大学物理功能原理和机械能守恒定律
大学物理第四章--功和能
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
(大学物理课件)§3.6功能原理及机械能守恒教程教案
机械能守恒定律的表述及含义
1
机械能守恒定律的表述
机械能守恒定律表述了一个系统内机械能的总量不会改变的事实。
2
机械能守恒定律的含义
机械能守恒定律的含义是，当一个物体的机械能发生变化时，它的动能和势能相互转换，但 总能量不变。
3
机械能守恒定律的应用
机械能守恒定律可以用于求解多种物理问题，如摆锤、小球自由落体等。
杠杆原理简介
什么是杠杆?
杠杆是指在一个支点绕着物体的悬挂点旋转的长条 形物体。
什么是杠杆原理?
杠杆原理是指在平衡状态下，杠杆两侧的力矩相等。
杠杆原理分类
1 一类杠杆
一类杠杆是指支点处的力作用在杠杆的一侧，称为杠杆的顶端。
2 二类杠杆
二类杠杆是指支点处的力作用于杠杆的中间，使其在顶端和底端之间移动。
焦耳定律简介
1 什么是热?
热是物体的分子或原子内部运动所产生的一种形式，是一种能量。
2 什么是焦耳定律?
焦耳定律是指热量的大小跟物体的质量、温度差以及物体的热容量等相关。
焦耳定律的表述及含义
1
焦耳定律的表述
热量的大小跟物体的质量、温度差以及物体的热容量等相关。
2Leabharlann 焦耳定律的含义焦耳定律的含义是物体温度的提高或降低是由吸收或释放的热量所决定的。
2 动能定理的应用有哪些?
动能定理可以用于求解运动物体的速度、加速度等问题。
动量守恒定律简介
1 什么是动量?
动量指物体的质量和速度 乘积。
2 什么是动量守恒定律? 3 动量守恒定律的应用
动量守恒定律指出，在一
有哪些?
个系统中，当没有外力作
动量守恒定律可以用于求
用时，系统的总动量保持
大学物理：2-1 机械能守恒定律
26
例2 求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离太 阳引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）
解 根据机械能守恒定律有
1 2
mv22
G
m ms r0
0
v2
2Gms 42.1103 m s-1 r0
地球公转速度 v1 物体相对于地球速度
Gms 29.7 103 m s-1 r0
v v2 v1 (42.1103 29.7 103 )m s- 1 12.4 103 m s-1
y
A
小mg球和在F滚N 两动个过力程的中作受用到。 h
合力为
F mg FN
O
FN
mg
B
x
根据动能定理有
B A
F
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv
2 A
即
B mg d r
A
B A FN
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv2A
12
因
FN
始终垂直于
dr
，
所以
B A FN dr 0
(2)功和动能都是与参照系有关的量。但动能定理 在不同惯性系中都成立，这是力学相对性原理的必 然结果。在一般情况下，如无特别声明，就是指以 地面为参照系。
11
例3 小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动,
如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离
为h 的B 处时, 速率为多大 ?
解 建立右图的坐标系，
F3 F3n Fn3 Fn
所以 A外 + A非保内 = (EkQ +EpQ ) (EkP + EpP ) 22
系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示 于是有 A外 + A非保内 = E(Q) E(P)
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
机械能守恒
碰撞前 碰撞后
5/15/2011 11:41 AM
r v1'
r v2'
16
3.7 碰撞 如果在两物体碰撞之后， 如果在两物体碰撞之后，由于非保守内力作功 将动能转化为其它形式的能量（如热能，光能）， 将动能转化为其它形式的能量（如热能，光能）， 它们的动能之和将减少，这类碰撞称作非弹性碰撞 非弹性碰撞。 它们的动能之和将减少，这类碰撞称作非弹性碰撞。 如果两物体作非弹性碰撞后以同一速度运动， 如果两物体作非弹性碰撞后以同一速度运动，这类 碰撞称作完全非弹性碰撞 完全非弹性碰撞。 碰撞称作完全非弹性碰撞。
5/15/2011 11:41 AM
Wint,cons = −∆Ep Wint = Wint,n−cons − ∆Ep
2
3.6 功能原理 机械能守恒
1 1 2 2 Wext +Wint = ∑ mi vi − ∑ mi vio =∆Ek 2 2
Wext +Wint,n−cons − ∆Ep = ∆Ek
mmS 1 2 mv'3 −G =0 2 RS
v' = v'3 −vE
5/15/2011 11:41 AM
12
3.6 功能原理 机械能守恒 抛体在脱离了地球的束缚后， 抛体在脱离了地球的束缚后，要再脱离太阳的束 缚，相对于地球参照系的速度不能小于
v' = v'3 −vE =
(
GmS 2 −1 RS
问题 如果两物体作完全非弹性碰撞， 如果两物体作完全非弹性碰撞，损失的 动能到哪去了? 动能到哪去了?
5/15/2011 11:41 AM 17
3.7 碰撞 小球作完全弹性对心碰撞，取速度方向为 轴正向 轴正向， 小球作完全弹性对心碰撞，取速度方向为x轴正向， 沿x轴方向系统的动量和动能守恒 轴方向系统的动量和动能守恒
功能原理(大学物理)
va a
4R E
RE
2R E
∵G
m Em R2
E
＝m
g
设：卫星在a 点的速率为va
所受的向心力是由万有引力
提供，由牛顿第二定律可得：
b vb
F向心力＝ m a ＝m
v2 R
G （m2RE mE）2 ＝m
v2 a
2R E
∴
Gm R2
E
E
＝g
代入上式得：
∴ va＝
gR E 2
va a
≥
5 2
R
C
(2)小球在 A 点受重力mg 及
A
轨道对小球的正压力N 作用。
H
B
·R
N0
(3)如果小球由H =2R 的高处滑下
mg 小球将不能到达A点就掉下来了。
本题结束
例题： 如图所示，子弹水平地射入一端固定在弹簧上
的木块内，已知：子弹质量是0.02kg ，木块质量是 8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块 后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的滑动摩擦系 数为0.2，求:子弹的速度。
和轨道对小 球的正压力
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1 )
不脱轨的条件为： N = mRvA2－m g ≥ 0
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1)
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
0＋mg( H
-
2R
)=
1 2
m
v
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
大学物理规范作业(本一)03解答
( A) 67 J , ( B) 91 J , ( C ) 17 J , ( D) − 67 J
r r 分析： A = F ⋅ ∆r r r r r r r = (4i − 5 j + 6k ) ⋅ (−3i − 5 j + 9k )
= 67 J
（A） ）
3
竖直悬挂的轻弹簧下端挂一质量为m 3.竖直悬挂的轻弹簧下端挂一质量为 m的物体后弹簧伸 且处于平衡。若以物体的平衡位置为坐标原点， 长y0且处于平衡。若以物体的平衡位置为坐标原点，相 应状态为弹性势能和重力势能的零点， 应状态为弹性势能和重力势能的零点，则物体处在坐标 时系统弹性势能与重力势能之和是： 为y时系统弹性势能与重力势能之和是： 2 2 mgy mgy0 mgy mgy0 ( D) ( A) + mgy ( B) + mgy (C ) 2 y0 2 2 y0 2 mg 分析：由题意有 mg = ky0 , k = （D） ） y0 以物体的平衡位置为坐标原点，相应状态为弹性势能和 重力势能的零点时
dt v0 = 3(m / s ), v 4 = 19(m / s)
1 1 2 2 根据动能定律，有： A = mv 4 − mv 0 = 176( J ) 2 2 dv = 6t − 8 或： a =
A=∫
( 2)
4
(1)
0
dt ( 2) Fdx = ∫ madx
(1)
= ∫ (6t − 8) d (3t − 4t 2 + t 3 ) = 176 ( J )
1 2 fdx = d ( mv ) 2
x
∫
0
dx = ∫
vB 2
vB
− 2mdv,
v − dx = mvdv 2 vB x = −2m( − vB ) = 14(m) 2
大学物理-第三章三大守恒定律
i
i
1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。
2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可 忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。
上一页 下一页
3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受 的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。
即 F x 当 F ix 0 时 p x ， m iv ix 常量
mv1
得 F (0 .3 )22 0 32 0 2 2 0 3c0o 3 s()0 14 (N )51
0 .01
根据正弦定理
sm i 2 nvsiF n t() 18 ,即力的 v 夹 方 角 1向 6 。 为 2
上一页 下一页
例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞
Ixt1 t2F xd tpx2px1mx2 vmx1v Iyt1 t2F yd tpy2py1my2v my1v Izt1 t2F zd tpz2pz1mz2 vmz1v
4 . 对于碰撞、打等 击过 、程 爆， 炸物体互 之作 间用 的
称为冲力， 值其 大特 ， 点 变 t短是 化 ，峰 大 在， 某
b v2
d v
d(m v )
d p
t 2
Fm am
Fdtdp
dt dt
微分形式
dt
a
v1
I 定义 ：t1 t动2F 量 d ptp p 1 m 2d vp p 2 t 1 p 1 P 2m mv( 2v I2 t1t2v F1 d)t
（ M d)v M (d v ) d( v M d v u ) Mv
大学物理-功能原理 机械能守恒定律
1
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守力 的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex
W in nc
(
Ek
Ep
) ( Ek0
Ep0
பைடு நூலகம்
)
2
W ex
W in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
1 R
） h
GMmh R（R h）
17
（2）取陨石为研究对象，由动能定理
R（GMRm hh）
1 2
mv2
得
v
2GM
h R（R
h）
18
例：求质量 M长 的l均匀细棒与质点
（1）质点 在细棒延m长线上； （2）质点 在m细棒中垂线上；
间的引m力势能。
解（1）质点 m在细棒延长线上，如图在细棒上任取一微
y
Oy 轴。
设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态
b0 g 0(l b0 )g 0
b0
0 1 0
l
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链
条将开始滑动。 10
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中 各部分之间相互作用的内力的功之和为零，
重力的功
W
l
b
ygdy
1 g(l2
2
b2 )
摩擦力的功
W
'
l
b
(l
y)gdy
1
2
g(l
b)2
11
根据动能定理有
1 g(l 2 b2 ) 1 g(l b)2 1 lv 2 0
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10
第一篇 力学
第二章 质点动力学
要点
(1)、势能是 状态量(状态函数 )
EP ? EP (x, y, z) 是位置坐标的函数
比较 E K ? E K (? )
是运动速度的函数
(2)、势能具有 相对性
势能值没有绝对意义，只有相对意义。处于某一
(3)、势能的物理意义
空间中某一点势能的值，是把质点从该点移到势 能零点时，保守力所做的功。
例----重力势能
A
A重 ? ? ( E P 0 ? E PA )
取 EP0 ? 0
E PA ? A重
o
(4)、势能是属于系统的
保守力不是单一的力，它是成对出现的，而势能 是系统内一对保守力相互作用而产生的。
2.4.1.6 势能
重力做功 万有引力做功 弹性力做功
A重 ? ? (mgy2 ? mgy1 )
A万
?
? ((?
G0 Mm ) ? rb
(?
G0 Mm )) ra
A弹
?
?
(
1 2
kx
2 B
?
1 2
kx
2 A
)
归纳三个公式：等式 左边是保守力所做的 功， 等式右边是只与坐标位置 有关的量之差值，是某 种能量 的变化。
第一篇 力学
第二章 质点动力学
2.4.1.5 保守力与非保守力
保 守 力 做功只与物体 始末位置 有关，与所 路径无关
例如：重力、万有引力、弹簧弹力、静电力 非保守力 做功与物体的 始末位置 有关，与 路径有关
例如：摩擦力
A
保守力的数学表述 以重力做功为例
C
?? ?
AACB ? F ?dr
?? ?
----这种与位置有关的能量称为 位能(势能)
9
第一篇 力学
第二章 质点动力学
定 义 重力势能 E P ? mgy
万有引力势能
EP
?
?
G0 Mm r
弹性势能
EP
?
1 kx 2 2
保守力做功可表示为
A保 ? ? (E P 2 ? E P 1 ) ? ? ? E P
物理意义
保守力对物体做功，等于物体势能增量的负值
? dr 方向相反
A
O
B
dA ? f ?dr ? ? mgds cos ? ? ? ? mgds
B
?R
? ? AACB ? dA ? ? ? mg ds ? ??? mgR
A
0
B
2R
? ? AAOB ? dA ? ? ? mg ds ? ? 2? mgR
A
0
AAOB ? AACB
摩擦力做功不但与始末位置有关，而且与路径有关 6
A
xA
o
x
x
?
?
(
1 2
kx
2 B
?
1 2
kx
2 A
)
在弹性限度内，弹簧弹力对物体做功只与弹簧端 点始末位置有关，而与弹簧的变形过程无关。
5
第一篇 力学
第二章 质点动力学
2.4.1.4 摩擦力做功
? dr
C
水平面内一物体质量 m
?
与水平面的滑动摩擦系数 ? f
R
?f ? ? mg
f 方向总? 是与?
x
? dr ? dxi ? dyj
dA ? ? mgdy
? ? AACB ?
B
dA ? ?
y2
mgdy
AACB ? ? (mgy2 ? mgy1 )
A
y1
同样：AADB ? AAEB ? ? (mgy2 ? mgy1 )
重力对质点做功，只与始末位置有关，而与路径无关 2
第一篇 力学
第二章 质点动力学
2.4.1.2 万有引力做功
宇宙星际之间存在万有引力，两星球质量
M、 m ， 距离 r ， m 受 M 的引力
r
? F
?
? G0
Mm r2
? r0
? r0
假设：质点 m 沿某一路径有一微小位移 M
m ?
F
dA ?
?
? F
?dr??
? G0
??
Mm
?r 2
? r0
?dr?
而 r0 ?dr ? | r0 | ?| dr | ?cos ?
位置的质点，其势能的大小与势能 零点的位置选择 有关，零点位置不同，势能值就不同。
势能零点的规定 重力势能 ----------地面势能为 0 ，地面以上为正
万有引力势能 ----无限远处势能 0 ，任意点为负
弹力势能 ----------平衡位置势能为 0 ，任意点为正 11
第一篇 力学
第二章 质点动力学
AADB ? F ?dr
ACB
ADB
D
B
由保守力的做功特点 AACB ? AADB
?
? ? ? ?
??
ABDA ? F ?dr ? ? F ?dr ? ? AADB
BDA
ADB
F? 方向不变 dr 方向相反 7
第一篇 力学
第二章 质点动力学
?? ?
AACBDA ? F ?dr
A
C
AACBDA ? AACB ? ABDA ? 0
d
? r
?
B
r?
rb
万有引力做功，只与质点始末位置有关，而与路径无关。
与重力做功特点相同
4
第一篇 力学
第二章 质点动力学
2.4.1.3 弹簧的弹性力做功
点击演示
取平? 衡位置为? ox 轴原点 f ? ? kx i
? f
dA ? F xdx ? ? kxdx
? ? B
xB
AAB ? dA ? ? k xdx
1
第一篇 力学
第二章 质点动力学
2.4.1 保守力的功和势能
y
2.4.1.1 重力? 做功 地面附近 g 为常数
AC ? dr
假设：质点在 xoy 竖直平面内运
D?
动
A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )
G
E
B
一考d质虑A点两?沿点G?A?dCr?B??路G?径? ?运?动m，?g重?j 力?做功 o
第一篇 力学
第二章 质点动力学
2.4 功能原理和机械能守恒定律
牛顿第二定律 ----------- 力的瞬时效应
? F
?
? dP
dt
质点的动能定理 --------力的空间累积效应
?Q ? ?
APQ ? F ?dr ? E KQ ? E KP
P
质点系的动能定理
A 外 ? A内 ? E KQ ? E KP A内 ? ? 质点的内力做功进一步分析
?? ?
即 F ?dr ? 0 闭合回路的线积分 D
B
物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所 做的功为零
?? ?
对于非保守力 F ?dr ? 0
例如：摩擦力做功 ---物体做圆周运动一周
? ? ? A?
?? F ?dr ?
Fds cos? ? ? F
ds ? ? 2? RF
8
第一篇 力学
第二章 质点动力学
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? | dr | ?cos ? ? dr
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第一篇 力学
第二章 质点动力学
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