人大附中初三数学考试题
2024北京人大附中初三一模数学试题及答案
2024北京人大附中学初三模拟数学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（）A．B．C．D．2．（2分）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（）A．1.4×105B．1.4×106C．14×105D．140×1043．（2分）下列各组角中，互为余角的是（）A．30°与150°B．35°与65°C．45°与45°D．25°与75°4．（2分）下列说法中错误的是（）A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等CD．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5．（2分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＞0D．＜07．（2分）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.558．（2分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：A．B．C．D．二、填空题9．（2分）若有意义，则x的取值范围是．10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是．11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为．12．（2分）分式方程的解x＝．13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝．14．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC 于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为4，则△ACD的面积为．15．（2分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝°．16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．17．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．21．（6分）已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且+＝10，求k 的值．22．（6分）在△ABF中，C为AF AB＝AC．（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；（3）在（2）中，若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．（1）求m的值；（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．①当点C是线段BD的中点时，求b的值；②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．24．（6分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表：（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）．（2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N （x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．27．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在边AB，AC上，满足BD＝AE，BE与CD交于点F．（1）求∠BFD的度数；（2）以C为中心，将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM，连接MF，点N为MF的中点，连接CN．①依题意补全图形；②若BF+CF＝k•CN，求k的值．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成n时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：140万＝1400000＝1.4×106．故选：B．【点评】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】根据余角的定义判断即可．【解答】解：45°+45°＝90°，故选：C．【点评】本题主要考查了余角和补角的定义．余角：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．4．【分析】根据轴对称图形的定义和性质及直角三角形的性质逐一判断即可得．【解答】解：A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，此选项正确；B．关于某条直线对称的两个图形全等，此选项正确；C．两个全等三角形的对应高相等，此选项正确；D．两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义及其性质．5．【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得．【解答】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，所以x＞3的概率是．故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．6．【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，故A错误；|a|＞|b|，故B错误；a+b＜0，故C错误；＜0，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．7．【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.7，即众数是1.7；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.6+1.6）÷2＝1.6，所以中位数是1.6．故选：B．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．8．【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，解得：k＝，故函数解析式为：y＝x（0≤x＜8），由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y＝，则将（12，4）代入得：a＝48，故函数解析式为：y＝（x≥8）．故函数图象D正确．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题9．【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可．【解答】解：由题意得：x+1≠0，∴x≠﹣1；故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．10．【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2，故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题关键．11．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，且n为整数，n＜＜n+1，∴n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提．12．【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．【解答】解：去分母得：2x＝3﹣2×2（x﹣1），去括号得：2x＝3﹣4x+4，移项，合并同类项得：6x＝7，∴x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键．13．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝50°，∵∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故答案为：100°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到点D到AB、AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC，从而可求出S△ACD．【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3，∴S△ACD＝S△ABD＝×4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．15．【分析】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝70°．∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．16．【分析】由题意可知，煮饭准备时间需3分钟，煮饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30＝33分钟．【解答】解：3+30＝33（分钟），答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，故答案为：33．【点评】本题考查了学生在生活中利用统筹方法解决实际问题的能力．三、解答题：本大题有12个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023年北京市人大附中初三三模数学
⼈⼤附三模1．下列图形中，不是中⼼对称图形的是（）A．圆B．菱形C．矩形D．等边三⻆形2．据国家环保总局通报，北京市是“⼗五”⽔污染防治计划完成最好的城市．预计今年年底，北京市污⽔处理能⼒可以达到每⽇1684000吨．将1684000吨⽤科学记数法表示为（）A．1.684×106吨B．1.684×105吨C．0.1684×107吨D．16.84×105吨3．下列运算中，正确的是（）A．＝2B．2﹣3＝﹣6C．（ab）2＝ab2D．3a+2a＝5a24．如图，在平⾏四边形ABCD中，E是AD上⼀点，连接CE并延⻓交BA的延⻓线于点F，则下列结论中错误的是（）A．∠AEF＝∠DEC B．FA：CD＝AE：BC C．FA：AB＝FE：EC D．AB＝DC5．⽤⼀块等边三⻆形的硬纸⽚（如图1）做⼀个底⾯为等边三⻆形且⾼相等的⽆盖的盒⼦（边缝忽略不计，如图2），在△ABC的每个顶点处各剪掉⼀个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°6．⼀家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费⽤（元）每次游泳收费（元）A类5025B类20020C类40015例如，购买A类会员年卡，⼀年内游泳20次，消费50+25×20＝550（元）．若⼀年内在该游泳馆游泳45次～55次，则最省钱的⽅式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买B类会员卡D．不购买会员年卡7．已知O为圆锥的顶点，M为底⾯圆周上⼀点，点P在OM上，⼀只蚂蚁从点P出发绕圆锥侧⾯爬⾏回到点P时所经过的最短路径的痕迹如图．若沿OM将圆锥侧⾯剪开并展平，所得侧⾯展开图是（）A B C D8．如图，在平⾏四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所⾛过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的⾯积为y，y 随x的变化⽽变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．9．如图是对称中⼼为点O的正六边形．如果⽤⼀个含30°⻆的直⻆三⻆板的⻆，借助点O（使⻆的顶点落在点O处），把这个正六边形的⾯积n等分，那么n的所有可能的值是．10．关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x-k＝0没有实数根，则k的取值范围为．11．若把代数式x2+2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝．12．已知圆锥的底⾯半径是2cm，⺟线⻓是3cm，则圆锥的侧⾯展开图的⾯积是．14.分解因式=．15．在右表中，我们把第i⾏第j列的数记为a i，j（其中i，j都是不⼤于5的正整数），对于表中的每个数a i，j，规定如下：当i≥j时，a i，j＝1；当i＜j时，a i，j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，a i，j＝a2，1＝1．按此规定，a1，3＝；表中的25个数中，共有个1；计算a1，1•a i，1+a1，2•a i，2+a1，3•a i，3+a1，4•a i，4+a1，5•a i，5的值为．a1，1a1，2a1，3a1，4a1，5a2，1a2，2a2，3a2，4a2，5a3，1a3，2a3，3a3，4a3，5a4，1a4，2a4，3a4，4a4，5a5，1a5，2a5，3a5，4a5，516．如图，已知点A（，），AC⊥x轴，垂⾜为M，交直线y＝﹣x于点N，若点P是直线y＝﹣x 上的⼀个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则当点P运动时，点B随之运动，则线段OB的最⼩值为．17.计算：18.解不等式组：，并写出它的所有⾮负整数解．．．．．.19.已知，求代数式的值.20.如图，在中，F是AD的中点，延⻓BC到点E，使CE=BC.连结DE,CF.（1）求证：四边形CEDF是平⾏四边形.（2）若AB=4，AD=6,B=60°，求DE的⻓.21.已知，在平⾯直⻆坐标系中，点A（-1,2）在函数的图象上.（1）求m的值.（2）过点A作轴的平⾏线，直线与直线交于点B，与函数的图象交于点C,与轴交于点D.①当点C是线段BD的中点时，求的值.②当BC<BD时，直接写出的取值范围.22.如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点.求作：线段DE,使得点E在线段AC上，且DE=BC.作法：①分别以点A,C为圆⼼，⼤于AC⻓为半径作弧，两弧相交于点M,N两点.②作直线MN,交AC于点E.③连接DE所以，线段DE即为所求的线段.（1）使⽤直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹．．．．．．）（2）完成下⾯的证明.证明：∵AM=CM,AN=CN.∴MN是AC的垂直平分线.（）（填推理的依据）∴点E是AC的中点，∵点D是AB的中点.∴DE=BC.（）（填推理的依据）23.甲、⼄两所学校组织了志愿服务团队选拔活动.经过初选，两所学校各400名学⽣进⼊综合素质展示环节.为了了解两所学校学⽣的整体情况，从两校进⼊综合素质展示环节的学⽣中分别随机抽取了50名学⽣的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进⾏整理、描述和分析.下⾯给出了部分信息..甲学校学⽣成绩的频数分步直⽅图如下（数据分成6组：，，，，，）.甲学校学⽣成绩在这⼀组的是80808181.582838384858686.5878888.58989.⼄学校学⽣成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846％根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学⽣A,⼄学校学⽣B的综合素质展示成绩同为83分，这两⼈在本校学⽣中的综合素质展示排名更考前的是（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断学校综合素质展示的⽔平更⾼，理由为（⾄少从两个不同的⻆度说明推断的合理性）；（3）若每所学校综合素质展示的前120名学⽣将被选⼊志愿服务团队，预估甲学校分数⾄少达到分的学⽣才可以⼊选.24．已知：如图．AB是⊙O的直径，C是⊙O上⼀点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延⻓线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延⻓交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的⻓．25．⼴场俢建了⼀个圆形喷⽔池，在池中⼼竖直安装⼀根⽔管，⽔管的顶端安⼀个喷⽔头，记喷出的⽔与池中⼼的⽔平距离为x⽶，距地⾯的⾼度为y⽶．测量得到如表数值：⼩庆根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化⽽变化的规律进⾏了探究．下⾯是⼩庆的探究过程，请补充完整：x/⽶01234 4.4y/⽶ 2.5 3.3 3.3 2.50.90（1）在平⾯直⻆坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x，y），并画出函数图像；（2）结合函数图像，出⽔⼝距地⾯的⾼度为________⽶，⽔达到最⾼点时与池中⼼的⽔平距离约为________⽶；（3）若圆形喷⽔池半径为5⽶，为了使⽔柱落地点在池内且与⽔池边⽔平距离不⼩于1.5⽶，若只调整⽔管⾼度，其他条件不变，结合函数图像．估计出⽔⼝⾄少需要________（填“升⾼”或“降低”）________⽶（结果保留⼩数点后⼀位）．26．已知抛物线过点（－1，m）和点（2，n）．（1）抛物线的顶点坐标为____________（⽤含h的式⼦表示）；（2）抛物线过点（x0，n）（x0≠2），请⽤含h的式⼦表示x0；（3）在（2）的基础上，若m＜n，直接写出h和x0的取值范围．27．等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，若AD＝CF＝BE．（1）求∠DFE的度数；（2）若G是DE的中点，连接BG并延⻓交AC于点H，补全图形并探究BG与GH之间的数量关系；（3）若DE＝6，过B作BH⊥DE交DE于点H交AC于点G，请直接写出BG的⻓．备⽤图28．在平⾯直⻆坐标系xOy中，对于线段AB和点P，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点Q，使得四边形ABPQ为平⾏四边形，则称点P为线段AB的“关联点”．已知A（5，2），B（1，4）．（1）在P1（－3，3），P2（－2，4），P3（－1，5），P4（1，6）中，线段AB的“关联点”是____________；（2）若点P在第⼆象限且点P是线段AB“关联点”，求线段OP⻓度d的取值范围；（3）已知正⽅形CDEF边⻓为1．以T（t，3）为中⼼且各边与坐标轴垂直或平⾏，点M，N在线段AB 上（M在N的下⽅）．若正⽅形CDEF上的任意⼀点都存在线段，使得该点为线段MN的“关联点”，直接写出t的取值范围．。
北京人大附中九年级(下)开学数学试卷含答案
开学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列说法正确的是（）A. 有理数都是有限小数B. 无理数都是无限不循环小数C. 的平方根是D. -27没有立方根2.-，，3.1415，-，这五个实数中，是无理数的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.下列各数13，π，0，-4，（-3）2，-32，-|-3|，-（-3），3.14-π中有平方根的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4.的平方根是（）A. 16B. ±16C. 4D. ±45.若-3，则的取值范围是( ).A.＞3 B. ≥3 C. ＜3 D. ≤36.三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对；交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（）A. m=nB. m＞nC. m＜nD. m+n=107.如图，能够判断AD∥BC的条件是（）A. ∠7=∠3B. ∠2=∠6C. ∠1=∠5D. ∠3=∠88.如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）A. 相等B. 互补C. 相等且互补D. 相等或互补9.若a，b，c为同一平面内不同的三条直线，要使a∥b，则a，b，c应满足的条件是（）A. a⊥b，b⊥cB. a∥c，b⊥cC. a⊥c，b∥cD. a∥c，b∥c10.如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.计算：-=______；±=______．12.当1≤x＜5时，=______．13.如图，当直线AB，CD，EF都过点O，且EF⊥AB，OG平分∠EOD，∠AOC=28°，则∠GOF=______．14.已知+（y-1）2=0，则+的值为______．15.若的整数部分是a，小数部分是b，则2a-b=______．16.一个角的对顶角比它的领补角的3倍还大20°，则这个角的补角的度数为______．三、计算题（本大题共4小题，共28.0分）17.求下列各式中的x．（1）（4x-1）2=225；（2）+8x3=-11618.已知3既是x-1的平方根，也是x-2y+1的立方根，求x2-y2的平方根．19.已知A=是m+n+10的算术平方根，B=是4m+6n-1的立方根，求的值．20.已知a，b为实数，且=0，求a2017-b2018的值．四、解答题（本大题共4小题，共28.0分）21.用三角板分别过点A，B，C作线段BC，AC和AB所在直线的高线．22.画出△ABC向下平移5格再向右平移4格后的△A1B1C1．23.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠A=∠C．证明：∵AB∥CD，（______）∴∠B+∠C=180°．（______）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠B=180°．（______）∴∠A=∠C．（______）∠AED与∠C的关系为______，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A，有理数都是无限循环小数，故该选项错误；B，无理数都是无限不循环小数，故该选项正确；C，的平方根是±，故该选项错误；D，-27的立方根是-3，不是没有，故该选项错误；故选：B．此题可根据有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的概念逐项分析即可．本题考查了有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的概念，掌握各种概念是解决问题的关键．2.【答案】B【解析】解：无理数有，，共2个．故选：B．根据无理数的定义（包括①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的）判断即可．本题考查了对无理数的定义的理解，能判断一个数是否是无理数是解此题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平方根的定义，比较简单，关键要细心．由于负数没有平方根，所以只要找出所给数中的非负数即可解决问题．【解答】解：∵13＞0，π＞0，0=0，-4＜0，（-3）2=9＞0，-32=-9＜0，-|-3|=-3＜0，-（-3）=3＞0，3.14-π＜0，∴有平方根的个数是13，π，0，（-3）2，-（-3），共5个．故选：D．4.【答案】D【解析】解：∵=16，∴16的平方根为：±4．故选：D．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．此题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，得出=16是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：，即a-3≥0，解得a≥3；故选：B．根据题中条件可知a-3≥0，直接解答即可．本题主要考查二次根式的性质与化简，题中涉及使根式有意义的知识点，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为三条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关，所以m=n，故选：A．三条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这三条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m=n．直线相交形成的对顶角的对数，只与有多少对直线相交有关．7.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：C．利用平行线的判定方法判定即可．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行实际是两条平行线被第三条直线所截，得到同位角，内错角，同旁内角．由平行线的性质可得，各对同位角相等，各对内错角相等，相应的同旁内角的关系是互补．故选：D．此题需分情况进行讨论，当两个角同为锐角时或者一个锐角一个钝角时，都符合题中已知条件．本题需注意的知识点为：如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行，那么这两个角是被平行线所截得的同位角，或内错角或是同旁内角．9.【答案】D【解析】解：A、a⊥b，a⊥c可判定b∥c，故此选项错误；B、a∥b，b⊥c可判定a⊥c，故此选项错误；C、a⊥c，b∥c可判定a⊥b，故此选项错误；D、根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得a∥b，故此选项正确；故选：D．根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行进行分析即可．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．10.【答案】C【解析】解：∵表示1、的对应点分别为点A、点B，∴AB=-1，∵点B关于点A的对称点为点C，∴CA=AB，∴点C的坐标为：1-（-1）=2-．故选：C．首先根据表示1、的对应点分别为点A、点B可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．11.【答案】3 ±【解析】解：∵（-3）3=-27，∴-=-（-3）=3；∵（±）2=，∴±=±，故答案为3，．利用立方根和平方根的计算方法计算即可．本题考查了立方根和平方根的计算方法，属于基础题，比较简单．12.【答案】4【解析】解：∵1≤x＜5，∴x-1≥0，x-5＜0．故原式=（x-1）-（x-5）=x-1-x+5=4．根据x的取值范围，可判断出x-1和x-5的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．本题主要考查了二次根式及绝对值的化简．13.【答案】149°【解析】解：∵∠AOC=28°，∴∠DOB=28°，∵EF⊥AB，OG平分∠EOD，∴∠EOD=90°-28°=62°，∴∠GOD=31°，∴∠GOF=90°+28°+31°=149°，故答案为：149°．根据对顶角相等得出∠DOB，进而利用互余和角平分线的定义得出∠GOD的度数，进而解答即可．此题考查了角的计算，涉及的知识有：角平分线定义，垂直的定义，以及互余两角的性质，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．14.【答案】0【解析】解：∵+（y-1）2=0，∴x+1=0，y-1=0，∴x-1，y=1．∴原式=-1+1=0．故答案为：0根据非负数和为0的性质定理求出x和y的值，然后将其值代入代数式就可以计算出结果了．本题是一道实数计算题，考查了非负数和为0的性质、开平方和开立方运算．15.【答案】24-【解析】解：∵8＜＜9，∴a=8，b=-8，∴2a-b=2×8-（-8）=24-．故答案为：24-．首先确定的范围，即可推出ab的值，把ab的值代入求出即可．考查了估算无理数的大小，解此题的关键是确定的范围．8＜＜9，得出a，b的值．16.【答案】40°【解析】解：设这个角为x，则它的对顶角为x，邻补角为180°-x，根据题意得x-3（180°-x）=20°，解得x=140°．故这个角的补角的度数为：180°-140°=40°．故答案为：40°．设这个角的度数为x，根据对顶角相等和互为邻补角的两个角的和等于180°分别表示出它的对顶角和邻补角，然后根据等量关系列出方程求解．本题考查互为邻补角的两个角等于180°和对顶角相等的性质，是需要熟记的内容．17.【答案】解：（1）∵（4x-1）2=225，∴4x-1=15或4x-1=-15，解得：x=4或x=-；（2）∵+8x3=-116，∴8x3=-116-9，即8x3=-125，∴x3=-，∴x=-．【解析】（1）先根据平方根的定义得出4x-1=±15，再分别求解可得；（2）先将x3的系数化为1，再根据立方根的定义计算可得．本题主要考查立方根和平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义计算可得．18.【答案】解：根据题意得，由①得：x=10，把x=10代入②得：y=-8，∴，∴x2-y2=102-（-8）2=36，∵36的平方根是±6，∴x2-y2的平方根是±6．【解析】根据题意得x-1=9，x-2y+1=27，再解方程组求得xy的值，代入即可得出答案．本题考查了平方根和立方根，是基础知识比较简单．19.【答案】解：根据题意得：，解得：，∴A==4，B==3，则=-1．【解析】利用平方根、立方根定义列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出所求即可．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：∵=0，∴+（1-b）=0，∵1-b≥0，∴1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，∴a2017-b2018=（-1）2017-12018=-1-1=-2．【解析】由已知条件得到+（1-b）=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据乘方的意义计算a2017-b2018的值．本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．21.【答案】解：如图所示：【解析】根据三角形的高作图即可．本题考查了作图-基本作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．22.【答案】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求．【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．23.【答案】已知两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补同角的补角相等【解析】证明：∵AB∥CD，（已知）∴∠B+∠C=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠B=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠C．（同角的补角相等）．根据平行线的性质，求得同旁内角∠B+∠C=180°、∠A+∠B=180°，然后利用同角的补角相等知∠A=∠C．本题考查了平行线的性质．①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．24.【答案】相等【解析】解：∵∠1+∠AEF=180°，∴AC∥DG，∵∠2+∠AEF=180°，∴∠1=∠2，∴EF∥AB，∴∠AED=∠EDF，∠3=∠ADE，∵∠3=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠AED=∠C，故答案为：相等根据平行线的判定方法和平行线的性质解答即可．本题考查了平行线的判定和性质，其区别和联系为：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行；联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．。
2025届北京人大附中九年级数学第一学期期末检测模拟试题含解析
2025届北京人大附中九年级数学第一学期期末检测模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分） 1．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有( )个．A ．4B ．3C ．2D ．12．某同学推铅球，铅球出手高度是53m ，出手后铅球运行高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数表达式为2(4)3y a x =-+，则该同学推铅球的成绩为（ ）A ．9mB ．10mC ．11mD ．12m3．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝1k x（k 1＞0，x ＞0），y ＝2k x （k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．12B ．﹣12C ．6D ．﹣64．如图所示的工件，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列图形中，是中心对称的图形的是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．平行四边形D ．正五边形6．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口25万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至9万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意可列方程（ ） A ．25（1﹣2x ）＝9 B ．225(1)9x -= C ．9（1+2x ）＝25D ．225(1)9x +=7．若x=2y ，则xy的值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．138．如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A (4,2),B (3,0),以原点为位似中心,A'B'与AB 的相似比为12,得到线段A'B'.正确的画法是( )A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A 点是反比例函数()0ky k x=≠的图象上一点，AB y ⊥轴于B ，且ABO ∆的面积为3，则k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．下列命题错误的是（ ）A ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线相等D ．对角线相等的四边形是矩形11．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ,若5AC =，2BC =，则cos ACD ∠的值为（ ）A ．255 B ．53C ．52D ．2312．下列各选项的事件中，发生的可能性大小相等的是（ ） A ．小明去某路口，碰到红灯，黄灯和绿灯 B ．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”和“朝下”C ．小亮在沿着Rt △ABC 三边行走他出现在AB ，AC 与BC 边上D ．小红掷一枚均匀的骰子，朝上的点数为“偶数”和“奇数” 二、填空题（每题4分，共24分）13．已知二次函数()2(1y x m m =--+是常数)，当02x ≤≤时，函数y 有最大值2-，则m 的值为_____．14．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()p kPa 是气体体积3()V m 的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为31m 时，气压是__________kPa ．15．已知一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝kx的图象相交于A (4，2)，B (－2，m )两点，则一次函数的表达式为____________．16．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米，同时一棵树在地面上的影子长12米，则树的高度为_____米．17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．18．如图（1），在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和BC 分别交于点E 、点F ．然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，某实践小组为测量某大学的旗杆BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1米的测角仪测得旗杆顶端H 的仰角30HDE ∠=︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上，再向前走15米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角45GEF ∠=︒，点、、A B C 三点在同一水平线上，(参考数据：3 1.7≈)（1）计算旗杆BH 的高； （2）计算教学楼CG 的高．20．（8分）如图，已知ABC ∆的三个顶点坐标为()2,3A -，()6,0B-，()1,0C -.（1）将ABC ∆绕坐标原点O 旋转180︒，画出旋转后的A B C '''∆，并写出点A 的对应点A '的坐标 ； （2）将ABC ∆绕坐标原点O 逆时针旋转90︒，直接写出点A 的对应点Q 的坐标 ； （3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标 . 21．（8分）如图1，在平面直角坐标系xoy 中，点()2,0A ，点()4,3B -.（1）求直线AB 的函数表达式；（2）点P 是线段AB 上的一点，当:2:3AOP AOB S S ∆∆=时，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB 绕点A 顺时针旋转120︒，点B 落在点C 处，连结CP ，求APC ∆的面积，并直接写出点C 的坐标.22．（10分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间具有某种函数关系，其对应规律如下表所示 售价x （元/本） … 22 23 24 25 26 27 … 销售量y （件）…363432302826…（1）请直接写出y 与x 的函数关系式： ．（2）设该文店每周销售这种纪念册所获得的利润为W 元，写出W 与x 之间的函数关系式，并求出该纪念册的销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册每周所获利润最大？最大利润是多少？23．（10分）如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡AB 的坡角为20︒，水平线12,, 1.5AC m CD AC CD m =⊥=.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到 0.1m ，参考数据：200.34sin ≈，200.94cos ≈，200.36tan ≈)．25．（12分）如图，矩形AOBC 放置在平面直角坐标系xOy 中，边OA 在y 轴的正半轴上，边OB 在x 轴的正半轴上，抛物线的顶点为F ，对称轴交AC 于点E ，且抛物线经过点A （0，2），点C ，点D （3，0）．∠AOB 的平分线是OE ，交抛物线对称轴左侧于点H ，连接HF ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．26．某配餐公司有A，B两种营养快餐。
人大附中初三期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. 0.1010010001…（无限循环小数）D. √92. 下列等式中，正确的是（）A. (a+b)^2 = a^2 + b^2B. (a-b)^2 = a^2 - b^2C. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. -2D. 34. 已知函数f(x) = 2x - 3，那么f(-1)的值是（）A. -5B. -1C. 1D. 55. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，则b的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 86. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点是（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)7. 下列函数中，在定义域内是单调递减的是（）A. y = 2x + 1B. y = -x^2 + 1C. y = x^2 - 1D. y = x^38. 已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=90°，AB=6，则AC的长度是（）A. 4B. 6C. 8D. 109. 下列各式中，不是方程的是（）A. 2x + 3 = 7B. 3x - 5 = 2x + 1C. 2x + 3y = 6D. 5x^2 - 3x + 2 = 010. 已知等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，则第10项an的值是（）A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共50分）11. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为______。
12. 在直角坐标系中，点P(2,5)到原点的距离是______。
13. 函数y = 3x - 2的图象是一条______直线。
14. 等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则第n项an的通项公式是______。
2024北京人大附中初三(下)开学考数学(教师版)
2024北京人大附中初三（下）开学考数 学考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间，120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，等合题意的选项只有一个．1．2024年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据北京市园林绿化局的数据信息，春节假期首日（2月10日），全市共接待游客71.1万人次．将71.1万用科学记数法表示应为（ ）A ．471.110⨯B ．57.1110⨯C ．47.1110⨯D ．371110⨯2．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．－1 4．已知1x −>−，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．1x >B ．1x <C ．1x >−D ．1x <−5．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．23D ．126．已知点()()()1233,,1,,1,y y y −−在下列某一函数图象上，且312y y y <<，那么这个函数可能是（ ） A ．3y x = B ．23y x = C ．3y x = D ．3y x=−7．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35，则,M N 之间的距离约为（参考数据：tan430.9≈，sin430.7,cos350.8,tan350.7≈≈≈，结果保留整数）（ ）A ．312mB ．286mC ．269mD ．188m8．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接,AF EF AF 、交BD 于G ．给出下面四个结论：①2222AB BF AP +<；②BF DE EF +>；③2PB PD BF −<；④FC EC +>． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．③ 第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式12x −有意义，则实数x 的取值范围是______． 10．五边形的内角和等于______度．11．若反比例函数的图象经过点()2,3−，则该函数的解析式为______．12．天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为______米．13．如图，已知AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，且5,4AB AC ==．则tan ADC ∠=______．14．如图，ABC △中，CD 平分,//ACB DE AC ∠交BC 于点E ．若5,3AC DE ==，则BE =______．15．已知()1,3是反比例函数11k y x=图象和正比例函数22y k x =图象的交点．若12y y >，则x 的取值范围是______．16．甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得______分． 三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）17．计算：112sin452−⎛⎫++− ⎪⎝⎭． 18．解不等式组：24,3172.x x x x +⎧≤⎪⎨⎪+>−⎩ 19．已知230x xy +−=，求代数式222xy y x y x x x⎛⎫+++÷ ⎪⎝⎭的值． 20．如图，在ABC △中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，点E 为AD 中点，过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若36,sin 5BC BAD =∠=，求EF 的长． 21．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？“该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下面有三种说法：①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．②刘三姐的姐妹们给出的答穼是唯一正确的答案．③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．所有正确说法的序号是______；（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,B m（1）若2m =，求该函数的解析式；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数1y mx =−的值大于()0y kx b k =+≠的，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．23．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万卢提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10b ．服务质量得分统计图（满分10分）：c ．配送速度和服务质量得分统计表：（1）写出表中,m n 的值；（2）在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致．据此推断；甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）：后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）．24．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为,H E 为BC 上一点，过点E 作O 的切线，分别交,DC AB 的延长线于点,F G ．连接AE ，交CD 于点P ．（1）求证：FEP FPE ∠=∠；（2）连接AD ，若4//,4,cos 5AD FG CD F ==，求EG 的长． 25．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是A 种酶对面粉拉伸面积的影响表．x 之间的关系， 当020x ≤≤时，y 与x 满足______关系：当2060x ≤≤时，y 与x 满足______关系；（填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数”）（2）当面粉拉伸面积不小于2112.5cm 时，达到效果较好，结合（1）中的判断，请你求出面粉拉伸面积y 与A 种酶的添加量x 的函数关系式，并写出达到效果较好时的x 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()00,x y 是抛物线()230y ax bx a =++>上任意一点． （1）若002,3x y =−=，求该拋物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,1,,3,y y y −在该抛物线上．若存在034x <<，恰好使03y =．比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 27．在ABC △中，,,BAC AB AC D α∠==为BC 上一动点，连结AD ．将AD 绕点A 逆时针旋转()180α−得到线段AE ，连接BE ，取BE 中点G ．（1）如图1，点D 不与B C 、重合，用等式表示线段CD 与AG 的数量关系，并证明；（2）若120α=，且AD BE ⊥，连接,DG CE ，依题意补全图2，并直接写出BD DG CE −的值． 28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和点C 给出如下定义；若直线CA 经过点O ，线段CB 与O 只有一个公共点B ，且30ACB ∠=，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点()1,,1,022A B ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭．在点(()()12341,,,,1,02C C C C ⎛−⎝⎭中，弦AB 的“关联点”是______；（2）若点()1,0,22A B ⎛ ⎝⎭，且点C 是弦AB 的“关联点”，求线段OC 的长；（3）已知直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点,M N ．对于线段MN 上一点P ，存在O 的弦AB ，使得点P 是弦AB 的“关联点”．记AB 的长为t ，当点P 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（每小题2分，共16分）16分）9．2x ≠； 10．540； 11．6y x=−； 12．38； 13．43； 14．92； 15．01x <<或1x <−； 16．5 三、解答题（共68分，过程与标准答案不同，但合理，即可给分）17．解：原式222=⋅+−2= 18．解：原不等式组为243172x x x x +⎧≤⎪⎨⎪+>−⎩①②由①得4x ≤，由②得2x >，∴不等式组的解集为24x <≤．19．解：原式2222x xy y x x x y ++=⋅+()22x y x x x y+=⋅+()x y x =+⋅2x xy =+ 230x xy +−=23x xy ∴+=．即原式值为3．20．（1）证明：点E 为AD 中点，//AF BC ，1EF AE BE ED ∴==． ∴四边形ABDF 为平行四边形，//,AF BD AF BD ∴=． 又,AB AC AD =为BC边上的中线，,AD BC BD DC ∴⊥=．,AF DC AF DC ∴=．∴四边形ADCF 为平行四边形． 又90ADC ∠=，∴平行四边形ADCF 为矩形．（2）解：6,BC AD =为BC 边上的中线，132BD BC ∴==．在Rt ABD △中，3sin 5BAD ∠=，5sin BD AB BAD ∴==∠．4AD ∴==． 又点E 为AD 中点，122ED AD ∴==． ∴在Rt EBD △中，BE ==EF BE ∴==．21．（1）①；（2）解：设数量多的三个群均有x 条狗，则数量少的群有()40x −条狗．由题意，列方程为()340300x x +−=，解得85x =．则4045x −=．答：四个群里狗的条数分别为85，85，85，45．22．（1）2m =，∴函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,2B ．422k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得26k b =−⎧⎨=⎩．∴该函数的解析式为26y x =−+． （2）1m ≥且m ≠423．（1）8, 6.5m n ==；（2）甲；（3）乙；甲24．（1）证明：连接OE ，EF 为O 的切线，90OEF ∴∠=．90OEA PEF ∴∠+∠=．CD AB ⊥，90AHP ∴∠=．∴在APH △中，90PAH APH ∠+∠=．又OE OA =，OEA PAH ∴∠=∠．FEP APH ∴∠=∠．APH FPE ∠=∠．FEP FPE ∴∠=∠．（2）解：//AD FG ，F ADH ∴∠=∠． 4cos 5F =，4cos 5ADH ∴∠=．弦,4CD AB CD ⊥=， 12,902DH CD AHD OHD ∴==∠=∠=． ∴在Rt AHD △中，53,cos 22AD AH ADH ====∠． 设半径OD r =，则32OH OA AH r =−=−， 在Rt OHD △中，222OH DH OD +=， 222322r r ⎛⎫∴−+= ⎪⎝⎭，解得2512r =． 在Rt FHG △中，4sin cos 5G F ==，125sin 48OE OG G ∴==，2516EG ∴==． 25．（1）一次函数；二次函数（2）解：当020x ≤≤时，依据表格数据，设90y kx =+，代入()10,95得109095k +=，解得12k =． 1902y x ∴=+． 当2060x ≤≤时，依据表格数据，设()235y a x m =−+，代入()20,100和()40,120得()()2220351004035120a m a m ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩，解得1102452a m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．()2124535102y x ∴=−−+ 综上所述，y 与x 的函数关系式为()2190,020*********2x x y x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪−−+⎪⎩，2060x <≤， 达到效果较好时的x 的取值范围为2545x ≤≤．26．（1）解：抛物线过()2,3−，4233a b ∴−+=即2b a =，∴抛物线对称轴为直线2122b a x a a=−=−=−； （2）解：132y y y >>理由如下：设抛物线对称轴为直线x t =，则抛物线上点()0,3关于对称轴的对称点为()2,3t ， 存在034x <<，恰好使03y =．324t ∴<<，即322t <<． 抛物线开口向上，∴在对称轴的左侧y 随x 增大而减小．又()33,y 关于对称轴的对称点为()323,t y −且0231t <−<∴点()()()1231,,1,,23,y y t y −−都在对称轴左侧，且1231t −<−<132y y y ∴>>．27．（1）线段CD 与AG 的数量关系：2CD AG =．证明：倍长EA 到F ，连接BF ． G 为BE 的中点，2BF AG ∴=． AD 绕点A 逆时针旋转()180α−得到线段AE ， ,180AD AE DAE α∴=∠=−．,AD AF DAF α∴=∠=．BAC FAD α∠==∠，BAF CAD BAD α∴∠=∠=−∠．又AB AC =，FAB DAC ∴△≌△．BF CD ∴=．2CD AG ∴=．（2）BD DG CE −的值：2． 依题意补全图2如图：28．（1）1C ；（2）解：如图，由题意可得，点C 在x 轴上且30ACB ∠=， 即图中1C 和2C 两个位置．过B 作BD x ⊥轴于D ，2,,,?222B OD BD ⎛∴== ⎝⎭，又在Rt 1BC D △中，130BC D ∠=，12C D ∴=．112OC C D OD ∴=−=−=2C D =，222OC C D OD ∴=+==综上所述，线段OC 的长为2或2．（3）12t ≤≤2t ≤≤．。
2022-2023学年北京市人大附中九年级(下)开学数学试卷及答案解析
2022-2023学年北京市人大附中九年级（下）开学数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）已知2a＝3b（ab≠0），则下列各式正确的是（）A．B．C．D．2．（2分）抛物线y＝﹣（x+3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1）B．（1，3）C．（﹣3，1）D．（1，﹣3）3．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠CPB＝52°，则∠ABD的度数为（）A．22°B．30°C．82°D．52°4．（2分）若反比例函数的图象经过点（﹣3，4），则它的图象也一定经过点（）A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（2，﹣5）D．（﹣6，2）5．（2分）如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是6，则四边形BCGF的面积为（）A．8B．9C．10D．116．（2分）如图，E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE交AC于点F，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．7．（2分）如图，反比例函数的图象经过点A（4，1），当y＜4时，x的取值范围是（）A．x＞1B．0＜x＜1C．x＜1D．x＜0或x＞18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（4，0），点C在反比例函数图象的图象上，且∠ACB＝90°，若线段AC与y轴交于点D（0，2），则k的值为（）A．B．8C．9D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）二次函数y＝3x2﹣4x+5的图象与y轴的交点坐标为．10．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC．若AE＝6，EC＝3，DE＝10，则BC＝．11．（2分）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，比较y1，y2，y3的大小，并用“＜”连接．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D ＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．13．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2x﹣2相交于点A（m，4），B（n，﹣2），则关于x的方程ax2+bx+c＝2x﹣2的解为．14．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，若AE＝8，AC＝4，则⊙O的半径为．15．（2分）如图，⊙O的弦AB垂直于弦CD，垂足为E，若BE＝3，EC＝4，DE＝6，连接AD，则线段AD的长为．16．（2分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，CD上，且满足AB＝3BE＝4DF，线段DE与AF交于点G，过点G作GH⊥AB于点H，则的值为．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）解方程：2x2﹣3x﹣5＝0．18．（5分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求证：△ADE∽△ACB．19．（5分）已知二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣6），B（1，﹣8）．（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出二次函数的图象与x轴的交点坐标．20．（5分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的点，过点E作EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）若AB＝6，AE＝2，求线段CF的长．21．（5分）已知，关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x﹣a＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（a，0）作x轴的垂线，分别交直线y ＝2x﹣1与反比例函数y＝图象于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n．（1）若点M与点N重合，且m＝a，求k的值；（2）当a＞2时，总有m＞n，直接写出k的取值范围．23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE ＝DF．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）点G为线段BD的中点，射线EG交BF于点H，若BC＝12，EF＝8，求线段GH 的长．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为⊙O外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足BC＝BD，∠CBD＝2∠CBA．（1）证明：直线CD为⊙O的切线；（2）射线DC与射线BA交于点E，若AE＝AB＝6，求BD的长．25．（6分）如图1，小兵和小伙伴一起玩扔小石头游戏，我们把小石头的运动轨迹看成是抛物线的一部分．如图2所示，以点O为原点建立平面直角坐标系．已知扔小石头的出手点A在点O正上方2米的位置，小石头在与点O的水平距离为6米时达到最高高度5米；BC为扔小石头的预期击中目标，点B在x轴上，离点O的水平距离为12米，点C在点B的正上方2米．（1）小兵扔的小石头能否正好击中点C，并说明理由；（2）求小石头运动轨迹所在抛物线的解析式；（3）直接写出小石头在运动过程中与直线OC的最大竖直距离．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax﹣a﹣1的图象经过原点．（1）求该二次函数的解析式以及顶点坐标；（2）将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转180°得到W'，W 与W'组成一个新函数的图象．①若点B（b，1）（b≠﹣1）在该新函数图象上，求b的值；②若点（m，y1），（m+n，y2）是新函数图象上两点，若存在n≥2+，使得y1＞y2，直接写出m的取值范围．27．（7分）如图，等边△ABC中，点D在边BC上，且BD＜CD，点E在边AB上，且AE ＝BD，连接AD，CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）在线段FC上截取FG＝FA，连接BG交AD于点H，根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段BH与GH之间的数量关系，并证明；（3）若等边△ABC的边长是2，直接写出线段BH的最小值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形P，图形P'和直线l给出如下定义：图形P 关于直线l的对称图形为P'．若图形P与图形P'均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．（1）如图，点A（1，0），点B（3，0）．①已知图形Q1是半径为2的⊙O，Q2是半径为1的⊙A，Q3是半径为的⊙B，在Q1，Q2，Q3中，线段AB关于直线y＝x的“弱相关图形”是：；②已知⊙O的半径为2，若⊙O是线段OA关于直线y＝x+b的“弱相关图形”，求b的取值范围；（2）在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点C（a﹣2，a+2），使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r 的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．2022-2023学年北京市人大附中九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】根据比例的性质，即可求解．【解答】解：∵2a＝3b（ab≠0），∴，故A选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意；，故B、D选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．2．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝﹣（x+3）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，的顶点坐标是（﹣3，1）．故选：C．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y＝a（x﹣h）2+k顶点坐标是（h，k）．3．【分析】根据圆周角定理可知∠CDB＝∠CAB＝30°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【解答】解：∵∠CAB＝30°，∴∠CDB＝∠CAB＝30°，在△BPD中，∠CPB＝52°，∴∠ABD＝∠CPB﹣∠CDB＝22°．故选：A．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角相等是解题的关键．4．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标关系，分别代入计算即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣3，4），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为，当x＝﹣3时，y＝4，因此选项A不符合题意；当x＝3时，y＝﹣4，因此选项B不符合题意；当x＝2时，y＝﹣6，因此选项C不符合题意；当x＝﹣6时，y＝2，因此选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的关键．5．【分析】由题意易得EH∥FG∥BC，则有△AEH∽△AFG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【解答】解：由题意可知：EH∥FG∥BC，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∵AE＝EF＝BF，∴，∴，∵阴影部分的面积是6，∴，∴，＝S△ABC﹣S△AFG＝10；∴S四边形BCGF故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．6．【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△AEF～△CBF，∴，故A正确，不符合题意；∵AD∥BC，∴△AEF～△CBF，∴，故B错误，符合题意；∵AD∥BC，∴△AEF～△CBF∴，∴，∴，∴，∴，故C正确，不符合题意；∵AD∥BC，∴△AEF～△CBF，∴，∵BC＝AD，，故D正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．【分析】根据点A在反比例函数上可得反比例函数的解析式，再根据y＜4，计算x的取值范围即可．【解答】解：把A（4，1）代入得：，解得：k＝4，∴该反比例函数表达式为：，当y＝4时，，解得：x＝1，∵k＝4＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∴当y＜4时，x＜0或x＞1．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，以及利用函数图象求自变量的值．8．【分析】根据题意可知，再根据直角三角形面积的两种表示方法即可求出k 的值．【解答】解：如图所示过点C作CH⊥x轴垂足为H，过点C作CG⊥y轴垂足G，∵在平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（4，0），D（0，2），∴OA＝4，OD＝2，AB＝8，OB＝4，∴，∴，∴AC＝2BC，∴在Rt△ABC中，，∴解得：，，∴Rt△ABC的面积为：，∵，∴，∴，∵，∴，∴AH＝OA+OH，∴，∵CG＝OH，点C在反比例函数上且由图象可知k＞0，∴，故选：A．【点评】本题考查了三角函数，反比例函数的解析式，直角三角形的面积，熟记直角三角形面积的两种求法是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】求函数图象与y轴的交点坐标，令x＝0即可求得．【解答】解：将x＝0代入y＝3x2﹣4x+5中，得：y＝5故答案为：（0，5）．【点评】本题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法，理解与坐标轴交点坐标的特点是解题关键．10．【分析】由DE∥BC，可以得出△ADE∽△ABC，于是可得＝，根据已知数据即可求出BC的长．【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴＝，而AE＝6，EC＝3，DE＝10则＝，∴BC＝15故答案为15．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行、比例、相似三者之间的相互推出关系是解题中常用的思路．11．【分析】根据反比例函数的解析式即可求出y1，y2，y3，进而比较大小．【解答】解：∵点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在图象上，∴，，，∴，∴y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据函数解析式确定函数值是解题的关键．12．【分析】连接OC，证明OC⊥DC，结合AB＝4，∠D＝30°，可得OC＝2，OD＝2OC ＝4，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：如图，连接OC，∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC，∵AB＝4，∠D＝30°，∴OC＝2，OD＝2OC＝4，∴，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，求解OD＝4是解本题的关键．13．【分析】根据二次函数与一次函数有交点即可求得两个交点的坐标，进而得出二次函数与一次函数所组成的一元二次方程的解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2x﹣2相交于点A（m，4），B（n，﹣2），∴4＝2m﹣2，﹣2＝2n﹣2，∴m＝3，n＝0，∴A（3，4），B（0，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx+c＝2x﹣2的解为x＝3或者0．故答案为：x＝3或者x＝0．【点评】本题考查了二次函数与一次函数的交点，熟练一元二次方程与函数的关系是解题的关键．14．【分析】连接BC，设BE＝x，在Rt△AEC中，根据勾股定理则有CE2＝AC2﹣AE2＝16，在Rt△BEC中，由勾股定理得，BC2＝BE2+CE2＝x2+16，再利用直径所对的角为直角，以及根据勾股定理即可得，求出x，进而可得⊙O的半径．【解答】解：如图所示，连接BC，设BE＝x，∵AB垂直于弦CD，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，在Rt△AEC中，由勾股定理得，，在Rt△BEC中，由勾股定理得，BC2＝BE2+CE2＝x2+16，∵⊙O的直径为AB，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，又∵AB＝AE+BE＝8+x，∴，解得x＝2，∴AB＝8+2＝10，则⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．15．【分析】连接BC，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠BAD＝∠BCD，易证△AED ∽△CEB，得到，求出AE＝8，再利用勾股定理即可求出线段AD的长．【解答】解：连接BC，∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠BEC＝90°，∵，∴∠BAD＝∠BCD，∴△AED∽△CEB，∴，∵BE＝3，EC＝4，DE＝6，∴，∴AE＝8，在Rt△AED中，．故答案为：10．【点评】本题考查的是垂径定理，涉及到勾股定理及相似三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．16．【分析】根据正方形的性质得到∠ADF＝∠HAD＝90°，AE∥DF，可得△AEG∽△FDG，得到，结合AB＝3BE＝4DF可得，根据GH⊥AB得到∠EHG＝∠HAD＝90°，从而得到HG∥AD，易得△HGE∽△ADE，即可得到，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF＝∠HAD＝90°，AE∥DF，∴△AEG∽△FDG，∴，∵AB＝3BE＝4DF，∴，∵GH⊥AB，∴∠EHG＝∠HAD＝90°，∴HG∥AD，∴△HGE∽△ADE，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查正方形的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据△AEG∽△FDG，得到，结合AB＝3BE＝4DF可得．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】把方程左边进行因式分解得到（2x﹣5）（x+1）＝0，则方程就可化为两个一元一次方程2x﹣5＝0，或x+1＝0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：2x2﹣3x﹣5＝0，∴（2x﹣5）（x+1）＝0，∴2x﹣5＝0，或x+1＝0，∴x1＝，x2＝﹣1．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．18．【分析】首先求出AD，AE的长，再求出出，又因为∠A＝∠A，根据相似三角形的判定可证得△ADE∽△ACB．【解答】解：∵AB＝12，AC＝8，BD＝8，EC＝2．∴AD＝AB﹣BD＝12﹣8＝4，AE＝AC﹣CE＝8﹣2＝6，∴，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．19．【分析】（1）利用待定系数法，把点A，B的坐标代入函数解析式，解出b，c即可．（2）令y＝0，解方程2x2﹣4x﹣6＝0即可．【解答】解：（1）因为二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣6），B（1，﹣8），则有，解方程组得，即二次函数解析式为y＝2x2﹣4x﹣6；（2）令y＝0，所以2x2﹣4x﹣6＝0，∴x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝3；x2＝﹣1，所以二次函数的图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．【点评】本题考查了求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点坐，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．20．【分析】（1）根据正方形ABCD得到∠A＝∠B＝90°，从而得到∠ADE+∠AED＝90°，结合EF⊥DE可得∠BEF+∠AED＝90°，即可得到∠ADE＝∠BEF，即可得到证明；（2）根据△ADE∽△BEF可得，结合AB＝6，AE＝2与正方形性质即可得到答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵EF⊥DE，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE∽△BEF；（2）解：∵△ADE∽△BEF，∴，∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，AE＝2，∴，∴，∴．【点评】本题考查相似三角形性质与判定及正方形的性质，解题的关键是根据正方形得到角相等，边相等，结合同角余角相等得到等角．21．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；（2）利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵x2+（a﹣1）x﹣a＝0是关于x的一元二次方程，∴Δ＝（a﹣1）2+4a＝a2+2a+1＝（a+1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式得，x＝，∴x1＝1，x2＝﹣a，∵该方程有一个根是负数，∴﹣a＜0，∴a＞0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键．22．【分析】（1）将x＝a代入直线与反比例函数结合m＝a，即可得到答案；（2）求出a＝2，两个函数相等时，k＝6，根据函数的图象即可得到答案．【解答】解：（1）∵过点A（a，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝2x﹣1与反比例函数图象于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n，∴点M，N的横坐标为a，将x＝a代入直线与反比例函数得，m＝2a﹣1，，∵点M与点N重合，m＝a，∴a＝1，m＝n＝1，∴k＝1；（2）将a＝2代入直线与反比例函数得，m＝3，，当m＝n时，，∴k＝6，∵a＞2时，m＞n，∴k≤6且k≠0．【点评】本题考查一次函数反比例函数图象共存问题及利用函数图象解不等式，解题的关键是根据题意找到横坐标代入解析式．23．【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形BECF是菱形；（2）由菱形的性质可证得△BGH∽△CGE，求出BG、CG，EG的长度，根据相似三角形得性质列出比例式求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∵DE＝DF，∴四边形BECF是平行四边形，∵AD⊥BC，则EF⊥BC，∴四边形BECF是菱形；（2）解：∵四边形BECF是菱形，∴CE∥BF，BC，EF互相垂直平分，∴∠HBG＝∠ECG，∠BGH＝∠CGE，∴△BGH∽△CGE，∵BC＝12，EF＝8，∴BD＝DC＝6，DE＝4，又∵G为DB的中点，∴BG＝DG＝3，则：CG＝DG+DC＝9，，∵△BGH∽△CGE，∴，即：，∴．【点评】本题考查菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相应的判定定理及性质定理是解决问题的关键．24．【分析】（1）连接OC，由题意易得∠ACB＝90°，∠OCB＝∠OBC，然后可得∠ACO ＝∠BCD，则有∠OCD＝90°，进而问题可求证；（2）由（1）可知∠ACO＝∠BCD，则有∠OAC＝∠BCD，然后可得∠EAC＝∠ECB，则可知△EAC∽△ECB，进而可得，最后根据勾股定理建立方程可进行求解．【解答】解：（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，OC＝OB＝OA，∴∠ACB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∴∠AOC＝2∠OCB，∵∠CBD＝2∠CBA，∵BC＝BD，OA＝OC，∴，∴∠ACO＝∠BCD，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴直线CD为⊙O的切线；（2）如图所示：由（1）可知∠ACO＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠BCD，∵∠ECB+∠BCD＝180°，∠EAC+∠OAC＝180°，∴∠EAC＝∠ECB，∵∠E＝∠E，∴△EAC∽△ECB，∴，即EC2＝EA⋅EB，∵AE＝AB＝6，∴EB＝12，∴，∴，设，∴在Rt△ACB中，由勾股定理得：2x2+4x2＝36，解得：（负根舍去），∴．【点评】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．25．【分析】（1）根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x＝6，A（0，2），C（12，2），进而得出点A和点C关于x＝6对称，再根据抛物线的对称性，得出点C在抛物线上，即可得出判断；（2）根据题意，得出抛物线的顶点坐标，然后再根据顶点坐标设出抛物线的解析式，再根据题意，得出该抛物线经过A（0，2），再把A（0，2）的坐标代入解析式，计算得出抛物线的解析式，再根据题意，得出该抛物线的自变量的取值范围为0≤x≤12，即可得出小石头运动轨迹所在抛物线的解析式；（3）连接OC，首先求出直线OC的解析式，然后设直线OC上方的抛物线上的一点P的坐标为，过点P作PQ⊥x轴，交OC于点Q，则Q的坐标为，再根据两点之间的距离，得出，再根据二次函数的性质，即可得出PQ有最大值，进而得出答案．【解答】解：（1）小兵扔的小石头能击中点C，理由如下：∵根据题意，可得：抛物线的对称轴为直线x＝6，又∵根据题意，可得：A（0，2），C（12，2），∴点A和点C关于直线x＝6对称，∴点C在抛物线上，∴小兵扔的小石头能击中点C；（2）根据题意，可得：抛物线的顶点坐标为（6，5），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+5，又∵点A（0，2）经过抛物线，∴把A（0，2）的坐标代入解析式，可得：2＝36a+5，解得：，∴抛物线的解析式为，又∵根据题意，可得：该抛物线的自变量的取值范围为0≤x≤12，∴小石头运动轨迹所在抛物线的解析式为，（3）如图，连接OC，设直线OC的解析式为y＝kx（k≠0），把C（12，2）代入，可得：2＝12k，解得：，∴直线OC的解析式为，设直线OC上方的抛物线上的一点P的坐标为，过点P作PQ⊥x轴，交OC于点Q，则Q的坐标为，∴，∴当t＝5时，PQ有最大值，最大值为，∴小石头在运动过程中与直线OC的最大竖直距离为．【点评】本题考查了二次函数的实际应用、用待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数的图形与性质，解本题的关键在理清题意，并熟练掌握二次函数的性质．26．【分析】（1）把原点（0，0）代入解析式，可求出a的值，即可求解；（2）①根据旋转的性质，可得W'的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，从而得到W与W'组成一个新函数的解析式为y＝，再把点B（b，1）（b≠﹣1）代入，即可求解；②根据函数图象分段讨论．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2ax﹣a﹣1的图象经过原点，∴﹣a﹣1＝0，解得：a＝﹣1，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x，∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，∴顶点坐标为（﹣1，1）；（2）解：①根据题意得：点（﹣1，1）绕原点旋转180°后得到（1，﹣1），∵将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转180°得到W'，∴W'的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，∴W与W'组成一个新函数的解析式为y＝，当b＜0时，﹣b2﹣2b＝1，解得：b＝﹣1，舍去；当b≥0时，b2﹣2b＝1，解得：或（舍去），∴；②如图，由①可设点A（﹣1，1），B（1+，1），则AB＝2+，设A点关于原点的对称点D（1，﹣1），点B关于原点的对称点C（﹣1﹣，﹣1），∴CD＝AB＝2+，当n≥2+时，当点M（m，y1）位于A点时，点N（m+n，y2）位于点B或点B的右侧，此时y2≥y1，不符合题意；同理，当点M（m，y1）从点A（不包括点A）沿抛物线向点D（不包括点D）运动时，在抛物线的BD段上存在纵坐标等于y1的点T，MT越来越小，总有MT＜AB＝2+，∴点N（m+，y2）位于点T的右侧，此时y2＞y1，不符合题意；当点M（m，y1）从点D沿抛物线向上运动时，点N（m+n，y2）在点M（m，y1）的右侧，此时y2＞y1，不符合题意；当点M（m，y1）从点A（不包括点A）沿抛物线向点E运动时，在抛物线上的BD段上存在纵坐标等于y1的点T，使得MT＞AB＝2+，点N（m+n，y2）位于点T的左侧，此时y2＜y1，符合题意；当点M（m，y1）与点E重合时，点T与点F重合，此时MT达到最大；当点M（m，y1）从点E沿抛物线向点C（不包括点C）运动时，总有MT＞CD＝2+，此时y2＜y1，符合题意；当点M（m，y1）位于点C时与位于点A时类似，不符合题意；当点M（m，y1）从点C沿抛物线向下运动时，其右侧的点N（m+n，y2）始终在点M（m，y1）的上方，此时y2＜y1，符合题意；综上所述：当点M（m，y1）在抛物线的AC段上（不包括端点）时，符合题意，此时﹣1﹣＜m＜﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．27．【分析】（1）根据△ABC是等边三角形得到AB＝CA，∠BAC＝∠ABC＝60°，结合AE ＝BD即可得到△AEC≌△BDA，得到∠ACE＝∠BAD，根据三角形外角关系即可得到答案；（2）如图所示，延长FD到M，使得FM＝FC，连接BM，CM，则△FMC是等边三角形，∠AFC＝120°，先证明△ACF≌△BCM，得到AF＝BM，∠BMC＝∠AFC＝120°，再证明△BHM≌△GHF，即可证明BH＝GH；（3）如图所示，连接CH，取AC的中点N，连接BN，由全等三鱼形的性质得到FH＝MH，即点H为MF的中点，则∠ACH＝90°，推出点H在以AC为直径的圆上运动，故当B、H、N三点共线时，BH有最小值，求出BN＝，则BH＝﹣1．最小【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAC＝∠ABC＝60°，在△AEC和△BDA中，∴△AEC≌ABDA（SAS），∴∠ACE＝∠BAD，∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°，∴∠DFC＝∠CAD+∠ACE＝60°；（2）BH＝GH，证明如下：如图所示，延长FD到M，使得FM＝FC，连接BM、CM，∵FM＝FC，∠MFC＝60°，∴△FMC是等边三角形，∠AFC＝180°﹣∠MFC＝120°，∴CM＝CF，∠FCM＝∠FMC＝60°．∵ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝∠BCM，∴△ACF≌△BCM（SAS），∴AF＝BM，∠BMC＝∠AFC＝120°，∴∠BMH＝∠BMC﹣∠CMH＝60°，∴∠BMH＝∠GFH，∵AF＝GF，∴BM＝GF，又∠BHM＝∠GHF，∴△BHM≌△GHF（AAS），∴BH＝GH；（3）解：如图所示，连接CH，取AC的中点N，连接BN，∵△BHM≌△GHF，∴FH＝MH，即点H为MF的中点，∵△FMC是等边三角形，∴CH⊥MF，即∠AHC＝90°，∴点H在以AC为直径的圆上运动，∴当B、H、N三点共线时，BH有最小值，∴△ABC是等边三角形，N是AC的中点，∴BN⊥AC，CN＝AC＝1，∴BN＝＝，∴BH＝﹣1．最小【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定以及最值问题，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出对称点的坐标，直线的图形性质，图形结合即可求解；②分当b＞0时和b＜0两种情况，结合图形即可求解；（2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解．【解答】解：（1）①如图所示：∵点A（1，0），点B（3，0），AB关于y＝x的对称图形为A'B'，⊙B半径为，∴根据轴对称性得：A'（0，1），B'（0，3），即点A'，B'在y的正半轴上，∴A'B'在⊙B和⊙O存在公共部分，∴Q1，Q3为线段AB关于直线y＝x的“弱相关图形”．故答案为：Q1，Q3．②如图所示，若⊙O是线段OA关于直线l：y＝x+b的“弱相关图形”，∵y＝x+b与y＝x平行，∴y＝x+b与坐标轴的夹角为45°，由点O关于y＝x+b对称，则OO'⊥l，则O'在直线y＝﹣x上，当b＜0时，点A离对称轴直线l：y＝x+b较近，如图，当A′在⊙O上时，设l与x轴交于点D，依题意，OA'＝2，△DOA'是等腰直角三角形，∴D的坐标为，代入y＝x+b解得：，当b＞0时，点A离对称轴直线y＝x+b较远，如图：当A'在⊙O上时，同理可得DA＝DA'，连接OA′，在Rt△DOA'中，设DO＝a，则D'O＝a，A'O'＝AO＝1，∵A'O2＝DO2+A'D2，∴22＝x2+（x+1）2，解得：（舍去），∴，∴，代入y＝x+b，解得：，综上所述：．（2）解：∵C（a﹣2，a+2），∴a+2＝a﹣2+4，即C在直线y＝x+4上，如图所示：过点O作OS⊥y＝x+4于点S，由y＝x+4，令x＝0，y＝4，令y＝0，x＝4，∴，依题意，点C在直线y＝x+4上运动，过点C的直线为对称轴，将⊙Q与⊙P对称，∵半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，∴r≥OP+2，∴当⊙O与坐标轴相切时，r取得最小值，此时点P（2，﹣2），则，又∵点C在直线y＝x+4上运动，CO不能与y＝x平行，∴Q点只能接近点S，∴⊙Q的最外端一点与O的距离小于OP+2，∴即r的最小值为：OP+2，即．【点评】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键。
2023年北京市人大附中初三3月月考数学试卷及答案
2023北京人大附中初三3月月考数 学2023.3一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥2. 民以食为天．一米一面，虽看似平常，却代表着稳稳的幸福．2022年，全国粮食总产量13731亿斤，比上年增长0.5%，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿所以上，将1373100000000用科学记数法表示应为（ ）A. 130.1373110⨯B. 121.373110⨯C. 131.373110⨯D. 1213.73110⨯3. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，点C 重合），连接DE ．若40D ∠=︒，70BED ∠=︒，则B ∠的大小为（ ）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒4. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（）A. 2a <−B. a b <C. a b >−D. b a <−5. 五边形的外角和等于（） A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87. 下图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21s ，B 课程成绩的方差为22s ，则21s ，22s 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212s s >D. 不确定8. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h 的值记录错误，错误的h 的值为（ ）A. 2.4B. 2.8C. 3.4D. 4第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．10. 因式分解：39a a −=______． 11. 方程233x x=−的解是_______ 12. 一个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0至9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了中间的数字，他一次就能打开该锁的概率是______． 13. 已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根，写出一组符合题意的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14. 如图，点O 在线段AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径作半圆O ，BD 与半圆O 相切，切点为C ，连接OC ，AC ．若2OB OA =，则CAB ∠的度数为______．15. 如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F ．若4AB =，6BC =，则EF 的长为______．16. 甲、乙两人分别在A ，B 两条生产线上加工零件，在A 生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A 零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B 生产线，甲每天加工7个B 零件，乙每天加工8个B 零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得： （1）甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件______个；（2）若一个A 零件、一个B 零件组成一套产品，则14天最多能加工______套产品．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()2132cos302π−⎛⎫−+︒+− ⎪⎝⎭18. 解不等式组：()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩19. 已知m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，求（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）的值．20. 证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点． 求证：DE BC ∥ 且 12DE BC =． 证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ．21. 如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE DF =，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）连接AC ，AC 平分EAF ∠．若4AB =，8BC =，5AF =，求证：四边形ABCD 是矩形． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,4． （1）求该函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值，直接写出m 的取值范围（3）若反比例函数ky x=的图象与函数y x b =+的图象交于点A ，B ．若AB >b 的取值范围． 23. 如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，直线AF 与O 相切于点A ，与BC 的延长线交于点F ，F BAD ∠=∠．（1）求证：BD BE =；（2）若1tan 2F ∠=，5BE =，求AF 的长． 24. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．甲小区用气量频数分布表如下：2025x ≤<，2530x ≤<）c ．乙小区用气量的数据在1520x ≤<这一组的是： 151516161617171818181819、、、、、、、、、、、d ．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：（1）写出表中m 和n 的值；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为1p ．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为2p ．比较1p ，2p 的大小，并说明理由；（3）估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数．25. 为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x （元/千克）与相应需求量p （千克）以及供给量q （千克）的数据，如下表：（1）观察表中的数据，小明发现：供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；（2）为了研究这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足2p ax c =+的形式，请求出p 关于x 关于的函数表达式．（3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？ 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()14A y −，，232B a y ⎛⎫⎪⎝⎭，，()3C m y ，三个点在抛物线()220y x ax c a =−+>上．（1）当1a =时，求抛物线的对称轴，并直接写出1y 和2y 的大小关系． （2）①若5m =，13y y =，则a 的值为______；②若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，令30B α∠=<︒，线段BC 的垂直平分线分别交线段AB 、BC 于点D ，E ．（1）如图1，用等式表示DE 和AC 之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α交线段DE 于点F ， ①依题意补全图形； ②用等式表示AF ，EF ，DE 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点Q 和直线l ，过点P 作PH l ⊥，垂足为点H ，若点K 与Q 关于点H 对称，则称点K 为点P 关于直线l 和点Q 的垂直对称点． 已知()4,0A ，()0,3B ．（1）①点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为______；②点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，则点A 到直线l 的距离为______． （2）如图1，点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0的垂直对称点在直线AB 上，求t 的值．（3）如图2，点P 为线段AB 的四等分点，且AP BP >，点Q 在x 轴下方，且满足1OQ =，点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，直接写出EM 的长的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 【答案】B 【解析】【分析】根据几何体的展开图为两个三角形和三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个矩形 ∴该几何体是三棱柱 故选：B ．【点睛】题主要考查几何体的展开图，掌握常见的几何体的展开图是解题的关键． 2. 【答案】B 【解析】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数． 【详解】解：121373100000000 1.373110=⨯． 故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：40D ∠=︒，70BED C D ∠=∠+∠=︒，30C ∴∠=︒， AB CD ∥，30B C ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 4. 【答案】D 【解析】【分析】根据实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置如图所示．A ．由点在数轴上的位置得到2a >−，故选项错误，不符合题意；B ． 由点在数轴上的位置得到a b >，故选项错误，不符合题意；C ．由点在数轴上的位置得到a b <−，故选项错误，不符合题意；D ．由点在数轴上的位置得到b a <−，故选项正确，符合题意． 故选：D【点睛】此题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键． 5. 【答案】B 【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答． 【详解】解：五边形的外角和是360°． 故选B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°． 6. 【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解． 【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 7. 【答案】A 【解析】【分析】根据波动越大，方差越大，即可解答．【详解】由图可知A 课程成绩的波动小于B 课程成绩的波动 ∴2212s s < 故选A ．【点睛】本题考查了统计图及方差等知识点，能够正确的从统计图中获取信息是解答本题的关键． 8. 【答案】C 【解析】【分析】根据水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数可知，每增加一分钟水位上升的值相同，进而可对表格中的值进行判断．【详解】解：∵水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数， ∴每增加一分钟水位上升的值相同，由表格可得：由1 min 到2 min 上升了0.4 cm ，2 min 到5 min 共上升了1.2 cm ，2 min 到3 min 上升了0.6 cm ，故可知错误的数据为3 3.4t h ==，， 故选C ．【点睛】本题考查一次函数的应用．掌握一次函数的性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥， 故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 10. 【答案】()()33a a a +− 【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解：()3299(3)(3)a a a a a a a −=−=+− 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 11. 【答案】x=9 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得 3x -9=2x ， 解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0． ∴原方程的解为：x =9． 故答案为：x =9． 12. 【答案】110【解析】【分析】根据中间一个数字共有0至9十种情况，其中只有一种能打开，利用概率公式进行求解即可．【详解】因为密码由三个数字组成，个位和百位上的数字已经确定，中间一个数字为0至9这十个数字中的一个，所以一次就能打开该锁的概率是110． 故答案为：110【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=． 13. 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】【分析】先根据根的判别式求出b 和c 的关系，再取数作答即可． 【详解】解：∵关于x 的方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴0∆>， 即240b ac −>， 移项得24b ac >， ∵1a =， ∴24b c > 故答案为3、1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 14. 【答案】30︒##30度 【解析】【分析】BD 与半圆O 相切，切点为C ，则90OCB ∠=︒，由2OB OA =，OC OA =，得到1cos 2COB ∠=，则60COB ∠=︒，由三角形外角的性质即可得到CAB ∠的度数． 【详解】解：∵BD 与半圆O 相切，切点为C ， ∴90OCB ∠=︒，∵2OB OA =，OC OA =， ∴2OB OC =，OCA CAB ∠=∠， ∴1cos 2OC COB OB ∠==， ∴60COB ∠=︒，∵2OCA CAB CAB COB ∠+∠=∠∠=， ∴1302CAB COB ∠=∠=︒． 故答案为：30︒【点睛】此题考查了切线的性质定理、特殊角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．15. 【答案】【解析】【分析】先求得6CF CB ==，则2DF =，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F∴4CD AB ==，90,45ABC C FBC ∠=∠=︒∠=︒，AD BC ∥，则BCF △是等腰直角三角形， ∴90,45FDE C FED ∠=∠=︒∠=︒， ∴EFD △是等腰直角三角形，∴2DE DF CF CD BC CD ==−=−=，EF ==，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，得出EFD △是等腰直角三角形，是解题的关键． 16. 【答案】 ①. 24 ②. 106 【解析】【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；（2）由于A 、B 零件要配套，则A 、B 零件的数量都要多；然后发现甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个；则每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件符合题意，最后确定最大数量即可．【详解】解：（1）由题意可得：甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件的个数为：()()10102102224+−+−⨯=（个）故答案为24．（2）∵一个A 零件、一个B 零件组成一套产品， ∴ 14天A 、B 两种零件同时产出数量最多∵甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个∴每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件 ∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106． 故答案为106．【点睛】本题主要考查了列式计算、统筹解决问题等知识点，理解题意、发现生产规律是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】3 【解析】【分析】先利用零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂进行化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：()2132cos302π−⎛⎫−+︒ ⎪⎝⎭1242=+⨯+14=+−3=．【点睛】本题主要考查了零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂等知识点，灵活运用相关性质和定义是解答本题的关键． 18. 【答案】13x << 【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【详解】()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩①② 解①得1x > 解②得3x <不等式解集为13x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 19. 【答案】3. 【解析】【分析】把x ＝m 代入方程得：m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，再整体代入原式＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5可得．【详解】解：∵m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根， ∴m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，∴（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5＝3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程. 20. 【答案】见解析 【解析】【分析】证明AED CEF ≌，推出CF AD BD ==，CF AB ∥，得到四边形BDFC为平行四边形，得到,DF BC DF BC =∥，即可得证．【详解】证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ，∵点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点， ∴,AD BD AE EC ==， 又AED CEF ∠=∠， ∴()SAS AED CEF △≌△， ∴,CF AD BD EFC ADE ==∠=∠， ∴CF AD ∥，∴四边形BDFC 为平行四边形， ∴,DF BC DF BC =∥， ∵12EF DE DF ==， ∴DE BC ∥ 且 12DE BC =． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC 为平行四边形．21. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】对于（1），根据平行四边形的性质可知AD BC ∥，AD BC =，再根据BE DF =，可知AF CE =，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；对于（2），先求出BE ，再求出AE ，然后根据勾股定理的逆定理证明ABE 是直角三角形，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【小问1详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AD BC =. ∵BE DF =， ∴AF CE =. ∵AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形；∵8BC =，5CE AF ==， ∴3BE BC CE =−=. ∵AC 平分EAF ∠， ∴CAE CAF ∠=∠． ∵AF CE ∥， ∴CAF ACE ∠=∠， ∴CAE ACE ∠=∠， ∴5AE CE ==． 在ABE 中，22222243255AB BE AE +=+===，∴ABE 是直角三角形， ∴90B，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，勾股定理的逆定理等，灵活选择定理是解题的关键． 22. 【答案】（1）4y x= （2）4m ≥ （3）3b >或3b <− 【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据反比例函数的增减性，得出当1x >时，4y <，从而得出当1x >时，使4mx ≥即可，得出4m ≥；（3）联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：112b x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222b x y ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，根据两点间距离公式求出AB =AB >>b 的不等式即可．【小问1详解】 解：把()1,4代入()0ky k x=≠得： 41k=，解得：4k =， ∴函数的解析式为4y x=；解：∵反比例函数4y x=在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∴当1x >时，反比例函数4y x=的函数值4y <， ∵当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值， ∴只要当1x >时，使4mx ≥即可， ∴4m ≥；【小问3详解】解：联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：112x b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，222x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB ===∵AB >> ∴21625b +>， ∴29b >， ∴3b >或3b <−．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，反比例函数的增减性．23. 【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意可证90BAD AEF ∠+∠=︒，而90ADB BAD ∠+∠=︒，从而可证BED ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）过A 点作AH BF ⊥，设EH 长为a ，根据勾股定理可解出AF 的长． 【小问1详解】 ∵直线AF 与O 相切于点A∴90EAF ∠=︒∴1809090F AEF ∠+∠=︒−︒=︒ ∵F BAD ∠=∠∴90BAD AEF ∠+∠=︒ ∵AD 是O 的直径，O 是ABC 的外接圆 ∴90ABD∴90ADB BAD ∠+∠=︒ ∴ADB AEF ∠=∠ ∵AEF BED ∠=∠ ∴BED ADB ∠=∠ ∴BD BE = 【小问2详解】过A 点作AH BF ⊥，则90AHF AHE ∠=︒=∠ ∴90F HAF ∠+∠=︒∵90EAF ∠=︒，EAF EAH HAF ∠=∠+∠ ∴EAH F ∠=∠∵1tan 2F ∠=，F BAD ∠=∠ ∴1an 2t BAD ∠=、1tan 2EAH ∠= 设EH 长为a ，则2tan EHAH a EAH==∠∵根据（1）BD BE = ∴5BD = ∴10tan BDAB BAD==∠在Rt ABH △中根据勾股定理有222BH AH AB +=即()()2225210a a ++= 解得3a =或5−（舍去负值） ∴236AH =⨯= ∴12tan AHHF AFC==∠∴AF ===【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．24. 【答案】（1）8m =、16.5n = （2）12p p > （3）190（户） 【解析】【分析】（1）用调查总数30减去其他分组的频数即可求得m 值，n 的值利用求中位数的方法求解即可； （2）利用平均数、中位数的意义求解即可；（3）根据甲乙两小区抽取的30户中用气量不小于20立方米的户数所占的比例估算出整体户数． 【小问1详解】30361038m由题可知乙小区用气量的中位数应在1520x ≤<这一组中，分布在510x ≤<，1015x ≤<这两组数据中的共10户，∴乙小区用气量的中位数161716.52n +== 【小问2详解】由题意可知甲小区平均用气量为17.4，中位数为18乙小区平均用气量为17.1，中位数为17 ∴115p >、215p < ∴12p p > 【小问3详解】抽取的甲小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：83113030+= 抽取的乙小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：6243015+= ∴甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数为1143003001903015⨯+⨯=（户） 【点睛】本题考查平均数、中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体． 25. 【答案】（1）一次函数，1y x =− （2）2195p x =−+ （3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元． 【解析】【分析】（1）根据供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间的数量关系可得到答案； （2）利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）根据供给量与需求量相等得到21195x x −=−+，解方程即可得到答案． 【小问1详解】解：观察表中的数据，可发现供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是1y x =−，故答案为：一次函数，1y x =− 【小问2详解】由表格可知当 2.5x =时，7.75y =，当3x =时，7.2y =，∴227.75 2.57.23a ca c ⎧=⨯+⎨=⨯+⎩解得159a c ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴p 关于x 关于的函数表达式是2195p x =−+． 【小问3详解】当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，21195x x −=−+， 即25500x x +−=，解得125,10x x ==−（不合题意，舍去），∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键． 26. 【答案】（1）见解析 （2）①12；②1423a <<或10a > 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2bx a=−可求解，将a 、b 坐标代入解析式中即可求解； （2）①将A 、C 两点坐标分别代入解析式，再使13y y =即可求解．②画出图像根据题意列出不等式即可求解，注意分类讨论． 【小问1详解】解：当1a =时，抛物线解析式为22y x x c =−+，232B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将()14A y −，代入得116824y c c =++=+将232B y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得293344y c c =−+=−+∴12y y >抛物线对称轴为212x −=−= 综上所述抛物线对称轴为：直线1x =、12y y >； 【小问2详解】 ①∵5m = ∴()35C y ，代入抛物线中得32510y a c =−+ 将()14A y −，代入得1168y a c =++ ∵13y y =∴1682510a c a c ++=−+ 解得12a =；②抛物线对称轴为22a x a −=−= 当02a <<时，如图所示，∵0a >∴点A 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为424a a a −++=+若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则245322a a +>⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得1423a <<，满足02a << 故a 的取值范围为1423a << 当25a ≤≤时，因为函数顶点在5x ≤≤内，3y 可以为该函数最小值，故不符合题意舍去当5a >时∵5a >∴点B 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为2a ， 若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则52a > 解得10a >．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． 27. 【答案】（1）12DE AC =，证明见解析 （2）①图见解析；②3AF DE EF =−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，再根据平行公理，得出AC DE ∥，进而得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；（2）①以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交线段BC 于点M ，交线段BA 于点N ，再以点A 为圆心，以相等长为半径画弧，交线段AC 于点P ，再以点P 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点Q ，再以点Q 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点K ，连接AK ，并延长交DE 于点F ； ②设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出90ACC AC C α''∠=∠=︒−，再根据角之间的数量关系，得出C CB α'∠=，连接CD ，根据线段垂直平分线的性质，得出DC DB =，再根据等边对等角，得出DCB B α∠=∠=，再根据角相等，得出DCB C CB '∠=∠，进而得出点C C D '、、三点共线，再根据题意，得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，得出1122DE AC AC '==，进而得出2AC DE '=，再根据两直线平行，内错角相等，得出ACC C DF ''∠=∠，进而得出AC C C DF ''∠=∠，再根据对顶角相等，得出AC C DC F ''∠=∠，再根据等量代换，得出DC F C DF ''∠=∠，再根据等角对等边，得出FC FD '=，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出3AF DE EF =−．【小问1详解】 解：12DE AC =，证明如下： ∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴12DE AC =； 【小问2详解】解：①如图，即为所求；②3AF DE EF =−，证明如下：设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，∵2CAC α'∠=，AC AC '=， ∴1802902ACC AC C αα︒−''∠=∠==︒−， 又∵90ACB ∠=︒，∴()9090C CB αα'∠=︒−︒−=，连接CD ，∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC DB =，∴DCB B α∠=∠=，∴DCB C CB '∠=∠，∴点C C D '、、三点共线，又∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴1122DE AC AC '==，∴2AC DE '=，∵AC DE ∥，∴ACC C DF ''∠=∠，又∵AC A C C C ∠='∠'，∴AC C C DF ''∠=∠，∴AC C DC F ''∠=∠，∴DC F C DF ''∠=∠，∴FC FD '=，∴AF AC C F ''=+2DE DF =+()2DE DE EF =+−3DE EF =−，∴3AF DE EF =−．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图—等角、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．28. 【答案】（1）()2,0（2）157（3）11188EM ≤≤ 【解析】【分析】（1）依据垂直对称点的定义，中点坐标公式和勾股定理解决即可；（2）先用待定系数法确定直线AB 的解析式为334y x =−+，依据垂直对称点定义和45C OC '∠=︒，并利用锐角三角函数可得OC '=，设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭，由中点坐标公式可得33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭，再根据点C '在直线y x =上，可建立关于a 的方程，求得87a =，可得1515,1414C ⎛⎫' ⎪⎝⎭，利用勾股定理求得14OC '=，最后代入OC '=，得出1507C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问题得解； （3）证明APP ABO '∽△△，由相似三角形的性质可得到()1,0P '，设(),Q m n ，依据垂直对称点定义，()2,K m n −−，从而得到3342EF m =+，EK n =−， ∴313824MK m n =++，()133484EM m n =−+，设134k m n =−，根据1OQ =，可建立122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩，整理得：221125890n k n k ++−=，再利用根的判别式()()2211842590k k −⨯−≥，可得155k −≤≤，从而问题得以解决．【小问1详解】解：①如图，过点()3,2作x 轴的垂线，则垂足所表示的数为()3,0，∵()4,0A ，∴点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为()2,0A '，故答案为：()2,0；②∵()0,3B ，点()6,1， ∴它们的中点的坐标为0631,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3,2， ∵点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，∴点A 到直线l=，【小问2详解】∵()4,0A ，()0,3B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴403k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：343k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为334y x =−+， ∵点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0D 的垂直对称点在直线AB 上，∴CC OC ''⊥，点D 和点D 关于点C '对称，∵45C OC '∠=︒，∴cos 2OC C OC OC ''∠==，∴OC '=， 设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭， ∴33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭， ∵点C '在直线y x =上，∴3301422aa−+++=，解得：87a=，∴115 214a+=，∴1515,1414C⎛⎫' ⎪⎝⎭，∴14 OC'==，∴15147OC'===，∴157C⎛⎫⎪⎝⎭，，∴157t=．∴t的值为157．【小问3详解】过点P作PP x'⊥轴于点P'，∴PP y'∥轴，∴APP ABO'∽△△，∴PP AP APBO AO AB''==∵点P为线段AB的四等分点，且AP BP>，()4,0A，()03B，，∴3344PP AP''==，∴3AP'=，∴()1,0P'，设(),Q m n∵点Q 在x 轴下方，1OQ =，∴221+=m n ，11m −<<，10n −<≤，∵点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，∴()2,K m n −−，∴当2x m =−时，()33323442y m m =−−+=+， ∴3342EF m =+，EK n =−， ∴()11333132242824MK FK EF EK m n m n ⎛⎫==−=++=++ ⎪⎝⎭， ∴()313313133482482484EM EK MK n m n m n m n =+=−+++=−+=−+， 设134k m n =−，则122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩， 整理得：221125890n k n k ++−=，∵()()2211842590k k −⨯−≥， ∴155k −≤≤，即5345m n −≤−≤， ∴11188EM ≤≤． ∴EM 的长的取值范围是11188EM ≤≤．【点睛】本题以一次函数为背景，考查了中点坐标公式，勾股定理，直角坐标系中点到原点的距离，待定系数法确定一次函数解析式，特殊角三角函数，相似三角形的判定和性质，根的判别式，新概念的理解与应用等知识．正确理解题中的垂直对称点的含义是解题的关键．。
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19、已知抛物线交 x 轴于 A（-1,0），交 y 轴于 B（0，-3）， 且它的对称轴为直线 x=1，求抛物线解析式。
20、如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一点。DE⊥AB 于 E，且 AD=5， DE=3，BC=6，求 AB 的长。
（1）已知点 A 的坐标为（0,1），点 B 的坐标为（3,4）， 且点 A，B 的“相关菱形”为正方形，则此“相关菱形”的周 长为________________. （2）若点 C 的坐标为（0， 3 ），点 D 在直线 y=4 3 上，且 C、D 的“相关菱形” 有一个内角为 60°，求点 D 的坐标.
2
x
（m,3）.
（1）求 m 和 b 的值；
（2）过 A 的直线交双曲线于另一点 B，交 x 轴于点 C。若 AC=3BC，请直接写
出点 B 的坐标。
25、如图，AE 是⊙O 直径，B、D 是⊙O 上的点，AD 与 EB 交于点 C，连结 AB 和 DE，过点 E 的直线与 AC 的延长线交与点 F，且∠F=∠CED=∠AED. （1）求证：EF 是⊙O 切线； （2）若 CD=CF=6，求 BE 的长。
3、一元二次函数 2 + 3 + 5 = 0 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
4、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠A=110°，则∠BOD 的度
数是
A.70° B.110° C.120° D. 140° 5、为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
1、如图，已知△ADE 与△ABC 的相似比为 1:2，则△ADE 与△ABC 的周长比为
A. 1:2
B. 1:4
C. 2:1
D. 4:1
2、 下列各点在函数 y 6 图像上的是 x
A．（-2，-3） B.（3,2） C.（-1,6） D.（-6，-1）
那么这三条线段能构成三角形的概率是 A. 1 B. 1 C. 1 D. 3
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8、如图，点 A 在双曲线 y= k 图像上，AB⊥x 轴于 B，且△AOB x
的面积为 2，则 k 的值为 A.4 B.-4 C.2 D.-2 9、已知二次函数 y ax2 bx c 的图像如图所示，下面结论① c<0；② b 0 ；③ 4a 2b c 0 ；④ a b c 0 ；⑤
27、已知关于 x 的一元二次方程 x2 mx m 1 0 。 （1）求证：无论 m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）若抛物线 x2 mx m 1 0 经过（k-1,8）和（-k+5,8）两点，求此抛物线的 解析式。 （3）在（2）的条件下，若此抛物线与 x 轴交于 A、B（点 A 在点 B 的左边），M （a,b）为抛物线上任意一点，若 0 MAB 45 ，请直接写出 a 的取值范围。
16、如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B>∠A，在△ABC 内找一点 E，
使得△EBC 和△ABC 相似，小聪的作法是：取 AB 边上的中线 CD，作 BE
⊥CD，垂足为 E，则△EBC 和△ABC 相似，小聪同学作图的理论依据是
_______________________________________.
（3）⊙O 的半径为 3 ，点 M 的坐标为（m， 3 3 ）（其中 m>0），若在⊙O 上 m
存在一点 N，使得点 M、N 的“相关菱形”有一个内角为 60°，直接写出 m 的取值 范围。
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个目标记为点 A，再在河的这一边选点 B 和点 C，使 得 AB⊥BC，然后再在河岸上选定 E，使得 EC⊥BC， 设 BC 与 AE 交于点 D，如图所示测得 BD=120 米， DC=40 米，EC=30 米，那么这条河的大致宽度是 A.90 米 B.60 米 C.100 米 D. 120 米 6、 反比例函数 y 3 图像上有三个点（x1,y1）（, x2,y2），（x3,y3），其中 x1<0<x2<x3，
11、方程 x2 2x 1 0 的解是________.
12、将二次函数 y x2 4x 3 化为 y （x-h）2 k 的形式，则 h+k=__________. 13、在平面直角坐标系 xOy 中，A（1,2），B（4,2），连接 AB，写出一个函数
y k (k 0) ，使它的图像与线段 AB 有公共点，那么这个函数的表达式为 x
x 率一定小于在反比例函数 y 4 的图像上的概率，而小芳却认为两者的概率相
x 同.你赞成谁的观点？试用列表或圆树状图的方法求出点 P（m,n）在两个反比 例函数的图像上的概率，并说明谁的观点正确。
24、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 1 x b 与双曲线 y 6 的一个交点为 A
（2）如图（2）和图（3）两个位置时，若 CD 3AC ，其它条件不变，
①在图 2 中，证明： 2AB+BD= 3AB ； ②在图 3 中，线段 CB、BD、AB 满足的等量关系是________________________.
29、在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1,y1），点 Q 的坐标为（x2,y2）， 且 x1≠x2，y1≠y2，若 P、Q 为某个菱形的两个相对顶点， 且该菱形的一边与 x 轴平行，则称该菱形为点 P、Q 的“相 关菱形”，下图为点 P、Q 的“相关菱形”的示意图。
23、在学习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致. 小明认为如果从大小完全相同，且标号分别为 1、2、3、4 的四个球中任取出 两个球，第一个球的上的标号作为点 P（m,n）的横坐标，第二个球上的标号 作为点 P（m,n）的纵坐标，则点 P（m,n）在反比例函数 y 2 的图像上的概
26、【探究函数 y x 4 的图像与性质】 x
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（1）函数 y x 4 的自变量 x 的取值范围是_______________； x
（2）下列四个函数图像中，函数的图像大致是_________________.
A
B
C
D
（3）对于函数 y x 4 ，求当 x>0 时，y 的取值范围。 x
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：
x 0,
y x 4
x
x
2
2 2 x
x
2 x
2
__________
x
2 x
2
0,
y ___________ .
【拓展应用】
（4）若函数 y x2 5x 4 ，则 y 的取值范围是________________________. x
x 则 y1，y2，y3 的大小关系是 A. y1<y2<y3 B. y2<y3< y1 C. y1 < y2<y3 D. y3<y2<y1 7、一个盒子中装有四张完全相同的卡片，分别写着 2cm、3cm、4cm 和 5cm， 盒子外有两张卡片，分别写着 3cm 和 5cm，现随机从盒子中取出一张卡片， 与盒子外的两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，
2a b2 4ac 0 。其中正确的有
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10、如图，D 为腰长为 1 的等腰直角△ABC 的腰 AC 的延长线上的动点，E 为
底边 BC 延长线上的动点，∠AED=135°，若 CE=x，CD=y，则 y 关于 x 的 函数图像大致是
A
B
C
D
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
21、如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上一点，EF⊥AB 于 E，连结 OE，AC∥OE，OD⊥AC 于 D.若 BF=2，EF=4，求线段 AC 的长。
22、已知关于 x 的方程 x2 4mx 4m2 9 0 ，
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（1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为 x1,x2,其中 x1<x2，若 3x1=2x2+1，求 m 的值。
28、已知，∠ACD=90°，MN 是过点 A 的直线，DB⊥MN 于点 B.
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图1
图2
图3
（1）如图 1，当 AC=DC 时，过点 C 作 CE⊥CB，与直线 MN 于点 E，
①在图 1 中依题意补全图形；
②线段 CB、BD、AB 满足的等量关系是____________________.
__பைடு நூலகம்_______________.
14、已知抛物线 y x2 5x 4 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C，则△ABC 的
面积为____________.
15、如图，OA 是⊙B 的直径，OA=6，CD 是⊙B 的切线，D 为切点，∠DOC=30°，
则点 C 的坐标为__________.
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2016-2017 学年度第一学期初三年级数学练习 3
命题人：******
审题人：*******
2016.12
考 1. 本练习共三道大题，29 道小题，共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 生 2. 请在答题纸密封线内填写个人信息。 须 3. 试题答案一律作答在答题纸相应的位置上，在试题上作答无效。 知 4. 在答题纸上，选择题和作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。