第三章 行列式 第二节 排列课件
行列式及其性质PPT课件
上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
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下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
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解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成 行列式，得
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数PPT行列式
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
第三章 行列式
再让j向左移动， 再让 向左移动，依次与 i, ks , ,…, k2 , k1 交换。经过 向左移动 交换。经过s+1次 次 相邻的两个数码的对换后， 相邻的两个数码的对换后，排列变为 . （2） … j, k1, k2 ,…, ks , i,… 对换而得到的排列。因此， 但（2）正是对（1）施行 (i, j) 对换而得到的排列。因此， 正是对（ 相当于连续施行2s+1 2s+1次相邻数码的 对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的 (i, j) 对换。 。，每经过一次相邻两数码的对换 每经过一次相邻两数码的对换， 对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（ 2s+1是一个奇数 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇 偶性相反。 偶性相反。
……
…, i, j,…,
其中A与 都代表若干个数码 都代表若干个数码.施行对换 其中 与B都代表若干个数码 施行对换 (i, j), 得
宁波工程学院理学院《高等代数》课程组制作
……
…, j, i,…,
A
B
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 我们比较这两个排列的反序数 显然经过这个对换 属于A或 的数码的位置没有改变 的数码的位置没有改变,因此这些数 后,属于 或B的数码的位置没有改变 因此这些数 属于 码所构成的反序数没有改变.同时 ，j与A或B中的 码所构成的反序数没有改变 同时i， 与 或 中的 同时 数码所构成的反序数也没有改变。 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 i 列中， 列中， < j, 那么经过对换 (i, j) 后，i与j就构成一个 与 就构成一个 反序。 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 i 增多一个。若在给定的排列中， 增多一个。若在给定的排列中， > j, 那么经过对换 排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。 排列的奇偶性都有改变。
行列式的定义ppt课件
能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14 第2列只能取a32 四个元素的乘积为
a21a43a14a32 即a14a21a32a43 其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以
D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1
26
排列的对换
❖对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得
1
b1
a2a21
a11 b1
x1= —ba—211 —2aa21— x2= —a1a—211 —ab12—
a2
2 2
a2 2
1 a2
1 a2
2
2
4
我们用 a11 a1 a2 2
表示代数和a11a22-a12a21 并称它为二阶行
列式
1 a2
2
行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线
D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31
=
7
0
D1
=
12 1
-
2 1
=12-(-2)
=14
D2
=
3 2
12 1
=
3-
24
=
-21
因此
x1
=
D1 D
=
14 7
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
ONE
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
行列式ppt
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
1 p1 2 p2
npn
an1 an2 ann
特点：1. n2个元素
2. 共有n!项代数和
a a ...a 3.每项为取自不同行不同列的元素构成 1p1 2 p2
npn
4.正负项的个数相等
5.当下标排列为偶排列时, 取正号 当下标排列为奇排列时, 取负号
(1) ( p1 p2 ... pn )
例:写出4阶行列式中带 a12a34 的项
x 3 (2x 3 ) x 3
故 x3 的系数为 1.
Ch1 行列式 §4 行列式的性质
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
DT
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
又因为行列式D可表示为
D 1 t ap11ap2 2 apnn . 故 D DT .
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
ri rj
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
第三章 行列式
第三章 行列式在第一章中，我们用矩阵的初等行变换解决了线性方程组是否有解及求解的问题. 但这种方法，早已把方程组的系数和常数项变得面目全非了，无法给出解与方程组的系数和常数项之间的关系，本章就利用行列式来解决这一问题. 行列式不仅是研究线性代数的重要工具，在其它领域也有广泛应用. 本章介绍行列式的概念、性质、计算及应用.3. 1行列式的概念一、二阶和三阶行列式首先我们通过解二元、三元线性方程组引入二阶和三阶行列式的定义. 对于二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩，利用消元法知，当112212210a a a a -≠时，求得其解为122212211121121122122111221221,b a b a b a b ax x a a a a a a a a --==--. （3. 1）上式作为二元线性方程组解的公式，给出了解与方程组的系数和常数项之间的关系，但不好记忆. 为便于应用这个公式，我们引入二阶行列式的定义.我们把四个数11122122,,,a a a a 排成两行两列构成的二阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭所确定的算式11221221a a a a -称为二阶行列式. 记为11122122a a a a 或A 或D ，即1112112212212122===-a a D A a a a a a a .二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，把11a 到22a 所在的连线称为主对角线，把12a 到21a 所在的连线称为副对角线，则二阶行列式等于主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积.利用二阶行列式的定义，（3. 1）式中1x ，2x 的分母可记为1112112212212122a a a a a a D a a -==，称为线性方程组的系数行列式.分子可记为1121222121222b a b a b a D b a -==，1112111212212a b b a b a D a b -==，其中1D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第一列得到的行列式，2D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第二列得到的行列式.于是，利用二阶行列式的定义，（3. 1）式可表示为11211122221212121112111221222122,b a a b b a a b D Dx x a a a a D D a a a a ====. 例3. 1 求解二元线性方程组121232421x x x x -=⎧⎨+=⎩.解 由于 ()32347021D -==--=≠，()14242611D -==--=，23438521D ==-=-，因此 121265,77D D x x D D -====. 类似地，在解三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的过程中引入三阶行列式的定义.把三阶方阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所确定的算式 112233122331132132a a a a a a a a a ++132231122133112332a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，记为111213212223313233a a a a a a a a a 或A 或D . 即111213212223313233a a a A a a a a a a = 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a ---.由三阶行列式的定义，我们注意到：注1三阶行列式是6项的代数和，并且正负各占一半； 注2它的每一项是不同行、不同列的三个元素的乘积.三阶行列式的算式很难记忆，下面我们考察三阶行列式与二阶行列式之间的关系. 事实上111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a --- ()()()112233233212213323311321322231a a a a a a a a a a a a a a a =---+- ()()()111213222321232122111213323331333132111a a a a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-其中22233233a a a a 是划掉三阶方阵A 中元素11a 所在的第一行和第一列，剩下元素构成的二阶行列式，该行列式称为元素11a 的余子式，记为11M .记()1111111A M +=-，称为元素11a 的代数余子式. 相应的有()1221231231331a a A a a +=-，称为元素12a 的代数余子式.()1321221331321a a A a a +=-，称为元素13a 的代数余子式.于是111213212223111112121313313233a a a a a a a A a A a A a a a =++. 这说明三阶行列式可转化为二阶行列式来计算.例3. 2计算三阶行列式11321131-.解 11321131-()()()()111213210102111131311113+++=⨯-⨯+-⨯-+⨯- ()()11328=-+-+⨯-=-.二、n 阶行列式把二阶、三阶行列式推广到一般情形，便得到n 阶行列式的定义. n 阶行列式有几种等价的定义方法，在这里我们用归纳法定义.定义3. 1 n 阶方阵()ij A a =所确定的算式称为n 阶行列式，记为111212122212n n n n nna a a a a a A a a a =L L M M M L，并且该算式满足：当1n =时，1111A a a ==；当2n =时，1112112212212122a a A a a a a a a ==-；当2n >时，1112121222111112121112n n n n n n nna a a a a a A a A a A a A a a a ==+++L L L M M M L111nj j j a A ==∑.其中()1i jij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式；ij M 为A 中划去第i 行和第j 列后剩下元素所构成的1n -阶行列式，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j i n ij i i j i j i n n n j n j nna a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=L LM M MM L L L L M M M M LL称ij M 为ij a 的余子式.n 阶行列式A 也可以简记为D 或det A 或ij a .由n 阶行列式定义，我们同样可以得到类似于三阶行列式的结论： 注1 n 阶行列式是!n 项的代数和，并且正负各占一半； 注2 它的每一项是不同行、不同列的n 个元素的乘积. 此外还要注意n 阶行列式和n 阶矩阵的区别：注3 它们本质不同. 行列式是一个算式，其结果是一个数值，而矩阵是一个数表； 注4 它们记法和形状不同. 行列式记号是两条竖杠，矩阵则是圆括号；行列式的行数和列数必需相等，而矩阵的行数和列数不一定相等.例3. 3计算4阶行列式1102101010310100D -=.解 1111121213131414D a A a A a A a A =+++()()23010110110311113110000-=⨯-+⨯-()()45100101011012110301010--+⨯-+⨯- ()()()()()1201311111111100000+=-+-⨯-+-⨯-()()403102111001⎡⎤-⨯-+-⎢⎥⎣⎦1247=-⨯=-.例3. 4证明对角行列式（指主对角线以外的元素都为零）和副对角行列式（指副对角线以外的元素都为零）1212000000n nλλλλλλ=L L L M M O ML，()()1122120000100n n n n λλλλλλ-=-L LL M N M M L.证明 由n 阶行列式定义1200000nλλλL LM M O ML=111A λ()221010nλλλ=-LM OM L3120nλλλλ=LM OM L=L =12n λλλL .12000000n λλλ=L L M N M ML()211010nn λλλ+-LM O M L()()3111120110nn n λλλλ++-=--LM OM L=L =()()()11113112201110nn n n nλλλλλ++-+-----LL()()()()111131212211111nn n n n λλλλλ++-++--=----L L()()()()122112211111n n n n n λλλλλ----=----L L()()12121n n n λλλ-=-L .例3. 5证明下三角行列式112122112212000nn n n nna a a a a a a a a =L LL M M O M L.证明 由n 阶行列式定义1121221200n n nna a a a a a =L L M M O ML221120n nna a a a LM O M L=L =1,111222,2,10n n n n n n nna a a a a a -----L=1122nn a a a L .我们注意到，在例3. 3中行列式第四行的零元素比第一行的零元素还要多，如果能够按第四行展开，计算岂不是更简单. 事实上，行列式不但可以按第一行元素展开，还可以按任一行或任一列元素展开，结果都是一样的. 因此有下面按行（或按列）展开定理: 定理3. 1 n 阶行列式ij D a =等于它的任一行（或任一列）的每个元素与其所对应的代数余子式乘积之和，即11221ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A ==+++=∑L ()1,2,,i n =L或11221nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A ==+++=∑L ()1,2,,j n =L证明略例3. 6计算n 阶行列式11121,1121222,11,11,21000000n n n n n n n a a a a a a a D a a a ----=L L MM M M L L 解 将行列式按最后一列展开，n D ()212,111110n nn n a a a a -+=-LM N M L()()313,211112,11110n nn n n n a a a a a -++--=--LM NM L=L()()()()14312,111111n nn n n a a a +-----L L()()()()122112,111111n n n n n a a a ---=----L L=()()1212,111n n n n n a a a ---L .类似地，可得到12,121,1000nn nn n n nna a a a a a --L L M N M M L()()1212,111n n n n n a a a --=-L .习题3. 11. 计算行列式.(1)xy x y y x y x x y xy+++； (2)111230254-；(3) 01000102009834567； (4)12130020034012001011032-----. 2. 计算n 阶行列式.(1) 010000200001000n n -L L M M MM L L； (2)001002001000000n n-L LM M M M L L. 3. 求x 的值使 14131232x x x+ 21311132x x x-=0.3. 2行列式的性质利用定义计算n 阶行列式，当n 很大时，计算量会很大. 本节将研究行列式的性质，借此来简化行列式的计算.设n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D A a a a ==L L M M M L，将其行与对应的列互换后得到的行列式称为D 的转置行列式，记为TD 或T A ，即112111222212n n T T n n nna a a a a a D A a a a ==L L M M M L.性质1 行列式与其转置行列式相等，即TD D =. 证明 用数学归纳法. 当2n =时，1112112212212122a a D a a a a a a ==-，1121112212211222T aa D a a a a a a ==-， 所以 TD D =.假设()13n k k =-≥时结论成立. 下面证明当n k =时结论也成立.为此，将D 和T D 分别按第一行和第一列展开，记1t A 为D 中第一行第t 列元素1t a 的代数余子式；1t B 为T D 中第一列第t 行元素1t a 的代数余子式. 则有111111,n nTt t t t t t D a A D a B ====∑∑因为1t A 与1t B 都是1k -阶行列式，且11Tt t A B =，由归纳假设知，11t t A B =()1,2,,t n =L ，所以 T D D =.性质1表明，在行列式中行与列的地位是相同的，因此，凡对行成立的性质，对列也都成立. 性质1还可以用方阵的行列式形式表达：T A A =.性质2 互换行列式的两行（或两列），行列式变号.证明 用数学归纳法.易验证当2n =时，结论成立.假设对1n -阶行列式结论成立，现在考察n 阶行列式11121121212n i i in j j jn n n nna a a a a a i D a a a j a a a ←=←L M M ML M MM K M M M L第行第行 记交换D 的第i 行和第j 行所得到的行列式为1D .因为3n ≥，所以D 和1D 中必存在第k 行(),k i j ≠，现在把D 和1D 分别按第k 行展开，得到111,n nkt kt kt kt t t D a A D a B ====∑∑其中kt A ，kt B 分别为行列式D 和1D 中元素kt a 所对应的代数余子式()1,2,,t n =L . 因为kt A 和kt B 都是1n -阶行列式，且交换kt A 的两行后得到kt B ，由归纳假设得1kt kt A B =-()1,2,,t n =L所以 1D D =- ， 故结论成立.推论1 若行列式中两行（或两列）对应元素相同，则行列式的值为零.性质3 用数k 乘以行列式的某一行（或列）所有元素，等于用数k 乘此行列式. 即11111n i in n nn a a ka ka a a L M M L M ML =11111ni in n nna a k a a a a L M M LM M L . 证明 将行列式按第i 行展开便得.性质3还告诉我们，若行列式的某一行（或列）所有元素有公因数，则此公因数可以提到行列式的外面.推论1 若行列式中某行（或列）的元素全为零，则行列式的值为零.推论2 若行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例，则行列式的值为零.性质4 若行列式中某一行（或列）的元素都是两数之和，则此行列式可表示为下面两个行列式之和：111111n i i in in n nna a ab a b a a ++L MM L M M L1111111111n n i in i in n nnn nna a a a a ab b a a a a =+L L M M M M L L M M M M L L. 证明 将行列式按第i 行展开，便得111111n i i in in n nna a ab a b a a ++L MM L M M L()111nnnik ik ik ik ik ik ik k k k a b A a A b A ====+=+∑∑∑1111111111n n i in i in n nnn nna a a a a ab b a a a a =+L L M M M M L L M M M M LL. 性质5把行列式的某一行（或列）的各个元素乘以同一数k ，然后加到另外一行（或列）对应元素上去，行列式值不变. 即11121121212n i i in j j jn n n nna a a a a a a a a a a a L M M M L M M M K M M M L1112112112212n i i inj i j i jn inn n nna a a a a a a ka a ka a ka a a a =+++LM MM L M MM K M M M L证明由性质4及性质3便得.性质2、性质3、性质5涉及到对行列式的行（或列）的三种变换恰好与矩阵的三种初等变换相对应，因此我们通常也把行列式的这三种变换分别记为i j r r ↔，表示互换行列式的第i 行和第j 行；i kr ，表示用非零常数k 乘行列式第i 行所有元素；j i r kr +，表示用一个非零常数k 乘行列式第i 行所有元素后加到第j 行对应元素上.若 “行”换成“列”，相应地记为i j c c ↔，i kc 和j i c kc +. 例3.7已知1abcd =，证明222222221111011111111a b c d a b c d ab c d a b c d ++++=.证明 行列式的第一行都是两项之和，且每一列有相同的变量，利用性质4和性质3得22222222111111111111a b c d a b c d a b c d a b c d ++++2222222211111111111111111111a b c d a b c d a b c da b c d a b c da b c d =+12D D =+.而 1D 222211111111a b c d ab c da b c d=2222111111111111a b c d abcd ab c d a b c d = 13342222111111111111r r r r a b c d a b c d a b cd↔↔=242222111111111111r r a b c d a b c d a b c d ↔=-2D =-.所以 左边12D D =+0=.性质6行列式的某一行（或列）的元素与另外一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即112210ni j i j in jn ik jk k a A a A a A a A =+++==∑L ()i j ≠，112210ni j i j ni nj ki kj k a A a A a A a A =+++==∑L ()i j ≠.证明 作行列式111111n i in i in n nna a a a i D a a j a a ←'=←L M ML MM L M M L第行第行 由D '中第i 行和第j 行元素相同，所以0D '=. 再将D '按第j 行展开，得11220i j i j in jn D a A a A a A '=+++=L .综合定理3. 1和性质6，我们可以把这两个结论用下面表达式表示：1,0,nik jkk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当时，当时.（3. 2） 1,0,nki kjk D i j a A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当时，当时.（3. 3） 例 3.8 设行列式9302555565066610D =，求（1）41424344A A A A +++，（2）216A222495A A ++.解（1）根据（3. 2）式，在分析行列式的特点，我们作第二行元素与第四行元素对应的代数余子式乘积之和，则有4142434455550A A A A +++=，所以 414243440A A A A +++=.（2）由题意，把行列式的第二行元素换为6,9,0,5，其它不变，便有212224695A A A ++=9302690565066610而9302932690569565066566610=-231333212432953041256256r rr r ----=---= 3121244130413195914914r r ------=-=-=所以 212224695195A A A ++=-.性质7 若A 为n 阶方阵，k 是数，则nkA k A =. 证明 由性质3及数与矩阵乘法便得.性质8 设分块矩阵0,0A A C P Q C B B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中A ，B 分别为n 阶和m 阶方阵，则P A B =，Q A B =.证明 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭L M M L ，1111m m mm b b B b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L MM L ， 对行列式A 作若干次i j r r ↔或i j r kr +初等行变换，可将其化为下三角行列式，即()()111122011ssnn nnq A q q q q =-=-*OL 其中s 表示所作行变换i j r r ↔的次数.在对行列式B 作若干次i j c c ↔或i j c kc +初等列变换，可将其化为下三角行列式，即()()111122011ttmm mmp B p p p p =-=-*OL 其中t 表示所作列变换i j c c ↔的次数.对行列式P 的前n 行实施上述相应的行变换，对行列式P 的后m 列实施上述相应的列变换，便有()111110s tnnmm q Oq P p Cp +*=-*OO()112211221s tnn mm q q q p p p +=-L L A B =.又因为 TT TT A O Q CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以 TTT TTT A O Q Q A B CB===A B =. 性质9 若n 阶分块矩阵100t A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O ，其中()1,2,,i A i t =L 是方阵，则 1t A A A =L .请读者自证.性质10若,A B 均为n 阶方阵，则AB A B =.证明 设()(),ij ij A a B b ==都是n 阶方阵，下面作2n 阶辅助行列式1111111111n n nnn n nna a O a a A O Db b EBb b ==---L M M L LOM M L由性质8得D A B =.现在证明D AB =. 为此用1j b 乘第一列，2j b 乘第二列，L ，nj b 乘第n 列，都加到第n j +列上()1,2,,j n =L ，得A CD E O=-，其中()ij C C =，1nij ik kjk C ab==∑(),1,2,,i j n =L ，由矩阵乘法知C AB =.再将A CD E O =-中第i 行与第n i +行依次作交换()1,2,,i n =L ，得()1nE O D AC-=-()1n E C =--()()11n nC =--AB =所以 AB A B =.例3. 9 计算行列式3393234000580006562166000D =解 化为分块三角矩阵. 再由性质8，有1533932660003400034000580005800065621656216600033932r r D ↔=-=0006666621003434932=-=-⨯=.例3. 10 证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于零.证明设A为n（为奇数）阶反对称矩阵，则有T A A=-，由性质1及性质7，得()1nTA A A A A==-=-=-，因此有0A=.习题3. 21. 计算行列式.(1) 110112198232032-；(2)1122331001100110011bb bb bb------；(3)1234234134124123； (4)5010011200225005731442658.2. 计算n阶行列式1112221212(2)12nn n nx x x nx x x nD nx x x n++++++=≥+++LLM M ML.3. 设3400430000200022A⎛⎫⎪-⎪=⎪⎪⎝⎭，求8||A.4. 已知1326，2743，5005，3874都能被13整除，不计算行列式的值，试证1326 2743 5005 3874能被13整除．5. 已知1012110311101254D -=-，求：（1）12223242A A A A -+-；（2）41424344A A A A +++．3. 3行列式的计算下面介绍行列式计算的几种常用方法.一、 化三角行列式法性质2、性质3和性质5对行列式做的三种变换对应着矩阵的三种初等变换，我们知道矩阵总可以通过初等变换化为阶梯形矩阵，所以利用性质2、性质3和性质5总可以把行列式化成三角行列式，之后求出其值，这种方法称为化三角行列式法.例3. 11 计算3112513*********D ---=---.解 D 121312153402115133c c ↔---=----2141513120846021101627r r r r -+---=---2313120211084601627r r ↔--=---433242544813121312021102114000810008105001015002r r r r r r ++-----===---. 例3. 12计算n 阶行列式a b b b b a b b b b a b b b b aLLLM M M M L. 解 a b b b b a b b b b a b b b b aLLLM M M M L()()()()121111nr r r a n b a n b a n ba n bb a b bb b a b b b ba++++-+-+-+-=L LL L M M M M L()11111b a b b a n b b b a b b b b a =+-⎡⎤⎣⎦LLLM M MM L ()2131111110001000000n r br r br r br a b a n b a b a b----=+-⎡⎤-⎣⎦-L LLL M M M M L()()11n a n b a b -=+--⎡⎤⎣⎦.二、降价法所谓降价法就是利用定理3. 1把n 阶行列式展开成n 个1n -阶行列式，反复使用此方法，最后求出行列式的值. 显然当行列式的某行（或列）有很多零元素时，该方法比较适用.例3. 13计算1012213101011342----.解 观察行列式，注意到第三行零较多，利用性质使第三行除一个元素是非零的，其余都为零.4210121012213121320101010013421341c c +----=--2131211211223201614151r r r r +---=--=--按第三行展开163151=-=-.例3. 14计算1n +阶行列式112231111111n n nn a a a a a D a a a +----=-OOL解111211122231110111111121n n n n c c c c n n n c c nn n a a a a a a a D a a a a a n nn +-+++--+---==-+-L OO OOLL()()122111n n na a n a a +-=-+O按第一列展开()()111nni i n a ==-+∏.三、数学归纳法当n 阶行列式的结果是已知的，往往可以用数学归纳法来证明.例 3. 15证明n 阶范德蒙德行列式()1232222123111111231111n n n ijj i nn n n n nx x x x D x x x x x x x x x x ≤<≤----==-∏L L LM MMML其中记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证明 用数学归纳法.当2n =时，()221121211i j j i x D x x x x x ≤<≤===--∏， 结论成立.假设对1n -阶范德蒙德行列式结论成立，下面证明对n 阶范德蒙德行列式结论也成立.将n D 从最后一行开始，自下而上每一行减去上一行的1x 倍，得到()()()()()()21311221331122222133111111000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x ------------=LL L M M MM L将其按第一列展开，之后把每一列的公因式提出来，就得到()()()232131122223111n n n n n n n x x x x x x x D x x x x x ------=L LL MMML上式右端是一个1n -阶范德蒙德行列式，由假设知，它等于()2ijj i nx x ≤<≤-∏，因此()()()()213112n ijn j i nx x x x x x x D x ≤<≤----=∏L()1ijj i nx x ≤<≤=-∏.综上，结论得证.从该例可知，当12,,,n x x x L 各不相同时，范德蒙德行列式不等于零.四、递推法所谓递推法就是利用行列式的性质和展开定理，建立n 阶行列式与同结构的1n -阶行行列式之间的递推关系，找到递推公式，求出行列式的值.例3. 16计算2n 阶行列式2n a ba ba b D c dc d cd=ONN O.解 2nD ()210010n a b ab a b ab a bc d cd c dcd dc++-=ON ON NON O按第一行展开()()()221211nn n adD bcD ----=分别按最后一列和第一列展开()()21=n ad bc D --()()()()21222n nn ad bc D ad bc D ad bc --=-==-=-L .上面我们简要的介绍了计算行列式的常用方法.在具体计算之前，应注意观察所给行列式是否具有某些特点，然后考虑能否利用这些特点采取相应的方法以达到简化计算的目的.在计算以字母作元素的行列式时，更要注意简化.习题3. 31. 计算行列式.(1)214131211232562-； (2)1234123412341234x x x x++++； (3)222233331111586258625862.2. 计算行列式211222233020010400301011D x x x a x b x c x d =. 3. 计算行列式na a a a D ΛM O M M M ΛΛΛ01001001111210=. 4. 证明))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c ba+++------=.5．证明1221100001000001nn n x x x a a a a x a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭LL M M MM M L L=111n n n n x a x a x a --++++L .3. 4 行列式的应用行列式有十分广泛的应用，本节介绍行列式在矩阵和一类特殊线性方程组中的应用.一、行列式与矩阵可逆设()ij A a =为n 阶方阵，把A 中元素ij a 都换成它的代数余子式ij A ，在转置，所得到的矩阵()112111222212n Tn ij n n nn A A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L M M M L 称为A 的伴随矩阵.由（3. 2），（3. 3）式得AA A A **=000000A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M LA E =. 由上式我们可以得到矩阵可逆的充要条件：定理3. 2 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，且1A A A*-=.证明 必要性 若A 可逆，则存在n 阶方阵B ，使AB E =，由性质10得1A B E ==，所以 0A ≠.充分性 若0A ≠，由AA A A **=A E =，有11AA A A E A A**==. 由逆矩阵的定义，于是有A 可逆，且1A A A*-=.当0A ≠时，称A 为非奇异矩阵，当0A =时，称A 为奇异矩阵. 推论 若AB E =（或BA E =），则A 可逆，且1A B -=.证明 因为AB E =，所以1A B E ==，故0A ≠，因此A 可逆. 于是()()1111B EB A A B A AB A E A ----=====.关于矩阵A 的逆矩阵和伴随矩阵的行列式有下面性质： 性质1 1n A A-*=（A 为()2n n ≥阶方阵）证明 （1）若A 可逆，则0A ≠. 由AA A A **=A E =，得n A A A A A E A **===，所以1n A A-*=.（2）若A 不可逆，则0A =. 因此 AA *0A E ==. 假设0A *≠，则A *可逆，因而()10AAA A -**==.若0A =，A *一定为零矩阵，这与0A *≠矛盾，所以0A *=. 故1n A A -*=.性质2 111AAA--==证明 设A 是n 阶方阵，由1A A A*-=，有11111n n n A AA A A A A A*--*====. 例3. 17利用伴随矩阵求方阵123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解 求得20A =≠，所以A 可逆. 计算A 中每个元素的代数余子式：()211211243A =-=，()321231643A =-=，314A =-，123A =-，226A =-，325A =， 132A =，232A =，332A =-.求得 264365222A *-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以 1A A A *-==26413652222-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 例3. 18 求矩阵000100001000aa Pb b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭的逆矩阵（其中0,0a b ≠≠）.解 对P 进行分块00010*******00a a A P b B b ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭， 又,A B 都可逆，所以11100A PB ---⎛⎫=⎪⎝⎭. 而 12011a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭， 12110b B b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故 212100011001100100a a a Pb b b -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、行列式与矩阵的秩下面我们研究矩阵的秩与行列式的关系. 为此，引入矩阵k 阶子式的概念.定义3. 2 设A 是一个m n ⨯矩阵，在A 中任取k 行、k 列，由位于这些行与列的交点上的2k 个元素按原来次序构成的k 阶行列式，称为k 阶子式.m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kk mn C C ⋅个. 定义3. 3 设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式r D ，且所有1r +阶子式（如果存在的话）全等于0，则称r D 为矩阵A 的最高阶非零子式.例如，123001212460A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，取A 中第一、二行和第三、四列交点上的元素构成的2阶子式303021=≠取A 中第一、二、三行和第一、三、四列交点上的元素构成的3阶子式1300210260= 可以验证，A 中所有3阶子式均为0，所以A 的最高阶非零子式的阶数是2. 通过初等变换方法可求出A 的秩也是2. 我们注意到，矩阵A 的秩就等于矩阵A 的最高阶非零子式的阶数. 事实上，这个结论对任意矩阵都成立，下面给出证明.引理 若矩阵A 与B 等价，则A 中存在r 阶非零子式的充分必要条件是B 中也存在r 阶非零子式. 也可以表述为：A 中所有r 阶子式全为0的充分必要条件是B 中所有r 阶子式全为0.证明 由矩阵等价具有对称性，仅需证明必要性.设0r A ≠是A 中r 阶非零子式，r B 是B 中r 阶子式，当A 经过一次初等行变换变成B ，相应的r A 变成r B .（1）若是互换A 中的两行，则有0r r B A =±≠.（2）若是用非零常数k 乘以A 中某一行，则有0r r B k A =≠.（3）若是用数k 乘A 中第i 行所有元素后加到第j 行对应元素上，则有下面两种情况:1o 若r A 中不含A 中第j 行，或是既含A 中第i 行又含A 中第j 行，则0r r B A =≠. 2o 若r A 中只含A 中第j 行但不含A 中第i 行，则r j i j i r r B r kr r k r A k A =+=+=+MMMM M M如果0r A ≠，就已经证明B 中有r 阶非零子式；如果0r A =，由上式有0r r B A =≠. 综上B 中也存在r 阶非零子式.定理3. 3 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶数.证明 首先，设()R A r =，下面分两种情况讨论： （1）当{}min ,r m n <时，则矩阵A 与它的标准形000r m nE F ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭等价，因F 中有r 阶非零子式r E ，且所有1r +阶子式全为零，所以A 中最高阶非零子式的阶数是r .（2）当(){}min ,R A m n =时，即r m =或r n =，则有矩阵A 与它的标准形()0rE 或0r E ⎛⎫⎪⎝⎭等价，因而A 中有r 阶非零子式，但不存在1r +阶子式，所以A 中最高阶非零子式的阶数是r .反之，设A 中最高阶非零子式的阶数是r ，下面证明()R A r =.设()R A k =，由上述结论知k r ≥（否则A 中所有r 阶子式全为零，与已知矛盾），同时k r ≤（否则A 中一定有k ()1k r ≥+阶子式不为零，这也与已知矛盾）， 因此k r =，即()R A r =.例3. 19设1221248024233606A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭，求A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式. 解 对A 进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，1221248024233606A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭2131412231221004200210063r r r r r r -+---⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭23242231221002100000000r r r r r ÷-+--⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭所以()2R A =.由定理3. 3知A 中有2阶非零子式.1202是阶梯形矩阵的一个2阶非零子式，由引理，A 中对应有2阶非零子式12028≠，所以1228便是A 的一个最高阶非零子式.三、行列式与线性方程组对于方程个数等于未知量个数的特殊线性方程组，我们给出其解与方程组的系数和常数项的关系.定理3. 4（克拉默法则）设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L （3. 4） 若其系数行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =L LM M M L0≠，则方程组有唯一解，且其解可表示为j j D x D=()1,2,,j n =L （3. 5）其中j D 是把D 中的第j 列换成常数项12,,,n b b b L 所得的行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j nj j nj n n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=L L L L MM M M M LL()1,2,,j n =L . 证明 记1122,n x b x b B x X bn ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭M M ，D A =，则线性方程组的矩阵表示为AX B =.由0D A =≠知，A 可逆，所以方程组有唯一解1X A B -=.又由1A A D*-=，所以1X A B -=可表示为11121112122222121n n n n n nn x A A A b x A A A b D x A A A bn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L， 故有 ()11221j j j n nj x b A b A b A D=+++L 111,111,11212,122,121,1,11j j n j j nn n j nn j nna ab a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=L LL L M M M M M LL=j D D. ()1,2,,j n =L推论1 如果非齐次线性方程组（3. 4）无解或有无穷解，则它的系数行列式必为零.推论2 如果齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L 的系数行列式0D ≠，则它只有零解.推论 3 齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0D =.例3. 20 解线性方程组1234123412341234224432485341233226x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪+-+=⎩解 系数行列式2211431285343322D --=--20=≠，由克拉默法则，方程组有唯一解.而 1421143124125346322D --==--，2241144120812343622D --==--，3224143428851243362D ==-，4221443148853123326D --==---. 所以 11422D x D ===，22002D x D ===， 33842D x D -===-，44842D x D -===-.例3. 21 当k 取何值时，方程组1232123123424x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？在有解的情况下，求出方程组的全部解.解 系数行列式 ()()111114112kA kk k =-=+--，由克拉默法则，当0A ≠时，即1k ≠-且4k ≠时，方程组有唯一解，用公式（3. 5）求得唯一解为212232124121k k k x k k x k x k k ⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎛⎫ ⎪++ ⎪= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪+⎝⎭. 当1k =-时，111411111124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭213123111402380005r r r r r r +-↔-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭.由()()23R A R A =≠=，方程组无解.当4k =时，1144141161124A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭21311144055200228r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---⎝⎭()233252114401140000r r r r ÷÷--⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭12103001140000r r -⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭.由()()23R A R A ==<，方程组有无穷解，通解为1234x cx c =-⎧⎨=-+⎩（c 为任意常数）， 通解也可以用矩阵形式表达，即123301410x x c x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例3. 22 当,λμ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解？并求解.解 系数行列式1111121A λμμ=()1111011210λλμμλλμ=--=---，由推论3，当0A =时有非零解，即0μ=或1λ=.当0μ=时，11101101A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1232011101000r r r r λλ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 12101011000r r λ↔⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭，通解为()121x k x k λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即123111x x k x λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当1λ=时，32211111111101012100r r r r A μμμμ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23123221111101010010000000r r r r r r r μ--+⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通解为120x k x =-⎧⎨=⎩， 即123101x x k x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.习题3. 41. 已知矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011012111，问A 是否可逆，若可逆，求出逆矩阵. 2. (1) A 是3阶矩阵，||2A =，A 的伴随矩阵为*A ，求*|2|A .(2)设111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，求***(1,1,1)(1,2,1)(1,1,3)T T T A A A ++.3. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.（1）321312131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭； （2）01112022200111111011-⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪-⎝⎭. 4. 问λ 取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z x yx z y xλλλ有非零解？5. 用克拉默法则解方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=++-=++-4333235233362324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .练习三1. 填空与选择.(1)设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()_____A -=.(2) 方程2212341334034123415x x -=-的根为_________.(3) A 是n 阶可逆矩阵，A a =，且A 的各行元素之和均为b ，则A 的代数余子式之和12____.j j nj A A A +++=L(4) 设A 为n 阶方阵，则||0A =的必要条件是( ) .(A) A 的两行元素对应成比例 (B) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零 (D) A 中任一行为其余行的线性组合(5) 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵，则10(3)0T A B -⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）.(A) 1(3)AB -- (B) 1(3)n A B --(C) (3)n A B - (D) 19n AB -（6） 设A 为n 阶方阵,*A 是其伴随矩阵,下列说法不正确的是（ ）.(A) 若0A ≠，则*0A ≠ (B) 若()1R A n =-，则*0A = (C) 若10A =，则*110n A -= (D) *A A AE =（其中E 为n 阶单位矩阵） 2. 计算下列n 阶行列式.(1)111111111x x x LLM M M ML；(2)121111111111(0,1,2,,)11111i na a a i n a ++≠=+L L L M M M M M L .3. 计算n 阶行列式0001000101n x y xy x y xy D x y x y++=++L L L M M M M M L.4. 设,,a b c 是三角形的三条边，证明：00000a bca cb bc a c b a <.5. 矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120017，求10A ，1-A . 6. =A ()211ββα，=B (),212ββα 其中2121,,,ββαα都是3行1列矩阵，已知,3,2==B A 求B A +的值.7. 证明：如果方程组1122334112233411223341122334a ab bc cd d a x x x a b x x x b c x x x c d x x x d ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩有解，则行列式12341234123412340a a a a b b b b c c c c d d d d =.8. 已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求伴随矩阵*A 的逆矩阵.9. 已知实矩阵33()ij A a ⨯=，满足条件(1)(,1,2,3)ij ij a A i j ==,其中ij A 是ij a 的代数余子式. (2) 0ij a ≠.计算行列式||A .10. 设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，求B .11. 试讨论当λ为何值时，方程组000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一零解？有非零解？12. 设线性方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的系数矩阵为A ，三阶矩阵0B ≠，且0AB =，求λ的值.13. 讨论a 取什么值时，线性方程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解，并求解.数学史与数学家简介[3]行列式小记“行列式”这一名词首先是由高斯(Gauss ，1777-1855)在1801引入的，当然指的不是现代行列式的含义，而是用以表示二次式的判别式.柯西(Caucy ，1789-1857) 于1812年给出了现代意义下的行列式这个词， 1841年凯莱则引入了两条竖线,到此为止标准的行列式出现了.行列式最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式出现于线性方程组的求解,1683年日本数学家关孝和著作《解伏题之法》，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述.1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件.因此,我们认为行列式是由关孝和和莱布尼茨发明的.1750 年，瑞士数学家克拉默 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) .范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来成为法兰西科学院院士.范德蒙给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法,得到了拉普拉斯展开定理.法国大数学家柯西在行列式的理论方面也做出了突出贡献.1815 年，柯西给出了行列式的乘法定理:ij ij ij a b c ⋅=,其中,ij ij a b 表示n 阶行列式,ij ij ijc ab =∑.并给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.另外，他第一把行列式的元素排成方阵，采用双重足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等.1825年，舍尔克(H.F.Scherk ，1798-1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等.德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)在行列式理论方面是最多产的人，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成.值得一提的是，在 19 世纪的半个多世纪中詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-18940)对行列式理论研究始终不渝，并做出一定成绩.由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展.整个 19 世纪都有行列式的新结果.除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到.克拉默小传克拉默 (G.Cramer,1704-1752)瑞士数学家，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教.1727年进行为期两年的旅行访学，期间结识了约翰·伯努利、欧拉等一些大数学家，结为挚友.随后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家.回国后，与他们长期通信，交流学习，为数学宝库留下了最有价值的文献.1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授.他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学。
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先让i向右移动，依次与 k1, k2 ,, ks 交换. 这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为
, k1, k2 ,, ks ,i, j,.
再让j向左移动，依次与 i, ks ,,, k2 , k1 交换. 经过s+1次
相邻的两个数码的对换后，排列变为
列中，i j, 那么经过对换 i, j后，i与j就构成一个
反序. 因面后一排列的反序数比前一排列的反序
数增多一个.若在给定的排列中，i j,那么经过对换
后，排列的反序数减少一个.不论是哪一种情形，排 列的奇偶性都有改变.
2 现在来看一般的情形. 假定i与j之间有s个数码，我
们用 k1, k2 ,, ks 来代表. 这时给定的 排列为
（2） j, k1, k2 ,, ks ,i,.
但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列. 因此，
对（1）施行对换 i,j
相i,当j 于连续施行2s+1次相邻数码的
对换. 由 1 ，每10经过一次相邻两数码的对换，排列都改变
奇偶性.由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶
在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一 个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序.
计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为 m1 个，那么就有 m1个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 m2个，那么就有 m2个数
码与2构成反序；再把2划去，计算有多少个数码在3前面，
一、排列、反序及奇、偶排列的定义 二、对换的定义及性质
一、排列、反序及奇、偶排列的定义
n个数码 1,2,n 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组. 例如: 1234，2314都是四个数码的排列.
n个数码的不同排列共有n！个
例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共 有3！= 6个，它们是：123，132，231，213，312， 321.
设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个
数码（显然 mn .0 ），那么这个排列的反序数等于 m1 m2 mn .
例如：在排列451362里，m1 2, m2 4, m3 2, m4 m5 m6 0. 所以这个排列有8个反序数.
一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数.有 偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反 序的排列叫做奇排列.
二、对换的定义及性质
看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意 两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那 么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一 个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示.
如排列13245经过对换(3,5)后，得到一个新的 排列15243.
定理3.2.1 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变.
性相反.
定理3.2.2 在 n 2 时，n个数码的奇排列和偶排
列的个数相等，各为
n! 2
个.
证 设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列
共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换 i, j,
那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p 个偶排列施行对换(i,j)又可以得到原来的p个奇排 列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个
通过一系列对换可由 12n得出j1 j2 jn . 这一点容易看出，因为已经知道， 通过一系列对换可以由 j1 j2 jn得出12n ，按照相反的次序施行这些对换，就可由
12n得出j1 j2 jn
作业
P70-71 1,2,3,4
偶排列,所以 p q. 同样可得 q p. 因此 p q.
定理3.2.3 设i1i2 in和j1 j2 jn 是n个数码的任意两个 排列，那么总可以通过一系列对换由
i1i2 in得出j1 j2 jn
证: 已经知道，通过一系列对换可以由
i1i2 in得出12 n. 我们只需证明，
.
证 1 我们首先看一个特殊的情形，就是被对
换的两个数码是相邻的. 设给定的排列为
A
B
,i, j, ,
其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j, 得
A这两个排列的反序数.显然经过这个对换 后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数 码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的 数码所构成的反序数也没有改变. 若在给定的排