华东师范大学1996-2020年数学专业考研真题汇编

具有连续的二阶偏导数.
(1) 求 f (x);
(2) 若 F(x0, y0) = 0, y0 = f (x0) 为 f (x) 的一个极值, 试证明: 当 Fy(x0, y0) 与 Fxx(x0, y0) 同号时, f (x0) 为极大值; 当 Fy(x0, y0) 与 Fxx(x0, y0) 异号时, f (x0) 为极小值.
f (a) < 0, f (x) ⩾ K > 0(x > a, K为常数),
则 f (x) 在 (a, +∞) 内有且仅有一个零点.
3.(12 分) 设
f (t) =
ˆt
2
e−x2 dx ,
0
g(t)
=
ˆ1
0
e−t 2 (1+ x 2 ) 1 + x2
dx.
试证:
f (t) + g(t) ≡ π . 4
[ f (x) + f (x)] sin x dx = 5,
0
求 f (0).
∞
∞
3.(20 分) (1). 已知 an 为发散的一般项级数, 试证明:
1+ 1 n
an 也是发散级数.
n=1
n=1
(2). 证明: 级数
∞
2n
sin
1 3n x
在
(0, +∞)
上处处收敛,
但不一致收敛.
n=1
4.(12 分) 设
2. 华东“‰ŒÆ 1997 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
1.(12 分) 设 f (x) 是区间 I 上的连续函数. 证明: 若 f (x) 为一一映射, 则 f (x) 在区间 I 上严格单调.
1, x为有理数; 2.(12 分) 设 D(x) = 0, x为无理数. 证明: 若 f (x), D(x) f (x) 在点 x = 0 处都可导, 且 f (0) = 0, 则 f (0) = 0. 3.(16 分) 考察函数 f (x) = x ln x 的凸性, 并由此证明不等式:
定. 试计算函数 f 关于区域 Ω 的积分平均值˚:
M= 1
f (x, y, z) dx dy dz,
VΩ
Ω
其中 VΩ 是 Ω 的体积.
6.(20 分) 设 f (x) 在 [1, +∞) 上单调递增, 且有极限 lim f (x) = A. 证明:
x→+∞ ∞
(1) [ f (n + 1) − f (n)] 收敛, 并求其和;
n=1 ∞
(2) 又若 f (x) 在 (1, +∞) 内二阶可导, 且 f (x) < 0, 则级数 f (n) 也收敛.
7.(12 分) 求函数项级数
n=2
∞
f (x) = n
x+1
n
n
n=1
的收敛域, 并讨论该级数的一致收敛性.
8.(12 分) 证明: 若 f (x) 在区间 I 上连续, E 为 I 的任一有界闭子集, 则 f (E) 必为闭集.
aa bb
⩾
(ab)
a+b 2
(a
>
0, b
>
0).
4.(16 分) 设级数
∞
√ an n
收敛,
试就
∞
an 为正项级数和一般项级数两种情况分别证明
n=1
n=1
∞
an
n
+
√ n
也收敛.
n=1
5.(20 分) 设方程 F(x, y) = 0 满足隐函数定理条件, 并由此确定了隐函数 y = f (x). 又设 F(x, y)
(1). 用定义验证: cos x,
(2). 设 f (x) = ln(1 + x2),
lim
n→∞
3n2 + 2n2 + n
2 +

=
3. 2
x < 0, 求 f (x).
x ⩾ 0,
(3). 计算
ˆ x3 √
dx.
1 + x2
2.(12 分) 设 f (x) 有连续的二阶ˆ导π 数, f (π) = 2, 且
(3) 对方程 x2 + x y + y2 = 27, 在隐函数形式下 (不解出 y) 求 y = f (x) 的极值, 并用 (2) 的结论
判别极大或极小.
6.(12 分) 改变累次积分
ˆ4
ˆ 4x−20 x −8
I = dx
(y − 4) dy
2
4 x
的积分次序, 并求其值.
7.(12 分) 计算曲面积分
˚
F(t) = f (x2 + y2 + z2) dx dy dz,
V
其中 V = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ t2}, 且 f 为连续函数, f (1) = 1. 证明: F (1) = 4π.
5.(12 分) 设 D 为由两条抛物线 y = x2 − 1 与 y = −x2 + 1 所围成的闭区域, 试求 D 内一椭圆
(−∞, +∞) 上连续, 则 f (x) 必为常数.
4. 华东“‰ŒÆ 1999 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
1.(10 分) 设 a > 0, 0 < x1 < a, xn+1 = xn
2 − xn a
, n ∈ N+, 证明: {an} 收敛, 并求其极限.
x2 a2
+
y2 b2
=
1,
使其面积最大.
6.(12 分) 设 u(x, y) 具有二阶连续偏导数, F(s, t) 具有一阶连续偏导数, 且满足
F(ux, uy) = 0, (Fs )2 + (Ft )2 0.
证明: uxxuyy − (uxy)2 = 0. 7.(12 分) 设 f (x) 为 (−∞, +∞) 的周期函数, 其周期可小于任意小的正数. 证明: 若 f (x) 在
¨
I = (x2 cos α + y2 cos β + z2 cos γ) ds
其中 S 为锥面 z = 余弦.
S
x2 + y2 上介于 0 ⩽ z ⩽ h 的一块, {cos α, cos β, cos γ} 为 S 的下侧法向的方向
3. 华东“‰ŒÆ 1998 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
1. 简答题 (20 分)
4.(10 分) 用 Lagrange 乘数法证明: 以 a, b, c, d 为边长的凸四边形, 当它的面积最大时, 四顶点
共圆.
5.(12 分) 设 f (x, y, z) = x2 + y2 + z2, Ω ⊂ R3 由 z ⩾ x2 + y2 和 4 ⩽ x2 + y2 + z2 ⩽ 16 所确
1. 华东“‰ŒÆ 1996 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
1.(10 分) 证明: 若
xn ⩽ zn ⩽ yn,
lim
n→∞
zn
=
r,
nl→im∞(xn − yn) = 0,
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
=
r.
2.(12 分) 证明: 若 f (x) 在 [a, +∞) 上连续, 在 (a, +∞) 内可导, 且