江苏省南京一中等五校联考高考数学四模试卷(含解析)

江苏省南京一中等五校联考2015届高考数学四模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．（5分）已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．（5分）若复数是纯虚数，则实数a的值为．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，2014-2015学年高一年级有30名，2014-2015学年高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为．4．（5分）执行如图的流程图，得到的结果是．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为．6．（5分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．7．（5分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．8．（5分）直线l过点（﹣1，0），且与直线3x+y﹣1=0垂直，直线l与圆C：（x﹣2）2+y2=1交于M、N两点，则MN=．9．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．10．（5分）函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈[﹣，0]）的最大值为．11．（5分）已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是．14．（5分）各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有项．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点M（，），且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a=13，f（A）=，f（B）=，求△ABC的面积．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．17．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限的点．①若M为线段BF1上一点，且满足=•，求直线OP的斜率；②设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，求证：+为定值，并求出该定值．18．（15分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求⊙P的半径（用θ表示）；（2）求⊙Q的半径的最大值．19．（16分）已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足|a n+1﹣a n|=2，b=4b，且a1=1，b1=﹣1．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数r（r∈N*），使得c r+1＜c r，称数列{c n}为“梦r数列”；设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，①若数列{a n}为“梦5数列”，求S n；②若{a n}为“梦r1数列”，{b n}为“梦r2数列”，是否存在正整数m，使得S m+1=T m，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．【选做题】请考生在四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-1几何证明选讲】21．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：AD•DE=2PB2．【选修4-2矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=（1）求A﹣1；（2）满足AX=A﹣1二阶矩阵X．【选修4-4坐标系与参数方程选讲】23．已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．【不等式选讲】24．已知实数x，y，z满足3x+2y+z=1，求x2+2y2+3z2的最小值．【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AA1=AC=4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，（1）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．26．（10分）（1）证明：①C+C=C；②C=2C（其中n，r∈N*，0≤r≤n﹣1）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设2n+1局，每局比赛甲获胜的概率均为p（p＞），首先赢满n+1局者获胜（n∈N*）．①若n=2，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）．江苏省南京一中等五校联考2015届高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．（5分）已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=（0，1）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：N={x|lg（2x+1）＞0}={x|2x+1＞1}={x|x＞0}，∵M={x|x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故答案为：（0，1）点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若复数是纯虚数，则实数a的值为1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a 的值．解答：解：∵复数==为纯虚数，故有 a﹣1=0，且a+1≠0，解得 a=1，故答案为：1．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，2014-2015学年高一年级有30名，2014-2015学年高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为8．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：首先根据2014-2015学年高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以2014-2015学年高二的学生数，得到2014-2015学年高二要抽取的人数．解答：解：∵2014-2015学年高一年级有30名学生，在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵2014-2015学年高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．4．（5分）执行如图的流程图，得到的结果是．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算S的值，并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S n循环前/0 0第一圈是 1第二圈是 2第三圈是 3第四圈否故最后输出的结果为：故答案为：点评：本题主要考查了循环结构，以及根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得它的渐近线方程为y=x，对照已知条件得=，结合平方关系，得到c==a，从而求得该双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线的方程为，∴该双曲线的渐近线方程为y=x∵双曲线一条渐近线方程为y=x，∴=，得b=a，所以c== a因此，双曲线的离心率为e==故答案为：点评：本题给出中心在原点的双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．6．（5分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：将一颗骰子先后抛掷2次，含有36个等可能基本事件，两数中至少有一个奇数包含两个数有一个奇数，两个数都是奇数两种情况，这样做起来比较繁琐，可以选用它的对立事件来，对立事件是两数均为偶数，通过列举得到结论．解答：解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件记“两数中至少有一个奇数”为事件A，则事件A与“两数均为偶数”为对立事件，两数都是偶数包含（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9中结果，∴P（A）=1﹣=．故答案为：点评：本题考查的是古典概型，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．7．（5分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．解答：解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h=4，∴圆锥的母线长l=，∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15π，故答案为：15π．点评：本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算，要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式．8．（5分）直线l过点（﹣1，0），且与直线3x+y﹣1=0垂直，直线l与圆C：（x﹣2）2+y2=1交于M、N两点，则MN=．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：用点斜式求得直线l的方程，再根据点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求出弦长MN的值．解答：解：与直线3x+y﹣1=0垂直的直线的斜率为，∴直线l的方程为y﹣0=（x+1），即x﹣3y+1=0．圆心C（2，0）到直线l的距离d==，∴弦长MN=2=2=，故答案为：．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．9．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．考点：基本不等式；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．10．（5分）函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈[﹣，0]）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=+，由于α∈[﹣，0]，可得∈，因此取得最小值﹣1，y取得最大值．解答：解：函数y=sinα（sinα﹣cosα）==﹣sin2α=+，∵α∈[﹣，0]，∴∈，∴∈，∴当2=﹣，即α=时，取得最小值﹣1，y取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．解答：解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，所以EF∥CD，并且EF=，所以BE=，AC=2，所以AD=，•=||||cosD===3；故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是a＜4．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）=，不为单调函数，即﹣1+a＞2a﹣5，综合讨论结果可得答案．解答：解：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞2a﹣5，解得：a＜4，∴2≤a＜4，综上所述：实数a的取值范围是a＜4，故答案为：a＜4点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．13．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是[，）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据已知即可求得f（x）在[，1]上的解析式为f（x）=﹣lnx，从而可画出f（x）在上的图象，而容易知道g（x）与x轴交点个数便是y=f（x）与y=ax交点个数．通过图象可以看出直线y=ax在其与f（x）=lnx的切点和曲线y=f（x）的右端点之间，从而分别求出相切时a的值和经过右端点时a的值即可．解答：解：设x∈，则∈[1，3]；∴根据条件；g（x）与x轴有三个不同的交点即表示函数y=f（x）和函数y=ax有三个不同交点，如图所示：由图可看出当直线y=ax与曲线f（x）=lnx，x∈[1，3]，相切时直线y=ax和曲线y=f（x）有两个公共点；若直线y=ax再向下旋转便有三个交点，直到y=ax经过曲线y=f（x）的右端点，再向下旋转便成了两个交点；设切点为（x0，lnx0），∴，又，∴；∴此时lnx0=1，x0=e；∴此时a=；y=f（x）的右端点坐标为（3，ln3）；∴直线y=ax经过右端点时，a=；∴实数a的取值范围是．故答案为：[）．点评：考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系．14．（5分）各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有7项．考点：等差数列的通项公式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过写出首项的平方与其余各项之和的表达式，利用一个数的平方最小为0，化简即可．解答：解：+a2+a3+…+a n=+n2+n（a1﹣1）﹣a1=+（n﹣1）（a1+n）=+（n﹣1）a1+n（n﹣1）=（a1+）2+n（n﹣1）﹣=（a1+）2+≤33，为了使得n尽量大，故（a1+）2=0，∴≤33，∴（n﹣1）（3n+1）≤132，当n=6时，5×19＜132，当n=7时，6×22=132，∴n max=7，故答案为：7．点评：本题考查求数列的项数，考查计算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点M（，），且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a=13，f（A）=，f（B）=，求△ABC的面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：①由图象与x轴两个相邻的交点的距离为π确定周期，然后以点M（，）代人函数解析式求φ，②由f（A）=，f（B）=，求出sinA=，sinB=，再求sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，根据正弦定理求边b，然后应用面积公式即可．解答：解：①依题意T=2π，∴ω=1，∴函数f（x）=sin（x+φ）∵f（）=sin（+φ）=，且0＜φ＜π，∴＜+φ＜π，+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（x+）=cosx②∵f（A）=cosA=，f（B）=cosB=，∴A，B∈（0，），∴sinA=，sinB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，∵在三角形ABC中，=，∴b=15，∴S△ABC=absinC=×13×15×=84点评：本题主要考查怎样求函数解析式，灵活运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，正弦定理及面积公式．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明A1C∥平面AB1D；（2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．解答：证明：（1）记A1B∩AB1=O，连接OD．∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．…2分又∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．…6分注意：条件“A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．…8分∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．…10分∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．…12分又∵BM⊥B1D，AD∩B1D=D，AD，B1D⊂平面AB1D，∴BM⊥平面AB1D．又∵BM⊂平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．…14分．点评：本题主要考查线面平行和面面垂直的判定，根据平行和垂直的判定定理是解决本题的关键．17．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限的点．①若M为线段BF1上一点，且满足=•，求直线OP的斜率；②设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，求证：+为定值，并求出该定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，求出a，b，c．即可求椭圆C的标准方程；（2）①设M（t，﹣2t﹣2），由=•，得，代入椭圆方程得：+6（t+1）2=1，求出M的坐标，即可求直线OP的斜率；②求出点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，利用椭圆的定义证明：+为定值．解答：解：（1）由题意知，2b=4，∴b=2，又∵e==，且a2=b2+c2，解得：a=，c=1，∴椭圆C的标准方程为=1；…4分（2）①由（1）知：B（0，﹣2），F1（﹣1，0），∴BF1：y=﹣2x﹣2 …5分设M（t，﹣2t﹣2），由=•，得…7分代入椭圆方程得：+6（t+1）2=1，∴36t2+60t+25=0，∴（6t+5）2=0，∴t=﹣，∴M（﹣，﹣）…9分∴OM的斜率为，即直线OP的斜率为；…10分②由题意，PF1：y=（x+1），即y0x﹣（x0+1）y+y0=0 …11分∴d1=，同理可得：d2=∴=•，=PF1+PF2=2a=…15分点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（15分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求⊙P的半径（用θ表示）；（2）求⊙Q的半径的最大值．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．解答：解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．19．（16分）已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右均为增函数，则x=1不是极值点．（2）先对f（x）进行求导，在[2，3]上单调增，则f'（x）≥0在[2，3]上恒成立．求得a 的取值范围．（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零．对h（x）求导．求出h（x）的最小值即可．解答：解：（1）函数f （x）定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…2分此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f （x）递增；当x＞1时，f′（x）＞0，f （x）递增．∴x=1不是f （x）的极值点．故不存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值．…4分（2）f′（x）=，①当a≥2时，∴f′（x）≥0，∴f （x）在（0，+∞）上递增，成立； (6)分②当a＜2时，令f′（x）＞0，则x＞1+或x＜1﹣，∴f （x）在（1+，+∞）上递增，∵f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，∴1+＜3，解得：﹣6＜a＜2综上，a＞﹣6．…10分（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零．﹣①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为q，由h（e）=e+可得a＞，因为，所以a＞；…12分②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；…14分③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）＜0成立．综上可得所求a的范围是：或a＜﹣2．…16分解法二：由题意得，存在x∈[1，e]，使得a（lnx﹣）＞x+成立．令m（x）=lnx﹣，∵m（x）在[1，e]上单调递增，且m（1）=﹣1＜0，m（e）=1﹣＞0故存在x1∈（1，e），使得x∈[1，x1）时，m（x）＜0；x∈（x1，e]时，m（x）＞0故存在x∈[1，x1）时，使得a＜成立，…（☆）或存在x∈（x1，e]时，使得a＞成立，…（☆☆）…12分记函数F（x）=，F′（x）=当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2=（x2﹣1）•∵G（x）=lnx﹣=lnx﹣﹣1递增，且G（e）=﹣＜0∴当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2＜0，即F′（x）＜0∴F（x）在[1，x1）上单调递减，在（x1，e]上也是单调递减，…14分∴由条件（☆）得：a＜F（x）max=F（1）=﹣2由条件（☆☆）得：a＞F（x）min=F（e）=综上可得，a＞或a＜﹣2．…16分．点评：本题主要考查利用导数解决函数极值问题和利用导数解决函数单调性和参数取值范围，2015届高考常考题型，难度较大．20．（16分）已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足|a n+1﹣a n|=2，b=4b，且a1=1，b1=﹣1．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数r（r∈N*），使得c r+1＜c r，称数列{c n}为“梦r数列”；设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，①若数列{a n}为“梦5数列”，求S n；②若{a n}为“梦r1数列”，{b n}为“梦r2数列”，是否存在正整数m，使得S m+1=T m，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）a n+1﹣a n=2，，判断得出调查网，等比数列即可求解通项公式．（2）①根据题目条件判断：数列{a n}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，求解S n即可．②运用数列{b n}为“梦数列”且b1=﹣1，综合判断数列{b n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S m+1=T m，显然m≠1，且T m为奇数，而{a n}中各项均为奇数，即可得出；m必为偶数．再运用不等式证明m≤6，求出数列即可．解答：解：（1）数列{a n}，{b n}都为递增数列，∴a n+1﹣a n=2，，∴a n=2n﹣1，；（2）①∵数列{a n}满足：存在唯一的正整数r=5，使得a r+1＜a r，且|a n+1﹣a n|=2，∴数列{a n}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故；②∵即b n+1=±2b n，∴，而数列{b n}为“梦数列”且b1=﹣1，∴数列{b n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S m+1=T m，显然m≠1，且T m为奇数，而{a n}中各项均为奇数，∴m必为偶数．首先证明：m≤6．若m＞7，数列{a n}中，而数列{b n}中，b m必然为正，否则，显然矛盾；（※）∴，设，易得，而，（m＞7），∴{d m}（m＞7）为增数列，且d7＞0进而{c m}（m＞7）为增数列，而c8＞0，∴（T m）min＞（S m）max，即m≤6．当m=6时，构造：{a n}为1，3，1，3，5，7，9，…，{b n}为﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…此时r1=2，r2=4所以m max=6，对应的r1=2，r2=4．点评：本题综合考查了学生运用新定义，求解数列的问题，结合不等式，函数的思想求解，考查了分析问题，解决问题的能力，属于难题．【选做题】请考生在四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-1几何证明选讲】21．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切割线定理证明DC=2PB，BD=PB，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：由切割线定理得PA2=PB•PC．因为 PC=2PA，D为PC的中点，所以DC=2PB，BD=PB．…5分由相交弦定理得AD•DE=BD•DC，所以AD•DE=2PB2．…10分．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-2矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=（1）求A﹣1；（2）满足AX=A﹣1二阶矩阵X．考点：矩阵乘法的性质；二阶行列式与逆矩阵．专题：矩阵和变换．分析：（1）通过变换计算即可；（2）通过AX=A﹣1可得X=A﹣1A﹣1，计算即可．解答：解：（1）∵A=，∴，∴A﹣1=；（2）∵AX=A﹣1，∴X=A﹣1A﹣1==，即．点评：本题考查矩阵乘法，注意解题方法的积累，属于基础题．【选修4-4坐标系与参数方程选讲】23．已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求圆C的圆心坐标及点P的坐标，利用以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，借助于正弦定理可求切线的极坐标方程解答：解：由题设知，圆心 2分∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30° 4分设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°由正弦定理得，∴ 8分∴ρcos（θ+60°）=1（或ρsin（30°﹣θ）=1），即为所求切线的极坐标方程.10分点评：本题以圆的参数方程为载体，考查直线的极坐标方程，关键是利用正弦定理求解．【不等式选讲】24．已知实数x，y，z满足3x+2y+z=1，求x2+2y2+3z2的最小值．考点：柯西不等式在函数极值中的应用．专题：选作题；不等式．分析：用条件3x+2y+z=1，构造柯西不等式进行解题即可解答：解：由柯西不等式，，…（4分）所以，当且仅当，即时，等号成立，所以x2+2y2+3z2的最小值为．…（10分）点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用进行解决．【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AA1=AC=4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，（1）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面A1BC1的法向量、平面BB1C1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（2）设D（x，y，z）是直线BC1上一点，且，可得，利用AD⊥A1B，即可求的值．解答：解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4），设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=3，则x=0，y=4，所以=（0，4，3）．同理可得，平面BB1C1的法向量为=（3，4，0），所以cos＜，＞=．由题知二面角A1﹣BC1﹣B1为锐角，所以二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．…5分（2）设D（x，y，z）是直线BC1上一点，且．所以（x，y﹣3，z）=λ（4，﹣3，4）．解得x=4λ，y=3﹣3λ，z=4λ．所以．由，即9﹣25λ=0．解得．因为，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．此时，．…10分．点评：本题考查二面角的平面角，考查利用空间向量解决数学问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。