平均数与加权平均数

23.1 平均数与加权平均数（2）

第课时

1.理解加权平均数的意义,了解“权”的含义.

2.会计算一组数据的加权平均数.

3.能说出算术平均数和加权平均数的联系和区别,并能利用它们解决一些现实问题.

1.在实际问题情境中理解加权平均数的意义,体会数学与生活之间的密切联系.

2.通过利用平均数解决实际问题,发展数学应用能力.

3.通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别,发展求同和求异思维.

1.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.

2.通过小组合作活动,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐.

【重点】加权平均数的计算及算术平均数与加权平均数的区别和联系.

【难点】探索算术平均数和加权平均数的联系和区别.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】预习教材P6~8.

导入一:

复习提问:

1.什么叫算术平均数?

2.如何求一组数据的平均数?

3.当一组数据中同一个数据出现多次时常采用什么简便方法计算?

【师生活动】学生思考回答,教师点评.

导入二:

【课件展示】在一次数学考试中,八年级(1)班和(2)班的考生人数和平均成绩如下表:

【问题】

1.表格中“86分”所反映的实际意义是什么?

2.求这两个班的平均成绩.

【师生活动】学生思考后小组合作交流,小组代表发言,教师展示学生可能出现的两种解法,引导学生对比、思考,得出正确的解法,教师导出新课.

[设计意图]通过复习算术平均数的概念,做好新旧知识的衔接,以贴近学生实际生活的实例导入新课,渗透“权”的意义,激发学生的学习兴趣,体会数学与生活之间的密切联系,迈上从“算术平均数”到“加权平均数”的一个台阶,让学生顺利完成新知识的构建,为本节课的学习做好铺垫.

共同探究加权平均数的概念

【课件展示】假期里,小红和小惠结伴去买菜,三次购买的西红柿价格和数量如下表:

从平均价格看,谁买的西红柿要便宜些?

思路一

【师生活动】学生思考后小组合作交流解题思路,独立完成解答过程,小组代表展示,教师点评.

【课件展示】

≈2.67(元/千克),

解:

小红

=3(元/千克).

小惠

从平均价格看,小红买的西红柿要便宜些.

追加提问:

1.有的同学认为每次购买单价相同,购买总量也相同,平均价格应该也一样,都是(4+3+2)÷3=3(元/千克).这样解答是否正确?为什么?

2.有的学生是这样思考的:购买的总量虽然相同,但小红花了16元,小惠花了18元,所以平均价格不一样,小红买的西红柿要便宜些.这样的想法正确吗?为什么?

3.如果小红三次购买的数量分别为2,1,3,小惠三次购买的数量分别为1,3,2,她们购买的西红柿的平均价格分别是多少?

4.通过上面的计算,小红和小惠每次购买西红柿的数量不同,所求的平均数是否相同?

【师生活动】学生思考、计算、回答,教师点评,引导出“权”的概念.

思路二

【课件展示】思考小亮和小明的下列说法,你认为他们谁说得对?为什么?

小亮的说法:每次购买单价相同,购买总量也相同,平均价格应该也一样,都是(4+3+2)÷3=3(元/千克).

小明的说法:购买的总量虽然相同,但小红花了16元,小惠花了18元,所以平均价格不一样,小红买的西红柿要便宜些.

【师生活动】小组内合作交流,判断两个人的说法谁正确,教师对学生的回答进行点评,并引导学生通过计算平均数比较谁买的西红柿更便宜,学生独立完成计算平均数的过程,教师点评.

【课件展示】小红购买不同单价的西红柿的数量不同,所以平均价格不是三个单价的

≈平均数.实际上,平均价格是总花费金额与购买总量的比,因此,

小红

2.67(元/千克),

=3(元/千克).

小惠

从平均价格看,小红买的西红柿要便宜些.

追加思考:

1.如果小红三次购买的数量分别为2,1,3,小惠三次购买的数量分别为1,3,2,她们购买的西红柿的平均价格分别是多少?

2.通过上面的计算,小红和小惠每次购买西红柿的数量不同,所求的平均数是否相同?

【师生活动】学生思考、计算、回答,教师点评,引导出“权”的概念.

[设计意图]通过解决生活实际问题,引导学生思考重要性的差异对平均数的影响,为加权平均数概念的形成做好铺垫,在探究过程中,充分发挥学生的主观能动性,让学生积极思考,合作交流,在数学活动中逐步形成概念.

【课件展示】已知n个数x1,x2,…,x n,若w1,w2,…,w n为一组正数,则把叫做n个数x1,x2,…,x n的加权平均数,w1,w2,…,w n分别叫做这n个数的权重,简称为权.

教师提问:

1.在“共同探究”中,加权平均数是多少?哪些数是权?

(小红购买的西红柿平均价格约为2.67元/千克,它是数4,3,2的加权平均数,三个数的权分别为1,2,3)

2.你能举出用加权平均数计算平均数的生活实例吗?

【师生活动】学生小组合作交流,创设不同的求平均数的生活情境,小组代表展示问题后,其他学生完成解答,教师进行点评,以鼓励学生的参与为主.

[设计意图]教师设计开放性题目,学生通过合作交流,共同创设问题情境,体会“权”对平均数的影响,加深学生对加权平均数的理解,提高学生的发散性思维,达到学生数学能力的提升.

例题讲解

【课件展示】

(教材7页例1)某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼,规定体育科目学期成绩满分100分,其中平时表现(早操、课外体育活动)、期中考试和期末考试成绩按比例3∶2∶5计入学期总成绩.甲、乙两名同学的各项成绩如下:

分别计算甲、乙的学期总成绩.

【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,小组代表板书解答过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.

【课件展示】

解:三项成绩按3∶2∶5的比例确定,就是分别用3,2,5作为三项成绩的权,用加权平均数作为学期总成绩.

甲的学期总成绩为=89(分),

乙的学期总成绩为=87(分).

【思考】

1.分配的“权”不同,甲、乙二人的总成绩是否发生变化?

2.算术平均数和加权平均数的区别和联系是什么?

【师生活动】学生小组合作交流,教师对有困难的学生进行引导思考,对学生的回答进行点评并补充完整.

【课件展示】

算术平均数与加权平均数的区别和联系:

区别:由于权的不同导致结果不同,所以权的差异对结果有影响.

联系:算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况.

[设计意图]通过计算加权平均数解决实际问题,让学生再次体会到“权”的重要性,发展数学应用能力,培养学生归纳总结能力.

做一做

【课件展示】某电视节目主持人大赛要进行专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试,各项测试均采用10分制,两名选手的各项测试成绩如下表所示:

(1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次,名次是怎样的?

(2)如果规定按专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试的成绩各占60%,20%,10%,10%计算总成绩,名次有什么变化?

【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,

小组代表板书解答过程,教师点评.

(板书)

解:(1)甲、乙各项成绩的算术平均数分别为:

=8.45(分),

甲

=8.65(分).

乙

比较算术平均数,乙排名第一,甲排名第二.

(2)甲、乙的加权平均成绩分别为:

=9.0×60%+8.5×20%+7.5×10%+8.8×10%=8.73(分),

甲

=8.0×60%+9.2×20%+8.4×10%+9.0×10%=8.38(分).

乙

比较加权平均数,甲排名第一,乙排名第二.

提问:

1.按照算术平均数和加权平均数的计算方法分别求平均数,对排名有影响吗?

2.按算术平均数排名和加权平均数排名有什么区别?

【师生活动】学生思考回答,教师点评并补充,让学生理解权的意义.

归纳:

按测试成绩的算术平均数排名次,实际上是将四项测试成绩同等看待.而按加权平均数排名次,则是对每项成绩分配不同的权,体现每项成绩的重要程度不同.如专业素质成绩的权重为60%,说明专业素质对主持人最重要.当各数据的重要程度不同时,一般采用加权平均数作为一组数据的代表值.

[设计意图]通过做一做,进一步理解加权平均数的意义,体会权的重要性,加深对加权平均数和算术平均数的区别的理解和掌握,提高学生应用意识.

[知识拓展]

1.数据中的“权”反映数据的相对“重要程度”,其表现形式有:数据所占的百分比、各个数据所占的比值,数据出现的次数.权越大,该数据所占的比重越大,反之则越小.

2.算术平均数是加权平均数的一种特例.加权平均数的实质是考虑不同权重的平均数,当加权平均数的各项权相同时,就变成了算术平均数.

1.加权平均数的概念.

2.权的意义:权代表重要程度.

3.算术平均数与加权平均数的区别和联系.

4.计算加权平均数.

5.加权平均数在实际问题中的应用.

1.学校生物兴趣小组11人到校外采集标本,其中有2人每人采集6件,4人每人采集3件,5人每人采集4件,则这个兴趣小组平均每人采集标本()

A.3件

B.4件

C.5件

D.6件

解析:=4(件),即这个兴趣小组平均每人采集标本4件.故选B.

2.某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50%,20%,30%的比例计入学期总评成绩,90分以上为优秀.甲、乙、丙三人的各项成绩如下表(单位:分),学期总评成绩为优秀的是(

A.甲

B.乙、丙

C.甲、乙

D.甲、丙

解析:由题意知,甲的总评成绩=90×50%+83×20%+95×30%=90.1(分),乙的总评成绩=88×50%+90×20%+95×30%=90.5(分),丙的总评成绩=90×50%+88×20%+90×30%=89.6(分),∴甲、乙的学期总评成绩是优秀.故选C.

3.某中学随机调查了50,结果如下表所示:

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是.

解析:根据题意得(5×10+6×15+7×20+8×5)÷50=(50+90+140+40)÷50=320÷50=6.4(小时).故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时.故填6.4小时.

4.某广告公司欲招广告策划人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行三项素质测试,它们的各项测试成绩如下表所示:

(1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用?

(2)根据实际需要,公司将创新能力、综合知识、计算机操作三项测试的得分按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩,那么谁将被录用?

解:(1)甲的平均成绩是×(72+50+88)=70(分),

乙的平均成绩是×(85+74+45)=68(分),

丙的平均成绩是×(67+70+67)=68(分),

因为70>68=68,

所以候选人甲将被录用.

(2)甲的测试成绩是=65.75(分),

乙的测试成绩是=75.875(分),

丙的测试成绩是=68.125(分),

因为75.875>68.125>65.75,

所以候选人乙将被录用.

第2课时

共同探究加权平均数的概念

形成概念

例题讲解

做一做

一、教材作业

【必做题】

教材第8页习题A组第1,2,3题.

【选做题】

教材第9页习题B组第1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.某中学举行歌咏比赛,以班为单位参赛,评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况(满分100分)如下表,()

A.92分

B.93分

C.94分

D.95分

2.

则他们本轮比赛的平均成绩是(

A.7.8环

B.7.9环

C.8.1环

D.8.2环

3.学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数,并根据数据绘制成了条形统计图,则30名学生参加活动的平均次数是()

A.2

B.2.8

C.3

D.3.3

4.某校八年级(1)班一次数学考试的成绩为:100分的3人,90分的13人,80分的17人,70分的12人,60分的2人,50分的3人,全班数学考试的平均成绩约是.(结果保留到个位)

5.为了调查某一路段的汽车流量,记录了30天中每天同一时段通过该路口的汽车辆数,其中有4天284辆,4天290辆,12天312辆,10天314辆,那么这30天该路口同一时段通过的汽车平均辆数为 .

6.老师在计算学期总平均分的时候按照如下标准:作业占10%,测验占30%,期中考试占25%,期末考试占35%.小明和小丽的成绩如下表所示,则小明的总平均分是 ,小丽的总平均分是 .

7.某次射击训练中,8环,那么成绩为9环的人数是 .

8.

分

(1)计算小青该学期平时测验的平均成绩;

(2)如果学期总评成绩根据如图所示的权重计算,请计算小青该学期的总评成绩.

9.某公司招聘职员,对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试,面试中包括形体和口才,笔试中包括专业水平和创新能力,他们的成绩(单位:分)如下表:

(1)若公司根据经营性质和岗位要求认为形体、口才、专业水平、创新能力按照5∶5∶4∶6确定,请计算甲、乙两人各自的平均成绩,看看谁将被录取;

(2)若公司根据经营性质和岗位要求认为面试成绩中形体占10%,口才占30%,笔试成绩中专业水平占40%,创新能力占20%,那么你认为该公司应该录取谁?

【能力提升】

10.某班进行个人投篮比赛,受污染的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况,同时,已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球,求投进3个球和4个球的各有多少人.

【拓展探究】

11.本学期开学初,学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试,根据测试成绩制作了下面两个统计图.

根据统计图解答下列问题:

(1)本次测试的学生中,得4分的学生有多少人?

(2)本次测试的平均分是多少?

(3)通过一段时间的训练,体育组对该班学生的跳绳项目进行第二次测试,测得成绩的最低分为3分,且得4分和5分的人数共有45人,平均分比第一次提高了0.8分,则第二次测试中,得4分、5分的学生分别有多少人?

【答案与解析】

1.C(解析:根据题意,去掉一个最高分和一个最低分,也就是不算89分和97分,然后把其余数求平均数,为94分.故选C.)

2.C(解析:由题意可得他们本轮比赛的平均成绩为(7×4+8×2+9×3+10×1)÷(4+2+3+1)=8.1(环).故选C.)

3.C(解析:(3×1+5×2+11×3+11×4)÷30=(3+10+33+44)÷30=90÷30=3,故30名学生参加活动的平均次数是3.故选C.)

4.79分(解析:全班数学考试的平均成绩=≈79(分).故填79分.)

5.306辆(解析:=306(辆).故填306辆.)

6.79.0580.1(解析:按照加权平均数公式计算,小明的总平均分为80×10%+75×30%+71×25%+88×35%=79.05(分),小丽的总平均分为76×10%+80×30%+68×25%+90×35%=80.1(分).)

7.3(解析:设成绩为9环的人数是x,根据题意得(7×3+8×4+9·x)÷(3+4+x)=8,解得x=3,则成绩为9环的人数是3.故填3.)

8.解:(1)小青该学期平时测验的平均成绩为(88+72+86+98)÷4=86(分).(2)小青该学期的总评成绩为86×10%+90×30%+81×60%=84.2(分).

9.解:(1)5+5+4+6=20.甲:86×+90×+96×+92×=90.8(分);

乙:92×+88×+95×+93×=91.9(分).因为90.8<91.9,所以乙将被录取.(2)甲:86×10%+90×30%+96×40%+92×20%=92.4(分);乙:92×10%+88×30%+95×40%+93×20%=92.2(分).因为92.4>92.2,所以甲将被录取.

10.解:设投进3个球的人数为a,投进4个球的人数为 b.根据已知有

=3.5,=2.5,即-解得故投进3球的有9人,投进4球的有3人.

11.解:(1)根据题意知得4分的学生有50×50%=25(人).(2)根据题意得平均分==3.7(分).答:本次测试的平均分为3.7分.(3)设第二次测试中得4分的学生有x人,得5分的学生有y人,根据题意得解得答:第二次测试中得4分的学生有15人,得5分的学生有30人.

本节课是在学习了算术平均数的基础上继续学习加权平均数,在教学设计中首先以学生熟悉的实际问题引入教学,让学生带着问题学习,在接下来的教学中,结合买菜的具体问题情境,让学生通过小组合作学习,体会每次购买重量的变化会引起平均价格的改变,体会“权”在实际问题中的作用及意义,从而自然形成加权平均数的概念及计算公式,最后通过学生独立完成练习的解答,进一步理解加权平均数的计算公式,同时体会算术平均数与加权平均数的区别与联系.在整个教学过程中,教师只是一个参与者,和学生一起发现问题、解决问题,善于发现和鼓励学生的闪光点,引导学生在愉悦的氛围中学习数学.

数学学习的过程就是学生对教学内容进行探索的过程,在教学设计中,设计了数学活动让学生参与课堂内容的探索,教师只是学习活动的组织者,但在实际操作中,对“权”的认识的讲解还是较多,总是担心学生不能突破难点,在以后的教学中,教师要注重问题的引导的设计,对难点的突破要在教师的引导下,给学生充足的时间思考、交流,让学生真正成为课堂的主体.

本节课的重点是理解加权平均数,会在实际问题中计算加权平均数,在教学设计中,应注重学生探索知识的过程,让学生成为学习活动的主体,教师是学习活动的组织者,引导者.首先以生活实际问题导入新课,既体会数学与生活的密切联系,又让学生带着问题学习,激发学生学习兴趣.再以生活实际问题为问题情境,学生通过教师的引导,小组合作交流,体会“权”的意义,从而自然地引出概念及计算公式,然后学生独立完成例题的解答,小组内交流答案,体会算术平均数与加权平均数的区别与联系.在整个教学设计中,学生通过数学活动经历知识的形成过程,逐步提高数学思维和数学能力.