湖北省华中师大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题
华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期中检测数 学 试 题时限：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，有且只有一项符合题意．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．）1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2，5}B ．{3，6}C ．{2，5，6}D ．{2，3，5，6，8}2．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．83．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．下列函数中与函数x y =相等的函数是（ ）A ．2()y x =B ．2y x =C ．2log 2x y =D ．2log 2x y =5．已知函数2log (1)y ax =-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()3x f x =，则9(log 4)f 的值为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．27．设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则( ) A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．下列函数中，与函数||x y e =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是 （ ） A ．xy 1-= B ．||ln x y = C ．33-=x y D ．22+-=x y9．若实数,x y 满足1|1|ln0x y--=，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( ) AB10．设函数21(),[]122x x f x x =-+表示不超过x 的最大整数，则函数[()]y f x =的值域是( )A ．{0,1}B ．{1,1}C ．{1,1}-D ．{0,1}-11．已知函数,0()ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨->⎩，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,0)(0,1)-∞ C ．(0,1) D ．(0,1)(1,)+∞12．已知函数()(1)(2),()ln()f x x a x a g x x a =---=-，若当x a >时，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．[2,0]-C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分） 13．函数)23(log )(221x x x f -=的定义域是 .14．已知函数(3)3(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 .15．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)()(1212<--x x x f x f ，且0)2(=f ，则不等式05)()(2<-+x x f x f 的解集是____________ 16．已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是______________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1≥1，集合B ＝{x |x 2－2x －m ＜0}.（1）当m ＝3时，求A ∩(∁U B )；（2）若A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，求m 的值.18．（本小题满分12分）已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有两个相等的根．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0,]t 上的最大值()g t 的表达式．19．（本小题满分12分） 设()f x 定义域为(0,)+∞且在(0,)+∞上是增函数，()()()xf f x f y y=-．（1）求证(1)0,()()()f f xy f x f y ==+； （2）若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-．20．（本小题满分12分）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对(),t P ，点(),t P落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数 据如下表所示第t 天 4 10 16 22 Q （万股）36302418（1）根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据，写出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式； （3）用y （万元）表示该股票日交易额（日交易额=交易价格×日交易量），写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？21．（本小题满分12分）定义1(0),sgn()0(0),1(0),x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩已知函数||sgn()()(01)x x x f x a a a a =+>≠且. （1）解不等式()2f x ≤； （2）若,25)1(=f 且不等式(2)()40f t mf t ++≥对于任意正实数t 恒成立，求实数m 的取值范围．22．本小题满分12分）函数3()log ,()1log (1)(01)3aa x f x g x x a a x -==+->≠+且，设()()f x g x 和定义域的公共部分为D ．（1）求集合D ；（2）当1a >时，若不等式1()(2)26g x f x -->在D 内恒成立，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得[,]m n D 时，()f x 在[,]m n 上的值域是[(),()]g n g m ．若存在求a 的取值范围；若不存在说明理由．⊂ ≠高一年级数学期中试题参考答案一、选择题二、填空题 13．12[,0)(,1]33- 14．36a <≤ 15．(0,2)(,2)-∞- 16．(1,1]-三、解答题 17．解：（1）651,0,{|15}11x A x x x x -≥∴≤∴=-<≤++ 又3,{|13},{|13}U m B x x C B x x x =∴=-<<∴=≤-≥或(){|35}U A C B x x ∴=≤≤．（2）由{|15|{|14}A x x AB x x =-<≤=-<<及知4为方程220x x m --=根，8m ∴= 当8m =时，{|24}B x x =-<<，此时{|14}AB x x =-<<成立8m ∴=．18．解：（1）(1)(3),()f x f x f x -=-∴关于1x =对称，12ba∴-= 又()2f x x =有两个相等实根，2(2)0ax b x ∴+-=中0,2b ∆=∴=21,2,()2a b f x x x ∴=-=∴=-+．（2）当01t <≤时，2max ()()()2g t f x f t t t ===-+当1t >时，max ()()(1)1g t f x f ===22,01()1, 1t t t g t t ⎧-+<≤∴=⎨>⎩． 19．解：（1）令x y =，则(1)()()0f f x f x =-= ()()()(),()()()xyf xy f x f f y f xy f x f y x-==∴=+．（2）(4)(2)(2)2(2),(4)2f f f f f =+=∴=又1()()[(3)](4)3f x f f x x f x -=-≤-030,{|34}(3)4x x x x x x >⎧⎪∴->∴<≤⎨⎪-≤⎩． 20．解：（1）当020t ≤≤时，设p at b =+，将（0，2）和（20，6）代入221,,21620255b b p t a a =⎧=⎧⎪∴∴=+⎨⎨=+=⎩⎪⎩同理：12030,810t p t <≤=-+12,020,518,2030,10t t t N p t t t N ⎧+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩． （2）设Q ct d =+，把表中任意两组数据代入，1,40c d =-=40,030,Q t t t N ∴=-+≤≤∈．（3）221(15)125,020,51(60)40,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩当020t ≤≤时，15t =时，max 125y =（万元） 当2030t <≤时，y 随t 增大而减小，21(2060)4012010y <--=（万元）答：在第30天中第15天，日交易额最大为125万元．21．解：（1）当0x >时，1()2,1,0x xx f x a a x a=+≤∴=∴=舍去 当0x <时，()02x x f x a a =-=≤恒成立 当0x =时，()12f x =≤成立 综上：不等式解集为(,0]-∞． （2）,25)1(=f 212或=∴a(2)()40f t mf t ++≥恒成立，22112(2)4022t tt tm ∴++++≥令212(0),(2,),202t t u t u u mu =+>∴∈+∞∴++≥恒成立2()(2,)m u u u ∴≥-+∈+∞在上恒成立又2()(2,)u u -++∞在上单调递减2()3,3u m u∴-+<-∴≥-．22．解：（1）由30310x x x -⎧>⎪+⎨⎪->⎩，解得3,{|3}x D x x >∴=>．（2）不等式等价于7()(23)6log 123ax x x -+>-在(3,)+∞上恒成立 7()(23)623x x a x -+∴<-在(3,)+∞上恒成立令23x t -=，则32t x +=71()(23)()(6)1410623(),(3,)2323t x x t t t x t t -+++∴==++∈+∞-4(3,)t t ++∞在上递增，41311,132t a t ∴+>∴<≤． （3）,()(),01m n g m g n a <>∴<<6()log (1)3a f x x ∴=-+在(3,)+∞上递减[,]x m n ∴∈时，()[(),()]f x f n f m ∈()(),,()()f n g n m n f m g m =⎧∴∴⎨=⎩为方程()()f x g x =两个根3(1)(3,)3x a x x -∴=-+∞+在上有两个不相等实根 1(3)(1)3x x a x +-∴=-，令3,0x t t -=>112128,8t t a t t ∴=+++≥又，当且仅当t =“=”号128,04a a ∴>∴<<．。
【全国百强校】湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2016届高三上学期期中考试理数试题解析(解析版)
第I 卷（选择题共60分）注意事项：务必将每小题的答案填在答题卡的相应位置.答在试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项代号涂填在选择题的答题卡内.1.已知集合2{|lg()}A x y x x ==-,集合2{|0(0)}B x x cx c =-<>错误！未找到引用源。
,若A B ⊆错误！未找到引用源。
,则c 的取值范围为( ) A.(0,1] B.(0,1) C.[1,)+∞ D.(1,)+∞【答案】C考点：集合的运算 2.复数241iz i+=-错误！未找到引用源。
(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标为( ) A.(3,3) B.(1,3)- C.(3,1)-D.(2,4)【答案】B 【解析】试题分析：由题化简所给复数根据复数的几何意义判断即可. 因为()()()()2412426131112i i i iz i i i i +++-+====-+--+,所以其在复平面对应的点的坐标为(1,3)-，故选B. 考点：复数的运算及其几何意义3.已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=错误！未找到引用源。
，则“0x >”是“a 与b 错误！未找到引用源。
夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由题(1,2),(2,1),(1,2)(2,1)2x a x b a b x =-=∴⋅=-⋅=，22255cos ,255cos ,a b x x a b x x a b ⋅=-+⨯⨯<>=-+⨯⨯<>，x>0不一定推出向量a 与b 错误！未找到引用源。
夹角为锐角，反之可以得到x>0,所以“0x >”是“a 与b 错误！未找到引用源。
夹角为锐角”的必要不充分条件，故选C 考点：必要条件4..已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-,数列{}n a 错误！未找到引用源。
高一期中考试试卷及答案汇编
f (x) x2
，
2x, x 0
若关于 x 的函数
y 2 f 2 (x) 2bf (x) 1有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围是____________.
三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)计算：
()
A.[2，+ ∞)
B.[0，4]
C. (－∞，0)
D.(－∞，0)∪[4，+∞)
11.已知函数
f
(x)
x2
4 x2
3 ，g(x)
kx
2 ，若对任意的 x1 [1, 2]，总存在 x2 [1, 3] ，
使得 g(x1) f (x2 ) ，则实数 k 的取值范围是
()
A.(－ 1 ,1) 2
D. y＝|x＋1|＋|x|与 y＝2x＋1
4. 函数 f (x)的定义域为[0, 8], 则函数 f (2x) 的定义域为 x4
A. (0, 4)
B. [0, 4)
C. [0, 4]
（） D. [0, 4)∪(4, 16]
5. 如果 loga 8 logb 8 0 , 那么 a、b 间的关系是
范围；若不存在，说明理由.
22.(本小题满分
12
分)已知幂函数
f
(x)
( p2
3 p 3)
x p2
3 2
p
1 2
满足
f
(2)
f
(4) .
(1)求函数 f (x) 的解析式； (2)若函数 g(x) f 2 (x) mf (x)，x [1,9] ，是否存在实数 m 使得 g(x) 的最小值为 0 ？若 存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版
华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期末检测数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}2||lg 0M x x x N x x ===≤，则M N = A. []0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D.(],1-∞2.已知函数()21f x x =+，那么()1f a += A.22a a +- B. 21a + C. 222a a ++ D. 221a a ++ 3.454sin cos tan 363πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象 A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度 5.设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. b c a >> B. a c b >> C. b a c >> D. a b c >>6.函数cos 2sin 2cos 2sin 2x x y x x+=-的最小正周期为 A. 2π B. π C.2π D.4π 7.已知函数()1lg12ax f x x+=-是定义在(),b b -上的奇函数，（,a b R ∈且2a ≠-），则b a 的取值范围是A. (B. (C. (D.(8.若()sin 3πα-=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于A. 3-B. 6-C. 639.函数()f x 的零点与()ln 28g x x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.5，则()f x 可以是A. ()36f x x =-B. ()24x -C.21x e --D.5ln 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10.定义在R 上的函数()f x 对任意210x x <<都有()()12121f x f x x x -<-，且函数()f x 的图象关于原点对称，若()22f =，则不等式()0f x x ->的解集是A.()()2,00,2-B.()(),22,-∞-+∞C.()(),20,2-∞-D.()()2,02,-+∞11.()()()sin 0,0f x A x A ωωπω=+>>在33,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的最大值为 A. 12 B.34 C. 1 D.4312.已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴的对称点，则a 的取值范围是A.⎛-∞ ⎝ B. (-∞ C. ⎛ ⎝ D.⎛ ⎝第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()f x =的定义域为[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域为 .14.计算：lg 4lg9++= .15.已知11,,2sin cos πθπθθ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，则cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 16.已知集合()()(){}|sin 2cos 2log 1a f x x x ϕϕπϕπϕ=-+-<⎡⎤⎣⎦为奇函数，且的子集个数为4，则a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知幂函数()()()2m m f x x m N +*=∈的图象经过点(. （1）试求m 的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足()(13f a f +>的实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知()()()()3sin cos 2sin 2.sin sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且3cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本题满分12分）已知函数()12.2x x f x =- （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若()()220tf t mf t +≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）已知函数()()()cos 0,02f x x x πωωωωϕω⎛⎫=+-+-<<> ⎪⎝⎭为偶函数，且函数的()y f x =图象相邻的两条对称轴间的距离为2π. （1）求24f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =的单调区间，并求其在5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.21.（本题满分12分）现有一圆心角为2π，半径为12cm 的扇形铁皮（如图）.,P Q 是弧AB 上的动点且劣弧 PQ的长为2cm π，过,P Q 分别作与,OA OB 平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT ，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？22.（本题满分12分）函数()(),,.nn f x x bx c n Z b c R =++∈∈ （1）若1n =-，且()111142f f --⎛⎫== ⎪⎝⎭，试求实数,b c 的值；（2）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-有()()21224f x f x -≤恒成立，求b 的取值范围；（3）当1n =时，已知20bx cx a +-=，设()g x =，是否存在正数a ，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()()()()()111,,f g m f g n f g p 为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
数学---湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试(理)
湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.已知集合，{})2lg(2x x y x N -==，则为（ ）(A) ()2,1(B)()+∞,1 (C) [)+∞,2(D) [)+∞,12.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）(A) y =(B) 2(1)y x =- (C) 2x y -=(D) 0.5log (1)y x =+3.在等差数列{a n }中，已知4816a a +=，则该数列前11项和S 11＝（ ）(A) 58(B) 88(C) 143(D) 1764.下列判断正确的是（ ）(A) 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p 且q ”为真命题 (B) 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠” (C)“1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件(D) 命题“对任意,20xx ∈>R 成立”的否定是“存在0x ∈R ，使020x ≤成立”.5.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥- ,则=λ（ ）(A) 4- (B) 3- (C) 2- (D) -16.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x x >02x x ≤0，则f (f (19))＝( )(A) 4(B) 14(C) －4(D) －147.一质点受到同一平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成︒120角，且，的大小分别为1和2，则的大小为( )(A) 1(B) 2(C) 32(D)38.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是( ){}2,0x M y y x ==>M N 123,,F F F 1F 2F 1F 2F 3F v v 乙甲和01t t 和(A) 时刻后，甲车在乙车后面 (B) 在、时刻，甲车均在乙车前面 (C) 在时刻，两车的位置相同 (D) 时刻后，乙车在甲车前面 9.将函数)3cos(π-=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位长度，所得函数图象其中的一条对称轴为( ) (A)9π (B)8π (C)2π (D)π10.定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f(x)＝13 x x ωωc o s s i n (ω>0)的图像向左平 移5π6个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( ) (A) 15(B) 1(C)115(D) 211.已知函数()ln ,00,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为（ ）(A) 5(B) 6(C) 7(D) 812.下列命题：①已知A 、B 、C 是三角形ABC 的内角,则B A =是B A sin sin =的充要条件；②设a ，b 为向量,如果||||-=+，则b a ⊥；③设a ，b 为向量, 则“||||||=⋅”是“//”的充分不必要条件；④设，为向量, “b a 2=”是“a 与b 共线”的充要条件，正确的是（ ）(A) ①②(B) ①③(C) ②③(D) ②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知41)4tan(,32)tan(=-=+πββα，则)4tan(πα+=________.14.已知函数, 则________．15．已知矩形ABCD 的边AB 长为2，边ADE 是AB 边上的动点，则 DE →·DC →1t 0t 1t 0t 0t的最大值为________.16．设曲线)(1*+∈=N n x y n 在点)1,1(处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令2n x a nn =，则122015a a a +++L 的值为________.三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）若向量(cos ,sin )a θθ=r ,1)b =-r.（1）若b ⊥且)2,0(πθ∈，求θ的值；（2）若[0,]θπ∈，求|2|a b -r r的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：*1(N )n n a a n +>∈，11a =，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列,22log 1n n a b +=-. （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T 3<.19．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，2sin 0b A -=． （1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且a c >，b =AB AC ⋅uu u r uu u r的值．20．（本小题满分12分）已知函数()()2cos (0,0).f x x ωϕωϕπ=+><<⎡⎤⎣⎦ (1)若函数()f x 图像过点（0，-2）且图像上两个对称中心1(,0)A x 与2(,0)B x 间最短距离为2π，求函数()f x 解析式； (2)若2πϕ=，函数()f x 在[-2,33ππ]上单调递减，求ω的取值范围；21．（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a a R ∈＝－＋（）． (1) 求函数()f x 的单调区间；(2) 当)(x f 在1x ＝处取得极值时，若关于x 的方程21()2[2]2f x x x b +=+在区间，上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； (3) 求证:当2,n n R +≥∈时，．请考生从22、23、24题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22.（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直， 垂足为M ，E 是CD 延长线上的一点，且AB =10,CD =8, 3DE =4OM ，过F 点作⊙O 的切线EF ，BF 交CD 于G . （1）求EG 的长；（2）连接FD ,判断FD 与AB 是否平行，为什么？e n <⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22211 (311211)23．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π，曲线C 的参数方程为cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 只有一个交点，求r 的值．24.（本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x =，()|4|g x x m =--+ （1）解关于x 的不等式[()]20g f x m +->；（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应的位置上. 13．145; 14． ;15.4; 16.20152016三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：（1）由,b a ⊥得0=⋅， ……………………2分 即：0sin cos 3=-θθ ，∴3tan =θ ………………3分Q )2,0(πθ∈3πθ=∴ …………………5分（2）Q 2||,1||==2|2|a b ∴-=r r 224||||4a b a b +-⋅r r r r =44sin )θθ+--88cos()6πθ=-+…8分[0,]θπ∈Q 7[,]666πππθ+∈Q 5==66ππθπθ∴+当，即时 2max |2|16a b ∴-=r r 故|2|a b -r r的最大值为4. ……………………10分18.（本小题满分12分）解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0d>由,21,1,1321d a d a a +=+==分别加上1，1，3成等比数列， 得),24(2)2(2d d +=+0d >，所以2=d ，所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ，又因为212log n n a b =--，所以n b n -=2log即nn b 21= . .............................6分 （2）2313521,2222n n n T -=++++L ①2341113521.22222n n n T +-=++++L ② ①—②，得 2311111()22222n n T =++++L .2121+--n n ..................10分 121121121232133 3.1222212n n n n n n n n n T -----+∴=+-=--=-<- ...........12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理得sin sin a bA B=2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，……………3分因为A 为锐角sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………4分 又B 为锐角， 则3B π=. ……… 6分（2）由（1）可知，3B π=．因为b =，根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，整理，得2()37a c ac +-=． …………………………8分 由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =．于是222cos 2b c a A bc +-===，…………………………10分所以cos cos 21AB AC AB AC A cb A ⋅=⋅===uu u r uuu r uu u r uuu r ． … 12分20．（本小题满分12分）． 解：（1）12min22Tx x π-==，T π=，2ω=，……………2分 (0)2cos 22f ϕ==-，cos 21ϕ=-，0ϕπ<<，022ϕπ<<，所以 2ϕπ=，2πϕ=， ……………5分()2cos[2()]2sin 22f x x x π=+=- ……………6分（2）27,,,,033266x x πππππω⎡⎤⎡⎤∈-+∈>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为根据题意有：21266(),12772660127k k k N k N k k ωππωωπππω*⎧≥⎪+⎪∈∈≤≤⎨⎪≤+⎪⎩<≤ 又时，无解，可得分21．（本小题满分14分）解：（１）由已知由函数的定义域为，……1分 ，由得，由得， …………………………3分 所以函数的减区间为，增区间为． …4分 （2）由题意，得 ， a ＝0 ． ……5分由(1)知f (x )＝x －lnx ，∴f (x )＋2x ＝x 2＋b ，即 x －lnx ＋2x ＝x 2＋b ， x 2－3x ＋lnx ＋b ＝0， 设＝x 2－3x ＋lnx ＋b (x ＞0)， ……………………6分则＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x,当变化时，，的变化情况如下表：…………………………7分∵方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根,()f x x a >-()ax a x a x x f +-+=+-='1111+-<-a a ∴,0)(>'x f 1+->a x ,0)(<'x f 1+-<<-a x a )(x f ()1,+--a a ()+∞+-,1a ()01='f ∴∴∴()x g ()x g '1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()x g '()x g⎩⎨⎧g (12)≥0g (1)＜0g (2)≥0,⎩⎨⎧b －54－ln 2≥0b －2＜0b －2＋ln 2≥0, …………………………8分 54＋ln 2≤b <2，即．……9分(3)由(1) 和(2)可知当时,,即,当时, ．……… 10分令（）,则． ……… 12分 所以当时,, ……… 13分 即, ． ……………………………14分 22．（本题满分10分) 选修4—1：几何问题选讲解:（1）连接AF ,OF ,，则A ，F ，G ，M 共园，因为EF ⊥OF , ∵∠FGE =∠BAF 又∠EFG =∠BAF , ∴∠EFG =∠FGE ,有EF =EG …………………….3分 由AB =10,CD =8知OM =3 ∴ED =43OM =4 2.48EF ED EC == ∴EF =EG= ………………………………….5分（2）连接AD , ∠BAD =∠BFD 及（Ⅰ）知GM =EM-EG=8-∴tan ∠MBG=4MG MB =-, tan ∠BAD =4182MD MA ==≠ tan ∠MBG ∴∠BAD ≠∠MBG ，∠MBF ≠∠BFD∴ FD 与AB 不平行 ………………………………………….10分 23．（本题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程∴∴∴5ln 2,24b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭10,,2a x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭)1()(f x f ≥1ln -≤x x ∴1>x 1ln -<x x 211x n =+2,n n ≥∈*N 22111ln nn <⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,n n ≥∈*N 2222221 (312)111ln .......311ln 211ln n n +++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+()11111......321211<-=-⨯++⨯+⨯<n n n 111.......311211ln 222<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ∴e n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22211 (311211)解:（1）∵点A 、B 的极坐标分别为(1,)3π、2(3,)3π， ∴点A 、B的直角坐标分别为1(,22、3(,)22-， ····························· 3分 ∴直线AB的直角坐标方程为40y +-=． ·································· 5分 （2）由曲线C 的参数方程cos ,(sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩为参数）化为普通方程为 222x y r += ………………………………………………………8分∵直线AB 和曲线C 只有一个交点，∴半径r == ···················································· 10分 24.（本题满分10分)解:（1）由[()]20g f x m +->得|||4|2x -<，2||42x ∴-<-< 2||6x ∴<< 故不等式的解集为[6,2][2,6]-- …………5分 （2）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方∴()()f x g x >恒成立，即|4|||m x x <-+恒成立 ………………8分 ∵|4||||(4)|4x x x x -+≥--=，∴m 的取值范围为4m <. …………………………………………10分。
湖北华中师大一附中2017届高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年湖北华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A={x |x 2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A ∩B=（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，2}D ．{0，1，2}2．已知i 是虚数单位，复数z=（a ∈R ）在复平面内对应的点位于直线x +2y=0上，则a=（ ）A ．2B ．C ．﹣2D ．3．已知命题p ；≤x ≤1，命题q ：（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0，若￢p 是￢q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，]B ．[，1]C ．[，]D ．4．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则•的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．5．已知x ，y 满足不等式组，则z=x +y 的最大值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．146．已知函数y=2sin （ωx +）（ω∈N *）经过点（2π，），则ω的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d=2，S k +2﹣S k =28，则k=（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．58．设两正数a ，b （a ≠b ）满足a 2+ab +b 2=a +b ，则a +b 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，）C ．[1，]D ．（0，1）9．一几何体的三视图如图，则它的体积是（ ）A． B． C．D．10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若，则A=90°B．C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinBD．若sin2A=sin2B，则a=b11．若圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则r的取值范围为（）A．[4，6]B．（4，6）C．[5，7]D．（5，7）12．已知f（x）=，存在x2＞x1≥0，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．[1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．数列{a n}满足a n=，记其前n项和为S n．若S n=5，则项数n的值为．14．在平面直角坐标系xOy中，过点M（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段MB的中点，则直线l的方程为．15．已知向量=（1，t），=（﹣2，1）满足（2﹣）⊥，则t=．16．已知函数f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=•，sinA=．（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若△ABC的面积为6，求BD的长．18．已知数列{a n}满足a1=2，n（a n+1﹣n﹣1）=（n+1）（a n+n）（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列，并求其通项公式；（2）设b n=﹣15，求数列{|b n|}的前n项和T n．19．如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE ⊥平面CDE，AE=1．（1）求证；平面ABCD⊥平面ADE；（2）求几何体A﹣BDE的体积．20．在平面直角坐标系中，已知动点T到点A（﹣4，0），B（﹣1，0）的距离比为2．（1）求动点T的轨迹方程Γ；（2）已知点P是直线l：y=x与曲线Γ在第一象限内的交点，过点P引两条直线分别交曲线Γ于Q，R，且直线PQ，PR的倾斜角互补，试判断直线QR的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=2时，且函数f（x）满足f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证x1+x2＞4．（参考公式：[ln（m﹣x）]'=，m为常数）22．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，求正数a的取值范围．2016-2017学年湖北华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C2．已知i是虚数单位，复数z=（a∈R）在复平面内对应的点位于直线x+2y=0上，则a=（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z===+i在复平面内对应的点（，）在位于直线x+2y=0上，∴+2×=0，解得a=﹣2．故选：C．3．已知命题p；≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．[，]D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件．即可得出．【解答】解：命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴，且等号不能同时成立．解得．则实数a的取值范围是．故选：A．4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：B．5．已知x，y满足不等式组，则z=x+y的最大值为（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6），代入目标函数z=x+y得z=4+6=10．即目标函数z=x+y的最大值为10．故选：B6．已知函数y=2sin（ωx+）（ω∈N*）经过点（2π，），则ω的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据函数y的图象过点（2π，），代入解析式，再结合ω∈N*，即可求出答案．【解答】解：函数y=2sin（ωx+）图象经过点（2π，），∴2sin（2πω+）=，即sin（2πω+）=；又ω∈N*，∴ω的最小值为1．故选：A．7．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=28，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：S k+2﹣S k=28=a k+2+a k+1=2×1+（2k+1）×2，解得：k=6．故选：C．8．设两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．[1，]D．（0，1）【考点】基本不等式．【分析】两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，可得0＜（a+b）2﹣（a+b）=ab＜，即可得出．【解答】解：∵两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，∴0＜（a+b）2﹣（a+b）=ab＜，解得．则a+b的取值范围是．故选：B．9．一几何体的三视图如图，则它的体积是（）A． B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，这些都比较好看出，再根据圆锥的体积公式，得到结果，下面是一个特正方体，棱长是a，做出体积把两个体积相加得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，∴圆锥的体积是=，下面是一个棱长是a的正方体，正方体的体积是a3，∴空间几何体的体积是，故选A．10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若，则A=90°B．C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinBD．若sin2A=sin2B，则a=b【考点】正弦定理．【分析】A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论．C、在△ABC中，设外接圆的半径为R，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论．D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则根据三角形形状可判断出．【解答】解：A，∵，∴由正弦定理sinB=cosB，sinC=cosC，又∵B，C为△ABC的内角，∴B=C=45°，故A=90°，A正确；B，∵由正弦定理可得=2R，∴==2R=，故B正确；C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，由正弦定理可得a＞b，即A＞B；若A＞B，即有a＞b，即2RsinA＞2RsinB，即a＞b．则在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B，故C正确；D，∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故D错误．故选：D．11．若圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则r的取值范围为（）A．[4，6]B．（4，6）C．[5，7]D．（5，7）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于1，以及圆上只有一个点到直线的距离等于1的条件，可得要求的r的范围．【解答】解：∵圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2（r＞0）的圆心到直线4x+3y+2=0的距离为：d==5，当r=4时，圆上只有一个点到直线的距离等于1，当r=6时，圆上有三个点到直线的距离等于1，∴圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1时，圆的半径r的取值范围是：4＜r＜6，故选：B．12．已知f（x）=，存在x2＞x1≥0，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．[1，）【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，≤f（x）＜，②当x＞1时，f（x）≥1，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2≤log23，则1≤f（x2）≤，∴×1≤x1•f（x2）＜1×，即≤x1•f（x2）＜，故x1•f（x2）的取值范围为[，），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．数列{a n}满足a n=，记其前n项和为S n．若S n=5，则项数n的值为35．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】化简数列的表达式，列出关系式求解即可．【解答】解：数列{a n}满足a n==．前n项和为S n=（）+（）+…+（）=，S n=5，可得=5，解得n=35．故答案为：3514．在平面直角坐标系xOy中，过点M（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段MB的中点，则直线l的方程为y=（x+4）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】利用割线定理求出AB，再利用点到直线的距离公式建立方程，即可得出结论．【解答】解：由割线定理可得，MA•MB=（5﹣）（5+），∵点A恰好是线段MB的中点，∴2AB2=20，∴AB=，∴圆心到直线的距离为=，设直线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，∴=，∴k=，∴直线l的方程为y=（x+4）．故答案为y=（x+4）．15．已知向量=（1，t），=（﹣2，1）满足（2﹣）⊥，则t=．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，它们的数量积为0，列出方程求出t的值．【解答】解：向量=（1，t），=（﹣2，1），且（2﹣）⊥，∴（2﹣）•=2•﹣=0，2×（﹣2+t）﹣5=0，解得t=．故答案为：．16．已知函数f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，则实数a的取值范围是﹣9＜a＜0．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=（2x﹣3）e x+=0，可得a=x（3﹣2x）e x，令y=x（3﹣2x）e x，则y′=﹣（x﹣1）（2x+3）e x，取得函数的单调性，求出函数的极值，即可得出结论．【解答】解：由f（x）=（2x﹣3）e x+=0，可得a=x（3﹣2x）e x，（x≠0）令y=x（3﹣2x）e x，则y′=﹣（x﹣1）（2x+3）e x，∴x＜﹣或x＞1时，y′＜0，函数单调递减，﹣＜x＜0或0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增，∴x=﹣时，函数取得极小值﹣9，x=1时，函数取得极大值0，∵f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，∴﹣9＜a＜0，故答案为﹣9＜a＜0．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=•，sinA=．（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若△ABC的面积为6，求BD的长．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由已知及向量的运算可求||=||，进而可得A=B，A与B都是锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用二倍角公式即可得解sinC的值．（2）由（1）及三角形面积公式可求a=b=，由二倍角公式求得cosC 的值，利用余弦定理可求BD 的值．【解答】解：（1）•=•，得=0，即（）•（）=||2﹣||2=0，故||=||，（也可以由向量数量积的几何意义得出||=||）从而A=B ，A 与B 都是锐角则cosA==．sinC=sin （A +B ）=sin2A=2sinAcosA=，即sinC=．（2）由题意知，S △ABC =absinC==6，得a=b=，如右图，CD=，BC=，又cosC=cos （π﹣2A ）=﹣cos2A=﹣（1﹣2sin 2A ）=﹣，在△BCD 中，由余弦定理得：BD 2=CD 2+BC 2﹣2CD •BCcosC=+﹣2×××（﹣）=．故BD=．18．已知数列{a n }满足a 1=2，n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *）．（1）求证：数列{}是等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =﹣15，求数列{|b n |}的前n 项和T n ．【考点】数列递推式． 【分析】（1）n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *），可得na n +1﹣（n +1）a n =2n （n +1），变形﹣=2．利用等差数列的定义及其通项公式即可证明．（2）b n =﹣15=2n ﹣15，可得数列{b n }的前n 项和S n =n 2﹣14n ．令b n ≤0，解得n ≤7．∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b n =﹣S n ．n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b 7+b 8+…+b n =﹣2S 7+S n ． 【解答】（1）证明：∵n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *），∴na n +1﹣（n +1）a n =2n （n +1），∴﹣=2．∴数列是等差数列，公差为2，首项为2．∴=2+2（n ﹣1）=2n ，∴a n =2n 2．（2）解：b n =﹣15=2n ﹣15，则数列{b n }的前n 项和S n ==n 2﹣14n ．令b n =2n ﹣15≤0，解得n ≤7．∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b n =﹣S n =﹣n 2+14n ．n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b 7+b 8+…+b n =﹣2S 7+S n =﹣2×（72﹣14×7）+n 2﹣14n=n 2﹣14n +98．∴T n =．19．如图所示，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与△CDE 所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面CDE ，AE=1．（1）求证；平面ABCD ⊥平面ADE ； （2）求几何体A ﹣BDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由AE ⊥平面CDE 得AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面ADE ，于是平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）由AE ⊥平面CDE 得AE ⊥DE ，利用勾股定理计算DE ，求出S △ADE ，由CD ⊥平面ADE ，CD ∥AB 可知AB ⊥平面ADE ，故V A ﹣BDE =V B ﹣ADE =S △ADE •AB ． 【解答】证明：（1）∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AE ⊥CD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又AD ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，AD ∩AE=A ， ∴CD ⊥平面ADE ，∵CD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADE ． 解：（2）∵AE ⊥平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∴AE ⊥DE ，∴DE==．∴S △ADE ==．∵CD ⊥平面ADE ，CD ∥AB ， ∴AB ⊥平面ADE ，∴V A ﹣BDE =V B ﹣ADE =S △ADE •AB=．20．在平面直角坐标系中，已知动点T 到点A （﹣4，0），B （﹣1，0）的距离比为2． （1）求动点T 的轨迹方程Γ；（2）已知点P 是直线l ：y=x 与曲线Γ在第一象限内的交点，过点P 引两条直线分别交曲线Γ于Q ，R ，且直线PQ ，PR 的倾斜角互补，试判断直线QR 的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【考点】轨迹方程． 【分析】（1）设T （x ，y ），由题意知：|TA |=2|TB |，由此即可求得曲线C 的方程； （2）确定Q ，R 的坐标，从而可得直线QR 的斜率． 【解答】解：（1）设T （x ，y ），由题意知：|TA |=2|TB |．即=2，化简得x 2+y 2=4，即为动点T 的轨迹方程．（2）直线QR 的斜率为定值1．证明过程如下：当x=y 时，代入x 2+y 2=4，得P （）（第一象限内）．显然，直线PQ 的斜率存在，不妨设直线PQ ：y=k （x ﹣）+，Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），联立圆的方程，得（1+k 2）x 2﹣2k （k ﹣1）x +2（k 2﹣2k ﹣1）=0．则x 1=，y 1=﹣．即Q （，﹣）．同理，直线PR 的斜率为﹣k ，用﹣k 代替k ，则R （，﹣）．那么直线QR 的斜率为1为定值．21．已知函数f （x ）=lnx +．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a=2时，且函数f （x ）满足f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），求证x 1+x 2＞4．（参考公式：[ln （m ﹣x ）]'=，m 为常数）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出=，x＞0，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）当a=2时，f（x）=lnx+．不妨令x1＜x2，要证明x1+x2＞4，即证x2＞4﹣x1．只需证f（x1）＞f（4﹣x1）．设g（x）=lnx+﹣ln（4﹣x）﹣，g′（x）=≤0，由此能证明x1+x2＞4．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+，∴=，x＞0，当a≤0时，f′（x）≥0总成立；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a．当x∈（0，a）时，f′（x）＜0．当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．证明：（2）当a=2时，f（x）=lnx+．不妨令x1＜x2，要证明x1+x2＞4，即证x2＞4﹣x1．由（1）知f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．则0＜x1＜2，x2＞2，只需证f（x2）＞f（4﹣x1），有f（x1）=f（x2），即证f（x1）＞f（4﹣x1）．设g（x）=f（x）﹣f（4﹣x），（0＜x＜2），则令g（x）=lnx+﹣ln（4﹣x）﹣，g′（x）=﹣﹣﹣=≤0，那么g（x）在（0，2）内单调递减，g（x）＞g（2）=0，故证得f（x1）＞f（4﹣x1）．∴x1+x2＞4．22．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，求正数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题转化为a2﹣a≥，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|=，当x≤﹣时，由x+4＞2，解得：x＞﹣2，即﹣2＜x≤﹣；当﹣＜x＜1时，由﹣3x﹣2＞2，解得：x＜2，即﹣＜x＜﹣；当x≥1时，由﹣x﹣4＞2，解得：x＜﹣6，无解；所以原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在x=﹣处取函数的最大值f（﹣）=，要使关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，只需a2﹣a≥，即3a2﹣2a﹣5≥0，解得a≤﹣1或a≥，又a为正数，则a≥．2016年11月27日。
2016-2017学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试卷
2016-2017 学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 .1．（5分）设集合 M={ x| x2=x} ， N={ x| lgx≤ 0} ，则 M ∪ N=（）A．[ 0，1]B．（0，1]C．[ 0， 1） D．（﹣∞， 1]．（分）已知函数2+1，那么 f（ a+1）的值为（）2 5f（ x） =xA．a2+a+2B．a2+1 C． a2+2a+2 D． a2+2a+13．（5分）的值是（）A．B．C．D．4．（ 5 分）要得到函数 y=sinx 的图象，只需将函数 y=cos（ x﹣）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位．（分）设0.1， b=lg ，c=log3，则 a，b，c 的大小关系是（）5 5a=2A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c6．（5 分）函数 y=的最小正周期为（）A．2π B．πC．D．7．（ 5 分）已知函数是定义在（﹣ b，b）上的奇函数，（ a，b∈R 且 a≠﹣ 2），则 a b的取值范围是（）A．B．C．D．8．（ 5 分）若 sin（π﹣α）=﹣，且 a∈（π，），则 sin（ +）=（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5 分）若函数 f（x）的零点与 g（ x） =lnx+2x﹣8 的零点之差的绝对值不超过0.5，则 f（ x）可以是（）A ．B ． f （x ）=（x ﹣4）2C ． f （x ）=e x ﹣2﹣1D ．f （ x ）=3x ﹣610．（5 分）定义在 R 上的函数 f （x ）对任意 0＜x 2 ＜x 1 都有 ＜ 1．且函数 y=f （x ）的图象关于原点对称，若f （2）=2，则不等式 f （x ）﹣ x ＞0 的解集是（）A ．（﹣ 2，0）∪（ 0，2）B ．（﹣∞，﹣ 2）∪（ 2，+∞）C ．（﹣∞，﹣ 2）∪（ 0， 2） D ．（﹣ 2，0）∪（ 2，+∞）11．（ 5 分）f （ x ） =Asin （ωx +ωπ）（A ＞ 0，ω＞ 0）在 上单调，则ω的最大值为（）A ．B ．C ．1D ．12．（ 5 分）若函数 f （x ）=x 2+e x ﹣（x ＜0）与 g （x ）=x 2+ln （x+a ）图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A ．（﹣ ）B ．（ ）C ．（）D ．（）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．（ 5 分）若函数 f （x ）= 的定义域为 [ 0，2] ，则函数 g （x ）= 的定义域为．14．（ 5 分）计算：= ．15．（5 分）已知 θ∈（ ，π），+=2，则 cos（2θ+ ）的值为．16．（ 5 分）已知集合 { φ| f （ x ）=sin[ （ x ﹣2φ）π]+ cos[ （x ﹣2φ） π] 为奇函数， 且 | log a φ ＜ 1}的子集个数为 ，则 的取值范围为． | 4a三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .17．（ 10 分）已知幂函数f （x ）=x第2页（共 17页）（ 1）试求 m 的值并写出该幂函数的解析式；（ 2）试求满足 f （1+a）＞ f （3﹣）的实数a的取值范围．18．（ 12 分）已知．（ 1）化简 f（α）；（ 2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=2x﹣．（Ⅰ）若 f（ x）=2，求 x 的值；（Ⅱ）若 2t f（ 2t）+mf（t ）≥ 0 对于 t ∈[ 1， 2] 恒成立，求实数m 的取值范围．20．（12 分）已知函数为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为．（ 1）求的值；（ 2）将 y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在上的最值．21．（ 12 分）现有一圆心角为，半径为12cm的扇形铁皮（如图）．P，Q是弧AB 上的动点且劣弧的长为2π cm，过P，Q分别作与OA，OB平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？22．（ 12 分）函数 f n（x）=x n +bx+c（n∈Z，b，c∈ R）．（1）若 n=﹣1，且 f ﹣1（1）=f﹣1（）=4，试求实数 b，c 的值；（2）设 n=2，若对任意 x1，x2∈ [ ﹣ 1，1] 有| f2（x1）﹣ f2（x2）| ≤4 恒成立，求b的取值范围；（ 3）当 n=1 时，已知 bx2+cx﹣a=0，设 g（x） =，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以 f 1（g（m）），f1（g（ n）），f1（g（p））为边长的三角形？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2016-2017 学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5 分）设集合 M={ x| x2=x} ， N={ x| lgx≤ 0} ，则 M ∪ N=（）A．[ 0，1] B．（0，1] C．[ 0， 1） D．（﹣∞， 1]【解答】解：由 M={ x| x2=x} ={ 0， 1} ，N={ x| lgx≤0} =（ 0， 1] ，得 M∪N={ 0，1} ∪（0，1] =[ 0，1] ．故选： A．2．（5 分）已知函数 f （）2+1，那么 f（ a+1）的值为（）x=xA．a2+a+2B．a2+1 C． a2+2a+2 D． a2+2a+1【解答】解：∵函数 f （x）=x2+1，∴f（a+1） =（ a+1）2+1=a2+2a+2．故选： C．3．（5 分）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：原式 =sin（π+）?cos（π﹣）?tan（﹣π﹣）=﹣sin?（﹣cos ）?（﹣ tan）=﹣×（﹣）×（﹣）=﹣．故选 A4．（ 5 分）要得到函数 y=sinx 的图象，只需将函数 y=cos（ x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：由于函数 y=sinx=cos（x﹣），故只需将函数的图象象右平移可得函数 y=cos（ x﹣）的图象，故选 A．5．（5 分）设 a=20.1， b=lg ，c=log3，则 a，b，c 的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解：∵ 20.1＞ 20＞＞＞log3，=1=lg10 lg0∴ a＞ b＞ c，故选： D．6．（5 分）函数 y=的最小正周期为（）A．2π B．πC．D．【解答】解：∵ y===tan（ 2x+），∴T=．故选 C．7．（ 5 分）已知函数是定义在（﹣b，b）上的奇函数，（a，b∈R 且 a≠﹣ 2），则 a b的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），解得 a=2∴f（x）=lg，其定义域是（﹣，）∴0＜ b≤，∴1＜ a b≤，故选： A8．（ 5 分）若 sin（π﹣α）=﹣，且a∈（π，），则sin（+）=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵ sin（π﹣α）=sin α=﹣，且α∈（π，），∴ cosα=﹣=﹣=﹣，2∵ cosα=2cos ﹣ 1，∈（，），∴ cos =﹣=﹣=﹣，则 sin（+）=cos=﹣．故选 B9．（5 分）若函数 f（x）的零点与 g（ x） =lnx+2x﹣8 的零点之差的绝对值不超过0.5，则 f（ x）可以是（）．．（）（﹣）2x﹣2﹣1 D．f（ x）=3x﹣A B f x= x4C． f（x）=e6【解答】解：由于 g（x）=lnx+2x﹣8 为（ 0，+∞）上的增函数，且 g（3）=ln3﹣2＜0，g（4）=ln4＞0，故函数 g（x）的零点在区间（ 3，4）内．由于函数y=ln（x﹣）的零点为x=3.5，故函数 g（x）的零点与函数y=ln（x﹣）的零点差的绝对值不超过0.5，故 f（ x）可以是 ln（x﹣），另外三个均不符合，故选： A．10．（5 分）定义在 R 上的函数（）对任意 2 ＜x1 都有＜1．且f x0＜x函数 y=f（x）的图象关于原点对称，若 f （2）=2，则不等式 f （x）﹣ x＞0 的解集是（）A．（﹣ 2，0）∪（ 0，2）B．（﹣∞，﹣ 2）∪（ 2，+∞） C．（﹣∞，﹣ 2）∪（0， 2） D．（﹣ 2，0）∪（ 2，+∞）【解答】解：令 x1=x＞2，x2=2，则 0＜ x2＜x1，则有==＜1，即 f（ x）﹣ 2＜x﹣ 2，即 x＞2 时， f （x）﹣ x＜0，令 0＜x=x2＜2，x1=2，则 0＜ x2＜x1，则有==＜1，即 f（ x）﹣ 2＞x﹣ 2，即 0＜x＜ 2 时， f（x）﹣ x＞0，又由函数 y=f（x）的图象关于原点对称，∴﹣ 2＜x＜ 0 时， f （x）﹣ x＜0，x＜﹣ 2 时， f （x）﹣ x＞0，综上可得：不等式 f （x）﹣ x＞0 的解集（﹣∞，﹣ 2）∪（ 0，2），故选： C11．（ 5 分）f（ x） =Asin（ωx+ωπ）（A＞ 0，ω＞ 0）在上单调，则ω的最大值为（）A．B．C．1D．【解答】解：画出函数 f（x）=Asin（ωx+ωπ）（ A＞ 0，ω＞ 0）的图象，如图所示；令 Asin（ωx+ωπ） =﹣ A，得ωx+ωπ=﹣，解得 x=﹣π﹣；∵函数 f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）在 [ ﹣，﹣] 上单调，故﹣π﹣≤﹣，∴ω≤1，∴ω的最大值是ωmax=1．故选： C．．（分）若函数2+e x﹣（x＜0）与 g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在12 5f（x）=x关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（） D．（）【解答】解：由题意可得：存在 x0∈（﹣∞， 0），满足 x02 +e x0﹣=（﹣ x0）2+ln（﹣ x0+a），即 e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当 x 趋近于负无穷大时， e x0﹣﹣ln（﹣ x0+a）也趋近于负无穷大，且函数 h（ x）=e x﹣﹣ ln（﹣ x+a）为增函数，∴h（ 0） =e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ ln ，∴a＜，∴a 的取值范围是（﹣∞，），故选： A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13．（ 5 分）若函数 f（x）=的定义域为[ 0，2]，则函数g（x）=的定义域为[ 0，1）．【解答】解：∵函数 f （x）的定义域为 [ 0，2] ，∴函数 y=f（ 2x）的定义域为 2x∈[ 0，2] ，解得 0≤ x≤ 1，因此函数 g（ x） =的定义域满足：，可得0≤x＜1．∴函数 g（x）=的定义域为：[ 0，1）．故答案为： [ 0， 1）．14．（ 5 分）计算：= 2 ．【解答】解：原式 =lg4+lg9+2（1﹣lg6）=+2=2．故答案为： 2．15．（ 5 分）已知θ∈（，π），+=2，则cos（2θ+）的值为．【解答】解：∵，∴ sinθ＞0，cosθ＜0，∴=2，即sinθ+cosθ=2 sinθcos＜θ0，∴θ∈（，π），2θ∈（，2π）．再根据 sin θ+cosθ=﹣=﹣，即 sin2 θ=﹣，∴ 2θ=，∴ cos2θ==．则=cos2θcos ﹣sin2 θsin =﹣（﹣）=，故答案为：．16．（ 5 分）已知集合 { φ| f（ x）=sin[ （ x﹣2φ）π]+ cos[ （x﹣2φ）π]为奇函数，且 | log φ＜1}的子集个数为，则a的取值范围为（）∪（）．a |4【解答】解：∵集合 { φ| f （x）=sin[ （x﹣2φ）π]+ cos[ （x﹣2φ）π] 为奇函数，∴f（0）=sin（﹣ 2φπ） +cos（﹣ 2φπ）=cos2φπ﹣sin2 φπ，=0∴cos2φπ =sin2 ，φπ即 tan2 φπ =1，∴ 2φπ =k+π，则φ= + ，k∈Z．验证φ= +，k∈ Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+ cos[（x﹣2φ）π]=sin[（x﹣k﹣）π]+ cos[（x﹣k﹣）π] =sin（πx﹣）+cos（）=为奇函数．∴φ=+ ，k∈Z．∵集合 { φ| f （x）=sin[ （x﹣2φ）π]+ cos[ （ x﹣ 2φ）π] 为奇函数，且 | log aφ＜1}|的子集个数为4，∴满足 | log φ＜1的φ有2个，即满足﹣＜φ＜1的φ有2个．a |1log a分别取 k=0， 1， 2， 3，得到φ=，，，，若 0＜a＜1，可得 a∈（）时，满足﹣ 1＜log aφ＜1 的φ有 2 个；若 a＞1，可得 a∈（）时，满足﹣ 1＜log aφ＜1 的φ有 2 个．则 a 的取值范围为（）∪（）．故答案为：（）∪（）．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .17．（ 10 分）已知幂函数f（x）=x第 11 页（共 17 页）（ 1）试求 m 的值并写出该幂函数的解析式；（ 2）试求满足 f （1+a）＞ f （3﹣）的实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵幂函数 f （x）的图象经过点，∴=，即m2+m=2，解得：m=1或m=﹣2，∵m∈N*，故 m=1，故 f（ x）= ，x∈[ 0， +∞）；（ 2）∵ f（ x）在 [ 0，+∞）递增，由 f（ 1+a）＞ f （3﹣），得，解得： 1＜a≤9，故 a 的范围是（ 1，9] ．18．（ 12 分）已知．（ 1）化简 f（α）；（ 2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．【解答】解：（1）∵== ﹣cos α．（ 2）若α是第三象限角，且＞0，∴α+为第四象限角，∴ sin（α+）=﹣=﹣，∴ f（α）=﹣cosα=﹣cos[ （α+）﹣] =﹣ cos（α+）cos] ﹣ sin（α+）sin =．19．（ 12 分）已知函数 f （x）=2x﹣．（Ⅰ）若 f（ x）=2，求 x 的值；（Ⅱ）若 2tf （2t）+mf（）≥对于t∈，2]恒成立，求实数m的取值范围．t[ 1【解答】解：（Ⅰ）当 x≤0 时 f（x）=0，当 x＞0 时，，有条件可得，，即 22x﹣ 2× 2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．（Ⅱ）当 t∈ [ 1，2]时，，即 m（22t﹣1）≥﹣（ 24t﹣ 1）．∵ 22t﹣1＞0，∴ m≥﹣（ 22t+1）．∵ t∈[ 1，2] ，∴﹣（ 1+22t）∈ [ ﹣17，﹣ 5] ，故 m 的取值范围是 [ ﹣5，+∞）．20．（12 分）已知函数为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为．（ 1）求的值；（ 2）将 y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在上的最值．【解答】（本题满分为 12 分）解：（ 1）函数 f （x）= sin（ωx+φ）﹣ cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）， 1分因为函数是偶函数，所以φ﹣=kπ+，k∈ Z，解得：φ=kπ+，k∈ Z，∵﹣＜φ＜0，∴φ=﹣．函数 y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，所以 T=π， T==π，所以ω=2；f（x）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x， 5分则 f（）=﹣2cos（2×）=﹣2cos（﹣）=﹣， 6分（ 2）由函数图象的变换可知，y=g（x）=﹣2cos（x﹣）， 8分由 2kπ≤ x﹣≤ 2kπ+π，k∈ Z，解得： 4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z，即函数 y=g（ x）的单调递增区间为： [ 4kπ+，4kπ+] k∈Z，由 2kπ+π≤ x﹣≤ 2kπ+2π，k∈Z，解得： 4kπ+≤x≤4kπ+，k∈ Z，即函数 y=g（ x）的单调递减区间为： [ 4kπ+，4kπ+] k∈ Z， 10分∵ x∈，∴结合函数的单调性可知：当 x﹣=0，即 x=时， y=g（x）最小值为﹣ 2 11分当 x﹣=﹣，即 x=﹣时， y=g（x）最大值为 0 12分21．（ 12 分）现有一圆心角为，半径为12cm的扇形铁皮（如图）．P，Q是弧AB 上的动点且劣弧的长为2π cm，过P，Q分别作与OA，OB平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？【解答】解：连接 OQ，OP，则∠ POQ=．设∠ QOB=α，多边形 OHPRQT的面积为 S，则∠ POB=α+，α∈（0，），S=12sin α ?12cos+12sinα（α+）?12cos（α+）﹣12sinα ?12cos（α+）=（72﹣ 72）sin（2α+）+36，α=，即∠ POA=∠ QOB=时，多边形OHPRQT的面积的最大值为72﹣36（cm2）．22．（ 12 分）函数 f n（x）=x n +bx+c（n∈Z，b，c∈ R）．（1）若 n=﹣1，且 f ﹣1（1）=f﹣1（）=4，试求实数 b，c 的值；（2）设 n=2，若对任意 x1，x2∈ [ ﹣ 1，1] 有| f2（x1）﹣ f2（x2）| ≤4 恒成立，求b的取值范围；（ 3）当 n=1 时，已知 bx2+cx﹣a=0，设 g（x） =，是否存在正数a，使得对于区间上的任意三个实数m，n，p，都存在以 f 1（g（m）），f1（g（ n）），f1（g（p））为边长的三角形？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）n=﹣1，且，可得 1+b+c=4，2+ b+c=4，解得 b=2，c=1；（2）当 n=2 时， f 2（x）=x2+bx+c，对任意 x1，x2∈[ ﹣1，1] 有 | f 2（ x1）﹣ f2（x2） | ≤ 4 恒成立等价于f2（x）在 [ ﹣ 1， 1] 上的最大值与最小值之差 M≤4．①当﹣＜﹣ 1，即 b＞ 2 时， f2（x）在 [ ﹣1，1] 递增，f2（x）min =f2（﹣ 1） =1﹣b+c， f2（ x）max=f2（1）=1+b+c，M=2b＞ 4（舍去）；②当﹣ 1≤﹣≤0，即0≤b≤ 2时，f2（x）在[﹣1，﹣] 递减，在（﹣，1]第 15 页（共 17 页）f2（x）min =f2（﹣）=c﹣， f2（x）max=f2（1）=1+b+c，M=（ +1）2≤4 恒成立，故 0≤ b≤ 2；③当 0＜﹣≤1即﹣ 2≤ b＜ 0 时， f2（ x）在 [ ﹣ 1，﹣ ] 递减，在（﹣，1] 递增，f2（ x）min=f2（﹣） =c﹣，f2（x）max=f2（﹣ 1） =1﹣b+c， M=（﹣1）2≤4恒成立，故﹣ 2≤b＜0；④当﹣＞ 1，即 b＜﹣ 2 时， f2（x）在 [ ﹣1，1] 递减，f2（x）min =f2（1）=1+b+c， f2（ x）max=f2（﹣ 1）=1﹣b+c，M=﹣2b＞4 矛盾．综上可得， b 的取值范围是﹣ 2≤b≤2；（ 3）设 t=g（x）===，由 x∈，可得t∈[，1]．则 y=t+ 在 [ ， 1] 上恒有 2y min＞y max．①当 a∈（ 0， ] 时， y=t+在 [， 1] 上递增，y min=+3a，y max=a+1，又 2y min＞ y max．则 a＞，即有＜ a≤；②当 a∈（， ] 时， y=t+在[，）递减，（，1）递增，可得 y min=2，max=max{ 3a+，a+1} =a+1，又min＞y max．y2y解得 7﹣4＜a＜ 7+4 ，即有＜ a≤；③当 a∈（，1）时， y=t+在[，）递减，（， 1）递增，可得 y min=2，y max=max{ 3a+，a+1} =3a+，又 2y min＞ y max．解得＜a＜，即有＜a＜1；④当 a∈[ 1，+∞）时， y=t+在[，1]上递减，y min=a+1，y max=3a+，又2y min＞y max．则 a＜，即有1≤a＜．综上可得，存在这样的三角形， a 的取值范围是＜a＜．。
2016-2017年湖北省华中师大一附中高一(上)期中数学试卷及参考答案
2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，有且只有一项符合题意．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}2．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．83．（5分）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}4．（5分）下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．y=（）2B．y=C．y=2D．y=log22x5．（5分）已知函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）6．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．且当x＜0时，f（x）=3x，则f（log94）的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．27．（5分）设a=log37，b=211，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．（5分）下列函数中，与函数y=﹣e|x|的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A．B．y=ln|x|C．y=x3﹣3 D．y=﹣x2+29．（5分）若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}11．（5分）已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则a实数的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a﹣1）（2x﹣a），g（x）=ln（x﹣a），若当x ＞a时，f（x）•g（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣2，0]C．（﹣∞，2]D．[﹣2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）函数f（x）=的定义域是．14．（5分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围为．15．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有＜0，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是．16．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（1x+x2）+的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U=R，集合，集合B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．（1）当m=3时，求A∩（∁U B）（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求m的值．18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f （x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．19．（12分）设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，f（）=f（x）﹣f（y）．（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式f（x）﹣f（）≤2．20．（12分）某上市股票在30天内每股交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在图中的两条线段上，该股票在30填内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如表所示：（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y表示该股票日交易额（万元），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？21．（12分）定义sgn（x）=已知函数f（x）=a x+（a＞0且a≠1）．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若f（1）=，且不等式f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=log a，g（x）=1+log a（x﹣1），（a＞0且a≠1），设f（x）和g（x）的定义域的公共部分为D，（1）求集合D；（2）当a＞1时．若不等式g（x﹣）﹣f（2x）＞2在D内恒成立，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，当[m，n]⊊D时，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g （m）]，若存在，求实数a的取值范围，若不存在说明理由．2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，有且只有一项符合题意．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．2．（5分）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．8【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选：C．3．（5分）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}【解答】解：图中阴影部分表示的集合是A∩（C U B）．∵A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1）∴C U B=[1，+∞）A∩（C U B）=[1，2）故选：B．4．（5分）下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．y=（）2B．y=C．y=2D．y=log22x【解答】解：对于A，y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于B，y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应关系不同，不是相等函数；对于C，y==x（x＞0），与y=x（x∈R）的定义域不同，不是相等函数；对于D，y=log22x=x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．5．（5分）已知函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵函数y=log2（ax﹣1）在（1，2）上单调递增，∴a×1﹣1≥0，解得a≥1，故a的取值范围为[1，+∞），故选：C．6．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．且当x＜0时，f（x）=3x，则f（log94）的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵log94=log32＞0，∴﹣log32＜0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=3x，∴f（﹣log32）=﹣f（log32），即f（log32）=﹣f（﹣log32）=﹣=﹣，故选：B．7．（5分）设a=log37，b=211，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵a=log37∈（1，2），b=211＞2，c=0.83.1＜1故选：C．8．（5分）下列函数中，与函数y=﹣e|x|的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A．B．y=ln|x|C．y=x3﹣3 D．y=﹣x2+2【解答】解：函数y=﹣e|x|为偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增．A.为奇函数，不满足条件．B．y=ln|x|为偶函数，当x＜0时，函数为y=ln（﹣x）单调递减．不满足条件．C．y=x3﹣3为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=﹣x2+2为偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．故选：D．9．（5分）若实数x，y满足|x﹣1|﹣ln=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：∵|x﹣1|﹣ln=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．10．（5分）设函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，则y=[f（x）]的值域是（）A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{﹣1，1}D．{1，1}【解答】解：函数f（x）=﹣，[x]表示不超过x的最大整数，∴f（x）=﹣，分析可得，﹣＜f（x）＜，∴[f（x）]={0，﹣1}，故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则a实数的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：若a=0则方程f（f（x））=0有无数个实根，不满足条件，若a≠0，若f（f（x））=0，则f（x）=1，∵x＞0时，f（）=1，关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，故当x≤0时，a•e x=1无解，即在x≤0时无解，故，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1），故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a﹣1）（2x﹣a），g（x）=ln（x﹣a），若当x ＞a时，f（x）•g（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣2，0]C．（﹣∞，2]D．[﹣2，+∞）【解答】解：函数f（x）的两个零点为x=a+1和x=，由g（x）=ln（x﹣a）=0得x﹣a=1，即x=a+1，若x＞a时，f（x）•g（x）≥0恒成立，等价为当x≥a+1时，f（x）≥0，当a＜x≤a+1时，f（x）≤0，即≤a＜a+1，即≤a，即a≥0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）函数f（x）=的定义域是[﹣，0）∪（，1] ．【解答】解：由题意得：0＜3x2﹣2x≤1，解得：＜x≤1或﹣≤x＜0，故函数的定义域是[﹣，0）∪（，1]，故答案为：[﹣，0）∪（，1]．14．（5分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围为3＜a≤6．【解答】解：∵f（x）是R上的单调递增函数，∴当x＞1时，对数函数y=log a x是增函数，得a＞1当x≤1时，一次函数y=（a﹣3）x﹣3是增函数，得a﹣3＞0，∴a＞3取交集，得a＞3又log a1≥（a﹣3）×1﹣3，解之得a≤6∴3＜a≤6故答案为：3＜a≤615．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有＜0，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【解答】解：∵任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有＜0，∴此时函数f（x）为减函数，∵f（x）是偶函数，∴当x≥0时，函数为增函数，则不等式＜0等价为＜0，即xf（x）＜0，∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴作出函数f（x）的草图：则xf（x）＜0等价为或，即x＜﹣2或0＜x＜2，故不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故答案为：（0，2）∪（﹣∞，﹣2）16．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（1x+x2）+的取值范围是（﹣1，1] ．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由图可知a＜1，x1+x2=﹣2．∵﹣log2（x3）=log2（x4）=a，∴x3x4=1；∵0＜log2（x4）＜1，∴1＜x4≤2．故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故答案为：（﹣1，1]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U=R，集合，集合B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．（1）当m=3时，求A∩（∁U B）（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求m的值．【解答】解：（1）由集合A中的不等式≥1，移项变形得；≤0，解得：﹣1＜x≤5，∴集合A={x|﹣1＜x≤5}，当m=3时，集合B中的不等式化为x2﹣2x﹣3＜0，即（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，∴集合B={x|﹣1＜x＜3}，又全集U=R，∴C U B={x|x≤﹣1或x≥3}，则A∩（C U B）={x|3≤x≤5}；（2）由集合B中的不等式x2﹣2x﹣m＜0，解得：1﹣＜x＜1+，∵集合A={x|﹣1＜x≤5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，∴1﹣≤﹣1，1+=4，解得：m=8，则m的值为8．18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f （x﹣1）=f（3﹣x），且方程f（x）=2x有两等根．（1）求f（x）的解析式．（2）求f（x）在[0，t]上的最大值．【解答】解：（1）∵方程f（x）=2x有两等根，ax2+（b﹣2）x=0有两等根，∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2，∵f（x﹣1）=f（3﹣x），∴=1，∴x=1是函数的对称轴，又此函数图象的对称轴是直线x=﹣，∴﹣=1，∴a=﹣1，故f（x）=﹣x2+2x；（2）∵函数f（x）=﹣x2+2x对称轴为x=1，x∈[0，t]，∴当t≤1时，f（x）在[0，t]上是增函数，∴f（x）max=﹣t2+2t，当t＞1时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，∴f（a）max=f（1）=1，综上，．19．（12分）设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，f（）=f（x）﹣f（y）．（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式f（x）﹣f（）≤2．【解答】解：（1）证明：，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）﹣f（1）=0，．（2）∵=f（x）+f（x﹣3）=f（x2﹣3x），∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），∴f（x）﹣f（）≤2等价于：f（x2﹣3x）≤f（4）①，且x＞0，x﹣3＞0（由f（x）定义域为（0，+∞）可得），∵x（x﹣3）=x2﹣3x＞0，4＞0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴①⇔x2﹣3x≤4⇒﹣1≤x≤4，又x＞3，∴原不等式的解集为；{x|3＜x≤4}．20．（12分）某上市股票在30天内每股交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在图中的两条线段上，该股票在30填内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如表所示：（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y表示该股票日交易额（万元），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？【解答】解：（1）P=（2）设Q=at+b（a，b为常数），将（4，36）与（10，30）的坐标代入，得．日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q=40﹣t，0＜t≤30，t ∈N*．（3）由（1）（2）可得y=PQ即y=当0＜t＜20时，当t=15时，y max=125；当20≤t≤30时，当t=20时，y max=120；所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．21．（12分）定义sgn（x）=已知函数f（x）=a x+（a＞0且a≠1）．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若f（1）=，且不等式f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵定义sgn（x）=，函数f（x）=a x+（a＞0且a≠1）．∴当x＞0时，，∴a x=1，∴x=0舍去；当x＜0时，f（x）=a x﹣a x=0≤2恒成立；当x=0时，f（x）=1≤2成立；综上：不等式f（x）≤2的解集为（﹣∞，0]．（2）∵，∴f（1）=a+=，解得，∵f（2t）+mf（t）+4≥0恒成立，∴，令，∴u∈（2，+∞），∴u2+mu+2≥0恒成立，∴上恒成立，又上单调递减，∴，解得m≥﹣3．∴实数m的取值范围是[﹣3，+∞）．22．（12分）已知函数f（x）=log a，g（x）=1+log a（x﹣1），（a＞0且a≠1），设f（x）和g（x）的定义域的公共部分为D，（1）求集合D；（2）当a＞1时．若不等式g（x﹣）﹣f（2x）＞2在D内恒成立，求a的取值范围；（3）是否存在实数a，当[m，n]⊊D时，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g （m）]，若存在，求实数a的取值范围，若不存在说明理由．【解答】解：（1）f（x）的定义域为：＞0，∴x＞3或x＜﹣3；g（x）的定义域为：x﹣1＞0，∴x＞1，∴集合D为（3，+∞）；（2）1+log a（x﹣）﹣log a＞2，∴log a＞1，∴a＜，设h（x）=，t=2x﹣3，∴g（t）==（t+）+，∴g（t）＞g（3）=，∴1＜a≤．（3）f（x）=log a（1﹣），μ（t）=1﹣在（3，+∞）上递增，μ（3）=0，当a＞1时，f（x）在3，+∞）上递增，g（x）在3，+∞）上递增，当m＜n时，g（m）＜g（n），不合题意，舍去；当0＜a＜1时，f（x）在3，+∞）上递减，g（x）在3，+∞）上递减，由f（m）=g（m），f（n）=g（n），∴m，n是f（x）=g（x）的两根，∴=a（x﹣1），∴ax2+（2a﹣1）x﹣3a+3=0，∴m+n＞6，mn＞9，∴a＜，又m+n＞2，∴a＜或a＞，又△＞0，（2a﹣1）2﹣4a（3﹣3a）＞0∴a＜或a＞，∴0＜a＜．。
湖北省华中师范大学第一附属中学高一上学期期中考试数学试题 答案和解析
湖北省华中师范大学第一附属中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，则()UA B ⋂=（ ）．A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,5,6}2．下列对应不是映射的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．已知函数()()1(1)31x x f x x x +<⎧=-+≥⎨⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（ ） A ．12B ．52 C ．92D ．324．函数()25x g x x =+的零点0x 所在一个区间是（ ）． A ．(2,1)-- B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)5．函数()()2lg 2x x f x x x+-=-的定义域为 （ ）A ．()2,0-B ．()1,0-C ．()1,2-D ．()()1,00,2-⋃6．函数||x y x x=+的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若关于x 的不等式34x x a ---<无解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤- B ．1a <- C ．1a ≥-D ．1a >-8．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．若定义在R 上的函数()f x 满足，对任意的1x ，2x ∈R ，都有1212()()()f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x <，则（ ）．A ．()f x 是奇函数，且在R 上是增函数B ．()f x 是奇函数，且在R 上是减函数C ．()f x 是奇函数，但在R 上不是单调函数D ．无法确定()f x 的单调性和奇偶性 10．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()31f x f x -=+，当2x ≥时()f x 单调递减且()()0f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[]0,4 C ．(),0-∞D ．()[),04,-∞+∞11．已知函数()()2243,2f x x g x kx x =+-=+，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在2x ⎡∈⎣，使得()()12g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．以上都不对12．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：()f 00①=；()x 1f f x 32⎛⎫= ⎪⎝⎭②；()()f 1x 1f x -=-③，则1f 2017⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( ) A ．116B ．132C ．164D ．1128二、填空题13．函数3x y a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点__________． 14．若2()lg ()1x f x a a x R ⎛⎫=+∈⎪+⎝⎭是奇函数，则常数a 的值为___________． 15．某同学在研究函数 f （x ）=1xx+（x ∈R ） 时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立； ②函数f （x ）的值域为（-1，1）； ③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）16．设定义域为R 的函数，若关于x 的函数2lg ,0()2,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，若关于x 的函数()()2221y f x bf x =++有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是______.三、解答题17．计算：（110421()0.252-+⨯；（2）231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯. 18．设函数()221xf x x =+，函数()()520g x ax a a =+->．（1）求函数()221xf x x =+的值域；（2）若对于任意的1x R ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围．19．已知函数()()2log a f x ax x =-．（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围．20．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？21．已知函数22()x a f x x+=，且(1)3f =．（1）求函数()f x 在(,0)-∞上的单调区间，并给出证明．（2）设关于x 的方程()f x x b =+的两根为1x ，2x ，试问是否存在实数m ，使得不等式2121m tm x x ++≥-对任意的b ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 22．已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()()2g x fx mf x =+，[]1,9x ∈是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1．D 【解析】由{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，∴{}3,4A B ⋂=，∴{}()1,2,5,6UA B ⋂=，故选D ．2．D 【解析】选项A,B,C 中的对应满足映射的条件，即集合M 中的元素具有任意性、集合N 中的元素具有唯一性．选项D 中的元素1与集合N 中的两个元素对应，不具有唯一性，故选项D 中的对应不是映射．选D ． 3．D 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】∵函数f(x)=()()1,13,1x x x x ⎧+<⎪⎨-+≥⎪⎩，∴551f 3222⎛⎫=-+=⎪⎝⎭∴f 52f ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=f （12）=12+1=32， 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度中档． 4．B 【解析】因为函数()25x g x x =+单调递增，且1(1)250g --=-<，(0)10g =>， ∴(1)(0)0g g -⋅<，∴函数()g x 在(1,0)-内存在唯一的零点，故选B ． 5．B 【解析】要使函数有意义，需满足2200x x x x ⎧+->⎪⎨-≠⎪⎩，即220x x x x ⎧--<⎪⎨≠⎪⎩，解得10x -<<，因此函数的定义域为()1,0-。
2016-2017学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试卷
为偶函数，且函数的 y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为 （1）求 的值； 个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标 ．
（2）将 y=f（x）的图象向右平移
伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求 y=g（x）的单 调区间，并求其在 21． （12.00 分）现有一圆心角为 弧 AB 上的动点且劣弧 上的最值． ，半径为 12cm 的扇形铁皮（如图） ．P，Q 是
A． （﹣2，0）∪（0，2） （0，2）
D． （﹣2，0）∪（2，+∞） 上单调，
11． （5.00 分）f（x）=Asin（ωx+ωπ） （A＞0，ω＞0）在 则 ω 的最大值为（ A． B． C．1 ） D．
12． （5.00 分）若函数 f（x）=x2+ex﹣ （x＜0）与 g（x）=x2+ln（x+a）图象上存 在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ A． （﹣ ） B． （ ） C． （ ） ） D． （ ）
的长为 2πcm，过 P，Q 分别作与 OA，OB 平行或垂直的
线，从扇形上裁剪出多边形 OHPRQT，将该多边形面积表示为角 α 的函数，并求 出其最大面积是多少？
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Байду номын сангаас
22． （12.00 分）函数 fn（x）=xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R） ． （1）若 n=﹣1，且 f﹣1（1）=f﹣1（ ）=4，试求实数 b，c 的值； （2）设 n=2，若对任意 x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4 恒成立，求 b 的取值范围； （3）当 n=1 时，已知 bx2+cx﹣a=0，设 g（x）= 对于区间 ，是否存在正数 a，使得
华师一附中高一上学期期中考试试卷含答案
数学试题第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数111y x=+的定义域为A ．{}1|-<x xB ．{}0|>x xC ．{}01|<<-x xD ．{}01|>-<x x x 或2. 设全集R U =，集合}21{>-=x x A ，}086{2<+-=x x x B ，则()UA B 等于A. [)4,1-B. )3,2(C.(]3,2D. )4,1(- 3．已知x x f lg )(3=，则)2(f 的值是A.2lgB. 8lgC. 2lg 31D. 81lg4.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-其中)0,0>>b a 的结果是 A ．a 9- B. C. D.5．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是．在区间)1,(-∞上是增函数的是 A ．11-=x y B. 2)1(--=x y C. xy 12= D.)1(log 2x y -=．)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的奇函数，且2)(5)(3)(++=x g x f x F ，若)(x F 在),0(+∞ )(x F 在)0,(-∞上最小值为A ．4+-bB ． 2+-bC ．2-bD ．2+b8．函数bx ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a9. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-)0()0(72)(21x x x x f x ，若1)(<a f ，则实数的取值范围是A ．)3,(--∞ B. ),1(+∞C. )1,3(- D. ),1()3,(+∞--∞10．若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)21,0(内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为A.)41,(--∞B. ),41(+∞-C. (0,＋∞)D. )21,(--∞二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。