江苏省镇江市大港中学2020-2021学年高二上学期10月学情检测数学试题
2021-2022学年江苏省镇江一中高二(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2021-2022学年江苏省镇江一中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 直线3x +4y +5=0的斜率和它在y 轴上的截距分别为( )A. 43，53B. −43，−53C. −34，−54D. 34，542. 在复平面内，复数6+5i 与−3+4i 对应向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是( )A. −1+9iB. 9+iC. −9−iD. 9−i3. 下列说法正确的是( )A. “a =−1“是“直线a 2x −y +1=0与直线x −ay −2=0互相垂直”的充要条件B. 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y −2=0C. 过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)两点的所有直线的方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D. 直线ax +2y +6=0与直线x +(a −1)y +a 2−1=0互相平行，则a =−14. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，则下列说法正确的是( )A. 若a//α，b ⊂α，则a//bB. 若a//b ，a//α，则b//αC. 若a ⊥α，a//β，则α⊥βD. 若a ⊥α，a ⊥b ，则b//α5. 若α∈[π6,π2)，则直线4xcosα+6y −7=0的倾斜角的取值范围是( )A. [π6,π2)B. [5π6,π)C. (0,π6]D. (π2,5π6]6. 已知圆锥的母线长为3√2，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的底面面积是( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π7. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x −4y +c 1=0和3x −4y +c 2=0，则|c 1−c 2|=( )A. 2√3B. 2√5C. 2D. 48. 已知三条直线l 1：mx +ny =0，l 2：nx −my +3m −n =0，l 3：ax +by +c =0，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且a +c =2b.设直线l 1，l 2交于点P ，则点P 到直线l 3的距离的最大值是( )A. √10+5√22B. √102+√582 C. √10+√582 D. √102+5√22二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知复数z =√3+i(i 为虚数单位)，z −为z 的共轭复数，若复数z 0=z−z，则下列结论正确的是( )A. z 0在复平面内对应的点位于第四象限B. |z 0|=1C. z 0的实部为12D. z 0的虚部为√3210. 已知直线l ：kx +y =0与圆M ：x 2+y 2−2x −2y +1=0，则下列说法中正确的是( )A. 直线l 与圆M 一定相交B. 若k =0，则直线l 与圆M 相切C. 当k =−1时，直线1与圆M 的相交弦最长D. 圆心M 到直线l 的距离的最大值为√211. 光线自点(2,4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y =kx +1反射后经过点(5,0)，则反射光线还经过下列哪个点( )A. (14,2)B. (14,98)C. (13,2)D. (13,1)12. 已知图1中的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，体积为2√2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是( )A. A 2B 2//平面ABCB. AB 2=2√63C. 四边形ABA 2B 2为正方形D. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1与几何体ABCA 2B 2C 2的外接球的体积相等三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点A(1,3)，斜率是直线y=−4x斜率的1的直线方程为______．314.方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为______．15.直线l：mx−y+1=0截圆x2+y2+4x−6y+4=0的弦为MN，则|MN|的最小值为______，此时m的值为______．16.四棱锥A−BCDE的各顶点都在同一球面上，AB⊥底面BCDE，底面BCDE为梯形，∠BCD=60°，且AB=CB=BE=ED=2，则此球的体积等于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的顶点坐标为A(−3,9)、B(2,2)、C(5,3)．(1)求AC边的长；(2)求AC边中线所在直线的方程；(3)求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：(1)直线PA//平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．19.已知直线l过点(2,1)，点O是坐标原点．(1)若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l方程；(2)若直线l与x轴正方向交于点A，与y轴正方向交于点B，求OA+OB的最小值及此时的直线方程．20.如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=−1，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．(1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；(2)三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．21.如图，在三棱锥P−ABC中，底面ABC是边长2的等边三角形，PA=PC=√5，点F在线段BC上，且FC=3BF，D为AC的中点，E为的PD中点．(Ⅰ)求证：EF//平面PAB；(Ⅱ)若二面角P−AC−B的平面角的大小为2π，求直线3DF与平面PAC所成角的正弦值．22.已知直线l：(m+2)x+(1−2m)y+4m−2=0与圆C：x2−2x+y2=0交于M，N两点．(1)求出直线l恒过定点的坐标；(2)求直线l的斜率的取值范围；(3)若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线3x +4y +5=0化为y =−34x −54．∴直线3x +4y +5=0的斜率和它在y 轴上的截距分别为−34，−54． 故选：C ．把直线方程化为斜截式即可得出．本题考查了把直线的一般式方程化为斜截式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,5)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−9,−1)， ∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是−9−i ． 故选：C ．由向量减法的坐标运算求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，则答案可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量减法的坐标运算，是基础题．3.【答案】D【解析】A 选项：根据直线垂直的定义可知，①若两直线斜率都存在且不为0时，k 1⋅k 2=−1⇔l 1⊥l 2，本题中当两直线斜率都存在且不为0，即a ≠0时，k 1=1a 2,k 2=a ， 则当1a 2⋅a =−1⇔a =−1时，两直线垂直；②当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直，此时a =0，故A 错误；B 选项：根据题意假设直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，则有①当a =b =0时，即直线经过原点，且过点(1,1)，此时直线方程为x −y =0； ②当a =b ≠0时，则可设直线的截距式方程为xa +yb =1，代入点(1,1)可得， 直线方程为x +y −2=0；故B 错误；C选项：根据直线的两点式方程定义可知，若直线经过点(x1,y1)，(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2时，可得直线的两点式方程为，但当①x1=x2，y1≠y2时，直线方程为y=y1；②x1≠x2，y1=y2时，直线方程为x=x1；故C错误；D选项：根据直线平行的判定可知，当两直线的斜率都不存在，或都存在且相等时，两直线平行；本题中，①当a=0时直线ax+2y+6=0斜率为0，直线x+(a−1)y+a2−1=0斜率为1，此时两直线不平行；②当a≠0时，k1=−a2,k2=11−a，若两直线平行，则有−a2=11−a，解之可得，a=2，或a=−1；故D选项正确．故选：D．A选项，可根据两直线的垂直关系进行证明，但是在用斜率关系判定直线的垂直关系时，需要考虑斜率不存在的特殊情况；B选项是对直线的截距式方程进行考查，所以可以用直线的截距式方程定义进行求解但需要考直线在坐标轴上的截距为0的特殊情况；C选项主要考查直线的两点式方程定义，在定义中一定要注意条件x1≠x2，y1≠y2；D选项主要考查两直线平行的判定，所以可以根据两直线斜率相等进行判断．本题主要考查直线位置关系的判定，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A：a//α，b⊂α，则a//b，a与b可能异面；对于B：a//b，a//α，则b//α，b可能在面α内；对于C，a⊥α，a//β，则α⊥β，满足直线与平面垂直的性质，所以C正确；对于D：a⊥α，a⊥b，则b//α，b可能在面α内．故选：C．利用直线与平面的位置关系以及直线与平面垂直的位置关系，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，直线与直线以及直线与平面的平行与垂直关系的应用，是中档题．5.【答案】B【解析】解：直线4xcosα+6y−7=0的斜率为−2cosα3，∵α∈[π6,π2),∴0<cosα≤√32,∴−√33≤−2cosα3<0，∴直线4xcosα+6y−7=0的倾斜角的取值范围为[5π6,π)，故选：B．由α的取值范围求出cosα的范围，进而计算出直线的斜率的范围，再利用直线的倾斜角与斜率关系即可求出倾斜角范围．本题主要考查了直线的斜率和倾斜角的关系，是基础题．6.【答案】B【解析】解：设圆锥的底面半径为r，由题意可得，3√2=2π3，解得r=√2，所以圆锥的底面面积为π⋅(√2)2=2π．故选：B．设圆锥的底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求出半径r，由圆的面积公式求解即可．本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，所以√12+22=12√32+42，解得|c1−c2|=2√5．故选：B．利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可．本题考查了菱形性质的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题可知：a +c =2b ，∴直线l 3：ax +a+c 2y +c =0过定点E(1,−2)，直线l 1，l 2交点P(n 2−3mn m 2+n 2,3m 2−mn m 2+n 2)，点P 到直线l 3的距离的最大值为P 到定点的距离，即|PE|， |PE|=√(3m 2−mn m 2+n 2−1)2+(3mn−n 2m 2+n 2+2)2=√26−22n 2+4mn m 2+n 2，当m =0时，|PE|=2，当n =0时，|PE|=√26， 设nm =t ，当m ≠0时，|PE|=√26−22×n 2m 2+4×n m 1+n 2m2=√26−22t 2+4t 1+t 2，令y =26−22t 2+4t 1+t 2，由判别式法可得：(4−y)t 2−4t +26−y =0，则△=16−4(4−y)(26−y)≥0，解得y ≤15+5√5， ∴|PE|≤√102+5√22． 故选：D ．由题可知：a +c =2b ，从而直线l 3：ax +a+c 2y +c =0过定点E(1,−2)，直线l 1，l 2交点P(n 2−3mn m 2+n 2,3m 2−mn m 2+n 2)，点P 到直线l 3的距离的最大值为P 到定点的距离，即|PE|，由此能求出结果．本题考查本题考查点到直线的最大距离的求法，考查两直线交点坐标、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABC【解析】解：∵z =√3+i ，∴z 0=z −z =√3−i √3+i =(√3−i)2(√3+i)(√3−i)=√3i+i 2(√3)2+12=2−2√3i 4=12−√32i ， 则z 0在复平面内对应的点位于第四象限，故A 正确； |z 0|=√(12)2+(−√32)2=1，故B 正确；z 0的实部为12，故C 正确； z 0的虚部为−√32，故D 错误．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简z 0，然后逐一分析四个选项得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：由x 2+y 2−2x −2y +1=0，得(x −1)2+(y −1)2=1，直线l ：kx +y =0过原点O ，且不与y 轴重合， ∴当k >0时，直线l 与圆M 相离，故A 错误； 若k =0，则直线l 与圆M 相切，故B 正确； 当k =−1时，直线1过圆心M ，直线l 与圆M 的相交弦最长，故C 正确；当k =1时，圆心M 到直线l 的距离取最大值为√2，故D 正确． 故选：BCD ．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，画出图形，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】BD【解析】解：由题意知，直线l 的斜率k =tan135°=−1， ∴直线l 的方程为y =−x +1，设点(2,4)关于直线l 的对称点为B(m,n)，则{n+42=−m+22+1n−4m−2⋅(−1)=−1，解得m =−3，n =−1，∴B(−3,−1)，∴反射光线所在直线的方程为y =0−(−1)5−(−3)⋅(x −5)，即x −8y −5=0， 当x =14时，y =98；当x =13时，y =1， ∴反射光线还经过(14,98)和(13,1)．设点(2,4)关于直线l的对称点为B(m,n)，根据中点坐标公式和两条直线垂直的条件，求出点B的坐标，再由点斜式写出反射光线所在直线的方程，然后代入选项中的点，进行验证即可．本题考查直线的方程，两条直线的位置关系，直线中的对称问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A：因旋转前后，A1，B1，C1，A2，B2，C2，共面，由棱柱的性质得知：平面A2B2C2//平面ABC，从而A2B2//平面ABC，故A正确；对于B：因棱柱体积V=S△ABC⋅AA1=√34×22⋅AA1=2√2，解得AA1=2√63，设H为B2在平面ABC上的射影，如图所示：则：点H在BO的延长线上，且OH=OB=2√33，又B2H=OO2=AA1=2√63，从而AH=AO=BO，所以AB2=√B2H2+AH2=2，故B错误；对于C：因为A2B2//A1B1//AB，且A1B1=A2B2=AB，故四边形ABB2A2为平行四边形，由对称性可知：AA2=BB2，又AB2=AB=2，所以四边形ABA2B2为正方形，故C正确；对于D：因旋转前后正三棱柱ABC−A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球都是是以OO2为直径的球G上，故球的体积相等，故D正确．直接利用柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】4x+3y−13=0【解析】解：直线y=−4x的斜率是−4，则所求直线的斜率是13×(−4)=−43，所以直线方程为y−3=−43(x−1)，化为一般式方程是4x+3y−13=0．故答案为：4x+3y−13=0．求出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．本题考查了直线的斜率与直线方程的求法问题，是基础题．14.【答案】(0,1)【解析】解：方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0化为标准方程为(x−a)2+(y−2a)2=a−a2，则圆心坐标为(a,2a)，因为方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0表示圆心在第一象限的圆，所以{a>02a>0a−a2>0，解得0<a<1，所以实数a的范围为(0,1)．故答案为：(0,1)．先将方程化为标准方程，求出圆心坐标，然后列出不等式组，求解即可．本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．15.【答案】21【解析】解：直线l：mx−y+1=0恒过(0,1)，圆x2+y2+4x−6y+4=0的圆心(−2,3)，半径为3，所以定点与圆心的距离为：√(0+2)2+(1−3)2=2√2，所以则|MN|的最小值为：2√32−(2√2)2=2，此时直线MN与定点和圆心连线的直线垂直．可得m=−−2−03−1=1．故答案为：2；1．求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值，推出m即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】20√53π【解析】解：如图，由已知可得，底面四边形BCDE为等腰梯形，设底面外接圆的圆心为G，连接BG，则2BG=2sin30o=4，∴BG=2，又AB=2，设四棱锥外接球的球心为O，则OA=√5，即四棱锥外接球的半径为√5．∴此球的体积等于V=43π×(√5)3=20√53π.故答案为：20√53π.由题意画出图形，可得底面四边形BCDE为等腰梯形，求底面外接圆的半径，进一步求得四棱锥外接球的半径，代入球的体积公式即可．本题考查多面体外接球的体积的求法，考查转化思想方法、计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)△ABC的顶点坐标为A(−3,9)、B(2,2)、C(5,3)，则AC=√(5+3)2+(3−9)2=10；(2)AC的中点M的坐标为(1,6)，所以直线AM的方程为y−6=9−6−3−1(x−1)，即AC边中线所在直线的方程为4x−y−10=0；(3)由题意可得，直线AC的方程为y−9=3−95−(−3)(x+3)，即3x−4y−27=0，所以点B到直线AC的距离为ℎ=√32+42=135，则△ABC的面积为S=12×AC×ℎ=12×10×135=13．【解析】(1)利用两点间距离公式求解即可；(2)求出AC的中点M的坐标，由点斜式求解方程即可；(3)求出直线AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，由三角形的面积公式求解即可．本题考查了直线方程的求解与应用，两点间距离公式、点到直线的距离公式的应用，中点坐标公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：(1)∵D、E为PC、AC的中点，∴DE//PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA//平面DEF；(2)∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=12PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=12BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE//PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，AC，EF⊂平面ABC，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．【解析】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，属于中等题．(1)由D、E为PC、AC的中点，得出DE//PA，从而得出PA//平面DEF；(2)要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．19.【答案】解：(1)①当直线l过原点时，直线l的方程为y=12x，即x−2y=0，②当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa +ya=1，代入点(2,1)得：2a +1a=1，解得：a=3，所以直线l的方程为x3+y3=1，即x+y−3=0，综上所述，直线l方程为x−2y=0或x+y−3=0．(2)设直线l的方程为xa +yb=1(a>0,b>0)，代入点(2,1)得：2a +1b=1，∴OA+OB=a+b=(a+b)(2a +1b)=3+2ba+ab≥3+2√2ba⋅ab=3+2√2，当且仅当2ba =ab，即a=2+√2，b=1+√2时，等号成立，此时直线l的方程为x+2y−(2+√2)=0．【解析】(1)对直线l是否过原点分情况讨论，分别求出直线l的方程即可．(2)依题意可设直线l的方程为xa +yb=1(a>0,b>0)，则2a+1b=1，再利用基本不等式即可求出a+b的最小值，以及此时直线l的方程．本题主要考查了直线方程的截距式，考查了基本不等式的应用，是基础题．20.【答案】解：(1)以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，由题意，设点P(a,1)，且直线AN 的斜率为k AN =tanα=−1，经过点A(0,0)， 所以直线AN 的方程为x +y =0， 又点P 到直线AN 的距离为√2， 所以|a+1|√2=√2，解得a =1或a =−3(舍)，故点P 的坐标为(1,1)；(2)由题意可知，直线BC 的斜率一定存在， 设直线BC 的直线方程为y −1=k(x −1)， 联立直线BC 与AN 的方程，{y −1=k(x −1)x +y =0，解得点C 的坐标为(k−1k+1,1−kk+1)，在直线BC 的方程中，令y =0，解得x B =−1k +1=k−1k，所以S △ABC =12⋅k−1k⋅(−k−1k+1)=4，解得k =−13，故直线BC 的方程为x +3y −4=0．【解析】(1)以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，求出直线AN 的方程，利用点到直线的距离公式求出a 的值，即可得到答案；(2)设直线BC 的方程，与AN 的方程联立，求出点C 的坐标，由三角形的面积公式求出k 的值，即可得到直线BC 的方程．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：如图所示，在平面PAC 内作EG//AC ，交PA 于点G ，在平面BAC 内作EH//AC ，交BA 于点H ，则：GE =12AD =14AC =FH ，从而四边形EGHF 为平行四边形，EF//GH ， 而EF 不在平面PAB 内，GH 在平面PAB 内， 故EF //平面PAB ；(Ⅱ)解：如图所示，以点D 为坐标原点，DA ，DB 方向分别为x 轴，y 轴正方向，与平面ABC 垂直的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系D −xyz ，由于PD =√5−1=2，故：A(1,0,0),B(0,√3,0),P(0,−1,√3),D(0,0,0),F(−14,3√34,0)， 从而：DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−14,3√34,0)，设平面PAC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则：{m ⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ⋅(1,0,0)=x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ⋅(−1,−1,√3)=−x −y +√3z =0，取y =√3，则z =1，x =0，即m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值： sinθ=|DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|m ⃗⃗⃗ |=942×√72=9√728．【解析】(Ⅰ)作出辅助线，利用线面平行的判断定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后计算线面角的正弦值即可．本题主要考查线面平行的证明，空间直角坐标系的应用等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)由直线l ：(m +2)x +(1−2m)y +4m −2=0，得m(x −2y +4)+(2x +y −2)=0， 联立{x −2y +4=02x +y −2=0，解得{x =0y =2，∴直线l 恒过定点(0,2)；(2)由圆C ：x 2−2x +y 2=0，知圆心C(1,0)，半径r =1， 当直线l 和圆C 相切时，√(m+2)2+(1−2m)2=1，得m =12或m =−12，当m =12时，直线l 方程x =0，当m =−12时，直线l 方程3x +4y −8=0，∴直线l 与圆C 相交时，直线l 的斜率取值范围(−34,0)； (3)由(2)知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y =kx +b ， 联立{y =kx +bx 2−2x +y 2=0，得(1+k 2)x 2+(2kb −2)x +b 2=0， x 1+x 2=−2kb−21+k 2，x 1x 2=b 21+k 2，k 1+k 2=y 1x 1+y2x 2=x 2y 1+x 1y 2x 1x 2=x 2(kx 1+b)+x 1(kx 2+b)x 1x 2=2kx 1x 2+b(x 1+x 2)x 1x 2=2k +b ⋅x 1+x 2x 1x 2=2k +b ⋅2−2kb b 2=2k +2b −2k =2b ．由(1)可知，b =2，则k 1+k 2=1， ∴k 1+k 2是定值，定值为1．【解析】(1)直接由直线系方程求解直线l恒过定点的坐标；(2)先分析直线与圆相切时的斜率，进而可知直线和圆相交时斜率的取值范围；(2)设直线l方程为y=kx+b，联立直线与圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数的关系即可证明k1+k2为定值．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．。
江苏省镇江市2020-2021学年第一学期九校联考高二数学试题
7. 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分。设其方程为 x2 = 2py(0 ≤ y ≤ 10)，在杯内放置一
个玻璃球，要使玻璃球能接触到洒杯的底部，玻璃球的半径的最大值为 (
)
A. 2
B. 1
C. 2
D. 3
8.
如图
，四棱柱
ABCD
-
A1B1C1D1
中，底面
ABCD
为正方形
，
侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABCD,AB = 3 2 ,AA1 = 6, 以 D 为圆心，
19. ( 本小题满分 12 分 )
如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，∠ACB = 90°,∠BAC = 30°,BC = 1,A1A = 6，M
是 CC1 的中点 .
(1) (6 分 ) 求证：A1B ⏊ AM ;
C1
(2) (6 分 ) 求二面角 B - AM - C 的平面角的大小 .
B1
A1
M
C
B
A
20. ( 本小题满分 12 分 )
已知数列 an
满足
an+1
=
2an, an + 2
且
a1 = 2,
数列
bn
满足 bn+1 - bn = anbn,
且 b1 = 2,n ∈ N *
(1)
5 分 ) 求证 : 数列
1 an
是等差数列，并求数列 an 的通项公式;
2
(2) (7 分 ) 解关于 n 的不等式 : 前 n 项和为 Tn, 下列说法正确的有 (
)
A. 若 a1 > 0,d < 0, 则存在正整数 n 使得 an > 0 且 an+1 < 0 B. 若 a1 < 0,d > 0, 则 Sn 有最小值无最大值 C. 数列 bn 是单调数列的一个充分不必要条件是 b1 > 0,q > 1 D. T2n - Tn 2 = TnT3n - T2n 对于任意正整数 n 恒成立
江苏省镇江市镇江中学2024-2025学年高二上学期11月期中学情检测数学试题(含答案)
江苏省镇江中学高二年级期中学情检测（数学）命题人：高一数学学科中心组第二小组 审题人：高一数学学科中心组第一小组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角是（ ）A．B ．C ．D ．2．等差数列中，若，，则等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切4．已知直线：，：且，则实数的值为（ ）A ．B ．1C ．5或D ．55．已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）A ．B ．7C ．D ．26．若实数，，，成等比数列，则下列三个数列：（1），，，；（2），，；（3），，，必成等比数列的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．设点，若经过点的直线关于轴的对称直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A ．B ．c ．D ．8．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ）A ．B ．c ．D ．10x +-=π32π3π65π6{}n a 234a a +=345a a +=910a a +1C ()2211x y -+=2C ()22416x y -+=1C 2C 1l ()410x a y +-+=2l 550ax y ++=12l l ∥a 1-1-l 210x y --=C ()22610x y x ay a +-++=∈R ()4,P a -C A PA =a b c d 2a 2b 2c 2d ab bc cd a b -b c -c d -()2,3A -A l x l '()()22321x y -+-=l 43,,034⎛⎤⎡⎫-∞-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭340,43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭43,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦{}n a 12a =122n n na a a +=+()()1121nn n n b n a a +=-+{}n b n n S 100S =400101-400101408101408101-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则点在圆外B ．圆与轴相切C ．若圆截轴所得弦长为D ．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为10．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）A ．数列的通项公式B ．C ．数列的通项公式为D ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（ ）A ．圆的方程是B ．过点向圆引切线，两条切线的夹角为C ．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为D ．过直线上的一点向圆引切线，，切点为，，则四边形的面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．xOy C ()222420x y x ay a a +--+=∈R 0a ≠O C C x C x 1a =O C 2a {}n a n n S 12a =214S a ={}nb 1nn n n a b S S +=⋅{}n b n n T {}n a 123n n a -=⨯31n n S =-{}n b ()()1233131nn nn b +⨯=--1186n T ≤<A B ()1λλ≠()4,2A -()2,2B P 2PA PB=P C C ()()224216x y -+-=A C π3A l C l 3460x y +=Q C QM QN M N QMCN12．已知点，，，则的外接圆的标准方程为_________．13．已知数列满足，，则数列的通项公式为_________．14．已知实数，，，满足，，，则的取值范围是_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．本小题13分在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上．（1）若是边上的高，求直线的方程；（2）若是边上的中线，求直线的方程．16．本小题15分等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值；（2）求数列的前16项的和．17．本小题15分已知，直线：与圆：交于，两点．（1）求证直线过定点；（2）若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程；（3）求面积的最大值．18．本小题17分数列的前项和记为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得，，成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由．19．本小题17分在平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相()2,0A ()0,0O ()0,4B -AOB △{}n a 11a =()11123n n na n a n +-+=++++ {}n a 1x 2x 1y 2y 221116x y +=222216x y +=12120x x y y +=1212x x y y +++xoy ABC △AB 20x y +=AC 30x y -+=()2,0M BC AM BC BC AM BC BC {}n a n n S 315S =-1a 3a 4a -{}n a n S n {}n a 16T m ∈R l ()1360x m y m +-+-=C 228230x y x y +-+-=A B l P l C 12l ABC △{}n a n n S 213n n a S =+{}n a 3log nn na b a ={}n b n n T {}n b k 1b 22b k kb k xoy C y 4340x y ++=C切．（1）求圆的方程；（2）设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点．①点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围；②设，是圆与轴的两个交点（在的上方），证明：与的交点在定直线上．江苏省镇江中学高二年级期中学情检测（数学）答案命题人：高一数学学科中心组第二小组审题人：高一数学学科中心组第一小组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分．9．【答案】AD 10．【答案】ABD11．【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】13．【答案】14．【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解】（1）由得，所以得斜率为，因为，所以得斜率为，的方程为，即（2）点在直线上，设，点关于的对称点为在直线上所以，解得，所以的方程，即方程为16．【解】（1）由得解得，，所以，C ()0,1D D k l C P Q ()1,0M PQ k A B C y A B AP BQ ()()22125x y -++=()12n n n a +=⎡⎤⎣⎦2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩12x y =-⎧⎨=⎩()1,2A -AM 202123-=---BC AM ⊥BC 32BC ()322y x =-3260x y --=B 20x y +=(),2B x x -B M ()4,2C x x -30x y -+=()4230x x --+=73x =714,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭BC BM 14280x y +-=()123314152a a a a a a ++=-⎧⎨=+-⎩()()11113315223a d a d a a d +=-⎧⎨+=-+⎩17a =-2d =29n a n =-由于得，解得，因为，所以，当取得最小值时，（2）17．【解】（1）由：，得，，解得所以直线过定点．（2）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．直线与圆交于，两点，则．圆：，圆心到．，整理得．解得，所以，直线的方程为．（3）当时，圆心到的距离所以的取值范围为，线段面积为当时，所以，求面积的最大值为．18．【解】（1）因为，所以所以当时，，所以，当时，所以，100n n a a +≤⎧⎨≥⎩290270n n -≤⎧⎨-≥⎩7922n ≤≤*n ∈N 4n=n S 4n =()()167531132316144160T =+++++++=+= l ()1360x m y m +-+-=()()630x y m y --++=6030x y y --=⎧⎨+=⎩33x y =⎧⎨=-⎩l ()3,3P -l C 12l C A B 120ACB ∠=︒ C ()()224120x y -++=∴()4,1C -l 2690m m -+=3m =l 230x y ++=l CP ⊥C l d d ⎡⎣AB ==ABC △12S AB d d =⋅===[]20,5d ∈25d =max S ==ABC △213n n a S =+3322n n S a =-1n =111332a S S ==-13a =2n ≥113322n n S a --=-111333333222222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理可得，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以．（2）（3）结合（2），，令，即，即，设，则，当时，，数列为递减数列，，故对所有正整数，所以，不存在正整数，使得，，成等差数列．19．【解】（1）设圆心为，，则圆的方程为，，，圆的方程为；（2）设的方程为，，代入，并整理得则，，且因为点在以为直径的圆内，所以即由于，，所以13nn a a -={}n a 3n n a =123343n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭3n n nb =1222k b kb b +=⨯218339k k +=2539k k =()23k k f k =()()()2221112211333k k k k k k k f k f k +++-+++-=-=2k ≥()()10f k f k +-<23k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()15139f =<()45299f =<k ()59f k <k 1b 22b k kb ()0,a 0a >()224x y a +-=2d ∴3410a +=02a a >∴= ∴C ()2224x y +-=l 1y kx =+()11,P x y ()22,Q x y ()2224x y +-=()221230k x kx +--=12221k x x k +=+12231x x k ⋅=-+()()2224310k k ∆=-+⨯+>M PQ 0MP MQ ⋅<()()1212110x x y y --+⋅<111y kx =+221y kx =+()()()212121120k x x k x x ++-++<所以，解得所以的取值范围是．由圆方程知，其与轴的两个交点为，方程为，方程为消去得：所以，即有与的交点在定直线上．()2213201k k k --++<+11k <<+k (1+y ()0,4A ()0,0B AP 11440y y x x -=+-BQ 220y y x x -=-x ()12221122121211232343411331k k x x y kx x x y k k k y x y kx x x x k -⎛⎫-- ⎪---++⎝⎭====-+++2y =-AP BQ 2y =-。
江苏镇江中学2024年高二上学期期初学情检测数学试题(解析版)
江苏省镇江中学高二年级期初学情检测（数学）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知数列2，，是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项C. 第22项D. 第19项【答案】A 【解析】，解出即可得.，解得20n =，20项. 故选：A.2. 已知等差数列{aa nn }的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ）A. 2−B. 73C. 1D.29【答案】D 【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ×=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法的不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D3. 设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，259,,a a a 成等比数列，则135147a a a a a a ++=++（ ）A.1011B.1110C.34 D.43【答案】A 【解析】【分析】由题意可得18d a =，根据135331474433a a a a a a a a a a ++==++求解即可. 【详解】因为公差0d ≠的等差数列{aa nn }中，259,,a a a 成等比数列，所以2529a a a =⋅，即()()()211148a d a d a d +=+⋅+，解得18d a =，所以135331147441328210338311a a a a a a d d d a a a a a a d d d ++++=====++++. 故选：A.4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nS n n =+，1)n b n n ∗=∈≥N ,，则数列{}n b 的前n 项和为n T =（ ）A. −B. 1−C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用,n n a S 的关系求出n a ，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列{}n a 的前n 项和22nS n n =+， 当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n −=−=+−−+−=+，而113a S ==满足上式， 因此21na n =+，n b =−，所以n T =++++ .故选：D5. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则SS nn =nnaa 1+nn (nn−1)2dd ,SS nn nn=aa 1+nn−12dd =dd 2nn +aa 1−dd 2,SS nn+1nn+1−SS nn nn=dd2，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}n S n为等差数列，即SS nn+1nn+1−SS nn nn =nnSS nn+1−(nn+1)SS nn nn (nn+1)=nnaa nn+1−SSnn nn (nn+1)为常数，设为t ， 即nnaa nn+1−SS nn nn (nn+1)=tt ，则SS nn =nnaa nn+1−tt ⋅nn (nn +1)，有SS nn−1=(nn −1)aa nn −tt ⋅nn (nn −1),nn ≥2，两式相减得：aa nn =nnaa nn+1−(nn −1)aa nn −2ttnn ，即aa nn+1−aa nn =2tt ，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2nn n S na d −=+， 则SS nnnn=aa 1+(nn−1)2dd =dd 2nn +aa 1−dd2，因此{}nS n为等差数列，即甲是乙充分条件； 反之，乙：{}n S n为等差数列，即SS nn+1nn+1−SS nn nn =DD ,SSnn nn =SS 1+(nn −1)DD ，即SS nn =nnSS 1+nn (nn −1)DD ，SS nn−1=(nn −1)SS 1+(nn −1)(nn −2)DD ，当2n ≥时，上两式相减得：SS nn −SS nn−1=SS 1+2(nn −1)DD ，当1n =时，上式成立， 于是aa nn =aa 1+2(nn −1)DD ，又aa nn+1−aa nn =aa 1+2nnDD −[aa 1+2(nn −1)DD ]=2DD 为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.的故选：C6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若125n n a a n ++=+，则8S =（ ） A. 48 B. 50C. 52D. 54【答案】C 【解析】【分析】根据125n n a a n ++=+得到127a a +=，3411a a +=，5615a a +=，7819a a +=，相加得到答案.【详解】因为125n n a a n ++=+，所以127a a +=，3411a a +=，5615a a +=，7819a a +=， 所以8711151952S =+++= 故选：C7. 已知函数()()633,7,7x a x x f x a x − −−≤= > ，若数列{}n a 满足*()(N )n a f n n =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A. 9(,3)4B. 9[,3)4C. (2,3)D. [2,3)【答案】C 【解析】【分析】()f x 在[)1,,N x x ∗∈+∞∈上单调递增，结合函数图象，得到不等式，求出23a <<.【详解】由题意可知，()f x 在[)1,,N x x ∗∈+∞∈上单调递增，由于()33y a x =−−和6x y a −=均为单调函数，故()86301733a a a a − −>> −−<，解得23a <<. 故选：C8. 在正项等比数列{}n a 中，4561,32a a a =+=．则满足1212n n a a a a a a +++> 的最大正整数n 的值为（ ）A. 12B. 11C. 9D. 10【答案】D 【解析】【分析】求出等比数列的公比和首项，可得数列的通项公式和12n a a a +++ 及12n a a a 的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得n 的范围，取上限的整数部分即可得答案.【详解】设正项等比数列{}n a 公比为q ，则0q >，由题意可得()31411213a q a q q =+=， 解之可得1116a =，2q ，故其通项公式为1512216n n n a −−=×=． 记()1241122116122n n n nT a a a −−+++===− ， ()943542235122222n n n n n n a S a a −−−−−−−+−××× ．由题意可得n n T S >，即()9242122n n n−−>，化简得()942212n n n−+−>，由*N n ∈且1n >，因此只须()942n n n >−+，即21180n n −+<，n <<， 由于n 为正整数，因此n的整数部分，也就是10． 故选：D.二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 若{}n a 是等差数列，且22n S n n k =++，则0k =B. 若{}n a 是等比数列，且213n n S k +=+，则3k =−C. 若2321n S n n =−+，则{}n a 是等差数列 D. 若{}n a 是公比大于1的等比数列，则22n n S S >【答案】AB 【解析】【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用3221a a a a −≠−判断选项C ；通过举例2n n a =−，判断选项D.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，则()2111222n n n d d d S na n a n −=+=+−， 且22n S n n k =++，故 0k =，故A 正确；对于B ，若{}n a 是等比数列，则当1q ≠时，()1111111n n n a q a aS q q q q−==−+−−−，且21339n n n S k k +=+=×+，则3k =−；当1q =时，2113n n S na k +=≠+，舍去，故B 正确；对于C ，若2321n S n n =−+，则112a S ==，221927a S S −=−==， 33222715a S S −−===，故3221a a a a −≠−，所以{}n a 不是等差数列，故C 错误；对于D ，若2nn a =−，则()21246,2224S S =−−=−=×−=−,此时212S S <，不满足22n n S S >，故D 错误. 故选：AB10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*111,2n n a a S n +==∈N ，则有（ ）A. 13n n S −=B. {}n a 为等比数列C. 28nn a =⋅D. {}n S 为等比数列【答案】AD 【解析】【分析】BC 选项，根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 得到21,123,2n n n a n −= = ×≥ ，从而得到BC 错误；A 选项，结合等比数列求和公式得到A 正确；D 选项，计算出13n nS S +=，得到D 正确. 【详解】BC 选项，12n n a S +=①，当1n =时，211222a S a ===， 当2n ≥时，12n n a S −=②，①-②得11222n n n n n a a S S a +−−−，故13n n a a +=，故{}n a 从第二项开始，为公比为3的等比数列，B 错误； 故21,123,2n n n a n −= =×≥，C 错误； A 选项，121223126231313n n n n S −−−−×=++++×=+=− ，A 正确；D 选项，11333nn n nS S +−==，故{}n S 为等比数列，D 正确. 故选：AD11. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件：11a >，202420251,a a >20242025101a a −<−，下列结论正确的是（ ）A. 20242025S S <B. 202420261a a <C. 2024T 是数列{}n T 中的最大值D. 数列{}n T 无最大值 【答案】ABC 【解析】【分析】根据条件202420251a a >判断0q >，分1q ≥和01q <<两情况讨论20242025101a a −<−得成立与否得出01q <<，即可判断A ；对于B ，利用A 的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C ，D ，由前面推得的202420251,01a a ><<即可判断.【详解】对于A ，由20242025101a a −<−可得，20242025(1)(1)0a a −−<（*），由20242024202251,a a q a >=可得0q >.当1q ≥时，因11a >，则202420251,1a a >>，即（*）不成立；当01q <<时，202420251,01a a ><<，（*）成立，故20242025S S <，即A 正确；对于B ，因2202420262025110a a a −=−<，故B 正确； 对于C,D ，由上分析202420251,01a a ><<，且01q <<，则2024T 是数列{}n T 中的最大值，故C 正确，D 错误. 故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知{}n a 是公比为12的等比数列，若14797100a a a a ++++=，则36999a a a a ++++= ______. 【答案】25 【解析】【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为3699942971714a a a a a a a a q ++++++=++=所以3699925a a a a ++++=故答案为：2513. 数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =______． 【答案】2n n ⋅ 【解析】【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将1112122n nn n aa +++=+，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得.【详解】由题意知1122n n n a a ++=+将等式两边同时除以12n +， 可得11122n n n na a ++=+，因为12a =，所以可知112a =， 则数列2n n a是以12a 为首项，1为公差的等差数列， 所以()112nna n n =+−=，所以2n n a n =⋅. 故答案为：2n n ⋅14. 镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为24dm 20dm ×的长方形纸，对折1次共可以得到12dm 20dm,24dm 10dm ××两种规格的图形，它们的面积之和21480dm S =，对折2次共可以得到6dm 20dm ×，12dm 10dm,24dm 5dm ××三种规格的图形，它们的面积之和22360dm S =，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm ．【答案】 ①. 6 ②. 515(3)14402n n −+− 【解析】分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】第一空：由对折2次共可以得到6dm 20dm ×，12dm 10dm,24dm 5dm ××三种规格的图形，所以对折三次的结果有：3dm 20dm ×，6dm 10dm ×，512dm 5dm,24dm dm 2××共4种不同规格； 对折4次可得到如下规格：3dm 20dm 2×，3dm 10dm ×，6dm 5dm ×，5512dm dm,24dm dm 24××，共5种不同规格； 对折5次可得到如下规格：3dm 20dm 4×，3dm 10dm 2×，3dm 5dm ×，56dm dm 2×，5512dm dm,24dm dm 48××，共6种不同规格；第二空：由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为2240dm , 第n 次对折后的图形面积为12402n n S −=，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数为1n +种， 则01211240224032404240(1)2222k n nk S n S −==××=××+++++∑ ， 1232124022403404240(1)22222n S n ×=×××+++++ ， 两式作差得：12312122402402402402400(1)242282n nS n −=×+++++−+ 11112(1)240224240(1)240(1)240(3)70720280240122212n n nn n n n n −−−+×−−×+××+−=−+−=， 因此515(3)14402n n S −=−+. 【故答案为：①6；②515(3)14402n n −+−.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法； （4）对于11{}n n a a +结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()d d ≠0，则111111()n n n n a a d a a ++=−，利用裂项相消法求和.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知{aa nn }}是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{aa nn }的通项公式； （2）求数列{}n a 前n 项和n S ．【答案】（1）212n na −=（2）21223n n S +−=【解析】【分析】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式； （2）代入等比数列前n 项和公式，即可求解.小问1详解】因为数列{aa nn }是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{aa nn }的公比为q ()0q >，22312a a qq ==，212a a q q ==， 所以22416q q =+，解得2q =−（舍去）或4，所以数列{aa nn }是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a −−=×=．【小问2详解】 因为212n n a −=，求和可得：()2121422143n n n S +−−==−． 【16. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ． 【答案】（1）152na n =− （2）2214,71498,8n n n n T n n n −≤= −+≥ 【解析】分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果； （2）先求n S ，讨论n a 的符号去绝对值，结合n S 运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d ， 由题意可得211011*********a a d S a d =+= ×=+=，即1111298a d a d += += ，解得1132a d = =− ， 所以()1321152n a n n =−−=−，【小问2详解】因为()213152142n n n S n n +−==−， 令1520n a n =−>，解得152n <，且*n ∈N ， 当7n ≤时，则0n a >，可得2121214nn n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==−； 当8n ≥时，则0n a <，可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n −−−×−−−−+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n −≤= −+≥ .17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a =是公差为13的等差数列． 【（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++< ． 【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+−=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,进而得：111n n a n a n −+=−，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n +++=− + ，进而证得. 【小问1详解】∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a是公差为13的等差数列， ∴()121133n n S n n a +=+−=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S −−+=， ∴()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,整理得：()()111n n n a n a −−=+, 即111n n a n a n −+=−, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=×××…×× ()1341112212n n n n n n ++=×××…××=−−，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； 【小问2详解】 ()12112,11n a n n n n ==− ++ ∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n =−+−+−=−< ++18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足222n nn S a a =+−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,2n n n n a a b T =为数列{}n b 的前n 项和.若()332n n k n T S +−≤对任意的*n ∈N 恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1n a n =+（2）5,8 +∞【解析】【分析】（1）运用公式，已知n S 求n a 即可；（2）求出n b ，后运用错位相减求出n T ，后结合函数单调性可解．【小问1详解】222n n n S a a =+−①，且0n a >， 当1n =时，代入①得12a =；当2n ≥时，211122n n n S a a −−−=+−.②①-②得22112n n n n n a a a a a −−=−+−，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−+=−=−+， 因为0n a >，所以()112n n a a n −−=≥，所以数列{aa nn }为等差数列，公差为1，所以1n a n =+.【小问2详解】112n n n b ++=，()2341111123412222n n T n +=×+×+×+++ ，③ ()345121111112341222222n n n T n n ++=×+×+×++×++ ，④ ③-④得()2341211111121222222n n n T n ++=×++++−+ ， 所以13322n n n T ++=−，所以()332n n k n T S +−≤，且()32n n n S +=，化简得()232n n n k ++≥， 令()212334,22n n n n n n n n n c c c ++++−−=−=，所以1234c c c c <>>> ， 所以n c 的最大值为258c =，所以58k ≥. 所以k 的取值范围为5,8∞ +. 19. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn n b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和． （1）若2133333,21a a a S T =++=，（ⅰ）求{}n a 的通项公式；（ⅱ）若,,n n na n cb n = 为奇数为偶数数列{}nc 的前n 项和为n T ，求20T ． （2）若{}n b 为等差数列，且191919S T −=，求d ． 【答案】（1）（ⅰ）3n a n =；（ⅱ）20340T = （2）1110d =【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及,n n S T 的定义即可求解； （2）由等差数列前n 项和基本量的计算结合分类讨论即可求解.【小问1详解】 （ⅰ）由21333a a a =+，得132d a d =+，解得1a d =， 则()321336S a a d d ==+=，又31232612923T b b b dd d d=++=++=， 有339621S T d d +=+=，即22730d d −+=，解得3d =或12d =（舍去），所以()113n a a n d n =+−⋅=.（ⅱ）3n a n =，则22133n n n n n n n b a n +++===， 则()()201234192013192420T a b a b a b a a a b b b =++++++=+++++++ ()357213135193403++++=+++++= . 【小问2详解】 若{bb nn }为等差数列，则有2132b b b =+，即21312212a a a =+， 得2323111616d a a a a a −== ，即2211320a a d d −+=，解得1a d =或12a d =， 由1d >，则0n a >，又191919S T −=，，由等差数列性质知，1010191919a b −=， 即10101a b −=，得10101101a a −=， 即100211100a a −−=，解得1011a =或1010a =−（舍去），当12a d =时，10111119a a d d=+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解； 当1a d =时，10110119a a d d=+==，解得1110d =. 11110a d ==时，1110n a n =，()10111n n b +=，符合题意， 所以等差数列{aa nn }的公差1110d =.。
江苏省南通市2024-2025学年高二上学期10月调研测试 数学含答案
2024-2025（上）十月份调研测试高二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过原点且与直线210x y +-=垂直的直线方程为（）A.2y x =B.2y x =-C.12y x =D.12y x =-2.已知直线1:210l x ay +-=和直线2:(31)10l a x ay --+=，则“16a =”是“12l l ∥”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c -++C.221332a b c +-D.221332a b c +- 4.已知空间向量()1,2,0,(0,1,1),(2,3,)a b c m ==-= ，若,,a b c共面，则实数m =（）A.1B.2C.3D.45.直线l 按向量(3,1)a =-平移后得直线l '，则直线l 与l '之间的距离的最大值为（）A.1B.3C.D.106.已知两点(1,3)A -，(2,1)B -，若沿y 轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离是（）A.3B.5C.D.7.在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，11π3A AB A AC ∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A.6B.6C.63D.38.已知P ，Q 是直线:10l x y -+=上两动点，且||PQ ，点(4,6)A -，(0,6)B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为（）A.10B.10C.D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系O xyz -中，下列结论正确的是（）A.点(1,2,3)A 关于原点O 的对称点的坐标为1,2)3(,---B.点(1,2,3)A 关于x 轴的对称点的坐标为(1,2,3)-C.点(1,2,3)A 关于xOz 平面对称的点的坐标为(1,2,3)-D.两点(1,2,3)A ，(3,2,1)B 间的距离为10.已知直线:20l x -=，则（）A.l 的倾斜角为π6B.l 与两坐标轴围成的三角形面积为233C.原点O 到l 的距离为1D.原点O 关于l 的对称点为(11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 满足1AP AC AD λμ=+，其中(0,1)λ∈，(0,1)μ∈，则（）A.1AP B D⊥B .平面11A BC ∥平面ACPC.当1λμ+=时，点P 的轨迹长度为1D.存在点P ，使得12DP =三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线:20l y -+=与y 轴交于点A ，将l 绕点A 顺时针旋转15 得到直线m ，则直线m 的一般式方程为______.13.在空间直角坐标系中，()()()0000u x x v y y w z z -+-+-=表示经过点()000,,x y z ，且法向量为(),,u v w 的平面的方程，则点()1,1,3P 到平面()()()121220x y z --++-=的距离为______.14.已知点()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，直线()0y ax b a =+>将ABC V 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，已知点()1,1A -，()3,0C ，AB 边的中点在y 轴上，BC 边上的高所在直线方程为4370x y --=.（1）求线段AB 的中点坐标；（2）求ABC V 的面积.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在棱1CC 上，且14CC CP =.（1）求点P 到平面1ABD 的距离；（2）求二面角1P AD B --的正弦值.17.在直角坐标平面xOy 中，已知直线:20l kx y k -++=交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，记AOB V 的面积为S .（1）求直线l 经过的定点P 的坐标；（2）证明：2S >；（3）是否存在直线l ，使得||||||OA OB AB ⋅=，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由.18.在三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1A C ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1A 到平面11BCC B 的距离为1.（1）求证：1AC A C =；（2）求异面直线1AA 与BC 的距离；（3）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.19.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，12AA =，11C CB C CD ∠=∠，145C CA ︒∠=.（1）求证：四边形11BB D D 为矩形；（2）求平面ABCD 与平面1111D C B A 间的距离；（3）求二面角1B AA D --的正弦值.2024-2025（上）十月份调研测试高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AB三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】20x y -+=【13题答案】【答案】23【14题答案】【答案】()2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）()0,1（2）5【16题答案】【答案】（1）2（2）34141【17题答案】【答案】（1）(1,2)-（2）证明见解析（3）存在，250x y -+=【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1（3）1313【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2（3）3。
江苏省镇江市2021届高三名校10月考数学试卷含答案
D． a2 b2 有最小值 1 2
10．将函数 y＝cosx 的图象向左平移 3 个单位，得到函数 y f (x) 的函数图象，则下列说 2
法正确的是
A．函数 y f (x) 是奇函数
B．函数 y f (x) 的周期是
C．函数 y f (x) 的图象关于直线 x 对称 2
D．函数 y f (x) 的图象关于( ，0)对称 2
米．
16．已知实数 ， 满足e e3 ， (ln 1) e4（其中 e 是自然对数的底数），则
＝
．
四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知平面向量 a ＝(2cos ，1)， b ＝(1，3sin )．
D．存在 a＞0，使得函数 y f (x) 有唯一极小值
三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上）
13．已知随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2 )，且 P(X＜2)＝0.7，则 P(0＜X＜1)＝
．
14．已知等比数列an 的公比为
2，前
n
项和为 Sn
，则
S4 a2
＝
．
15．小明拟测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图 1），此时 测得地面上树的影子长为 8 米，坡面上树的影子长为 4 米，已知斜坡的坡角为 30°，同
2
一时刻，一根长为 1 米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长为 2 米（如图 2），
则树的高度为
在① a3 5 ， a2 a5 6b2 ；② b2 2 ， a3 a4 3b3 ；③ S3 9 ， a4 a5 8b2 ，这
江苏省镇江市大港中学2020-2021学年度高二第一学期10月学情检测数学试卷
C．平行四边形一定是平面图形
D．梯形一定是平面图形
12. 在平面直角坐标系中，已知双曲线 x2 y2 1，则(
)
4 12
A.实轴长为 4
B.渐近线方程为 y
3 x
3
C.离心率为 2
D.一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 3
三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）.
分别为 M , N .
(1) 若 P 点坐标为 4,6 ,求直线 MN 的方程;
y
P
M
(2) 求证:直线 MN 过定点.
A
O
B
x
N l
2
B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
3．已知公差为 2 的等差数列 an 满足 a1 a4 0 ，则 a7 （ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
4．椭圆 C 的长轴长是短轴长的 3 倍，则 C 的离心率为（ ）
A． 6 3
B． 2 3
C． 3 3
D． 2 2 3
13．若焦点在 x 轴上的椭圆 x2 y2 1 的离心率为 1 ，则 m _________．
2m
2
14．椭圆
x2 9
y2 4
1 的左右焦点分别为 F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若
PF1
4 ，则 F1PF2
________.
15．在数列 an 中， a1 1 ， an an1 2n2 (n 2) ，则 an _____.
面是尖的（只有一个小球），问：总共有__________个小球.（注：这里高分别一个，二个，三个，四个的三角垛 如图所示）
2021-2022学年江苏省镇江一中高二(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年江苏省镇江一中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为（）A．，B．﹣，﹣C．﹣，﹣D．，2．在复平面内，复数6+5i与﹣3+4i对应向量与，则向量对应的复数是（）A．﹣1+9i B．9+i C．﹣9﹣i D．9﹣i3．下列说法正确的是（）A．“a＝﹣1“是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件B．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为D．直线ax+2y+6＝0与直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，则a＝﹣14．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥b，a∥α，则b∥αC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a⊥α，a⊥b，则b∥α5．若，则直线4x cosα+6y﹣7＝0的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π7．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1＝0和x+2y+3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x﹣4y+c1＝0和3x﹣4y+c2＝0，则|c1﹣c2|＝（）A．B．C．2D．48．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分.9．已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是（）A．z0在复平面内对应的点位于第四象限B．|z0|＝1C．z0的实部为D．z0的虚部为10．已知直线l：kx+y＝0与圆M：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，则下列说法中正确的是（）A．直线l与圆M一定相交B．若k＝0，则直线l与圆M相切C．当k＝﹣1时，直线l与圆M的相交弦最长D．圆心M到直线l的距离的最大值为11．光线自点（2，4）射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx+1反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪个点（）A．（14，2）B．（14，）C．（13，2）D．（13，1）12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）A．A2B2∥平面ABCB．C．四边形ABA2B2为正方形D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分.13．过点A（1，3），斜率是直线y＝﹣4x斜率的的直线方程为．14．方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为．15．直线l：mx﹣y+1＝0截圆x2+y2+4x﹣6y+4＝0的弦为MN，则|MN|的最小值为，此时m的值为．16．四棱锥A﹣BCDE的各顶点都在同一球面上，AB⊥底面BCDE，底面BCDE为梯形，∠BCD＝60°，且AB＝CB＝BE＝ED＝2，则此球的体积等于．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．（1）求AC边的长；（2）求AC边中线所在直线的方程；（3）求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．19．已知直线l过点（2，1），点O是坐标原点．（1）若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l方程；（2）若直线l与x轴正方向交于点A，与y轴正方向交于点B，求OA+OB的最小值及此时的直线方程．20．如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长2的等边三角形，，点F在线段BC上，且FC＝3BF，D为AC的中点，E为的PD中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣B的平面角的大小为，求直线DF与平面PAC所成角的正弦值．22．已知直线l：（m+2）x+（1﹣2m）y+4m﹣2＝0与圆C：x2﹣2x+y2＝0交于M，N两点．（1）求出直线l恒过定点的坐标；（2）求直线l的斜率的取值范围；（3）若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为（）A．，B．﹣，﹣C．﹣，﹣D．，【分析】把直线方程化为斜截式即可得出．解：直线3x+4y+5＝0化为．∴直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为，．故选：C．2．在复平面内，复数6+5i与﹣3+4i对应向量与，则向量对应的复数是（）A．﹣1+9i B．9+i C．﹣9﹣i D．9﹣i【分析】由向量减法的坐标运算求得的坐标，则答案可求．解：由题意，＝（6，5），＝（﹣3，4），则，∴向量对应的复数是﹣9﹣i．故选：C．3．下列说法正确的是（）A．“a＝﹣1“是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件B．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为D．直线ax+2y+6＝0与直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，则a＝﹣1【分析】A选项，可根据两直线的垂直关系进行证明，但是在用斜率关系判定直线的垂直关系时，需要考虑斜率不存在的特殊情况；B选项是对直线的截距式方程进行考查，所以可以用直线的截距式方程定义进行求解但需要考直线在坐标轴上的截距为0的特殊情况；C选项主要考查直线的两点式方程定义，在定义中一定要注意条件x1≠x2，y1≠y2；D选项主要考查两直线平行的判定，所以可以根据两直线斜率相等进行判断．【解答】A选项：根据直线垂直的定义可知，①若两直线斜率都存在且不为0时，k1•k2＝﹣1⇔l1⊥l2，本题中当两直线斜率都存在且不为0，即a≠0时，，则当⇔a＝﹣1时，两直线垂直；②当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直，此时a＝0，故A错误；B选项：根据题意假设直线在x，y轴上的截距分别为a，b，则有①当a＝b＝0时，即直线经过原点，且过点（1，1），此时直线方程为x﹣y＝0；②当a＝b≠0时，则可设直线的截距式方程为，代入点（1，1）可得，直线方程为x+y﹣2＝0；故B错误；C选项：根据直线的两点式方程定义可知，若直线经过点（x1，y1），（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2时，可得直线的两点式方程为，但当①x1＝x2，y1≠y2时，直线方程为y＝y1；②x1≠x2，y1＝y2时，直线方程为x＝x1；故C错误；D选项：根据直线平行的判定可知，当两直线的斜率都不存在，或都存在且相等时，两直线平行；本题中，①当a＝0时直线ax+2y+6＝0斜率为0，直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0斜率为1，此时两直线不平行；②当a≠0时，，若两直线平行，则有，解之可得，a＝2，或a＝﹣1；故D选项正确．故选：D．4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥b，a∥α，则b∥αC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a⊥α，a⊥b，则b∥α【分析】利用直线与平面的位置关系以及直线与平面垂直的位置关系，判断选项的正误即可．解：对于A：a∥α，b⊂α，则a∥b，a与b可能异面；对于B：a∥b，a∥α，则b∥α，b可能在面α内；对于C，a⊥α，a∥β，则α⊥β，满足直线与平面垂直的性质，所以C正确；对于D：a⊥α，a⊥b，则b∥α，b可能在面α内．故选：C．5．若，则直线4x cosα+6y﹣7＝0的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由α的取值范围求出cosα的范围，进而计算出直线的斜率的范围，再利用直线的倾斜角与斜率关系即可求出倾斜角范围．解：直线4x cosα+6y﹣7＝0的斜率为﹣，∵，∴0，∴﹣≤﹣＜0，∴直线4x cosα+6y﹣7＝0的倾斜角的取值范围为[，π），故选：B．6．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】设圆锥的底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求出半径r，由圆的面积公式求解即可．解：设圆锥的底面半径为r，由题意可得，，解得，所以圆锥的底面面积为．故选：B．7．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x+2y+1＝0和x+2y+3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x﹣4y+c1＝0和3x﹣4y+c2＝0，则|c1﹣c2|＝（）A．B．C．2D．4【分析】利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可．解：由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，所以，解得．故选：B．8．已知三条直线l1：mx+ny＝0，l2：nx﹣my+3m﹣n＝0，l3：ax+by+c＝0，其中m，n，a，b，c为实数，m，n不同时为零，a，b，c不同时为零，且a+c＝2b．设直线l1，l2交于点P，则点P到直线l3的距离的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由题可知：a+c＝2b，从而直线l3：ax+y+c＝0过定点E（1，﹣2），直线l1，l2交点P（，），点P到直线l3的距离的最大值为P到定点的距离，即|PE|，由此能求出结果．解：由题可知：a+c＝2b，∴直线l3：ax+y+c＝0过定点E（1，﹣2），直线l1，l2交点P（，），点P到直线l3的距离的最大值为P到定点的距离，即|PE|，|PE|＝＝，当m＝0时，|PE|＝2，当n＝0时，|PE|＝，设＝t，当m≠0时，|PE|＝＝，令y＝26﹣，由判别式法可得：（4﹣y）t2﹣4t+26﹣y＝0，则△＝16﹣4（4﹣y）（26﹣y）≥0，解得y≤15+5，∴|PE|≤+．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分.9．已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是（）A．z0在复平面内对应的点位于第四象限B．|z0|＝1C．z0的实部为D．z0的虚部为【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简z0，然后逐一分析四个选项得答案．解：∵，∴＝＝＝，则z0在复平面内对应的点位于第四象限，故A正确；|z0|＝，故B正确；z0的实部为，故C正确；z0的虚部为，故D错误．故选：ABC．10．已知直线l：kx+y＝0与圆M：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，则下列说法中正确的是（）A．直线l与圆M一定相交B．若k＝0，则直线l与圆M相切C．当k＝﹣1时，直线l与圆M的相交弦最长D．圆心M到直线l的距离的最大值为【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，画出图形，然后逐一分析四个选项得答案．解：由x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，直线l：kx+y＝0过原点O，且不与y轴重合，∴当k＞0时，直线l与圆M相离，故A错误；若k＝0，则直线l与圆M相切，故B正确；当k＝﹣1时，直线l过圆心M，直线l与圆M的相交弦最长，故C正确；当k＝1时，圆心M到直线l的距离取最大值为，故D正确．故选：BCD．11．光线自点（2，4）射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx+1反射后经过点（5，0），则反射光线还经过下列哪个点（）A．（14，2）B．（14，）C．（13，2）D．（13，1）【分析】设点（2，4）关于直线l的对称点为B（m，n），根据中点坐标公式和两条直线垂直的条件，求出点B的坐标，再由点斜式写出反射光线所在直线的方程，然后代入选项中的点，进行验证即可．解：由题意知，直线l的斜率k＝tan135°＝﹣1，∴直线l的方程为y＝﹣x+1，设点（2，4）关于直线l的对称点为B（m，n），则，解得m＝﹣3，n＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∴反射光线所在直线的方程为y＝•（x﹣5），即x﹣8y﹣5＝0，当x＝14时，y＝；当x＝13时，y＝1，∴反射光线还经过（14，）和（13，1）．故选：BD．12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）A．A2B2∥平面ABCB．C．四边形ABA2B2为正方形D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等【分析】直接利用柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系的应用判断A、B、C、D的结论．解：对于A：因旋转前后，A1，B1，C1，A2，B2，C2，共面，由棱柱的性质得知：平面A2B2C2∥平面ABC，从而A2B2∥平面ABC，故A正确；对于B：因棱柱体积，解得，设H为B2在平面ABC上的射影，如图所示：则：点H在BO的延长线上，且OH＝OB＝，又，从而AH＝AO＝BO，所以，故B错误；对于C：因为A2B2∥A1B1∥AB，且A1B1＝A2B2＝AB，故四边形ABB2A2为平行四边形，由对称性可知：AA2＝BB2，又AB2＝AB＝2，所以四边形ABA2B2为正方形，故C正确；对于D：因旋转前后正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球都是是以OO2为直径的球G上，故球的体积相等，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分.13．过点A（1，3），斜率是直线y＝﹣4x斜率的的直线方程为4x+3y﹣13＝0．【分析】求出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．解：直线y＝﹣4x的斜率是﹣4，则所求直线的斜率是×（﹣4）＝﹣，所以直线方程为y﹣3＝﹣（x﹣1），化为一般式方程是4x+3y﹣13＝0．故答案为：4x+3y﹣13＝0．14．方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为（0，1）．【分析】先将方程化为标准方程，求出圆心坐标，然后列出不等式组，求解即可．解：方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0化为标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝a﹣a2，则圆心坐标为（a，2a），因为方程x2+y2﹣2ax﹣4ay+6a2﹣a＝0表示圆心在第一象限的圆，所以，解得0＜a＜1，所以实数a的范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．15．直线l：mx﹣y+1＝0截圆x2+y2+4x﹣6y+4＝0的弦为MN，则|MN|的最小值为2，此时m的值为1．【分析】求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值，推出m即可．解：直线l：mx﹣y+1＝0恒过（0，1），圆x2+y2+4x﹣6y+4＝0的圆心（﹣2，3），半径为3，所以定点与圆心的距离为：＝2，所以则|MN|的最小值为：2＝2，此时直线MN与定点和圆心连线的直线垂直．可得m＝﹣＝1．故答案为：2；1．16．四棱锥A﹣BCDE的各顶点都在同一球面上，AB⊥底面BCDE，底面BCDE为梯形，∠BCD＝60°，且AB＝CB＝BE＝ED＝2，则此球的体积等于π．【分析】由题意画出图形，可得底面四边形BCDE为等腰梯形，求底面外接圆的半径，进一步求得四棱锥外接球的半径，代入球的体积公式即可．解：如图，由已知可得，底面四边形BCDE为等腰梯形，设底面外接圆的圆心为G，连接BG，则2BG＝＝4，∴BG＝2，又AB＝2，设四棱锥外接球的球心为O，则OA＝，即四棱锥外接球的半径为．∴此球的体积等于V＝π×（）3＝π．故答案为：π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3）．（1）求AC边的长；（2）求AC边中线所在直线的方程；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）利用两点间距离公式求解即可；（2）求出AC的中点M的坐标，由点斜式求解方程即可；（3）求出直线AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，由三角形的面积公式求解即可．解：（1）△ABC的顶点坐标为A（﹣3，9）、B（2，2）、C（5，3），则AC＝；（2）AC的中点M的坐标为（1，6），所以直线AM的方程为y﹣6＝（x﹣1），即AC边中线所在直线的方程为4x﹣y﹣10＝0；（3）由题意可得，直线AC的方程为，即3x﹣4y﹣27＝0，所以点B到直线AC的距离为h＝＝，则△ABC的面积为．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE＝PA＝3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF＝BC＝4；∴DE2+EF2＝DF2，∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF＝E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．19．已知直线l过点（2，1），点O是坐标原点．（1）若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l方程；（2）若直线l与x轴正方向交于点A，与y轴正方向交于点B，求OA+OB的最小值及此时的直线方程．【分析】（1）对直线l是否过原点分情况讨论，分别求出直线l的方程即可．（2）依题意可设直线l的方程为（a＞0，b＞0），则，再利用基本不等式即可求出a+b的最小值，以及此时直线l的方程．解：（1）①当直线l过原点时，直线l的方程为y＝x，即x﹣2y＝0，②当直线l不过原点时，设直线l的方程为，代入点（2，1）得：，解得：a＝3，所以直线l的方程为，即x+y﹣3＝0，综上所述，直线l方程为x﹣2y＝0或x+y﹣3＝0．（2）设直线l的方程为（a＞0，b＞0），代入点（2，1）得：，∴OA+OB＝a+b＝（a+b）（）＝3++＝3，当且仅当＝，即a＝2+，b＝1+时，等号成立，此时直线l的方程为x+2y﹣（2+）＝0．20．如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．【分析】（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点P的坐标，求出直线AN 的方程，利用点到直线的距离公式求出a的值，即可得到答案；（2）设直线BC的方程，与AN的方程联立，求出点C的坐标，由三角形的面积公式求出k的值，即可得到直线BC的方程．解：（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，由题意，设点P（a，1），且直线AN的斜率为k AN＝tanα＝﹣1，经过点A（0，0），所以直线AN的方程为x+y＝0，又点P到直线AN的距离为，所以，解得a＝1或a＝﹣3（舍），故点P的坐标为（1，1）；（2）由题意可知，直线BC的斜率一定存在，设直线BC的直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），联立直线BC与AN的方程，，解得点C的坐标为，在直线BC的方程中，令y＝0，解得，所以，解得，故直线BC的方程为x+3y﹣4＝0．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长2的等边三角形，，点F在线段BC上，且FC＝3BF，D为AC的中点，E为的PD中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣B的平面角的大小为，求直线DF与平面PAC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）作出辅助线，利用线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后计算线面角的正弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，在平面PAC内作EG∥AC，交PA于点G，在平面BAC内作EH∥AC，交BA于点H，则：，从而四边形EGHF为平行四边形，EF∥GH，而EF不在平面PAB内，GH在平面PAB内，故EF∥平面PAB；（Ⅱ）解：如图所示，以点D为坐标原点，DA，DB方向分别为x轴，y轴正方向，与平面ABC垂直的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，由于，故：，从而：，设平面PAC的法向量为，则：，取，则z＝1，x＝0，即，直线DF与平面PAC所成角的正弦值：．22．已知直线l：（m+2）x+（1﹣2m）y+4m﹣2＝0与圆C：x2﹣2x+y2＝0交于M，N两点．（1）求出直线l恒过定点的坐标；（2）求直线l的斜率的取值范围；（3）若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【分析】（1）直接由直线系方程求解直线l恒过定点的坐标；（2）先分析直线与圆相切时的斜率，进而可知直线和圆相交时斜率的取值范围；（2）设直线l方程为y＝kx+b，联立直线与圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数的关系即可证明k1+k2为定值．解：（1）由直线l：（m+2）x+（1﹣2m）y+4m﹣2＝0，得m（x﹣2y+4）+（2x+y﹣2）＝0，联立，解得，∴直线l恒过定点（0，2）；（2）由圆C：x2﹣2x+y2＝0，知圆心C（1，0），半径r＝1，当直线l和圆C相切时，＝1，得m＝或m＝﹣，当m＝时，直线l方程x＝0，当m＝﹣时，直线l方程3x+4y﹣8＝0，∴直线l与圆C相交时，直线l的斜率取值范围（﹣∞，﹣）；（3）由（2）知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝kx+b，联立，得（1+k2）x2+（2kb﹣2）x+b2＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，k1+k2＝＝＝＝2k+b＝2k+b＝2k+＝．由（1）可知，b＝2，则k1+k2＝1，∴k1+k2是定值，定值为1．。
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江苏省镇江市大港中学2020-2021学年高二上学期
10月学情检测数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知双曲线，则其焦点坐标是（）
A．B．C．D．
2. 如图所示的组合体，其结构特征是（）
A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
3. 已知公差为2的等差数列满足，则（）
A．5 B．7 C．9 D．11
4. 椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为（）A．B．C．D．
5. 过点且在x轴?y轴截距相等的直线方程为（）
A．B．或
C．或D．或
6. 直线l：x+ay=2被圆所截得的弦长为则a的值为（）
A．B．
C．D．
7. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）
A．2 B．3 C．6 D．9
8. 《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）
A．B．C．D．
二、多选题
9. 如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b的位置关系可能是（）A．相交B．平行C．异面D．垂直
10. 已知数列的前n项和为则下列说法正确的是
（）
A．为等差数列B．
D．为单调递增数列
C．最小值为
11. 下列命题正确的是（）
A．三点确定一个平面B．空间四边形一定是平面图形
C．平行四边形一定是平面图形D．梯形一定是平面图形
12. 在平面直角坐标系中，已知双曲线则（）
A．实轴长为4
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
三、填空题
13. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则等于__________
14. 椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则
________.
15. 在数列中，，，则_____.
16. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中给出了一些新垛积问题，如图正方垛积：最上层个，第层个，第层个第层
个，这层的总个数的计算式子为：；试问“三角垛下广一面十个，上尖，高十个，问计几何？”意思是：有一个三角垛，底层每条边上有个小球，上面是尖的（只有一个小球），问：总共有
__________个小球.（注：这里高分别一个，二个，三个，四个的三角垛如图所示）
四、解答题
17. 如图，已知正方体
（1）求异面直线与所成的角；
（2）证明：平面ABCD；
18. 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足
.
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和.
20. 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点
．
求双曲线C的标准方程；
是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
21. 是数列的前项和，．
（1）证明的等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
22. 如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为
（1）若点坐标为，求直线的方程；
（2）求证：直线过定点.。