组合课件(第一课时)
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组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
（一）、组合的定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
m
1)!
m 1
n!
(m 1)! (n m )(n m 1)!
n! m !(n
m)!
C
m n
.
例题讲解
例．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1） 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种 取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球， 有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，共有多少 种取法？
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 C A
3
3
C4 3 4
P4 3
34
P3 3 3
概念讲解 （三）、组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
元素的组合数 C．nm
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解 思考一:aB与Ba是相同的排列 还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Amm．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
（二）、组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号
C百度文库
m n
表示.
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
素的所有组合.
a
1098 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
例
求证
:
C
m n
m 1 nm
C
m n
1
.
证明:
Cm n
m
（!
n！ nm
）!
,
m 1 nm
C
m n
1
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
的所有组合个数是:
C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 两个元素的所有组合个数是： C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc
排列
abc bac cab acb bca cba
解：（1）取出3个球中有黑球的方法数
C72
7 6 21 2!
Cm n1
Cnm (不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
例1 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
例2．计算：
C73
C74
C85
C
6 9
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96 C84 C85 C96 (C84 C85 ) C96 C95 C96 C160 C140
m!(n m 1)!
m!(n m 1)!
(n 1)! m!(n m 1)!
Cm n 1
Cm n1
Cnm
Cnm1
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同 的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算；
③等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n m)!
我
们
规
定
：
C n0
1.
组合数的两个性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
证明:
Q
Cnm
C m1 n
n! m!(n
m)!
(m
n! 1)![n
(m
1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
abd
abd bad dab
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
A3
对于 4 ，我们可以按照以下步骤进行
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
（一）、组合的定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
m
1)!
m 1
n!
(m 1)! (n m )(n m 1)!
n! m !(n
m)!
C
m n
.
例题讲解
例．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1） 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种 取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球， 有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，共有多少 种取法？
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 C A
3
3
C4 3 4
P4 3
34
P3 3 3
概念讲解 （三）、组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
元素的组合数 C．nm
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解 思考一:aB与Ba是相同的排列 还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Amm．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
（二）、组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号
C百度文库
m n
表示.
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
素的所有组合.
a
1098 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
例
求证
:
C
m n
m 1 nm
C
m n
1
.
证明:
Cm n
m
（!
n！ nm
）!
,
m 1 nm
C
m n
1
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
的所有组合个数是:
C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 两个元素的所有组合个数是： C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc
排列
abc bac cab acb bca cba
解：（1）取出3个球中有黑球的方法数
C72
7 6 21 2!
Cm n1
Cnm (不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
例1 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
例2．计算：
C73
C74
C85
C
6 9
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96 C84 C85 C96 (C84 C85 ) C96 C95 C96 C160 C140
m!(n m 1)!
m!(n m 1)!
(n 1)! m!(n m 1)!
Cm n 1
Cm n1
Cnm
Cnm1
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同 的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算；
③等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n m)!
我
们
规
定
：
C n0
1.
组合数的两个性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
证明:
Q
Cnm
C m1 n
n! m!(n
m)!
(m
n! 1)![n
(m
1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
abd
abd bad dab
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
A3
对于 4 ，我们可以按照以下步骤进行
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3