传送带的摩擦力问题

传送带中的摩擦力做功与能量转化问题传送带问题具有理论联系实际，综合性较强的特点。

通过归类教学把相近、类似的问题区别开来，经过典型例题分析、比较，充分认识这类问题的特点、规律，掌握对该类问题的处理方法、技巧，采用归类教学有利于提高分析、鉴别并解决物理综合问题的能力。

一、运动时间的讨论问题1：(水平放置的传送带)如图所示，水平放置的传送带以速度v=2m/s 匀速向右运行，现将一质量为2kg 的小物体轻轻地放在传送带A 端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，若A 端与B 端相距4 m ，求物体由A 到B 的时间和物体到B 端时的速度分别是多少？ 解析：小物体放在A 端时初速度为零，且相对于传送带向左运动，所以小物体受到向右的滑动摩擦力，小物体在该力作用下向前加速，a=μg,当小物体的速度与传送带的速度相等时，两者相对静止，摩擦力突变为零，小物体开始做匀速直线运动。

所以小物体的运动可以分两个阶段，先由零开始匀加速运动，后做匀速直线运动。

小物体做匀加速运动，达到带速2m/s 所需的时间 1v t s a == 在此时间内小物体对地的位移m at x 1212== 以后小物体以2m/s 做匀速直线运动的时间 s s v x s t AB 5.123==-=' 物体由A 到B 的时间T=1s+1.5s=2.5s ，且到达B 端时的速度为2m/s.讨论：若带长L 和动摩擦因数μ已知，则当带速v 多大时，传送时间最短？22()()22v v v L v T vT a g a a aμ=+-=-= 22L v L v T T v a v a=+=当时最短 此时22v aL gL μ=这说明小物体一直被加速过去且达到另一端时恰与带同速时间最短。

变式：如图所示，传送带的水平部分长为L ，传动速率为v ，在其左端无初速释放一小木块，若木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则木块从左端运动到右端的时间不可能是 ( )A.L v ＋v 2μgB.L vC.2L μgD.2L v 解析：因木块运动到右端的过程不同，对应的时间也不同，水平传送带传送物体一般存在以下三种情况（1）若一直匀加速至右端仍未达带速，则L ＝12μgt 2，得：t ＝2L μg，C 正确；（2）若一直加速到右端时的速度恰好与带速v 相等，则L ＝0＋v 2t ，有：t ＝2L v，D 正确；（3）若先匀加速到带速v ，再匀速到右端，则v22μg ＋v ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －v μg ＝L ，有：t ＝L v ＋v 2μg，A 正确，木块不可能一直匀速至右端，故B 不可能．问题2：(倾斜放置的传送带)如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A 端到B 端的长度为16m ，传送带以v 0=10m/s 的速度沿逆时针方向转动。

在传送带上端A 处无初速地放置一个质量为0.5kg 的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求物体从A 端运动到B 端所需的时间是多少？(sin37°=0.6，cos37°=0.8 g=10m/s 2)解析：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带施加给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图（a ）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图(b)所示。

综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”。

物体与带同速前由牛顿第二定律，得 mgsin θ＋μmgcos θ=ma 1 a 1=gsin θ＋μgcos θ=10m/s 2 物体加速至与传送带速度相等需要的时间为t 1＝v 0/a 1＝1s 物体对地的位移为21115162x a t m m ==p 可知物体加速到10m/s 时仍未到达B 点。

第二阶段的受力分析如图(b)所示，应用牛顿第二定律，有 mgsin θ－μmgcos θ＝ma 2， a 2＝2m/s 2设第二阶段物体滑动到B 端的时间为t 2，带长为L 则 2022212L x v t a t -=+解得t 2＝1s ，ｔ2′=-11s （舍去） 故物体经历的总时间ｔ=t 1＋t 2=2s 从上述问题1和问题2可以看出，传送带对物体的摩擦力，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻。

这一点应特别注意。

二、相对滑动及能量转换1． 在问题1中当小物体与传送带相对静止时，转化为内能的能量是多少？解析：在小物体从开始加速至与传送带达到共同速度的过程中小物体对地的位移：m gv a v x 12222===μ 传送带运动的位移：m gv vt x 22==='μ 小物体相对传送带滑动的位移：m gv x x x 122==-'=∆μ 摩擦产生的热：J mv g v mg x mg Q 421222==⋅=∆⋅=μμμ本题可得出的结论是：从静止放到水平匀速运动的传送带上的物体，在达到与传送带同速的过程中，转化为内能的能量值和物体增加的动能值相等。

因为物体在该过程中的对地位移与传送带相对物体的位移大小是相等的。

2．在问题2中求物体从顶端滑到底端的过程中，摩擦力对物体做的功以及产生的热各是多少？解析：物体与带同速前摩擦力做正功，J x mg W 10cos 1=⋅=θμ物体与带同速后摩擦力做负功，J x L mg W 22)(cos 2-=-⋅-=θμ全程摩擦力所做的功J W W W 1221-=+=全过程中物体与带的相对位移m t v x L x t v S 6)()(2010=--+-=全过程中生的热 J S mg Q 12cos =⋅=θμ该题目的关键在于分析清楚物理过程，分成两段处理，正确分析物体受力情况，求出物体和传送带的对地位移，以及物体和传送带间的相对位移。

问题3：利用皮带运输机将物体由地面运送到高出水平地面的C 平台上，C 平台离地面的竖直高度为5m ，已知皮带和物体间的动摩擦因数为0.75，运输机的皮带以2m/s 的速度匀速顺时针运动且皮带和轮子之间不打滑．(g ＝10m/s2，sin37°＝0.6)(1)如图所示，若两个皮带轮相同，半径都是25cm ，则此时轮子转动的角速度是多大？(2)假设皮带在运送物体的过程中始终是张紧的．为了将地面上的物体运送到平台上，皮带的倾角θ最大不能超过多少？(3)皮带运输机架设好之后，皮带与水平面的夹角为θ＝30°.现将质量为1kg 的小物体轻轻地放在皮带的A 处，运送到C 处．试求由于运送此物体，运输机比空载时多消耗的能量． 解析：(1)轮子做圆周运动，根据公式：v ＝ωr 可得轮子转动的角速度为：ω＝8rad/s(2)要将物体运送到平台上，物体所受到的力应该满足：μmgcos θ>mgsin θtan θ<μ＝0.75 所以θ<37°(3)P 物体放在皮带上先做匀加速运动，当速度达到皮带的速度时做匀速运动，物体匀加速运动时，根据牛顿第二定律可得：μmgcos θ－mgsin θ＝ma解得物体的加速度为：a ＝μgcos θ－gsin θ＝1.5m/s 2物体速度达到2m/s 所经过的位移为m a v S 3422== 物体与皮带开始接触的点通过的位移为：m a v vt S 382==='物体与皮带的相对位移为m S S S 34=-'=∆ 因滑动摩擦产生的热量为：Q ＝μmgcos θ·Δs ＝8.7J因此运送此物体运输机比空载时多消耗的电能为：J mv mgh Q E 7.60212=++=∆ 三、物体与传送带同向运动讨论1.v 物<v 带物体所受摩擦力向前为动力，物体做匀加速直线运动；当物体速度等于皮带速度时不受摩擦力而改做匀速运动。

2. v 物=v 带物体不受摩擦力而做匀速运动。

3. v 物>v 带物体所受摩擦力向后为阻力，物体做匀减速直线运动；当物体速度等于皮带速度时不受摩擦力而改做匀速运动4、物体与传送带反向运动物体所受摩擦力向后，物体向前做匀减速直线运动；然后做反向的匀加速直线运动。

例1、如图所示，水平传送带两端相距s =8m ，工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.6，工件滑上A 端时速度vA=10 m/s ，设工件到达B 端时的速度为vB （g =10m/s2）（1）若传送带静止不动，求vB（2）若传送带逆时针转动，工件还能到达B 端吗？若不能，说明理由；若能，求vB通过哪些措施可以使得物体不能到达B 端？（3）若传送带以v =13m/s 顺时针匀速转动，求vB 及工件由A 到B 所用的时间。

（4）在传送带顺时针匀速转动的情况下（传送带运动方向和物体运动方向一致），讨论物体到达B 端的速度和传送带速度的关系。

a 、V 带≤2m/s 物体始终减速VB=2m/sb 、2m/s ≤ V 带≤10m/s 物体先减速后匀速 VB= V 带c 、10m/s ≤ V 带≤14m/s 物体先加速后匀速 VB= V 带d 、 V 带≥14m/s 物体始终加速 VB= 14m/s例2：如图所示，AB 是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高 度为h ，末端B 处的切线方向水平．一个质量为m 的小物体P 从轨道顶端A 处由静止释放，滑到B 端后飞出，落到地面上的C 点，轨迹如图中虚线BC 所示．已知它落地时相对于B 点的水平位移OC ＝L ．现在轨道下方紧贴B 点安装一水平传送带，传送带的右端与B 的距离为L ／2．当传送带静止时，让P 再次从A 点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端水平飞出，仍然落在地面的C点．当驱动轮转动从而带动传送带以速度v 匀速向右运动时（其他条件不变），P 的落地点为D ．（不计空气阻力）（1）求P 滑至B 点时的速度大小；（2）求P 与传送带之间的动摩擦因数 ；（3） 求出O 、D 间的距离s 随速度v 变化的函数关系式．解：（1）物体P 在AB 轨道上滑动时，物体的机械能守恒，根据机械能守恒定律2021mv mgh =得物体P 滑到B 点时的速度为gh v 20= （2）当没有传送带时，物体离开B 点后作平抛运动，运动时间为t ，gh l v l t 20==当B 点下方的传送带静止时，物体从传送带右端水平抛出，在空中运动的时间也为t ，水平位移为2l ，因此物体从传送带右端抛出的速度22201gh v v ==根据动能定理，物体在传送带上滑动时，有212021212mv mv l mg -=μ解出物体与传送带之间的动摩擦因数为l h 23=μ（1） 当传送带向右运动时，若传送带的速度1v v ≤，即22ghv ≤时，物体在传送带 上一直做匀减速运动，离开传送带的速度仍为1v ，落地的水平位移为2l，即s ＝l 当传送带的速度22hg v >时，物体将会在传送带上做一段匀变速运动．如果尚未到达 传送带右端，速度即与传送带速度相同，此后物体将做匀速运动，而后以速度v 离开 传送带．v 的最大值2v 为物体在传送带上一直加速而达到的速度，即202221212mv mv l mg -=μ． 由此解得gh v 272=当2v v ≥，物体将以速度gh v 272=离开传送带，因此得O 、D 之间的距离为)71(22721+=+=l gh t s当21v v v <<，即gh v gh 2722<<时，物体从传送带右端飞出时的速度为v ，O 、D之间的距离为)221(22gh v l vt l s +=+=综合以上的结果，得出O 、D 间的距离s 随速度v 变化的函数关系式为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<+≤=)27()71(2)2722()221(2)22()(gh v l gh v gh gh v l gh v l v s针对训练：1、如图所示，一水平方向足够长的传送带以恒定的速度V1沿顺时针方向运动，传送带右端有一与传送带等高的光滑水平面，物体以恒定的速率V2沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回光滑水平面上，这时速率为V2/，则下列说法正确的是 （ AB ）A 、若V1<V2，则V2/=V1B 、若V1>V2，则V2/=V2C 、不管V2多大，总有V2/=V2D 、只有V1=V2时，才有V2/=V12、如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v 0=2 m/s 的速率运行。