2012年高考数学二轮名师精编精析(9)：三角函数的求值
2012年高考数学二轮专题测试 三角函数 解三角形 理
三角函数、解三角形 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．已知cos2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，0<x <π，则tan x 为( )A ．－43B ．－34C ．2D ．－2解析：∵cos2x cos x －sin x ＝cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝cos x ＋sin x ，∴cos x ＋sin x ＝15，两边平方可得1＋2sin x cos x ＝125，∴sin x cos x ＝－1225，∴π2<x <π，由⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＋sin x ＝15sin x cos x ＝－1225解得sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43.答案：A2．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )A.π6B.2π3 C.4π3D.11π6解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，将y ＝cos x 的图象向右平移2π3可得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象应将y ＝cos x 的图象左移φ＝2π－2π3＝4π3个单位．答案：C3．函数 f (x )＝sin x －2cos 2x2的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2B ．(0，π) C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4解析：f (x )＝sin x －2cos 2x2＝sin x －cos x －1＝2sin(x －π4)－1，由－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)得，f (x )增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)． ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4上递增． 答案：D4．(2011年某某省168中学第二次联考)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( )A ．{(0,0)}B ．{(π，0)，(0,0)}C ．{(k π，0)}(k ∈Z)D ．Ø解析：∵sin k π＝0，k ∈Z ，tan k π＝0，k ∈Z ，∴选C. 答案：C5．(2011年某某十二校联考)函数y ＝－12cos2x ＋sin x －12的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，1]C ．[－54，－1]D ．[－1，54]解析：y ＝－12cos2x ＋sin x －12＝－12(1－2sin 2x )＋sin x －12＝－12＋sin 2x ＋sin x －12＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54∵－1≤sin x ≤1∴当sin x ＝－12时，f (x )min ＝－54当sin x ＝1时，f (x )max ＝1，∴选B. 答案：B6．已知θ是第三象限角，|cos θ|＝m ，且sin θ2＋cos θ2>0，则cos θ2等于( )A.1＋m2B ．－1＋m2 C.1－m2D ．－1－m2解析：由题意知，cos θ＝－m ，θ2在第二象限，所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－m2， 故选D. 答案：D7．(2011年某某二诊)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如下图所示，则函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的递减区间是( )A ．[2kπ＋π4，2kπ＋5π4]，k ∈ZB ．[2kπ－π4，2kπ＋3π4]，k ∈ZC ．[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k ∈ZD ．[kπ－π4，kπ＋3π4]，k ∈Z解析：A ＝1，12T ＝7π8－3π8＝π2，T ＝π，∴T ＝2πω，ω＝2令x ＝3π8，∴3π8×2＋φ＝π23π4＋φ＝2π4，φ＝－π4，∴y ＝cos(2x －π4) 2kπ≤2x －π4≤π＋2kπ2kπ＋π4≤2x ≤5π4＋2kπkπ＋π8≤x ≤5π8＋kπ，k ∈Z∴单调减区间为[kπ＋π8，kπ＋5π8]，k ∈Z ，故选C.答案：C8．(2010年某某市南开中学模拟)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点为M (2,2)，与x 轴在原点右侧的第一个交点为N (5,0)，则函数 f (x )的解析式为( )A ．2sin(π6x ＋π6)B ．2sin(π3x －π6)C ．2sin(π6x －π6)D ．2sin(π3x ＋π6)解析：由最高点是(2,2)点排除C 、D 两个选择支，由图象在原点右侧第一个交点为(5,0)点，排除选择支B.故选A.答案：A9．函数 f (x )＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f (x )的图象的一条对称轴；③函数 f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( ) A ．①③B ．①② C ．②③D ．①②③解析：∵当π2≤x ≤5π8时，5π4≤2x ＋π4≤3π2，∴f (x )在[π2，5π8]上是减函数，故①正确．②∵f (π8)＝2sin(π4＋π4)＝2，故②正确．③y ＝2sin2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin2(x ＋π4)＝2cos2x ≠ f (x )，故③不正确．故选B. 答案：B10．(2012年某某市高中毕业班质量检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A.2B. 3C.32D ．2解析：A 、B 、C 成等差数列， ∴B ＝60°，由b sin B ＝asin A ，∴sin A ＝a sin Bb ＝1×323＝12，∴A ＝30°或A ＝150°(舍去) ∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32.答案：C11．(2012年某某市高三第一轮复习质量检测)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3 C.5π6D.2π3解析：由sin 2A －sin 2C ＝sin A sin B －sin 2B ， 则a 2－c 2＝ab －b 2，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.答案：B12．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D．2∶1解析：cos2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴csin C ＝b sin B ＝332＝2.故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2010年某某省“金太阳”百校大联考)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在第________象限．解析：由A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∴sin A >cos B同理sin B >cos A ∴点P 在第二象限．答案：二14．(2011年某某省苏北四市模拟题)已知直线x ＝π6是函数y ＝a sin x －b cos x 图象的一条对称轴，则函数y ＝b sin x －a cos x 图象的一条对称轴为________．解析：由已知，则12a －32b ＝±a 2＋b 2∴32b －12a ＝±a 2＋b 2 ∴x ＝π3是y ＝b sin x －a cos x 图象的一条对称轴．答案：x ＝π315．(2011年某某省苏北四市模拟)设函数 f (x )＝3sin θ3·x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈[0，5π6]，则导数f ′(－1)的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3sin θ·x 2＋cos θ·x ＋4∴f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin(θ－π6)＋4∵θ∈[0，5π6] ∴θ－π6∈[－π6，2π3]∴－12≤sin(θ－π6)≤1，∴f ′(－1)∈[3,6]． 答案：[3,6]16．(2010年某某省高三上学期质量检测)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________.解析：由3a ＝2c ·sin A ，则3sin A ＝2·sin C ·sin A ∴sin C ＝32， 又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝π3.答案：π3三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255，(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．解析：(1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45.又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)． ∴cos(α－β)＝2－452＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365. 18．(2011年黄冈3月质检)已知函数f (x )＝3sin(ωx )－2sin 2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x ∈[π2，3π4]时，求函数f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值． 解：f (x )＝3sin(ωx )－2·1－cos ωx2＝3sin(ωx )＋cos(ωx )－1＝2sin(ωx ＋π6)－1依题意函数f (x )的最小正周期为3π ，即2πω＝3π，解得ω＝23，所以f (x )＝2sin(23x＋π6)－1(1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x ＋π6≤2π3，所以，当sin(23x ＋π6)＝32时，f (x )最小值＝2×32－1＝3－1 (2)由f (C )＝2sin(2C 3＋π6)－1及f (C )＝1，得sin(2C 3＋π6)＝1而π6≤23C ＋π6≤5π6，所以23C ＋π6＝π2，解得C ＝π2在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝π2，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )2cos 2A －sin A －sin A ＝0，∴sin 2A ＋sin A －1＝0， 解得sin A ＝－1±52∵0<sin A <1，∴sin A ＝5－12. 19．据气象台预报，距S 岛300km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30km 的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270km 以内的地区将受到台风的影响．问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．分析：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化．S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270，这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过t 小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB .解析：如下图，设台风中心经过t 小时到达B 点，由题意：∠SAB ＝90°－30°＝60°，在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos∠SAB＝3002＋(30t )2－2·300·30t cos60°， 若S 岛受到台风影响，则应满足条件： |SB |≤270即SB 2≤2702化简整理得t 2－10t ＋19≤0 解之得5－6≤t ≤5＋6，所以从现在起，经过5－ 6 小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(小时)答：S 岛从现在起经过(5－6)小时受到台风影响，且持续时间为26小时． 20．(2010年某某高考)已知函数 f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin2x －14.(1)求函数 f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝ f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解析：(1) f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x ) ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8 ＝12cos2x －14， f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＝22cos(2x ＋π4)，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z)时，h (x )取得最大值22.h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝kx －π8，k ∈Z}．21．(2011年江南十校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求b ·c 的最大值及θ的取值X 围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．解：(1)bc ·cos θ＝8，b 2＋c 2－2bc cos θ＝42即b 2＋c 2＝32 又b 2＋c 2≥2bc所以bc ≤16，即bc 的最大值为16 即8cos θ≤16，所以cos θ≥12， 又0<θ<π，所以0<θ≤π3(2)f (θ)＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1因0<θ≤π3，所以π6<2θ＋π6≤5π6，12≤sin(2θ＋π6)≤1当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．(2011年某某某某一模)已知向最a ＝(sin(x ＋π2)，sin x )，b ＝(cos x ，－sin x )，函数 f (x )＝m ·(a ·b ＋3sin2x )(m ∈R 且m >0)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；(2)将函数 f (x )的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，然后再向右平移π6个单位得到g (x )的图象，试探讨：当x ∈[0，π]时，函数 g (x )与y ＝1的图象的交点个数．解析：(1)∵a ·b ＝sin(x ＋π2)cos x －sin x sin x ＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x ， ∴f (x )＝m ·(cos2x ＋3sin2x ) ＝2m sin(2x ＋π6)．∴T ＝π.(2)将函数 f (x )＝2m sin(2x ＋π6)的图象的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的两倍，得函数y ＝2m sin(x ＋π6)的图象，然后再向右平移π6个单位得到g (x )＝2m sin x 的图象，即g (x )＝2m sin x .∵m >0，∴当x ∈[0，π]时，函数 g (x )＝2m sin x ≤2m ， 则当m >12时，函数 g (x )与直线y ＝1的图象有2个交点；m ＝12时，有1个交点；0<m <12时，没有交点．。
从2012年江苏高考盘点三角函数中的求值问题
7 π ( o s π-2 θ) = -c o s 2 θ=2 s i nθ-1= - . +2 α) =c (2 9 3
2
π π 2 π 即 α= 则 +2 所 α= θ, θ, α=π-2 θ, 6 6 3
B. -
5 1
(
)
1 7 2. 5 0
在教材上也有类似的习题 , 如苏教版必修 4 第 2 3 页第 1 5
(
题目中涉及的单角逐 一 计 算 相 关 三 角 函 数 值 , 求解过程表明 该方法思维量小 , 计算量较大 . 解法二 : 因 为 α 为 锐 角, 即 0<α < π π , 所以 <α + 2 6
, 解法一可称之为三 角 函 数 中 的 “ 基 本 量 法” 求解时针对
的值 .
1 π 5 π 2 π , 求s = i n i n -x +s -x 4 6 6 3
π 2 π < . 6 3
由c o sα+
(
4 3 π π = 可得 s i n α+ = . 5 5 6 6
)
(
)
(
)
3 4 2 4 × = . 5 5 2 5
所以 s i n2 α+
(
π π π =2 s i n α+ c o s α+ =2× 3 6 6
)
(
) (
Hale Waihona Puke )3 1 α ( 则c 的值等 c o sα- β = , s i n o s α+β) - =- , 2 2 2 2 β ) 于( .
[(
) (
)]
的关系 , 其中的变角技巧是此解法的难点 所 在 , 需要考生有较 强的观察 、 配凑能力 , 部 分 考 生 反 映 在 此 处 思 维 受 阻, 导致无 功而返 . 有什么 样 的 办 法 可 以 不 去 刻 意 地 凑 形 呢 ? 此 时 我 们 想到了换元法 . 解法三 : 令α+ π π π 2 π , 则α= , = θ∈ θ- . 6 6 6 3
2012年高考数学二轮复习精品学案三角函数重点题型_归纳
三角函数重点题型归纳1、设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值.（1）求ϕ的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 23)(=A f ,求角C. 2、已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值.3、在△ABC 中，已知内角,32,3==BC A 边π设内角B =x ，周长为y .（Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式和定义域； （Ⅱ）求y 的最大值.4、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．5、在△ABC 中，135cos -=B ，54cos =C .(Ⅰ)求A sin 的值； (Ⅱ)求△ABC 的面积233=ABCS,求BC 的长. 6、（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b 。
7、设ABC ∆内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B 。
8、已知1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.(1) 求tan α的值; (2) 求()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.9、已知)(x f =, =(2cos x,cos x+sin x), =(sin x,cos x-sin x) (1)求)(x f 图象的对称中心坐标，对称轴方程； (2)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀2,0πx ，)(x f <m ，求实数m 的取值范围。
2012年高考数学二轮精品复习资料 专题04 三角函数(教师版)
2012届高考数学二轮复习资料 专题四 三角函数（教师版）【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:sin cos αα+,sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换:22sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()22αβαβααββ+-=+-=+;(5)公式变形:21cos 2cos2αα+=,21cos 2sin 2αα-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;(6)构造辅助角(以特殊角为主):sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点；(2)给出sin()y A x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破; (3)求对称轴方程:令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈,求对称中心:令x ωϕ+=k π()k Z ∈; (4)求单调区间:分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式； (2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化. 【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值故f (x )的定义域为.Z ,2|R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ（Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=a a从而)2sin()42cos(21)(ππ+-+=a a a f ＝a a a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++＝.514)sin (cos 2=+a a 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键. 练习1:（2011年高考某某卷文科9)若α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于( ) A.22 B. 33C. 2D. 3【答案】D【解析】因为α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=, 即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan 3α=选D.考点2 考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题.【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习2.(2011年高考某某卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f6【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T wπ=，所以2w =，由五点作图法知：23πφπ⨯+=，解得3πφ=，又A=2，所以函数()2)3f x x π=+，所以(0)f =6232π=考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.（2009年高考某某卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【解析】【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力. 【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习3.（某某市十二区县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分） 已知向量2(3sin,1),(cos ,cos )444x x xm n ==，()f x m n =⋅． （I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 求函数()f A 的取值X 围.【解析】（I ）()f x m n =⋅=23cos cos 444x x x +----------------1分=311cos 2222x x ++----------------3分 =1sin()262x π++----------------4分∵()1f x =∴1sin()262x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12-------6分 （II ）∵(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=-----------------8分 ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -= ∴2sin cos sin()A B B C =+-----------------9分∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π=----------------10分∴203A π<<----------------11分∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+<----------------12分∴131sin()2622A π<++<∴()f A =1sin()262A π++3(1,)2∈---13分考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 例4. (2011年高考某某卷文科16)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，3212cos()0B C ++=，求边BC 上的高. 【解析】∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 22sin 23b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()22222=⨯+=. 【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.练习4.（2011年高考某某卷文科17)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （I ） 求sin sin CA的值；（II ） 若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A BC C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.【易错专区】问题：三角函数的图象变换例.(2011年高考全国卷理科5)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C 【解析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-=, 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意x 的系数. 【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法. 【考题回放】1. (2011年高考某某卷理科3)若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为( )（A ） 【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D. 2. (2011年高考某某卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在【答案】C.【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()sin(2)6f x x π=+，由7222262k x k πππππ-++，得563k x k ππππ--，故选C.4.(2011年高考某某卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin AsinB+bcos 22a 则ba=（ ） (A) 23 (B) 22 (C) 3 2【答案】 D【解析】由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 22sinA ，即sinB （sin 2A+cos 2A ）2sinA ， 故2sinA ，所以2ba= 5.(2011年高考某某卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79【答案】A【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6.(2011年高考某某卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ）（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9-【答案】 C 【解析】()()2442βππβαα+=+--cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--sin()sin()442ππβα+++1333399=⨯+==, 故选C. 7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ） A 54-B 53-C 32D 43【答案】B【解析】因为该直线的斜率是θtan 2==k ，所以，53tan 1tan 1cos 22-=+-=θθθ. 8. (2011年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） （A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A【解析】函数解析式可化为)4sin(2)(πϕω++=x x f ，2,2=∴=ωπωπT又因为该函数是偶函数，所以，x x f 2cos 2)(4=∴=πϕ，所以，该函数在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是减函数。
2012年高考数学 二轮专题复习 专题11第9讲 解析几何课件
(5)一般式：任何直线均可写成 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时 为 0)的形式．
特别提醒 忽视直线方程五种形式的局限性
(1)点斜式和斜截式不适用于斜率不存在的直线；(2)两点式
不包括垂直于坐标轴的直线；(3)截距式不包括垂直于坐标 轴的直线和过原点的直线；(4)任何直线均可写成 Ax＋By＋ C＝0 的形式，但 A，B 不同时为 0.
3．直线的方程 (1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为 k，则直线方 程为 y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于 x 轴的直线． (2)斜截式：已知直线在 y 轴上的截距为 b，斜率为 k，则直 线方程为 y＝kx＋b，它不包括垂直于 x 轴的直线． (3)两点式：已知直线经过 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，则直 线方程为yy2－－yy11＝xx2－－xx11，它不包括垂直于坐标轴的直线． (4)截距式：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a，b，则直 线方程为xa＋by＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点 的直线．
2 2.
∴两平行直线之间的距离的最大值和最小值分别是 22，12.
6．设抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点为 F，点 A(0,2)，若线段 FA
的中点 B 在抛物线上，则点 B 到该抛物线准线的距离为
3 __4___2___． 解析 由已知得 B 点的纵坐标为 1，横坐 标为p4，即 Bp4，1，将其代入 y2＝2px 得 1 ＝2p×p4，解得 p＝ 2，则 B 点到准线的距 离为p2＋p4＝34p＝34 2.
2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））sin47sin17cos30cos17-（）A．2-B．12-C．12D．22 ．（2012年高考（浙江文））把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是3 ．（2012年高考（天津文））将函数()sin(0)f x xωω=>的图像向右平移4π个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则ω的最小值是（）A．13B．1 C．53D．24 ．（2012年高考（四川文））如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使1AE=,连接EC、ED则sin CED∠=（）A B C D5 ．（2012年高考（上海文））在ABC∆中,若BA222sinsinsin<+（）A．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形. D．不能确定.6 ．（2012年高考（陕西文））设向量a=(1.cosθ)与b=(-1, 2cosθ)垂直,则cos2θ等于A2B12C．0 D．-17 ．（2012年高考（山东文））函数2sin(09)63xy xππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（）A．2B．0 C．-1 D．1--8 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α= （ ）A ．-1B ．-C D ．19 ．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()s i n()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π410．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）A ．-34B ．34C ．-43D ．4311．（2012年高考（湖南文））在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ）A B 33C 36+D 12．（2012年高考（湖北文））设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为 （ ）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶413．（2012年高考（广东文））(解三角形)在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC = （ ）A ．B ．CD 14．（2012年高考（福建文））函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-15．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α= （ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225 D ．242516．（2012年高考（大纲文））若函数[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ= （ ）A ．2π B ．23π C ．32π D ．53π17．（2012年高考（安徽文））要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 二、填空题18．（2012年高考（重庆文））设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1cos 4a b C ==1，=2，,则sin B =____ 19．（2012年高考（陕西文））在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6π则b=______ 20．（2012年高考（福建文））在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒,则AC =_______.21．（2012年高考（大纲文））当函数sin (02)y x x x π=≤<取最大值时,x =____.22．（2012年高考（北京文））在△ABC 中,若3a =,3b =3A π∠=,则C ∠的大小为___________.三、解答题23．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,A ωπϕπ>>-<< )在6x π=处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π(I)求()f x 的解析式; (II)求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域.24．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(1)求角B 的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c 的值.25．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的分别是,,a b c .已知2,,cos 4a c A ==-.(I)求sin C 和b 的值; (II)求cos(2)3A π+的值.26．（2012年高考（四川文））已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()f α=求sin 2α的值.27．（2012年高考（上海文））海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为t 7.(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?28．（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.29．（2012年高考（山东文））(本小题满分12分)在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证:,,a b c 成等比数列;(Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .30．（2012年高考（辽宁文））在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.31．（2012年高考（课标文））已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边,sin sin c C c A -. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,ABC ∆求b ,c .32．（2012年高考（江西文））△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA;(2)若a=3,△ABC 的面积为22求b,c.33．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.34．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈ (1) 求函数()f x 的最小正周期; (2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.35．（2012年高考（广东文））(三角函数)已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+⎪⎝⎭,x ∈R ,且3f π⎛⎫⎪⎝⎭(Ⅰ)求A 的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.36．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.37．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,内角A.B.C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .38．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.39．（2012年高考（安徽文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2s i n c o s s i n c o s c o s sB A AC A C =+ (Ⅰ)求角A 的大小;(II) 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长.2012年高考文科数学解析分类汇编：三角函数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x 轴上的伸缩变换,在x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭,选A. 3. 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ,因为此时函数过点)0,43(π,所以0)443(sin =-ππω,即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2,选D.4. [答案]B1010cos 1sin 10103ECED 2CD-EC ED CED cos 1CD 5CB AB EA EC 2AD AE ED 11AE ][22222222=∠-=∠=∙+=∠∴==++==+=∴=CED CED ）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5. [解析] 由条件结合正弦定理,得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选A.6. 解析:0a b ⋅=,212cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C.7. 解析:由90≤≤x 可知67363ππππ≤-≤-x ,可知]1,23[)36sin(-∈-ππx ,则2sin [63x y ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,则最大值与最小值之和为2答案应选A.8. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.【解析】由题设知,πω=544ππ-,∴ω=1,∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈), ∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈),∵0ϕπ<<,∴ϕ=4π,故选A.10. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果. 11. 【答案】B【解析】设AB c =,在△ABC 中,由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅,即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯,2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ,由三角形面积公式11sin 22ABC S AB BC B BC h == ,知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯ ,解得2h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.12. D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数,且>>A B C ,可得a b c >>,所以2,1=+=+a c b c ①;又因为已知320cos =b a A ,所以3cos 20bA a=②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc③,则由②③可得2223202b b c aa b c +-=④,联立①④,得2713600--=c c ,解得4=c 或157=-c (舍去),则6=a ,5=b .故由正弦定理可得,sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.13.解析:B.由正弦定理,可得sin 45sin60AC BC=︒︒,所以2AC == 14. 【答案】C【解析】把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 15.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.【解析】因为α为第二象限角,故cos 0α<,而3sin 5α=,故4cos 5α==-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.16.答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,. 【解析】由[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知,y 轴是函数()f x 图像的对称轴,而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈,而[]0,2ϕπ∈,故0k =时,32πϕ=,故选答案C. 17. 【解析】选C cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1,平移12二、填空题 18. 【答案】【解析】11,2,cos 4a b C ===,由余弦定理得22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=,则2c =,即B C=,故sin B ==. 【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.19.解析:由余弦定理得,2222cos 4b a c ac B =+-=,所以2b =. 20.【解析】由正弦定理得sin 45sin 60AC AC =⇒=︒︒【考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力.21.答案:56π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π==-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.22. 【答案】2π【解析】222cos 232b c a A c bc+-=⇒=而sin sin c a C A =,故sin 12C C π=⇒=. 【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案.三、解答题23. 【答案】:(Ⅰ)6πϕ=(Ⅱ)775[1,)(,]4422231cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈,且21cos 2x ≠故()g x 的值域为775[1,)(,]44224. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基知识、基本技能的掌握情况.【解析】(1) bsinA=acosB,由正弦定理可得sin sin cos B A A B =,即得tan B =3B π∴=.(2)sinC=2sinA,由正弦定理得2c a=,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,229422cos3a a a a π=+-⋅,解得a =2c a ∴==25.解:(1)在ABC ∆中,由cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及2a =,c =可得sin 4C =由22222cos 20a b c bc A b b =+-⇒+-=,因为0b >,故解得1b =.所以sin 14C b == (2)由2cos 4A =-,sin 4A =,得23cos 22cos 14A A =-=-,7sin 2sin cos A A A ==所以321cos(2)cos 2cossin 2sin333A A A πππ-++=-=26. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4x cos 22π+= 所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-=257251814cos 212=-=+-=）（πα, [点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.27. [解](1)5.0=t 时,P 的横坐标x P =77=t,代入抛物线方程24912x y = 中,得P 的纵坐标y P =3 由|AP |=2949,得救援船速度的大小为949海里/时由tan∠OAP =30712327=+,得∠OAP =arctan 307,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=tt v因为2212≥+t t ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v .因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船28.29.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=,sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =,再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.(II)若1,2a c ==,则22b ac ==,∴2223cos 24a cb B ac +-==,sin C ==,∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=. 30. 【答案与解析】(1)由已知12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴ (2)解法一:2=b ac ,由正弦定理得23sin sin =sin =4A CB 解法二:2=b ac ,222221+-+-=cos ==222a c b a c acB ac ac,由此得22+-=,a c ac ac 得=a c所以===3A B C π,3sin sin =4A C 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.31. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.【解析】(Ⅰ)由sin sin c C c A =-及正弦定理得sin sin sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠,所以1sin()62A π-=, 又0A π<<,故3A π=.(Ⅱ) ABC ∆的面积S =1sin 2bc A 3故bc =4, 而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8,解得b c ==2. 法二:解: 已知:A c C a c cos sin 3⋅-⋅=,由正弦定理得:A C C A C cos sin sin sin 3sin ⋅-⋅=因0sin ≠C ,所以:A A cos sin 31-=,由公式:()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=>++=+2,tan ,0sin cos sin 22πϕϕϕa b a x b a x b x a 得:216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA , A 是∆的内角,所以66ππ=-A ,所以:3π=A(2) 1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=解得:2b c ==32. 【解析】(1)3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=-=-+=--=-则1cos 3A =. (2) 由(1)得sin 3A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 33. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上,所以s i n 1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-sin 2x x =2sin(2),3x π=- 由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.34. 【解析】(1)因为22()sin cos cos cos 222sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-++=-+由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 26264πππλ=-⨯-=-=,即2λ=-故5()2sin()236f x x π=--函数()f x 的值域为[22,2.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.35.解析:(Ⅰ)1cos cos 34364f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2A =. (Ⅱ)4143042cos 42cos 2sin 3436217f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以15sin 17α=.212842cos 42cos 34365f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以4cos 5β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以8c o s n17α=,3sin 5β=,所以()8415313c o s c os c o s s i n s i n 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 36. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sin cos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++-22333sin cos 444αα=+= 37. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题格,依然是通过边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角B ,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案.【解析】由A.B.C 成等差数列可得2B A C =+,而A B C π++=,故33B B ππ=⇒=且23C A π=- 而由223b ac=与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin 3sin()sin 33B AC A A ππ=⇒⨯=- 所以可得232223(s 433A A Aππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)262A A A π-+=⇒-=,由27023666A A ππππ<<⇒-<-<,故 266A ππ-=或5266A ππ-=,于是可得到6A π=或2A π=.38. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈. 因为(s()sin x xxf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --=)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==.(2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈.由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 39. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23A A π⇔=⇔=(II)2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔==+⇒=在Rt ABD ∆中,AD ===。
2012届高考数学 专题九第3讲 1三角函数复习课件 理
2分
6分
1 π 1 (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝ [1＋cos(2x＋ )]＋1＋ sin 2x ＝ ＋ ＝2 ＋ ＋ 6 ＋ ＋2 1 π 3 1 3 1 3 ＝2[cos(2x＋ 6)＋sin 2x]＋2＝2( 2 cos 2x＋2sin 2x)＋2 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 1 π 3 ＝ sin(2x＋ )＋ . ＋ ＋ 2 3 2 10 分
分类突破
热点一 三角函数图象及性质 π 1 例 1 已知函数 f(x)＝cos (x＋ )，g(x)＝1＋ sin 2x. ＝ ＋ ， ＝ ＋ 12 2 (1)设 x＝x0 是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴，求 g(x0)的值； 图象的一条对称轴， 的值； 设 ＝ ＝ 图象的一条对称轴 的值
2
12 分
构建答题模板 第一步：实现边角互化．(本题边化角) 第二步：三角变换，化简、消元，从而向已知角转化． 第三步：代入求值． 第四步：反思回顾，检查公式是否用错．
[归纳拓展 在处理边角关系时要灵活运用正、余弦定理，把题 归纳拓展] 在处理边角关系时要灵活运用正、余弦定理， 归纳拓展 设中的角或边统一，因此边角条件在整合时要灵活，细心到位． 设中的角或边统一，因此边角条件在整合时要灵活，细心到位．
§1
三角函数
[考情解读 三角函数、 考情解读] 三角函数、 平面向量和三角形中的正、 考情解读 平面向量和三角形中的正、 余弦定理相 互交织，是高考中考查的热点．纵观近几年来的高考试题， 互交织，是高考中考查的热点．纵观近几年来的高考试题，许 多新颖别致的三角函数解答题就是以此为出发点设计的， 多新颖别致的三角函数解答题就是以此为出发点设计的，在这 类问题中平面向量往往只是起到“包装”的作用， 类问题中平面向量往往只是起到“包装”的作用，实质考查考 生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理进行解 生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、 决问题的能力． 解决这类问题的基本思路是“脱掉向量的外衣， 决问题的能力． 解决这类问题的基本思路是“脱掉向量的外衣， 抓住问题的实质，灵活地实现问题的转化， 抓住问题的实质，灵活地实现问题的转化，选择合理的解决方 法”，在解题过程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活 注意题目中隐含的各种限制条件，做到推理严谨、 性，注意题目中隐含的各种限制条件，做到推理严谨、计算准 表达确切，为顺利解答后面的题目提供充分的信心． 确、表达确切，为顺利解答后面的题目提供充分的信心．
2012高考数学精英备考专题讲座 第二讲三角函数与平面向量 第一节三角函数的化简、求值及证明 文
〖第一节 三角函数的化简、求值及证明〗之小船创作三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点. 它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间. 提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能.考试要求 ⑴理解同角三角函数的基本关系式；（2）会推导两角和与差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.题型一 已知三角函数的值求角问题¸例1 （１）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =（ ）．Ａ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ （２）若),0(,πβα∈，31tan ,507cos -=-=βα，求α+2β= .点拨 本题（１）应先利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理求角A . 题（２）首先应求α+2β的函数值，为了使角的范围好控制，这里选用正切值好一点，然后根据条件依次找出所需的条件，要注意角的范围. 解三角形的问题关键是灵活运用正弦定理和余弦定理，正确进行边化角、角化边，探寻解答. 题（２）最困难的地方在于确定α+2β的范围，一般地，根据已知条件，把角的范围限制得越精确，结果也越准确.解（１）由sin C B =及正弦定理，得c =，代入22a b -=，得2226a b b -=⋅=，即227a b =，又2212c b =，（为什么从角化边入手？）由余弦定理222222cos 2b c a A bc +-====，（选用余弦定理合理否？）所以30A =︒．故选Ａ．（２）∵),0(,πβα∈，507cos -=α，∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β ∴),65(,ππβα∈，（为什么要把角的范围定得这样精确？） α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ, ∴12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,∴α+2β=411π.易错点 题（１）记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是正确的，如果选用正弦定理求角就不合理，一是出现2个角，二是要讨论舍弃1个角，更容易出错；题（２）中，角的范围容易忽略或放大，导致错误. 变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα=17，sinβ=1010,求2α+β的值.题型二 三角函数化简、求值问题例2 （2011江西卷文科第17题）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边是a ,b ,c ,已知3cos cos cos a A c B b C =+ （1）求cos A 的值（2）若a =1, 23cos cos 3B C +=,求边c 的值.（2）由332cos cos =+C B332cos )cos(=+--C C A π展开易得： 正弦定理：23sin sin =⇒=c C c A a易错点 本题涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查, 不知道利用A B C π++=将已知条件cos cos B C +=中的角化成同角,从而利用恒等变形得出sin C .再由正弦定理求出c变式与引申2：（2011江西卷文理科科第17题）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值. 题型三 三角函数的取值范围问题例3 ．已知函数2()(1cot )sin 2sin()sin()44f x x x x x ππ=+-+-. （1）若tan 2α=，求()f α；（2）若[,]122x ππ∈，求()f x 的取值范围. 点 拨 通过“切化弦”，“降次”等手段，再利用万能公式或“齐次式”可解决第（1）题；第（2）题则首先化为一个三角函数的形式，再根据角的范围来求()f x 的取值范围. 解：（1）2()sin sin cos cos 2f x x x x x =++1cos 21sin 2cos 222x x x -=++ 11(sin 2cos 2)22x x =++， 由tan 2α=得2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++， 222222cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5ααααααα--===-++，所以3()5f α=.（2）由（1）得111()(sin 2cos 2))22242f x x x x π=++=++由[,]122x ππ∈得552[,]4124x πππ+∈，所以sin(2)[42x π+∈-从而11()sin(2)[0,2422f x x π+=++∈. 其它解法思路：题（1）有以下解法:22222cos sin cos 1tan ()sin sin cos cos 2,sin cos tan 1x x x x f x x x x x x x x ++=++==++ 故21tan 3().tan 15f ααα+==+ 易错点 记错二倍角或万能公式；不会在区间55[,]124ππ上，联系三角函数图像求函数的取值范围；或运用公式不合理，产生错误.例如用tan 2α=，去求sin ,cos αα，容易出现符号处理带来的麻烦等等.变式与引申3：已知向量),(b c a +=，),(a b c a --=，且m n ⊥，其中A 、B 、C 是∆ABC 的内角，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边．（1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin +的取值范围．题型四 三角函数化简、求值的综合应用例4 已知角,,A B C 是三角形的ABC ∆三内角，向量(m =-,(cos ,sin )n A A =,1m n ⋅=， 且221sin 2cos sin 3BB B +-=-.（1）求角A ； （2）求tan C ；（3）若AC 边的长为，求ABC ∆的面积S ．点拨 本题难在第（2）题，若整理成关于角B 的二次式或齐次式，运算则相对简单；第（3）题也要注意选择运算简单的思路.解（1）∵1m n ⋅=, ∴()(cos ,sin 1A A -⋅= , cos 1A A -=.122(sin cos )1A A ⋅=,162sin()A π-=. ∵0A π<<,∴5666A πππ-<-<,∴66A ππ-=, ∴3A π=. （2）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B +=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=，∴cos 0B ≠,∴2tan tan 20B B --=.∴tan 2B =或tan 1B =-.而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.∴tan tan tan tan[()]tan()1tan tan A BC A B A B A B π+=-+=-+=-==-.（3）由（1）知， 得sin A =又tan 2B =，故sin B B ==（舍去负值，为什么？）, 由正弦定理sin sin AC BC B A =，∴sin 15sin 4A BC ACB =⋅=.∴1sin sin[()]sin()2C A B A B π=-+=+==.故三角形的面积190216sin S AC BC C +=⋅=. 易错点：一是本题有点运算量,很容易由于选择的解法运算繁琐而算错；二是不会根据条件回避讨论.由角的范围或其它隐含条件去讨论甄别函数值至关重要，也很容易出错． 其它解法思路：化简2212sin cos 3cos sin B B B B+=--时，也有很多的思路，如： ⑴由2(sin cos )sin cos 3(cos sin )(sin cos )cos sin B B B B B B B B B B++==--+-,得tan 2B =； ⑵由222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan 3,cos sin 1tan B B B B B B B B B++++==---得tan 2B =等.变式与引申4：在例4题（3）中，若内角A，B，C的对边分求边c的长.别为a、b、c，且本节主要考查⑴三角函数的公式及其在化简、求值和证明中的运用；⑵ 恒等变换的能力和运算能力；⑶三角形中的边、角、面积等关系（正余弦定理）；（4）等价转化的数学思想方法等等.点评高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出.因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.本节涉及的知识与技能主要有:（1）三角函数式的化简问题，在最后所得到的结果中，要求所含函数和角的名称或种类最少,三角函数名称尽可能统一，各项的次数尽可能地低，出现的项数最少，一般应使分母和根号不含三角函数式，对能求出具体数值的，要求出值.（2）三角函数的求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型，求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形.在化简和求值中，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围尤其要注意讨论.（3）证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式.证明时常用的方法有：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边同等于同一个式子；③证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立；④分析法等.（4）近年的考纲明确提出要加强对正余弦定理的考查，且常结合三角形内的三角恒等变换进行考查．解三角形这类题目的解答程序是：一是看方向（是从角化边入手还是边化角入手）；二是用定理（合理且灵活运用正弦定理和余弦定理）；三是定答案（根据取值范围讨论并确定答案）.还要特别注意三角形中三个角A、B、C，三条边a、b、c，中线m a，角平分线AD，外接圆半径R，内切圆半径r，三角形面积S之间的关系和三角形的形状.（5）三角函数的综合问题常常与向量，二次函数等有关，但着力点还是三角知识，尤其是利用二倍角公式、“切化弦”、同角三角函数的基本关系、两角和与差等进行恒等变形，是高考考查的重中之重.解答这类综合问题的原则是三点：降次——化次数较高的三角式为次数较低的三角式；减元——化多种三角函数为单一的三角函数；变角——化多角的三角函数为单角的三角函数.还要特别注意：①1的变化：22221sin cos tan cot cos 22sin 2cos cos 2x x x x x x x x =+=⋅=+=- ②角的变化：()()()(),2,2,βαβαααβαβαβαβα=+-=++--=-+ ③化切为弦、升幂公式、降幂公式的合理运用；④在理解的基础上熟记和灵活运用各种公式，包括正用公式、反用公式和变用公式.习题2－11. 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，则函数y =10432log 21++x x 的最小值为( ).A.28 B.52 C.12- D.22. △ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a )，→n ＝(cosA ，－cosC )，且→m ⊥→n ．则当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋6)取最大值时，角B 的大小为 ．【答案】变式与引申1：由已知0<2α+β<23π, 求得cos (2α+β)=22或tan(2α+β)=1.得2α+β=4π. 变式与引申2：解：（1）已知2sin 1cos sin C C C -=+ 整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C 又C 为ABC ∆中的角，02sin ≠∴C （2）()8422-+=+b a b a又47sin 1cos 2=-=C C ，17cos 222-=-+=∴C ab b a c变式与引申3：（1）由0=⋅得ab c b a a b b c a c a =-+⇒=-+-+2220)())((, 由余弦定理2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C , 又π<<C 0，则3π=C .（2）由（1）得3π=C ，则32π=+B A ,)6sin(3cos 23sin 23)32sin(sin sin sin ππ+=+=-+=+A A A A A B A , 320π<<A , 6566πππ<+<∴A , 1)6sin(21≤+<∴πA , 3)6sin(323<+<∴πA , 即B A sin sin +得取值范围是]3,23[. 变式与引申4：由余弦定理, 2222222cos ,2cos ,a b c bc A a b ac B c -=--=-故222cos 2cos ,c bc A ac B c -=-消去c ,再把由题（Ⅲ）中得出的5cos 5B =,1cos 2A =,和已知15(1)2a b =-代入,得c =1.习题2－11.答案:B .解：设u =sin α+cos β，则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t . 2. 答案: B ＝3. 解：由→m ⊥→n ，得→m ·→n ＝0，从而(2b －c )cosA －acosC ＝0， 由正弦定理得2sin BcosA －sin CcosA －sin AcosC ＝0, ∴2s in BcosA －sin(A ＋C )＝0，2sin BcosA －sin B ＝0，∵A 、B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，cosA ＝12，故A ＝3. y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋6)＝(1－cos 2B )＋sin2Bcos 6＋cos 2B sin 6 ＝1＋32sin2B －12 cos 2B ＝1＋sin(2B －6).由A ＝3得0＜B ＜23，－6＜2B －6＜76，∴当2B －6＝2，即B ＝3时，y 取最大值2.代入得2sin 22sin 1tan x xx +-=2875-.4．（1）βαβαβααβsin sin cos 2sin 21)cos(sin sin 2-=+=，ααααββ2cos 32sin sin 222sincos sin 2-=+=∴；（2）2222sin cos sin cos sin cos 2tan 2(1cos 2)1sin 2sin cos 22si co 4n s ααααααβαααααα===≤=+-++(ta n α2时取等号).故tan β2。
广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件：专题2 第09课时 三角函数的性质
解析 1 f x (sinx cosx)2 2cos2x
sin2x cos2x sin2x 1 cos2x
sin2x cos2x 2
2sin(2x ) 2.
4
依题意得 2 2 ，故的值为 3 .
2 3
2
第十三页，编辑于星期日：九点 三十五分。
2
2
所以f x在[0，p)上的单调递减区间是[ ， )．
2
第二十二页，编辑于星期日：九点 三十五分。
3由f ( ) 2 10 ，得sin cos 2 10 ，
5
2
25
所以1 sin 8，所以sin 3.
5
5
又 (0， )，
2
所以cos 1 sin2 1 9 4，
25 5
换和三角变换，要注意函数有意义的条件及正、余弦 函数的有界性．
(2)含参数函数的最值问题，要注意参数的作 用和影响．
第三十页，编辑于星期日：九点 三十五分。
4．研究函数y Asin(x )的性质的方法：类 比于研究y sinx的性质，只需将y Asin(x )中的 x 看成y sinx中的x.但在求y Asin(x )的单 调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式
专题二 三角函数
第一页，编辑于星期日：九点 三十五分。
考点1 定义域与值域
例1 已知函数f x log2[
2sin(2x )]．求：
3
1函数f x的定义域；
2满足f x 0的x值的集合；
3函数f x的值域．
切入点：转化为基本函数y sinx的定义域、零点 进行求解．
第二页，编辑于星期日：九点 三十五分。
2
22
2012年高考数学真题解答题：三角函数
2012年高考真题解答题：三角函数（文科）1．（2012.x ∈R （1）求A 的值； （2）设，，，求cos （α＋β）的值. 2．（2012.天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b ，c 。
已知a=2，（I ）求sinC 和b 的值；（II3．（2012.大纲卷）△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223=b ac ，求A 。
4．（2012.浙江）在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且。
（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。
角A，B，C成等差5．（2012.辽宁）在ABC数列。
(Ⅰ)求cos B的值；A C的值。
(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sin sin6．（2012.福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论7．（2012.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期 （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间。
8．（2012.山东）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知s i n (t a n t a n )t a n B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S.9．（2012. 新课标卷）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆的面积为，求b ，c .10．（2012.江苏）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2A 的值．11．（2012.重庆）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<< ）在2，I ）求()fx 的解析式；（II12．（2012.江西）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求c o s A （2）若3a =，△ABC 的面积为求b c 、13．（2012.四川）(本小题满分12分) （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；，求sin 2α的值。
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第九讲 三角函数的求值
★★★高考在考什么 【考题回放】 1．
（海南）若
cos 2π2sin 4αα=-
⎛⎫
- ⎪
⎝
⎭cos sin αα+的值为（C ）
Ａ． Ｂ．12
-
Ｃ．
12
2．（天津）“2π3θ=
”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
”的（A ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
3. 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,
0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ （ D ）
（A ）
6
π （B ）
4
π （C ）
3π （D ）
2
π 4．（江苏）若1cos()5αβ+=
，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=
__1
2___ 5．（浙江）已知1sin cos 5θθ+=
，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是7
25
- 6．已知函数f (x )＝－3sin 2
x ＋sin x cos x ．
(Ⅰ) 求f (
256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41
－2
，求sin α的值．
解：(Ⅰ) 25125sin ,cos 626ππ==
225252525()sin cos 06666
f ππππ∴=+=
(Ⅱ) 1()2sin 22f x x x =+
，11()sin 224f ααα∴=+=011sin 4sin 162=-α-α 解得8
5
31sin ±=α
0sin ),0(>α∴π∈α 8
5
31sin +=∴a
★★★高考要考什么 【考点透视】
本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.
【热点透析】
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍
★★★突破重难点
【范例1】设0≤θ≤π,P=sin2θ+sin θ-cos θ
（1） 若t= sin θ-cos θ,用含t 的式子表示P; （2） 确定t 的取值范围，并求出P 的最大值.
解析（1）由sin cos ,t θθ-＝有2
12sin cos 1sin 2.t θθθ=-=- 222sin 21,1 1.t P t t t t θ∴=-∴=-+=-++
（2）sin cos ).4t πθθθ-=
- ＝ 30,44 4.
πππ
θπθ≤≤∴-≤-≤
sin() 1.
4π
θ≤-≤即t 的取值范围是1t -≤≤
2215()1(),24P t t t t =-++=--+在1[1,]2-内是增函数，在1
[2
内是减函数.
P ∴的最大值是5
.4
【点晴】sin cos ,sin cos θθθθ±间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”．
【范例2】已知0αβπ<<
4，为()cos 2f x x π⎛
⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，a (cos 2)α=，b ，且 a b m =．求22cos sin 2()
cos sin ααβαα
++-的值．
解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫
=+
- ⎪⎝
⎭
a b ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛
⎫
+=+ ⎪⎝⎭
·． 由于π
04
α<<
，所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)
cos sin cos sin ααβαααααα++++=--
22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα
++==--
1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m αα
ααα+⎛
⎫==+=+ ⎪-⎝
⎭·
【范例3】设2()6cos 2f x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-4
tan 5
α的值．
解：（Ⅰ）1cos 2()6
22
x
f x x +=
3cos223x x =+
1
2sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭
236x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭．
故()f x 的最大值为3； 最小正周期22
T π
=
=π．
（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭．
又由02απ<<
得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得5
12α=
π．
从而4tan tan 53
απ
==．
【范例4】已知ABC ∆的面积S 3,S ≤≤且6,AB BC ⋅=
AB 与BC 的夹角为θ. (1) 求θ的取值范围；
(2) 求函数22()sin 2sin cos 3cos f θθθθθ=+⋅+的最小值.
解： （1）由题意知，||||cos 6,AB BC AB BC θ⋅=⋅=
①
11||||sin()||||sin 22
S AB BC AB BC πθθ=⋅⋅-=⋅⋅
②
由②÷①，得1tan ,62S θ=即3tan .S θ=3,S ≤≤tan 1.θ≤≤
又θ为AB 与BC 的夹角，[0,],θπ∈ [,].64
ππ
θ∴∈
（2）22()sin 2sin cos 3cos f θθθθθ=+⋅+
＝1sin 2cos 22),4
π
θθθ++=+
73[,].2[,].644124πππππθθ∈∴+∈
32,44ππθ∴+=即4
πθ=时，()f θ的最小值为3
【范例5】已知函数2
π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
又ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∵，ππ2π
2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛
⎫
+- ⎪⎝⎭≤≤，
max min ()3()2f x f x ==，∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．
【变式】已知f （x ）=2a sin 2
x －22a sin x +a +b 的定义域是［0,
2
π
］，值域是［－5，1］,求a 、b 的值. 解析 令sin x =t ，∵x ∈［0，
2
π］，∴t ∈［0，1］， f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －2
2）2
+b .
当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，
15b a b 解之得a =6，b =－5.
当a ＜0时，则⎩
⎨⎧-=+=，，
51b a b 解之得a =－6，b =1.
【点睛】注意讨论的思想。