华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)

第10章 定积分的应用
10.1 复习笔记
一、平面图形的面积
由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为
()b b
a
a
A f x dx ydx ==⎰⎰
如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的，则所围图形的面积为
()b b
a
a
A f x dx y dx ==⎰⎰
一般地，由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线
,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1)，它的面积计算公式为
21[()()]b
a
A f x f x dx =⎰－
图10-1
二、由平行截面面积求体积 1．立体体积的一般计算公式 设
为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x ＝a 与x ＝b 之间（a ＜b ），
称为位于[a，b]上的立体，若在任意一点x∈[a，b]处作垂直于x轴的平面，它截得的截面面积是关于x的函数，记为A（x），并称之为的截面面积函数（见图10-2），设A（x）是连续函数．
图10-2 图10-3
对[a，b]作分割
过各个分点作垂直于x轴的平面x＝xi，i＝1,2,…，n，它们把分割成n个薄片,i＝1，2，…，n任取那么每一薄片的体积（见图10-3）
于是
由定积分的定义和连续函数的可积性，当时，上式右边的极限存在，即为函数A （x）在[a，b]上的定积分，于是立体的体积定义为
2．旋转体的体积
a b上的连续函数，Ω是由平面图形
设f是[,]
≤≤≤≤
0|||f(x)|,a
y x b
绕x轴旋转一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为
2()[()],[,]A x f x x a b π=∈
得到旋转体Ω的体积公式为
2
=[()]b
a
V f x dx
π⎰
三、平面曲线的弧长与曲率 1．平面曲线的弧长 （1）定义
①如果存在有限极限
s
s T T =→0
||||lim
即任给0ε>，恒存在0δ>，使得对C 的任意分割T ，只要||||T δ<，就有
|s |T s ε-<
则称曲线C 是可求长的，并把极限s 定义为曲线C 的弧长．
②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线．在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线，如果AP 和PB 都是可求长的，则称AB 是可求长的，并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长．
③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出．如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微，且'
()x t 与'
()y t 不同时为零,即'
'
()()0x t y t +≠，],[βα∈t ，则称C 为一条光滑曲线．
（2）定理
设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程
(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ （10-1）
给出．若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为
'2'2[()][()]s x t y t dt βα
=+⎰ （10-2）
（3）性质
设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线．如果D 是AB 上一点，则和AD 和DB 也是可求长的，并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和．
2．曲率 （1）定义
如图10-4，设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角，==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量，若PQ 之长为s ∆，则称
||
K s
α-
∆=∆
为弧段PQ 的平均曲率．如果存在有限极限
|
||lim ||lim |00ds
d s s K s t ααα
=∆∆=∆∆=→∆→∆
则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率．
图10-4
（2）计算公式
设曲线C 是一条光滑的平面曲线，由参数方程
（10-1）
给出，则曲率的计算公式为
2
32
2
)
(||''''''''y x y x y x K +-=
若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为
2
''3'2
||(1+y )
y K =
四、旋转曲面的面积
1．设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]
y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为
2(b
a
S f x π=⎰
2．如果光滑曲线C 由参数方程
(),(),[,]x x t
y y t t αβ==∈
给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为
2(S y t β
α
π=⎰
五、定积分的近似计算 1．梯形法公式
121()(...)
22
b
n n a
y y b a f x dx y y y n --=+++++⎰
2．抛物线法公式（辛普森Simpsom 公式）
021*******()[4(...y )2(...)]
6b
n n n a
b a
f x dx y y y y y y y n
---≈+++++++++⎰
10.2 课后习题详解
§1 平面图形的面积
1．求由抛物线y ＝x 2与y ＝2－x 2所围图形的面积．
解：该平面图形如图
10-1
所示．两条曲线的交点为（－1，1）和（1，1），所围图形的面积为
图10-1
2．求由曲线
与直线
所围图形的面积．
解：该平面图形如图10-2所示．所围图形的面积为。