北京市人大附中初三第一学期月考数学试卷
2024北京人大附中初三3月月考数学试卷和答案
2024北京人大附中初三3月月考数 学（时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（共16分，每小题2分）1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱2. 2023年我国规模以上内容创作生产营业收人累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为（ ）A. 239510⨯ B. 43.9510⨯ C. 33.9510⨯ D. 50.39510⨯3. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A. 23B.34C.25D.354. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若60AOC ∠=︒，40BOE ∠=︒，则DOE ∠的度数为（ ）A.60︒B. 40︒C. 20︒D. 10︒5. 正六边形的外角和是（ ）A. 180︒B. 360︒C. 540︒D. 720︒6. 已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A. 1- B. 1C. 2D. 37. 如图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（ ）A. B.C. D.8. 如图，正方形边长为a ，点E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB ∠=︒，连接CE ．给出下面四个结论：①AE CE +；②CE ；③BCE ∠的度数最大值为60︒；④当CE a =时，1tan 2ABE ∠=．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④二、填空题（共16分，每小题2分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．10.分解因式：3a 2﹣12=___．11. 方程322x x=+的解为_______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数6y x=的图象经过点(2,)A m 和点(2,)B n -，则m n +=______．13. 如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是______米．14. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠︒=，则ADC ∠=________°．15. 用一组a ，b ，m 的值说明“若a b <，则ma mb >”是错误的，这组数可以是=a ___________，b =___________，m =___________．16. 从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路3035t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计A59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．三、解答题（共52分）17. 计算：06cos 455(2)+--π-°．18. 解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19. 已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．20. 如图，在ABC 中， AB AC =．（1）使用直尺和圆规，作AD BC ⊥交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①BEC ∠= °；②写出图中一个与CBE ∠相等的角 ．21. 如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23. 列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24. 如图，AB 是O 的直径，点E 是OB 的中点，过点E 作弦CD AB ⊥，连接AC ，AD ．（1）求证：ACD 是等边三角形；（2）若点F 是AC的中点，过点C 作CG AF ⊥，垂足为点G ．若O 的半径为2，求CG 的长．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c=+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛ ⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1. 【答案】A【分析】结合长方体的三视图特征判断即可．【详解】解：∵长方体的三视图都是长方形，三棱柱的三视图中有三角形，圆锥和圆柱的三视图中有圆，∴该几何体符合长方体的三视图特征，故选A ．【点睛】本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题的关键．2. 【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将39500用科学记数法表示应为43.9510⨯．故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为33235=+ ；故选：D ．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．4. 【答案】C【分析】根据对顶角相等可得60BOD ∠=︒，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：60AOC ∠=︒ ，60BOD ∴∠=︒，40BOE ∠=︒ ，∴604020DOE BOD BOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．5. 【答案】B【分析】根据任何多边形的外角和是360︒即可求出答案．【详解】解：正六边形的外角和是360︒．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360︒，外角和与多边形的边数无关．6. 【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得z mkx mb =+，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【详解】解：由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得：()z m kx b mkx mb =+=+，z ∴与x 的函数关系为一次函数关系，0k < ，0b >，0m >，0mk ∴<，0mb >，z ∴与x 的函数图象过一、二、四象限．故选：D ．8. 【答案】C【分析】如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，先证明点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时AE CE AC +=， 当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，证明Rt Rt OBC OEC △≌△，得到CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，则1tan 2OE OCE CE ==∠，再证明ABE BCO OCE ==∠∠∠，得到1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，即可判断③④．【详解】解：如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90AHB ∠=︒；∵90AEB ∠=︒，∴点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∵90AHB ∠=︒，∴点H 在圆O 上，∵AE CE AC +≥==，∴当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时，AE CE AC +=，故①正确；∵点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∴当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，在Rt OBC △中，由勾股定理得OC ==，∴CE 12a -=，故②错误；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，∵OB OE OC OC ==，，∴()Rt Rt HL OBC OEC ≌，∴CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，∴1tan 2OE OCE CE ==∠，∴30OCE ≠︒∠，∴60BCE ≠︒∠，∴BCE ∠的度数最大值不是60︒，故③错误；∵BC EC OB OE ==，，∴OC 垂直平分BE ，∴ABE BOC BOC BCO +=+∠∠∠∠，∴ABE BCO OCE ==∠∠∠，∴1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，故④正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E 的运动轨迹是解题的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9. 【答案】1x ≥【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负是解决本题的关键．根据二次根式被开方数非负可得10x -≥，解不等式即可．【详解】由题意得：10x -≥，解得：1x ≥，故答案为：1x ≥．10. 【答案】3（a +2）（a ﹣2）【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】3a 2﹣12=3（a 2﹣4）=3（a +2）（a ﹣2）．11. 【答案】4x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：()322x x =+，解得：4x =，检验：当4x =时，()20x x +≠，所以4x =是分式方程的解，故答案为：4x =．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12. 【答案】0【分析】将(2,)A m ，(2,)B n -两点代入反比例函数求得m 和n 的值，再计算求值即可；【详解】解：∵点A 和B 在反比例函数图象上，∴632m ==，632n ==--，∴330m n +=-=，故答案为：0；【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．13. 【答案】2【分析】由题意知AB PO ∥，得出Rt ABC Rt POC ∽，根据AB AC PO PC=求出AB 的值．【详解】解：由题意知AB PO∥在Rt ABC 和Rt POC △中 C C CAB CPOABC POC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ Rt ABC Rt POC∽∴AB AC PO PC =∴353 4.5AB =+解得2AB =故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．14. 【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到∠ADC =∠ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到∠ACB =90°，再根据∠BAC =40°即可求解.【详解】解：如图所示，连接BC∴∠ADC =∠ABC∵AB 是直径∴∠ACB =90°∵∠BAC =40°∴∠ABC =180°-90°-40°=50°∴∠ADC =∠ABC =50°故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15. 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 0【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理证明，而判断一个命题是假命题，只需举反例即可．本题中依据题意选出适当的a 、b 、c 即可，答案不唯一．【详解】解：当1,2,0a b m ===时，满足a b <，而0,0ma mb ==，不满足ma mb >，∴1,2,0a b m ===符合题意．故答案为：1,2,0.16. 【答案】C【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.【详解】解：样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，∴乘坐C 线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．故答案为：C.【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.三、解答题（共52分）17. 【答案】4【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．【详解】解：06cos 455(2)-+--π-°651=-+-4=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．18. 【答案】35x <<【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19. 【答案】2【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：(2)(2)(2)x x x x +---，2242x x x =--+，2224x x =--，∵230x x --=，∴23-=x x ． 0∴原式22()42x x =--=．【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20. 【答案】（1）见详解 （2）①90；②CAD∠【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线得到AD ；（2）①根据等腰三角形的性质得到DB DC =，则BC 为D 的直径，然后根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒；②先利用AB AC =得到A ABC CB =∠∠，再根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒，根据等角的余角相等得到CBE CAD ∠=∠．【小问1详解】如图，AD 即为所作．【小问2详解】①AB AC = ，AD BC ⊥，DB DC ∴=，AD 平分BAC ∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒；②AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒，AD BC ⊥ ，90CBE BCE ∠+∠=︒ ，90CAD ACD ∠+∠=︒，CBE CAD ∴∠=∠．21. 【答案】（1）见详解；（2）4BF =，3AD =【分析】（1）由题意易得AD ∥CE ，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF =CE =AD ，然后由45,cos 5BE B ==可进行求解问题．【详解】（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥CE ，∵//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD 是平行四边形，∴CE AD =，∵EF AB ⊥，AE 平分BAC ∠，90ACB ∠=︒，∴EF CE =，∴EF =CE =AD ，∵45,cos 5BE B ==，∴4cos 545BF BE B =⋅=⨯=，∴3EF ==，∴3AD EF ==．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．22. 【答案】（1）112y x =-+，(2,0)A （2）4m >-【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为112y x =-+，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A 点坐标；（2）当函数y x n =+与y 轴的交点在点A （含A 点）上方时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．【小问1详解】解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该一次函数的表达式为112y x =-+，令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；【小问2详解】解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，4m ∴>-．23. 【答案】150件【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x ，依题意可得：60006000254x x+=，解得：150x =．经检验，150x =是原分式方程的解且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．24. 【答案】（1）证明见解析；（2）CG =．【分析】（1）连接OC ，先证明AB 是CD 的垂直平分线，从而求得AC AD =，利用特殊三角函数值判断60COE ∠=︒，则可推得60CAD ∠=︒，利用“有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形”即可得证；（2）先根据()1中的结论及圆周角定理得到30GAC ∠=︒，证明AEC AGC ≌即可得CG CE =，根据勾股定理即可求出直角COE 中CE 的长，即CG 的长．【小问1详解】证：如图，连接OC ，AB 是O 的直径，且CD AB ⊥，CE DE ∴=，BC BD =，BAC BAD ∴∠=∠，AB ∴是CD 的垂直平分线，AC AD ∴=，OC OB = ，点E 是OB 的中点，∴点C 在线段OB 的垂直平分线上，1122OE BE OB OC ===，Rt COE ∴ 中,1cos 2OE COE OC ∠==，即60COE ∠=︒，BC BC =，1302BAD BAC COE ∴∠=∠=∠=︒，即60CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒ACD ∴是等边三角形．【小问2详解】解：由()1得，ACD 是等边三角形，60ADC ∴∠=︒，F 是AC 的中点，12CF AC ∴=，1302GAC ADC BAC ∴∠=∠=︒=∠，CD AB ⊥ ，CG AF ⊥，90AEC AGC ∴∠=∠=︒，在AEC 和AGC 中，AEC AGC GAC EAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEC AGC AAS ∴ ≌，CG CE ∴=，O 半径为2，且点E 是OB 中点，2OC OB ∴==，1OE =，Rt COE ∴中，CE ===，CG CE ∴==【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理并能灵活运用特殊三角函数值．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c =+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．【答案】（1）见详解 （2）0.1b =-，25c =，1k =-（3）>【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当4y =时x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：（1）由题意，作图如下．【小问2详解】解：由题意，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04y x bx c =-++．又点(0,25)，(10,20)在函数图象上，∴2250.04101020c b c =⎧⎨-⨯++=⎩．解得：0.125b c =-⎧⎨=⎩．∴场景B 函数关系式为210.040.125y x x =--+．对于场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系2y kx c =+．又(0,25)，(10,15)在函数图象上，∴251015c k c =⎧⎨+=⎩．解得：251c k =⎧⎨=-⎩．∴场景B 函数关系式为225y x =-+．∴0.1b =-，25c =，1k =-．【小问3详解】解：由题意，当4y =时，场景A 中，20.040.1254x x --+=，解得：1221.7x x =≈=，（舍），即：21.7A x ≈，场景B 中，425B x =-+，解得：21B x =，A B x x ∴>．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线1x =（2）12y y <（3）1122m -<<【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．（1）利用抛物线对称轴公式求出即可；（2）根据条件点M 、N 都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN 中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m 的取值范围．【小问1详解】解：抛物线22y ax ax c =-+（0a >）的对称轴为：212a x a -=-=，∴抛物线的对称轴为直线1x =；【小问2详解】∵0a >，抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，121,2x a x a =+=+，∴()11,M x y ，()22,N x y 都在对称轴右侧，∵当1x >时，y 随x 的增大而增大，且12x x <，∴12y y <；【小问3详解】∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴122123222x x m m +++<< ，∵12,0y y a <>，∴()11,M x y 距离对称轴更近，12x x <，则MN 的中点在对称轴的右侧，∴2112m +<，2312m +>，解得：1122m -<<．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）CF DF=【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【小问1详解】解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；【小问2详解】CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．【答案】（1）①1Q ，2Q ；②p ≤≤（2）存在，14MN ≤≤【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，根据勾股定理得出221x y +=，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p =同理可得p 的最小值为，即可求解；（2）依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN 的最值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，1PQ 连线的中点在O 的内部， 2PQ 的中点的纵坐标为1，则点2,P Q 关于1y =对称点P 关于O 的关联点是1Q ，2Q ，故答案为：1Q ，2Q ．②如图所示，设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，∵设O 上的点的坐标为(),x y ，则221x y +=，联立2212x y y x⎧+=⎨=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当P 点的对称点为M 时，点P 的横坐标最大，∵1,123ON OP ==+=,NA PB ∥，∴NPx ON OP x =,∴p =同理可得p的最小值为∴p ≤≤【小问2详解】解：依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵1AM ≤，则M 在半径为1的A 上以及圆内，M 关于O 的关联点N∴MN 的最大值为314OM ON +=+=，如图所示，当M 在线段OA 上时，MN 取最小值，∵52OA ==∴511122MT OM OT OA AM OT =-=--=--=∴21MN MT ==∴14MN ≤≤【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2021北京人大附中初三(上)10月月考数学(教师版)
2021北京人大附中初三（上）10月月考数 学2021．10第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题的选项只有一个．1．若关于x 的一元二次方程230x x a -+=的一个根为1，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-1 2．二次函数2241y x x =+-的对称轴是直线（ ）A ．2x =-B ．1x =-C ．2x =D ．1x =3．下面的图形是用数学名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．科克曲线B ．笛卡尔心形线C ．赵爽弦图D ．斐波那契螺旋线4．用配方法解方程2610x x +-=，正确的是（ ）A ．()238x -=B ．()238x +=C ．()2310x -=D ．()2310x += 5．在ABC △中，5AB AC ==，8BC =，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）A ．点B 在A 内 B ．点C 在A 上C ．直线BC 与A 相切D ．直线BC 与A 相离 6．抛物线()21y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4 7．已知O 的半径为2，点P 为O 内一定点，且1PO =，过点P 作O 的弦，其中最短的弦的长度是（ ）A ．4BC ．D ．28．如图，已知ABC △与DEF △全等，点A ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，点E 在AC 边上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40A ∠=︒，35CED ∠=︒，则下列说法中正确的是（ ）A ．EF EC =，AE FC =B ．EF EC =，AE FC ≠ C ．EF EC ≠．AE FC =D ．EF EC ≠，AE FC ≠第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．将抛物线2y x =向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为______．10．点()3,1-关于原点的对点的坐标为______．11．若关于x 的一元二次方程210ax bx +-=有两个相等的实数根，请写出一组符合题意的a ，b 的值=a ______，=b ______．12．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点．若65CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为______．13．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图绕中心旋转n 后能与原来的图案里合，那么n 的最小值是______．14．若二次函数22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点坐标为()3,0，则关于x 的方程220x ax c α-+=的实数根是______．15．如，AB 是O 的直径，弦//MN AB ，分别过M ，N 作AB 的垂线，垂足为C ，D ．以下结论①AC BD =②AM BN =③回若四边形MCDN 是正方形，则12MN AB =④若M 为AN 的中点，则D 为OB 中点所有正确结论的序号是______． 16．在测量时，为了确定被测对象的最佳近似值，经常要对同一对象测量若干次，得到测量结果分别为1x ，2x ，……，n x ，然后选取与各测量结果的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．即如果设这组测量结果的最佳近似值为0t ，则0t 需要使得函数()()()22212n y x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-达到最小值．科研小组利用这种方法来分析麦穗的长度．（1）如果在测量了3个麦穗长度之后，得到的数据（单位：cm ）是1 6.2x =，2 6.0x =，5 5.8x =，则按上述方法，可以得到这组数据的最佳近似值为______．（2）科研小组在（1）的基础上又测量了6个麦穗长度。
北京人大附中2023-2024九上12月月考数学试卷
初三上大作业92023.12.6班级：姓名：学号：一．选择题（每小题4分，共40分）1．若，则等于（）A．B．C．D．12．投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是（）A．B．C．D．3．如果反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么它的图象分布在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF ＝4，则DE的长为（）第4题图第5题图第6题图A．2B．3C．4D．5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C．D．6．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是圆的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC等于（）A．110°B．100°C．120°D．90°7．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）第7题图第8题图第9题图第10题图A．15°B．17.5°C．20°D．25°8．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣9．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．210．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）A．不小于B．不小于C．小于D．小于二．填空题（每小题4分，共36分）11．若2=3=5（abc≠0），则rr Kr＝．12．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是度．13．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，利用计算机模拟的结果，摸出黑球的频率在0.5附近波动，由此可以估计出n的值是．14．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．第14题图第15题图第16题图15．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．16．如图所示，正方形ABCD边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．17．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3＝_____．第17题图第18题图第19题图18．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是．19．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．三．解答题（每小问4分，共24分）20．如图，已知点E在△ABC是边AC的中点，点F在边AB的延长线上，EF交BC于点D，如果＝，求．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．22．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．附加题：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．。
北京市人大附中分校 2022-2023年年 初三 上12月考数学试卷
2022-2023学年第一学期 12月月考 初三数学 试题班级：____________ 姓名：____________ 学号：__________一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．在平面直角坐标系中，点P （－3，－2）关于原点对称的点的坐标是 （ ）A ．（3，2）B ．（－3，－2）C ．（2，－3）D ．（－3，2）2．下列二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2−4x +4=0B ． −x 2+6x −10=0C ．x 2+3x +9=0D ． −3x 2−x +4=03．如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是 （ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70° 4．在不透明的布袋中有若干个球，这些球除颜色外完全相同，如果摸出红球的概率为，袋中红球有3个，则袋中共有球( )．A ．5个B ．8个C ．10个D ．15个5．如图，⊙O 与直线l 1相离，圆心O 到直线l 1的距离OB ＝2√3，OA ＝4，将直线l 1绕点A 逆时针旋转30°后得到的直线l 2刚好与⊙O 相切于点C ，则OC ＝（ ）A. 1B. 2C. 3D.46．如图，点P 是反比例函数y =6x 的图象上的任意一点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB ，点D 是矩形OAPB 内任意一点，连接DA 、DB 、DP 、DO ，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47．如图，在△ABC 中，∠BCA =60°，∠A =45°，AC =4，经过点C 且与边AB相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值是（ ）A. 3B. 2√3C.2√2 D. √6518. 二次函数y ＝x 2+bx +c .①当－1≤x ≤1时，y 的取值范围是－1≤y ≤1， 该二次函数的对称轴 为x =m ，则m 的最小值为1－√2②存在实数b 和c ，使得当－1≤x ≤1时，y 的取值范围是－1≤y ≤1，且y 随x 增大而增大. ③当－1≤x ≤1时，存在函数值y ，使得－1≤y ≤1. 对于任意给定的实数b 和c ，该函数均有最小值y min ，则y min 的最大值为1.④若只存在两个自变量值x 1，x 2，其中－1≤x 1＜x 2≤1，使得对于相应的函数值y 1，y 2， 有－1≤y 1≤y 2≤1，则该函数最小值为－2上述结论中，所有正确结论的序号是_____________________ A. ①② B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．将抛物线y =x 2向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．10. 若圆锥的底面积为16π，母线长为12，，则它的侧面展开图的圆心角为11. 若圆的一条弦的长度是半径的√2倍，则该弦所对的圆周角为_______________°. 12. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC =9，BP = 13BC =2，D 在AC 上， 且∠APD =∠B ，则CD =_______13. Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，则该三角形的内切圆半径为_________.14. 反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则k 的取值范围为__________________15. 如图，△ABC 中，已知∠C =90°，∠B =60°，点D 在边BC 上（点D 不与B 、C 重合）．把△ABC 绕着点D 顺时针旋转，如果点C 恰好落在初始Rt △ABC 的AB 边上，那么BDCD 的取值范围是_________________16. 点A 、B 在反比例函数y =4x （x ＞0）的图象上，下列说法正确的是________________①点C 在直线y =x 上，存在等腰Rt △ABC ，且∠C =90°.②存在第三象限内的点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形，且∠C =90°. ③点B （4，1），点C 在直线y =－x －3上，存在两个等腰Rt △ABC ， 且∠C =45°.④点C 在直线y =－x 上，若点A 、B 的横坐标均小于2，则不存在等腰Rt △ABC ， 且∠ABC =45°三、解答题（本题共52分，第17、18题，每题5分；第19---21题，每题6分；第22---24题，每题8分）17. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC( )(填推理的依据)．∴∠ABP=12∠BAC．18. 如图，平面直角坐标系中，点A（1，4），B（2，1），C（5，4），D（8，5），线段AB绕着某点旋转后与线段CD重合.（1）AB=______________（2）请直接写出该旋转中心的坐标为_________________________（3）点O也绕（1）中的旋转中心，作与线段AB一样的旋转变换，则旋转后的对应点坐标为______________________________19. 一个不透明的布袋中有完全相同的四个小球，把它们分别标号为1，2，3，4．甲和乙做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后，扔到旁边；再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，甲赢；若标号之和为偶数，则乙赢．（1）用画树状图的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请用概率的知识判断这个游戏是否公平，并说明理由．20. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象过点P（2，2）.x（1）求k的值；（x＞0）的图象交于点N,过（2）一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=kx≤S∆MNQ≤4点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线,两平行线相交于点Q，当12时，结合图象，直接写出a的取值范围.21. 如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE.（1）求证：AE是⊙O的切线（2）若AE=2√5，CD=8，求⊙O的半径和AD的长.22. 函数y=ax2+bx（a＞0）的图象上存在两点A（1，m），B（4，n）（1）若m＜n，下列说法正确的是：_______________①b＜0 ②a+b＜0 ③5a+b＞0（2）若mn＜0，对于所有满足条件的实数a和b，当k－3＜x＜k+1时，函数不存在最值，求出k的取值范围.23．在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接．（1）如图1，当点旋转到边上时，若O 为AB 中点，连接EO ，DO . 请直接写出线段与的位置关系和数量关系：__________________________；（2）如图2，当点旋转到边上时， 点O 在线段AB 上，且OE =OD ，求证：O 为AB 中点.24．对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P （点P 不在线段AB 上），给出如下定义：当P A =PB 时，过点A （或点B ）向直线PB （或P A ）作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”. 如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D 为点PAB的“测度点”.（1）如图，点M （0，4）、N （2，0），① 点P 的坐标为（5，4），直接写出点P 关于线段MN 的“测度线段”的长度________；② 点H 为平面直角坐标系中的一点，且HM =HN ，则下列四个点：Q 1（0,0），Q 2（3,3），Q 3（1,0），Q 4（0,4）中，是点H 关于线段MN 的“测度点”的是____________；（2）直线364y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 与点B ，① 点G 为平面直角坐标系中一点，且GA =GB ，若一次函数143y kx k =-+上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，直接写出k 的取值范围为_______________________________；② ⊙O 的半径为r ，点C 与点D 均在⊙O 上，且线段65CD r =. 点K 与点O 位于线段CD 的异侧，且KC =KD ，若在线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，直接写出r 的取值范围为_______________________________.ADC ∆BEC ∆90ADC BEC ∠=∠=︒BC CD <BEC ∆C AB B CD DO EO B AC2022-2023学年第一学期12月月考初三数学答题纸班级：____________ 姓名：____________ 学号：__________二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. _______________ 10. _______________ 11. ________________ 12. ________________13. _______________ 14. _______________ 15. ________________ 16. ________________三、解答题（本题共52分，第17、18题，每题5分；第19---21题，每题6分；第22---24题，每题8分）17. ①∠ABP＝．②___________________________________________________．18.（1）AB=_____________________（2）旋转中心的坐标为_________________________（3）点O旋转后的对应点坐标为______________________________19. （1）（2）答：20. （1）解：（2）a的取值范围为____________.21.（1）证明：（2）解：22.（1）说法正确的是：_______________ （2）解：23．（1）线段与的位置关系和数量关系：__________________________；（2）证明：24．（1）①点P 关于线段MN 的“测度线段” 的长度________；②点H 关于线段MN 的“测度点”的是____________； （2）① k 的取值范围为_______________________________； ② r 的取值范围为_______________________________.DOEO。
北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试卷(含详解)
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据切线的性质定理得∠OAB=90°，进而可求得∠AOB=50°，再根据圆周角定理即可求得∠ACD的度数．
【详解】解：∵ 为 的切线，切点为 ，
∴∠OAB=90°，
∵∠ABO=40°，
①求Q点 纵坐标（用含a的式子表示）；
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
23.如图， 是等腰直角三角形， 是直角三角形， ，点 为边 中点将 绕点 顺时针旋转，旋转角记为 ，点 为边 的中点．
如图，求初始状态时 的大小；
如图，在旋转过程中，若点 构成平行四边形，请直接写出此时 的值；
【详解】A.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
B.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
C.对于函数 ，∵xy=-2<0，∴x，y异号，故不存在“同号点”；
D.点 在函数 的图象上，故存在“同号点”；
故选C．
【点睛】本题考查了新定义问题，以及函数图像上点的坐标特征，正确理解“同号点”的定义是解答本题的关键．
∴∠AOB=90°﹣∠ABO=90°﹣40°=50°，
∴∠ACD= ∠AOB=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、直角三角形的两锐角互余、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．
5.已知点 在反比例函数的 的图像上，当 时， 的取值范围是（）
A. B. 或
C. D. 或
B选项中的三边长分别为： ，3， ，
三边不成比例，
∴这两个三角形不相似，B不符合题意；
C选项中的三边长分别为： ，1，2 ，
2023北京人大附中初三9月月考数学
2023北京人大附中初三9月月考数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．一元二次方程4x2+1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4，1，6B．4，6，1C．4，﹣6，1D．4，﹣6，﹣12．下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．用配方法解方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝﹣3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝﹣54．近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2015年手机支付用户约为3.58亿人，连续两年增长后，2017年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（）A．3.58（1+x）＝5.27B．3.58（1+2x）＝5.27C．3.58（1+x）2＝5.27D．3.58（1﹣x）2＝5.275．如图，△ABC绕某点旋转，得到△DEF，则其旋转中心的坐标是（）A．（1，0）B．（1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（0，0）6．若，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y27．如图，不等边△ABC内接于⊙O，下列结论不成立的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠4C．∠AOB＝2∠ACB D．∠ACB＝∠2+∠38．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（）①抛物线开口向上；②当x＝﹣2时，y取最大值；③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0．A．③④B．②③C．②④D．①②③④二、填空题（本题共24分，每题3分）9．点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是．10．如图，将一个含30°角的直角三角板△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与另一个直角三角板△EBD完全重合，且点C，B，E在一条直线上，则α＝．11．将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为．12．若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x和y满足如表：x…﹣2﹣1012…y…1510767…根据表中信息推断，方程ax2+bx+c＝10的根为．14．如图，A，B，C，D四点都在⊙O上．已知∠AOB＝70°，则∠ADB＝．15．如图，正方形的四个顶点坐标分别为（1，1），（1，3），（3，1），（3，3）．若抛物线y＝ax2与正方形有两个公共点，则a的取值范围是．16．在平面直角坐标系xOy中，线段AB＝4，点M，N在线段AB上，且MN＝2，P为MN的中点，如果任取一点Q，将点Q绕点P顺时针旋转180°得到点Q'，则称点Q'为点Q关于线段AB的“旋平点”．⊙O 的半径为4，点A，B在⊙O上，点Q（1，0），如果在直线x＝m上存在点Q关于线段AB的“旋平点”，则m的最大值是．三、解答题（本题共52分，第17、21题，每题8分；第18、20题，每题5分；第19、22题，每17．解方程：（1）x2+2x＝8；（2）x2+x﹣1＝0，18．如图，圆形油槽装入油后，油深CD为16cm，油面宽度AB为48cm，求圆形油槽的直径．19．已知a是方程x2﹣x﹣9＝0的一个根，求（a﹣1）2+（a+3）（a﹣3）的值．20．如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE．求证：BE⊥CE．21．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，它的图象顶点为A，并且与y轴交于点B．（1）直接写出A，B的坐标；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当0＜x＜3时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．（4）若直线y＝kx+b也经过A，B两点，直接写出关于x的不等式kx+b＜x2﹣4x+2的解集．22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B 顺时针旋转60°得到线段BQ连接CQ．（1）请补全图形；（2）直接写出在点P运动过程中，线段CQ的最大值为，线段CQ的最小值为．23．已知关于x的一元二次方程x﹣4x﹣m（m+4）＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC，若点F恰为AC中点，补全图形并求GC的长．25．2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某跳水运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m00.20.40.60.8 1.62竖直高度y/m10.0010.4510.6010.4510.00 5.20 1.00①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；②运动员必须在距水面5m前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6m，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣4.16（x﹣0.38）2+10.60．如图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域AB内（含A，B）入水能达到压水花的要求，则第二次训练达到要求（填“能”或“不能”）．四、附加题（本题10分）26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y＝x2﹣4mx+2m2﹣1的顶点为D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）将抛物线T沿直线y＝1翻折，得到的新抛物线顶点为C，若m＞0，CD＝8，求m的值；（3）已知A（k，﹣2），B（﹣1，﹣）（k≠﹣1）在（2）的条件下，当线段AB与抛物线T恰有有一个公共点时，直接写出k的取值范围．。
精品解析：北京市人民大学附属中学2019届九年级第一学期月考数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市人民大学附属中学九年级第一学期月考数学试卷一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A. 以PA为半径的圆B. 以PB为半径的圆C. 以PC为半径的圆D. 以PD为半径的圆【答案】C【解析】【分析】切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线，即可求.【详解】由切线的性质定理可知：答案为C.【点睛】本题考查的知识点是切线的性质，解题关键是熟记切线的定义及性质.2.二次函数y=(x-2)2+1的对称轴表达式是A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴是直线x=b,顶点坐标分别为(b, c) 判断即可.【详解】解：二次函数y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2,故选:A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质.3.下列k的值中,使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据判别式的意义得到Δ= >0, 然后解不等式即可.【详解】解：关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根,Δ=>0,解得k<4.k的值可以是3,故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.4.利用圆内接正多边形,可以设计出非常有趣的图案.下列图案中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】解：A.此图形不是中心对称图形, 是轴对称图形, 故此选项错误;B.此图形是中心对称图形, 不是轴对称图形, 故此选项正确;C.,此图形不是中心对称图形, 但是轴对称图形, 故此选项错误;D.图形是中心对称图形, 也是轴对称图形, 故此选项错误.故选:B.【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的定义，中心对称图形的定义是旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义把此图形沿着某一条直线折叠，两边能完全重合的图形.5.用配方法解方程x2-4x-2=0,配方正确的是A. (x-2)2=2B. (x+2)2=2C. (x-2)2=6D. (x+2)2=6【答案】B【解析】x2-2x-2=0，x2-2x+1-1-2=0，x2-2x+1=3，(x-1)2=3;故选B。
2022-2023学年北京市海淀人民大学附属中学九年级上学期10月月考数学试卷和答案
2022-2023学年度第一学期初三年级数学练习2考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.若关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，则t 的值为（）A.2B.3C.-2D.-12.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶3.用配方法解方程2640x x +-=，正确的是（）A.()237x -= B.()237x += C.()2313x -= D.()2313x +=4.将二次函数图象22y x =向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A.221y x =+ B.221y x =- C.22(1)y x =- D.22(1)y x =+5.如图，AB 为O ⊙的直径，点C ，D 在O ⊙上，若130ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.50°6.在公园的O 处附近有A ，B ，C 三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建一座以O 为圆心，r 为半径的圆形水池．下列r 的值（单位：米）可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树的是（）A.B.3C.D.1．87.如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A.AM AN =B.AMN ANM ∠=∠C.CA 平分BCN∠ D.MN AC⊥8.点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数2y x =的图象上，12x x ≠，下列推断正确的是（）①对任意的12x x <．都有12y y <；②对任意的120x x +=，都有12y y =③存在1x ，2x ，满足120x x +=，且120y y +=．④对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12y y t -=A.①③B.②③C.②④D.②③④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．10.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则m =_______．11.请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________．12.如图，等边ABC △的三个顶点均在O ⊙上，连接OA ，OB ，OC ，则AOC ∠的度数为_______．13.若二次函数22y ax ax c =++的图象如图所示，则关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是________．14.斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．15.点()12,A m y -，()2,B m y 在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围为______．16.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2890x x --=．18.已知m 是方程22470x x --=的一个根，求代数式()()()2324m m m -+-+的值．19.如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF =DE ，连接FE．（1）求证：AF =AE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，直接写出四边形AFCE 的面积．20.下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：O 中，AOB ∠，C ∠分别是AB 所对的圆心角和圆周角．求证：12∠=∠C AOB ．情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1．情况二：当圆心O 在C ∠内部时，如图2．情况三：当圆心O 在C ∠外部时，如图3．21.已知关于x 的一元二次方程()25620x k x k -+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k 的值．22.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，作点B 关于点E 的对称点F ，连接AF，CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若AD BC =，AB =BF 的长．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ．（1）求点C 和点D 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，直接写出m 的取值范围．24.如图，AB 为O ⊙的直径，E 为OB 的中点，弦CD AB ⊥于点E ，连接CO 并延长交O ⊙于点F ，连接BC ．是等边三角形；（1）求证：BOC（2）若O⊙的半径为2，求CD的长．25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0.501.00 1.50 2.00 2.50h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y x ax =-+，点()2,2A ．（1）若此抛物线经过点A 时，求a 的值；（2）求此抛物线顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（3）已知(),2B a a -，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27.点E 为正方形ABCD 的边AB 延长线上一点．（1）如图1，当2AB BE ==时，连接CE ，DE ，则BEC ∠=____________°，DE=_____________．（2）如图2，将射线AE 绕着点A 逆时针旋转()0°<<40°αα得到射线AF ，作DH AF ⊥于点H ，在射线AF 取点M 使得2AM DH =，连接CM ．①依题意补全图形；②猜想AMC ∠的度数，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为2，对于点P ，直线l 和O ，给出如下定义：若点P 关于直线l 对称的点在O 上或O 的内部，则称点P 为O 关于l 的反射点．（1）已知直线l 为3x =，①在点()14,0P ，()24,1P ，()35,1P 中，是O 关于l 的反射点有_______________________；②若点P 为x 轴上的动点，且点P 为⊙O 关于l 的反射点，则点P 的横坐标的最大值为________________．（2）已知直线l 的解析式为()20y kx k =+≠，①当1k =-时，若点P 为直线72x =上的动点，且点P 为O 关于l 的反射点，则点P 的纵坐标t 的取值范围是___________________；②点()2,2B ，)C ，若线段BC 的任意一点都为O 关于l 的反射点，则k 的取值范围是_____________．2022-2023学年度第一学期初三年级数学练习2考生须知：1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间100分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.若关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，则t 的值为（）A.2B.3C.-2D.-1【答案】B 【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x =1代入方程，即可得到关于t 的方程，再求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x t +-=的一个根为1，∴21210t +⨯-=解得：t =3．故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右两边成立的未知数的值是解题的关键．2.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A.禁止驶入B.靠左侧道路行驶C.向左和向右转弯D.环岛行驶【答案】A 【解析】【分析】根据中心对称图形围绕旋转中心旋转180°后，与原来一样的特点判断．【详解】A 项正确；B 、C 、D 项旋转180°后，与原图位置不同，所以错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查中心对称图形的概念，准确理解概念是解决问题的关键．3.用配方法解方程2640x x +-=，正确的是（）A.()237x -= B.()237x += C.()2313x -= D.()2313x +=【答案】D 【解析】【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可．【详解】解：移项，得264x x +=．两边同时加9，得26913x x ++=．∴()2313x +=．故选：D ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．4.将二次函数图象22y x =向下平移1个单位长度，所得二次函数的解析式是（）A.221y x =+B.221y x =-C.22(1)y x =- D.22(1)y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的平移规律“上加下减”解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝2x 2向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为y ＝2x 2﹣1，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．5.如图，AB 为O ⊙的直径，点C ，D 在O ⊙上，若130ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.25°B.30°C.40°D.50°【答案】C 【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补求得B ∠，根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：∵AB 为O ⊙的直径，∴90ACB ∠=︒，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，130ADC ∠=︒，∴50B ∠=︒，∴905040BAC ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．6.在公园的O 处附近有A ，B ，C 三棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均为1米）．现计划修建一座以O 为圆心，r 为半径的圆形水池．下列r 的值（单位：米）可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树的是（）A.B.3C.D.1．8【答案】D 【解析】【分析】根据根据勾股定理分别求出OA ，OC ，OB ，并将最小数值与各选项比较即可得出答案．【详解】解∶由题意可知，OA =2，OB =OC =∴OB >OC >OA ，2，32＞2，1.82＜，∴当半径r =1.8时，可以保证不砍伐A ，B ，C 三棵树，故选∶D ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，熟练运用勾股定理计算是解本题的关键．7.如图，在ABC 中，AB AC =，若M 是BC 边上任意一点，将ABM 绕点A 逆时针旋转得到ACN △，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论不一定成立的是（）A.AM AN =B.AMN ANM ∠=∠C.CA 平分BCN ∠D.MN AC⊥【答案】D 【解析】【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，∴AB =AC ，∠ACN =∠B ，AM =AN ，故选项A 不符合题意；∴AMN ANM Ð=Ð，故选项B 不符合题意；∵AB AC =，∴∠B =∠ACB ，∵∠ACN =∠B ，∴∠ACN =∠ACB ，∴CA 平分BCN Ð，故选项C 不符合题意；∵CN 与CM 不一定相等，∴MN AC ^不一成立，故故选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8.点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数2y x =的图象上，12x x ≠，下列推断正确的是（）①对任意的12x x <．都有12y y <；②对任意的120x x +=，都有12y y =③存在1x ，2x ，满足120x x +=，且120y y +=．④对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12y y t -=A.①③ B.②③C.②④D.②③④【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得当在y 轴右侧时，y 随x 的增大而增大，当在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，可得到①错误；由120x x +=，可得点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴对称，从而得到②正确；③错误；再由121x x -=，可得12y y -=()11,A x y ，()22,B x y 在y 轴两侧时，此可设点()11,A x y 在y 轴左侧，则()22,B x y 在y轴右侧，可得1214<0x x -≤⋅，可得④正确，即可．【详解】解：∵二次函数2y x =的图象的对称轴为y 轴，开口向上，∴当在y 轴右侧时，y 随x 的增大而增大，当在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，∴当120<<x x 时．都有12<y y ，故①错误；∵120x x +=，∴12x x =-，∴点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴对称，∴12y y =，故②正确；∵120x x +=，∴12x x =-，∵12x x ≠，∴120x x =-≠，∴221212+=+>0y y x x ，故③错误；∵121x x -=，∴221212121212y y x x x x x x x x -=-=-×+=+=，当点()11,A x y ，()22,B x y 在y 轴两侧时，此可设点()11,A x y 在y 轴左侧，则()22,B x y 在y 轴右侧，∵121x x -=，∴121<<0,0<<1x x -，∴12<0x x ⋅，即1214<0x x -≤⋅，∴0≤，∴120<1y y ≤-，即对于任意的小于1的正实数t ，存在1x ，2x ，满足121x x -=，且12=y y t-，故④正确；故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．【答案】()2,3-【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．【详解】点()2,3-关于原点对称的点的坐标是()2,3-故答案为：()2,3-【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（-x ，-y ）．10.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则m =_______．【答案】14【解析】【详解】∵关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，∴方程根的判别式于0，∴由△=1﹣4m =0解得：m =14．故答案为：1411.请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y =__________．【答案】2y x =-（答案不唯一）【解析】【分析】对于二次函数2y ax bx c =++，开口向下，则0a <；对称轴为y 轴，则0b =，写出一个符合上述条件的二次函数即可．【详解】解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．抛物线的开口向下，对称轴为y 轴，∴0a <，且0b =，∴符合条件的抛物线的解析式可以是2y x =-．故答案为2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的意义是解决此类题的关键．12.如图，等边ABC △的三个顶点均在O ⊙上，连接OA ，OB ，OC ，则AOC ∠的度数为_______．【答案】120°##120度【解析】【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】解∶∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC =60°，∵∠AOC =2∠ABC ，∴∠AOC =120°．故答案为：120°【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.若二次函数22y ax ax c =++的图象如图所示，则关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是________．【答案】11x =，23x =-【解析】【分析】把二次函数22y ax ax c =++化为顶点式得()21y a x c a =++-，从而得抛物线的对称轴为直线=1x -，抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)-，根据抛物线的对称性解题即可．【详解】解：∵把二次函数22y ax ax c =++化为顶点式得()21y a x c a =++-，∴抛物线的对称轴为直线=1x -，∵抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)-，设抛物线与x 轴的另一个交点为(m ，0)∴−3+m =−1×2，∴m =1，∴关于x 的方程220ax ax c ++=的实数根是11x =，23x =-，故答案为：11x =，23x =-．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性，能根据对称轴和一个交点的坐标求得另一交点的坐标是解题的关键．14.斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．【答案】【解析】【分析】根据正方形性质确定△CDE 为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解．【详解】解∶如图，∵四边形CDEF 为正方形，∴90D ∠=︒，CD =DE ，∴CE 为直径，∠ECD =45°，∵AB =5，两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，∴CE =5-0.5×2=4，∵90D ∠=︒，∠ECD =45°，∴cos ∠ECD =CDCE，∴cos 42CD ECD CE =∠=⨯= ，故答案为∶【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．15.点()12,A m y -，()2,B m y 在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围为______．【答案】2m <【解析】【分析】根据12y y >列出关于m 的不等式即可解得答案．【详解】解：∵点()12,A m y -，()2,B m y 都在二次函数()21y x n =-+的图象上，∴221(21)(3)y m n m n =--+=-+，22(1)y m n =-+，∵12y y >，∴22(3)(1)m n m n -+>-+，∴69210m m -++->，即2m <，∴2m <，故答案为：2m <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及解一元一次不等式，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．16.如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．【答案】245【解析】【分析】添加辅助线，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到''A B O ABO ≅ ，在'Rt A PO ∆和中，'B OA BOA ∠=∠，根据三角函数和已知线段的长度求出点A '到射线ON 的距离=A'P d ．【详解】如图所示，连接'OA OB 、，过'A 点作'A P ON ⊥交ON 与点P ．∵线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''∴'8OA OA ==，''B OB A OA ∠=∠∴''''B OB BOA A OA BOA ∠-∠=∠-∠即''B OA BOA∠=∠∵点B 在线段OA 的垂直平分线l 上∴118422OC OA ==⨯=，5OB AB ==3BC ===∵''B OA BOA ∠=∠∴'sin ''sin 'A P BCB OA BOA A O OB∠==∠=∴'385A P =∴24'5d A P ==【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22，每题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：2890x x --=．【答案】19x =，21x =-【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2890x x --=()()910x x -+=解得19x =，21x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.已知m 是方程22470x x --=的一个根，求代数式()()()2324m m m -+-+的值．【答案】8【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，可得2247m m -=，再把原式化简，再代入，即可求解．【详解】解：∵m 是方程22470x x --=的一个根，∴22470m m --=，即2247m m -=，()()()2324m m m -+-+2269248m m m m m =-++-+-2241m m =-+∵2247m m -=，∴原式718=+=．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边同时成立的未知数的值是一元二次方程的解，乘法公式及代数式的值是解题的关键．19.如图，在正方形ABCD 中，射线AE 与边CD 交于点E ，将射线AE 绕点A 顺时针旋转，与CB 的延长线交于点F ，BF =DE ，连接FE ．（1）求证：AF =AE ；（2）若正方形ABCD 的边长为2，直接写出四边形AFCE 的面积．【答案】（1）见解析（2）四边形AFCE 的面积为4．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AB =AD ，∠ABC =∠D =∠BAD =90°，求得∠ABF =90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到△ABF 与△ADE 的面积相等，得到四边形AFCE 的面积等于正方形ABCD 的面积，于是得到结论．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠ABC =∠D =90°，∴∠ABF =90°，在△ABF 与△ADE 中，===90°=AB AD ABF D BF DE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABF ≌△ADE （SAS ），∴AF =AE ；【小问2详解】解：由（1）知，△ABF ≌△ADE ，∴△ABF 与△ADE 的面积相等，∴四边形AFCE 的面积等于正方形ABCD 的面积=2×2=4．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ABF ≌△ADE 是解题的关键．20.下面是证明圆周角定理时需证的三种情况，请自选一种情况完成证明．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：O 中，AOB ∠，C ∠分别是AB 所对的圆心角和圆周角．求证：12∠=∠C AOB ．情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1．情况二：当圆心O 在C ∠内部时，如图2．情况三：当圆心O 在C ∠外部时，如图3．【答案】证明见解析．【解析】【分析】情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1，由外角性质得∠AOB =∠B +∠C ，再由∠B =∠C 即可得证结论成立；情况二：当圆心O 在C ∠内部时，连接CO 并延长交O 于点D ，由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，从而有∠ACB =12∠AOB ；情况三：当圆心O 在C ∠外部时，由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠BCD −∠ACD =12∠AOB ．【详解】证明∶情况一：当圆心O 在C ∠的一边上时，如图1∵∠AOB 是△BOC 的一个外角，∴∠AOB =∠B +∠C ，∵OB =OC ，∴∠B =∠C ，∴∠AOB =2∠C ，∴∠C =12∠AOB ；情况二：当圆心O 在C ∠内部时，连接CO 并延长交O 于点D ，如下图，∵由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =12∠AOD +12∠BOD =12∠AOB ；情况三：当圆心O 在C ∠外部时，连接CO 并延长交00于点D ，如下图，∵由情况一知∶∠ACD =12∠AOD ，∠BCD =12∠BOD ，∴∠ACB =∠BCD −∠ACD =12∠BOD −12∠AOD =12∠AOB ；【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及圆的认识，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．21.已知关于x 的一元二次方程()25620x k x k -+++=．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两根的差为2，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）1或3-【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式24b ac ∆=-，可得出2(1)k D =+，由偶次方的非负性可得出0∆≥，进而可证出方程总有两个实数根；（2）根据求根公式表示方程的两个根，再根据两根之差为2的关系，分类讨论列方程解之即可．【小问1详解】证明：∵222(5)4(62)21(1)0k k k k k D =+-+=++=+³，∴此方程总有两个实数根；【小问2详解】解：由（1）知，2(1)k D =+，∴(5)(5)(1)22k k k x ++±+==，∴13x k =+，22x =，∵若此方程的两根的差为2，∴322k +-=或2(3)2k -+=，解得：1k =或3k =-；∴k 的值为1或3-．【点睛】本题考查根的判别式以及求根公式，解题的关键是：（1）熟知“当0∆≥时，方程有两个实数根”；（2）牢记求根公式：2b x a-=．22.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，作点B 关于点E 的对称点F ，连接AF ，CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若AD BC =，AB =BF 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)连接DF ，可证得四边形ABDF 为平行四边形，=BD AF ，BC AF ∥，再根据等腰三角形的性质可得BD =DC =AF ，AD BC ⊥，即可证得四边形ADCF 是矩形；(2)设AD =x ，则12BD x =，根据勾股定理即可求得AD 、BC 的长，再根据矩形的性质及勾股定理即可求得BF 的长．【小问1详解】证明：如图：连接DF ，点E 为AD 的中点，点B 与点F 关于点E 对称，=AE DE ∴，BE =FE ，∴四边形ABDF 为平行四边形，∴=BD AF ，BC AF ∥，AB AC = ，ABC ∴△是等腰三角形，又 AD 为BC 边上的中线，=BD CD ∴，AD BC ⊥，=90ADC ∠︒∴CD =AF ，∴四边形ADCF 为平行四边形，∴四边形ADCF 为矩形；【小问2详解】解：设AD =BC =x ，则12BD x =，在Rt ABD △中，222=AB AD BD +，得(22212x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得4x =或4x =-(舍去)，∴AD =BC =4，四边形ADCF 为矩形，==4CF AD ∴，在Rt BCF △中，BF 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ．（1）求点C 和点D 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）C （0，3），D (2，3)；（2）m >32．【解析】【分析】（1）令二次函数223y x x =-++中x =0，则y =3，从而求得C （0，3），再令二次函数223y x x =-++中y =0，即可求解点D 的坐标；（2）先求得，当2x >时，223y x x =-++的值小于3，又由当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，且()0y mx m =≠过点（2，2m ），从而有2m ≥3，进而即可求解．【小问1详解】解∶∵二次函数223y x x =-++的图象与y 轴交于点C ，∴令x =0，则y =0+0+3=3，∴C （0，3），∵过点C 作x 轴的平行线，与抛物线交于另一点D ，∴二次函数223y x x =-++，令y =3，得2323x x =++，解得x =0，或x =2，∴D (2，3)；【小问2详解】解：∵当x =2时，2233y x x =-++=，则m =32∴当2x >时，223y x x =-++的值小于3，∵当2x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx m =≠的值大于二次函数223y x x =-++的值，且()0y mx m =≠，∴m 32≥【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质以及二次函数与一次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24.如图，AB 为O ⊙的直径，E 为OB 的中点，弦CD AB ⊥于点E ，连接CO 并延长交O ⊙于点F ，连接BC ．（1）求证：BOC 是等边三角形；（2）若O ⊙的半径为2，求CD 的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设O ⊙的半径为r ，取OC 的中点G ，连接EG ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得1122GE CO GO r ===，根据E 为OB 的中点，则12OE r =，可得GEO 是等边三角形，得出60COB ∠=︒，即可得证；（2）根据勾股定理求得CE 的长，根据垂径定理即可求解．【小问1详解】证明：如图，取OC 的中点G ，连接EG ，设O ⊙的半径为r ，∵AB CD ⊥，∴1122GE CO GO r ===，∵AB 为O ⊙的直径，∴BO r=∵E 为OB 的中点，∴12OE r =，∴OG GE OE==∴GEO 是等边三角形，∴60COB ∠=︒∵OC OB=∴COB 是等边三角形，【小问2详解】解：∵O ⊙的半径为2，∴1OE =，∴CE ，∵AB 为O ⊙的直径，CD AB ⊥，∴2CD CE ==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆的基本概念，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．25.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面的高度为h 米．d （米）0.50 1.00 1.50 2.00 2.50h （米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．【答案】（1）见解析；（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；（3）214h d =--+（）；（4）公园至少需要准备32米的护栏．【解析】【分析】（1）根据对应点画图象即可；（2）由图象可得答案；（3）利用待定系数法可得关系式；（4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长．【小问1详解】如图，【小问2详解】由图象可得，顶点（1，4），∴水柱最高点距离湖面的高度是4米；【小问3详解】由图象可得，顶点（1，4），设二次函数的关系式为214h a d =-+（），把（2，3）代入可得a =-1，所以214h d =--+（）；【小问4详解】当h =0时，即2140d -+=-()，解得d =-1（舍去）或d =3，∴正方形的边长为2×（3+1）=8（米），∴至少需要准备栏杆4×8=32（米），∴公园至少需要准备32米的护栏．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224y x ax =-+，点()2,2A ．（1）若此抛物线经过点A 时，求a 的值；（2）求此抛物线顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（3）已知(),2B a a -，若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）32（2）()2,4a a -（3）0≤a ≤2或a <-1【解析】【分析】（1）把()2,2A 代入224y x ax =-+即可求出a 的值；（2）化为顶点式求解即可；（3）分a ≥0和a <0两种情况求解即可．【小问1详解】解：把()2,2A 代入224y x ax =-+，得2444a =-+，∴a =32．【小问2详解】解：224y x ax =-+=22224x ax a a -+-+=()224x a a --+，。