (m + n)x + mn = 0$通过比较一元二次方程和完全平方形式的系数，我们可以得到以下结论：$m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$现在，我们尝试对上述两个方程进行变形，我们有：$(m + n)^2 = (-\frac{b}{a})^2$$mn = \frac{c}{a}$进一步展开第一个方程可得：$m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$将 $mn = \frac{c}{a}$ 代入可得：$m^2 + 2(\frac{c}{a}) + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$化简即可得到完全平方公式：$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2} + 4\frac{c}{a}$根据完全平方公式的推导过程，我们可以进一步解释完全平方公式的含义。
在一元二次方程中，当判别式 $b^2 - 4ac$ 大于等于 0 时，方程有实数根，此时可以利用完全平方公式将方程化为完全平方形式，从而求得方程的解。
完全平方公式的深入理解与应用
完全平方公式的深入理解与应用完全平方公式是初中数学中重要的内容之一，对于学生来说，充分理解并灵活运用完全平方公式是提高解题效率和准确性的关键。
本文旨在通过深入探讨完全平方公式的概念、推导过程及应用技巧，帮助学生更好地掌握这一数学工具。
1. 完全平方的定义首先，我们来回顾一下完全平方的定义。
所谓完全平方，是指一个数等于某个数的平方，即能找到一个整数使得这个数等于这个整数的平方。
比如，4就是一个完全平方，因为4=2²。
在代数表达中，完全平方有一个明确的表达形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这个表达形式就是完全平方公式，也是我们接下来要深入探讨的内容。
2. 完全平方公式的推导完全平方公式的推导是很多学生难以理解的地方，但只要掌握了一些技巧，就能轻松完成。
这里，我们以(a + b)² = a² + 2ab + b²这个完全平方为例进行推导。
首先，我们将(a + b)²展开得到：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)。
接着，我们分别将两部分进行展开计算：a(a + b) = a² + ab，b(a + b) = ab + b²。
最后，将两部分相加得到(a + b)² = a² + 2ab + b²。
通过以上推导过程，我们可以清晰地看到完全平方公式的由来，也更加深入地理解了这一公式的含义及应用。
3. 完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有许多应用，其中包括解方程、化简表达式、证明等等。
下面，我们以解方程为例，简要说明完全平方公式的应用技巧。
当我们遇到形如 x² + 6x + 9 = 0 的方程时，可以利用完全平方公式求解。
首先，我们发现9可以写成3²，也就是(x + 3)² = 0。
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完全平方公式
第1课时完全平方公式的推导及简单应用
课题第1课时完
全平方公式
的推导及
简单应用
授课人周凯
教学目标知识技能
1、经历探究完全平方公式的过程，并归纳总结完全平方公式；
2、能运用完全平方公式进行简单的计算。
数学思考
经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，培养学生
的数形结合意识.
问题解决
了解(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2的几何背景，发展几何观.
情感态度
在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学生学习数学的信心，感受数学的内在美.
教学
重点
理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.
教学难点
经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力.
授课
类型
新授课课时1教具多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动设计意图
活动一：创设情境导入新课【课堂引入】
更大的生日蛋糕
大家都知道老师有两个孩子，有一天他们找我。
请两个同学来表演一下：
儿子：去年我和妹妹的生日蛋糕都是面积只有的正方形，
太小了。
女儿：是啊！我长大一岁了，生日蛋糕要再多出一个
儿子：我也长大一岁了，要求把蛋糕边长增加b，变为
（+b）
女儿：那不是一样大吗？
儿子：不对，我的蛋糕会更大。
同学们认为哥哥说的对吗？为什么？
通过实际情境让
学生产生兴趣，调
动学生学习积极
性。
活动通过特例的探
二：实践探究交流新知
【探究1】(a＋b) 2＝a2＋2ab＋b2
问题1：如图，你能用代数式表示哥哥想要蛋糕的面积
吗？
由图可以看出哥哥比妹妹的蛋糕多了两块。
因此(a＋b) 2≠a2＋b2
问题2：那么(a＋b) 2等于什么呢？
请同学们小组交流，得出结果。
学生展示，得出公式
(a＋b) 2＝a2＋2ab＋b2
由于两个代数式都表示同一图形的面积，因此相等。
问题3：你能用多项式乘多项式来验证两个代数式相
等吗？
学生交流展示
【探究2】(a－b)2＝a2－2ab＋b2
问题1：老师还有一个公式没有完成，同学们能帮老师
完成吗？(a－b)2＝？
学生思考，交流展示。
问题2：你能自己设计一个图形解释这一公式吗？
问题3：分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描
述完全平方公式．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
结构特点：左边是二项式(两数和或差)的平方；右边是
两数的平方和加上(减去)这两数乘积的2倍．
语言描述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加
上(或减去)这两数积的2倍．
索，引入完全平方
公式，再让学生自
己举例加深对公式
的体会．而在计算
图形的面积时，通
过对比这些表示方
式可以使学生对于
公式有一个直观的
认识．同时在古代
人们也是通过类似
的图形认识了这个
公式．通过自主探
究和交流学到了新
的知识，学生的学
习积极性和主动性
得到大大的激发．
问题1是让学
生从代数运算的角
度，推导出两数差
的完全平方公式，
培养学生有条理的
思考和语言表达能
力．
问题2使学生
再次从几何的角度
来验证两数差的完
全平方公式．从而
学生经历了几何解
释到代数运算，再
到几何解释的过
程，学生的数形结
合意识得以培养，
并且从不同的角度
推导出了公式，并
且加以巩固．
【板书设计】
提纲挈领，重点突
出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过几何图形面积的求法，复习平方差公式的同时，为
后面的对比学习完全平方公式做好准备.
②[讲授效果反思]
对计算结果结构特征的分析时教师板书其特征，让学生
更容易看到其运算的过程，再结合几何图形的面积从直观上进行巩固，让学生对完全平方公式有较好的理解和认识.
③[师生互动反思]
_____________________________________________
④[习题反思
好题题号_____________________________________
错题题号_____________________________________ 反思，更进一步提升.。