正方形的性质
八年级正方形的性质和判定
正方形的性质和判定1、互动探索正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此它既是矩形又是菱形，那么今天我们看下面图形来研究下它的性质和判定方法。
知识点一（正方形的性质和判定）【知识梳理】1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。
2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。
②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。
3、判定：①的矩形是正方形。
②的菱形是正方形。
③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。
④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。
4.面积：①正方形面积=边长的平方 S=a×a(S表示正方形的面积，a表示正方形的边长)②对角线乘积的一半5.周长：正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a【例题精讲】例1.1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。
（第1题）（第2题）2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。
3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值。
（第3题）（第4题）4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为。
【课堂练习】1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是。
2、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP度数是。
（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为。
正方形的性质及判定
正方形的性质与判定板块名称中考考试要求层次ABC正方形会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。
3. 提高学生分析问题与解决问题的能力。
4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点：正方形知识的灵活应用中考要求知识点睛重、难点教学目标一、正方形的性质【铺垫】正方形有条对称轴．【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形⑵如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FED CBA⑶如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为．【例2】 ☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为A 5A 4A 3A 2A 1【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA例题精讲【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠=．【例7】 ☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDC BA【例8】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．【巩固】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例9】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.【巩固】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.【例10】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.【巩固】 ☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例11】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为．【例12】 ☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【巩固】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.【例13】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FECDBA 【巩固】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数ABCDEF E 'GNMDCBA【巩固】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．【例14】 ☆把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【例15】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.二、正方形的判定【例16】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【巩固】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．【巩固】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【例17】 ☆如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．【例18】 ☆如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例19】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【巩固】 ☆如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDCBA【例20】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例21】 ☆已知：PA 4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB 与PD 的长；（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，与相应∠APB 的大小.PDCBA1.如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA2. 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.3.如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．4. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．课后练习。
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质正方形是一种常见的几何形状，具有一些独特的特征和性质。
了解正方形的定义、特征和性质，有助于我们对几何学的理解和应用。
本文将对正方形的特征和性质进行详细阐述。
一、定义正方形是一种特殊的四边形，它的四边相等且四个角均为直角。
也就是说，正方形是一个具有四个相等边长和四个直角的几何形状。
正方形的定义直观简单，我们可以根据这个定义来判断一个图形是否为正方形。
二、特征1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的特征。
我们可以用字母a来表示正方形的边长。
当一条边的长度确定时，其余三条边的长度也随之确定。
2. 角度为直角：正方形的四个角均为直角，即每个角都是90度。
这个特征可以直接由正方形的定义得知。
3. 对角线相等且互相垂直：正方形的对角线互相垂直且相等。
设对角线长度为d，则我们可以使用勾股定理来计算边长 a 与对角线长度 d之间的关系： a^2 + a^2 = d^2。
由此可得，该正方形的对角线长度为d = √2a。
三、性质1. 周长公式：正方形的周长可以通过将四条边长相加来求得。
因为正方形的四条边长度相等，所以周长 C = 4a。
2. 面积公式：正方形的面积可以通过边长的平方来计算。
面积 A =a^2。
3. 对角线性质：- 对角线相等：正方形的两条对角线相等，即d = √2a。
- 对角线相交于中点：正方形的两条对角线相交于正方形的中心点。
- 对角线互相垂直：正方形的两条对角线互相垂直，即对角线间的夹角为90度。
4. 判断正方形：- 利用边长：当一个四边形的四条边相等时，且四个角均为直角时，该四边形就是正方形。
- 利用对角线：当一条四边形的两条对角线相等且互相垂直时，该四边形就是正方形。
综上所述，正方形具有边长相等、角度为直角、对角线相等且互相垂直的特征和性质。
掌握了这些特征和性质，我们可以进行正方形相关的几何计算和应用。
对于数学、物理等学科的学习和实际问题的解决，正方形的特征和性质是非常重要的基础知识。
正方形及特殊正方形知识点(经典完整版)
正方形及特殊正方形知识点(经典完整版)
正方形是一种具有特殊性质的几何形状，它的四边长度相等且四个角都是直角。
以下是关于正方形及其特殊类型的一些基本知识点。
正方形的性质
- 正方形的四条边长度相等，记作a。
- 正方形的四个角都是直角，每个角为90度。
- 正方形的对角线长度相等，记作d，满足d = a * √2。
- 正方形的内角和为360度，每个内角为90度。
- 正方形的面积为A = a * a，其中a为边长。
- 正方形的周长为P = 4 * a，其中a为边长。
特殊正方形类型
边长为整数的正方形
除了一般的正方形，还可以根据边长的特定性质来划分特殊类型的正方形。
1. 完全平方数正方形：当正方形的边长为整数且为完全平方数时，可以得到完全平方数正方形。
例如，边长为1、4、9等都是完全平方数的正方形。
具有特定角度关系的正方形
2. 黄金角正方形：黄金角正方形是指正方形的一条对角线与边长之比等于黄金比例（约为1.）的正方形。
3. 铂金角正方形：铂金角正方形是指正方形的一条对角线与边长之比等于铂金比例（约为1.）的正方形。
具有特定长度关系的正方形
4. 对角线倍数正方形：对于正方形的一条对角线长度，可以找到倍数关系的正方形。
例如，当正方形的对角线长度为d时，可以找到边长为d/√2的正方形。
这些是关于正方形及其特殊类型的一些知识点。
通过理解正方形的性质和不同类型，我们可以更好地应用它们在几何问题和实际生活中的应用。
> 注意：以上内容仅供参考，如有需要，请参考正规的教材或咨询相关专业人士。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定
定义：1、四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2、各边相等且有三个角是直角的四边形叫做正方形。
3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
4、有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
5、有一个角为直角的菱形是正方形。
6、对角线平分且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。
性质
边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
内角：四个角都是90°；
对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
判定方法
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。
3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。
7.有一个角为直角的菱形是正方形。
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
正方形的中点四边形是正方形。
面积计算公式：S=a×a 或：S=对角线×对角线÷2
周长计算公式: C=4a
正方形是特殊的矩形, 菱形，平行四边形，四边形。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的性质与技巧
根据对称性，我们有如下结论： ADE CDE； BAM DAM
对角线或其延长线上的点（对称轴上的点）：
(1)到对角顶点的距离都相等. (2)与正方形的对应边的夹角都相等.
经典结论2：对边中点连线是对称轴
根据对称性，我们有如下结论：
MAB MDC； MAE MDE； MBF MCF
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）当AB=AC= ，BC = 4，AD=6时，求证：四边形BECD是正方形．
练3-2.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC 的平分线，交BC于点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
练习：如图正方形ABCD中， DAF= ，AF角对角线BD与E，则 BEC=.
例1.（1）下列关于正方形的说法，错误的有（ ）
①正方形是轴对称图形； ②正方形有两条对称轴； ③正方形是中心对称图形；
④正方形的对称中心是对角线的交点； ⑤正方形的对角线平分一组内角；
⑥正方形的对角线互相垂直平分．
A：1个B：2个C：3个D：4个
练2-1.如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正△ABE，CE与BD相交于点F，则
∠AFD的度数为______．
练2-2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
求证：（1）AP=EF；（2）AP⊥EF．
【知识点三】正方形的判定
笔记：矩形 → （①领边相等；②对角线垂直）→ 正方形
③点A到EF的距离等于正方形的边长.
例4.点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上．若∠EAF= 45 ，证明：EF = BE + DF．
正方形性质
正方形性质正方形是一种具有特殊性质的四边形。
它具有以下几个重要的性质：1. 边长相等：正方形的四条边的长度都相等，即具有等边性质。
这意味着正方形的四个内角也是相等的，每个角都是90度。
正方形的边长通常用字母s表示。
2. 直角：正方形的四个内角都是直角，也就是90度。
这是因为正方形的边长相等，对角线也相等，从而使得四个角都是直角。
3. 对称性：正方形具有4条对称轴。
具体来说，正方形具有4条对称轴，分别是两条互相垂直的水平和垂直轴线以及两条对角线。
这意味着正方形可以通过旋转180度或镜像来得到完全相同的图形。
4. 对角线相等：正方形的两条对角线相等且相交于垂直平分线。
这可以通过勾股定理来证明。
由于正方形的四个内角都是直角，对角线就等于正方形的边长。
5. 面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即A = s^2。
这是因为正方形可以看作是一个已知边长的长方形，长和宽都是s。
6. 周长计算：正方形的周长可以通过边长乘以4来计算，即P = 4s。
这是因为正方形的四条边长度相等。
7. 面对角线关系：正方形的面对角线关系是一个重要性质。
面对角线关系意味着正方形的对角线长度等于边长的根号2倍，即d = s√2。
这可以通过勾股定理证明。
总之，正方形具有边长相等、直角、对称性、对角线相等、面积计算、周长计算和面对角线关系等重要性质。
这些性质使得正方形在几何学中具有重要的地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。
无论是建筑设计、绘画艺术还是其他领域，正方形都扮演着重要的角色。
下一篇将继续探讨正方形的更多特点和性质。
（字数： 304）。
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新知探究
Ⅱ、用正方形纸片折一折，回答下列问题：
(1)正方形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
正方形是轴对称图形， 它有四条对轴.
A
D
B
C
范例讲解
例1、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长
线上一点，且，CE=CF，BE与DF之间有怎样的关系？
说解明：理BE由=.DF，且BE⊥DF，理由如下：A ∵四边形ABCD是正方形
∴ BC=DC，∠BCE=90°
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°
D EM
∴∠BCE=∠DCF 又∴ CE=CF ∴△BCE=△DCF ∴BE=DF
延长BE交DF于点M ∵△BCE=△DCF ∴∠CBE=∠CDF
B
CF
∴ ∠CDF+∠F=90°
∴ ∠CEB+∠F=90° ∴ ∠BMF=90° ∴ BE⊥DF
一组邻边相等 一个内角为直角
平行四边形
一组邻边相等 一个内角为直角
正方形
新知归纳
正方形的定义 ：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形。Fra bibliotekA B
D
A
D
一组邻边相等
一个角是直角
C
B
C
合作交流
ⅰ、正方形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边
形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
A
2019年6月25日
甘肃省张掖市甘州区教育局
义务教育课程北师大版 数学 八年级 下册
第十五章 四边形
课题：正方形的性质
授课教师 李俊
甘肃省张掖市第一中学
问题情景
下面的四边形都是特殊平行四边形，观察这些特殊 平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
2 2
2.5 2.5
3 3
有一组邻边相等 有一个直角
情景引入
如图是一个活动的平行四边形，当它的边和角发生 变化时，这个平行四边形会形成一个怎样的特殊平行四 边形？
D
1、正方形的两组对边分别平行；
2、正方形的两组对边分别相等；
3、正方形的两组对角分别相等；
O
4、正方形的对角线互相平分。 B
C
新知探究
Ⅰ、观察正方形，回答下列问题：
(1)正方形是矩形吗？如果是，它有什么特性？
矩形的四个角都是直角，
A
D
对角线相等且互相平分.
(2)正方形是菱形吗，如果是，它有
O
什么特性？
∴ ∠DCF=90°
新知探究
Ⅲ、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？
巩固练习
1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，图中有多少个等腰三角形？
A
D
O
B
C
巩固练习
3、对角线长为2cm的正方形，边长是多少？
课堂小结
正方形的特性 ： (1) 正方形的四个角都是直角，四条边相等； (2) 正方形的对角线相等且互相垂直平分。
∴ ∠A= B=∠C= ∠D=90° B
C
(2) ∵□ABCD中，AD=AB
∴四边形ABCD是菱形 ∴ AB=BC=CD=DA
新知归纳
正方形的特性 ： (1) 正方形的四个角都是直角，四条边相等；
合作交流
ⅲ、求证：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.
已知：如图，正方形ABCD中，对角 A
线AC、BD相交于点O。
B 菱形的四条边相等，
C
对角线互相垂直且平分.
合作交流
ⅱ、求证：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
已知：如图，□ABCD中，AD=AB，∠A=90°。
求证：(1) ∠A=B=∠C=∠D=90°； A
D
(2)AB=BC=CD=DA。
证明： (1)∵ □ABCD中，∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
求证：AC=BD、AC⊥BD、 OA=OB=OC=OD。
D O
证明：∵四边形ABCD是正方形
B
C
∴四边形ABCD是矩形、菱形和平行四边形
∴ AC=BD、AC⊥BD、
OA=OB=OC=OD
新知归纳
正方形的特性 ： (1) 正方形的四个角都是直角，四条边相等； (2) 正方形的对角线相等且互相垂直平分。