线性规划的对偶问题

线性规划的对偶问题 Last revised by LE LE in 2021
第二章线性规划的对偶问题
习题
写出下列线性规划问题的对偶问题
(1) max z ＝10x
1＋ x
2
＋2x
3
(2) max z ＝2x
1
＋ x
2
＋3x
3
＋ x
4
st. x
1＋ x
2
＋2 x
3
≤10 st. x
1
＋ x
2
＋ x
3
＋ x
4
≤5
4x
1＋ x
2
＋ x
3
≤20 2x
1
－ x
2
＋3x
3
＝－4
x j ≥0 （j＝1,2,3） x
1
－ x
3
＋ x
4
≥1
x
1
，x
3
≥0，x
2
，x
4
无约束
(3) min z ＝3x
1＋2 x
2
－3x
3
＋4x
4
(4) min z ＝－5 x
1
－6x
2
－7x
3
st. x
1－2x
2
＋3x
3
＋4x
4
≤3 st. －x
1
＋5x
2
－3x
3
≥15
x
2
＋3x
3
＋4x
4
≥－5 －5x
1
－6x
2
＋10x
3
≤20
2x
1－3x
2
－7x
3
－4x
4
＝2
＝
x
1
－ x
2
－ x
3
＝－5
x 1≥0，x
4
≤0，x
2，
，x
3
无约束 x
1
≤0， x
2
≥0，x
3
无约束
已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。

分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：
（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；
（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；
（4）模型中全部x1用3
1
'x代换。

已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4
st. x
1＋2x
2
＋ x
4
≥3
3x
1＋ x
2
＋ x
3
＋ x
4
≥6
x
3
＋ x
4
＝2
x 1
＋ x
3
≥2
x
j
≥0（j＝1,2,3,4）
(1) 写出其对偶问题；
(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量
st. 2x
1 ＋x
3
＋ x
4
≤8 y
1
2x
1＋2x
2
＋x
3
＋2x
4
≤12 y
2
x
j
≥0（j＝1,2,3,4）
其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。

考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3
st. 3x
1＋4 x
2
＋2x
3
≤60
2x
1＋ x
2
＋2x
3
≤40
x 1＋3x
2
＋2x
3
≤80
x
j
≥0 （j＝1,2,3）（1）写出其对偶问题
（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；
（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；
（4）比较（2）和（3）计算结果。

已知线性规划问题 max z ＝10x 1＋5x 2
st. 3x 1＋4x 2≤9
5x 1＋2x 2≤8
x j ≥0（j ＝1,2）
（1）目标函数系数c 1或c 2分别在什么范围内变动，上述最优解不变； （2）约束条件右端项b 1，b 2，当一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；
（3）问题的目标函数变为max z ＝12x 1＋4x 2时上述最优解的变化；
（4）约束条件右端项由⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛89变为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1911时上述最优解的变化。

线性规划问题如下： max z ＝—5x 1＋5x 2＋13x 3
st. —x 1＋x 2＋3x 3≤20 ①
12x 1＋4x 2＋10x 3≤90 ②
x j ≥0 （j ＝1,2,3）
先用单纯形法求解，然后分析下列各种条件下，最优解分别有什么变化 （1） 约束条件①的右端常数由20变为30； （2） 约束条件②的右端常数由90变为70； （3） 目标函数中x 3的系数由13变为8；
（4） x 1的系数列向量由（—1，12）T 变为（0，5）T ； （5） 增加一个约束条件③：2x 1＋3x 2＋5x 3≤50；
（6） 将原约束条件②改变为：10x 1＋5x 2＋10x 3≤100。

用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下：
（1）给出a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 的值或表达式； （2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；
（3）用a+a ，b+b 分别代替a 和b ，仍然保持上表是最优单纯形表，求a ，b 满足的范围。

某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。

该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。

已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。

已知原材
料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸310千克，每打日记本用白坯纸3
40
千克，每箱
练习本用白坯纸3
80
千克。

又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本
获利3元，生产一箱练习本获利1元。

试确定：
（1）现有生产条件下获利最大的方案；
（2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工如要的话，招多少临时工最合适
某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表
（2）原料A 、B 的影子价格各为多少。

（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A 和4千克原料B ，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。

（4）工厂可在市场上买到原料A 。

工厂是否应该购买该原料以扩大生产在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少可增加多少利润
某厂生产A 、B 两种产品需要同种原料，所需原料、工时和利润等参数如下表：
（1） （2） 如果原料和工时的限制分别为300公斤和900小时，又如何安排生产 （3） 如果生产中除原料和工时外，尚考虑水的用量，设两A ，B 产品的单位产
品分别需要水4吨和2吨，水的总用量限制在400吨以内，又应如何安排生产
复习思考题
试从经济上解释对偶问题及对偶变量的含义。

根据原问题同对偶问题之间的对应关系，分别找出两个问题变量之间、解以及检验数之间的对应关系。

什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以及研究影子价格的意义。

试述对偶单纯形法的计算步骤，它的优点及应用上的局限性。

将a ij ，b ，c 的变化分别直接反映到最终单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解各自将会出现什么变化，有多少种不同情况以及如何去处理。

判断下列说法是否正确
(a)任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题； (b)对偶问题的对偶问题一定是原问题；
(c)根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
(d)若某种资源的影子价格等于k ，在其它条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；
(e)应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解； (f)若线性规划问题中的bi ，c,值同时发生变化，反映到最终单纯形表
中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；
(g)在线性规划问题的最优解中，如某一变量x
j
为非基变量，则在原来问
题中，无论改变它在目标函数中的系数c
j 或在各约束中的相应系数a
ij
，
反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其它列数字的变化。