三个事件的乘法公式
乘法原理推导过程
乘法原理推导过程乘法原理是概率论中的一项重要原则，用于计算复合事件的可能性。
它的推导过程如下：假设有两个事件A和B，A的概率为P(A)，B的概率为P(B)。
我们希望计算同时发生A和B的概率。
首先，我们可以假设事件A发生的情况下，事件B发生的概率是多少。
这个条件概率可以表示为P(B|A)，读作“在A发生的条件下，B 发生的概率”。
根据概率的定义，我们知道事件A和B同时发生的概率可以表示为P(A∩B)，读作“A交B的概率”。
根据条件概率的定义，我们可以将P(A∩B)表示为P(A)乘以P(B|A)。
即：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)这就是乘法原理的数学表达式。
如果我们希望计算多个事件同时发生的概率，可以通过多次应用乘法原理来推导。
例如，如果有三个事件A、B和C，我们希望计算这三个事件同时发生的概率。
根据乘法原理，我们可以将这个概率表示为：P(A∩B∩C) = P(A) × P(B|A) × P(C|A∩B)这样，我们可以根据需要依次应用乘法原理，计算复合事件的概率。
总而言之，乘法原理是基于条件概率的推导过程，用于计算复合事件的概率。
下面是乘法原理的推导过程：1. 假设有两个事件A和B，A的概率为P(A)，B的概率为P(B)。
2. 假设A发生的条件下，B发生的概率为P(B|A)。
3. 根据概率的定义，事件A和B同时发生的概率可以表示为P(A∩B)。
4. 根据条件概率的定义，将P(A∩B)表示为P(A)乘以P(B|A)。
即：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)。
5. 进一步应用乘法原理，可以推导出多个事件同时发生的概率。
例如，对于三个事件A、B和C，可以表示为：P(A∩B∩C) = P(A) × P(B|A) × P(C|A∩B)。
这个推导过程帮助我们理解乘法原理的数学表达及其在概率计算中的应用。
概率：乘法公式及其应用
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P ( AB) (1) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
C={囚犯丙被处决} 依题意，P(A)=1/3, P(A| B)=P(A)／[1-P(B)]=1/2, 甲 P(A|C )=1/2, 看守说得对.
对于看守的上述理由,你是怎么想的?
解：记 A={囚犯甲被处决}, B={囚犯乙被处决}
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
1000 个
求的是 P(A|B) .
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
事件的条件概率和三个基本公式
(6) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B)
5
二、乘法公式
P( AB) 由条件概率的定义： P( A B ) P( B )
即若P(B) > 0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) 若P(A) > 0, 则 P(AB)=P(A)P(B|A) 推广到三个事件：
集合的划分
B3
B1 B2
B6
B7 B8
Ω
A B4 B5
14
设 B1 , B2 , , Bn 为 一 个 完 备 事 件 组 ， 对 任 一 事 件 A， 有
A AΩ AB1 AB2 ABn
显然 AB1 , AB2 ,, ABn 也两两不相容，
B3
B1 B2
A B4 B5
2 2 4 P( AB ) . P( A B) 3 34 P( B )
3
条件概率的计算公式规定如下：
P( AB ) (P( B) 0) P( A B ) P( B )
例 设袋中有7个黑球，3个白球，非还原摸取两次， 如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的 概率。若改为还原摸取，结果如何？ 解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
偏 小
甲
乙
丙
P(B1) P(B2) P(B3)
但在知道案情细节 知道A 发生后 后, 这个估计就有 P(B1 | A) P(B2 | A) P(B3 | A) 了变化. 比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变 最 成了重点嫌疑犯.
大
24
再 举 一 个 医 学 例 子 。在 医 疗 诊 断 中 ，为 了诊 断 病 人 到 底 患 了 毛 病 B1 , B2 , , Bn 中 的 哪 一 种 ，对 病 人 进 行 检 查 ，确 定 了 某 个 指 标 A( 比 如 体 温 ). 根 据 以 往 资 料 可 知
概率论与数理统计随机事件与概率条件概率与乘法公式
概率论与数理统计第1章随机事件与概率第4讲条件概率与乘法公式01 条件概率02 乘法公式本 讲 内容在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件下世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也不例?条件概率外.通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要大得定程度的相互影响．多．在同一个试验中的不同事件之间，通常会存在着一例如，在天气状况恶劣的情况下交求事件的概率.概率，将此概率记作P(B|A).如在事件A 发生的条件下求事件B 发生的在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”. 求P(B),P(B|A).Ὅ例1解由前例可知无论有放回抽样和无放回抽样都有（1）有放回抽样（2）无放回抽样独立性如何定义？.设A 、B 为两事件, P ( A ) > 0 , 则称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.称为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率.同理Ὅ 定义Ὅ性质条件概率也是概率, 故概率的重要性质都适用于条件概率.例如：在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A 表示“第一件为一等品”，B 表示“第二件为一等品”. Ὅ例2 2) 可用缩减样本空间法1) 用定义计算:P (A )>0A 发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B 所含样本点个数无放回抽样Ὅ 计算.在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品. 现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.Ὅ例3解设A=依题意，P(A)=所求概率为P(B|A) .{任取一件为合格品}，B={任取一件为一等品}0.96,0.72.P(B)=利用事件的关系及概率性质公式求条件概率Ὅ例4设A，B，C 是随机事件，A与C互不相容，则.由条件概率的定义：若已知P(A), P(B|A)时, 可以反过来求P(AB).注乘法公式.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，Ὅ例5男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职工，计算（1）该职工技术优秀的概率；（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率.解设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男性”，则:(1)利用古典概率有.(2)通过缩减样本空间，有.Ὅ例6某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件A）、“图书”（记为事件B）、“电影”（记为事件C），调查读者的阅读习惯有如下结果:试求解01 条件概率02 乘法公式本 讲 内容乘法公式推广ab -1ab O F (x )xb a 1xf (x )O盒中装有100个产品, 其中3个次品，从中不放回Ὅ例7地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.解令A i为第 i 次取到正品（波利亚罐子--传染病模型）一个罐子中包含b 个白球和r 个红球. b 个白球, r 个红球Ὅ 乘法公式应用举例8随机地抽取一个球，观看颜色后放进行四次，试求第一、二次取到白 球且第三、四次取到红球的概率.回罐中，并且再加进c 个与所抽出 的球具有相同颜色的球.这种手续于是W 1W 2R 3R 4表示事件“连续取四个球，第一、二个是白球，第三、四个是红球. ”设W i =R j ==P (W 1)P (W 2|W 1)P (R 3|W 1W 2)P (R 4|W 1W 2R 3)P (W 1W 2R 3R 4)解1,2,3,4{第i 次取出是白球}，i =j ={第j 次取出是红球}，1,2,3,4记A=为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率.Ὅ例9解报警系统至少一个有效”可表示为A ∪B ，由于“两个“系统(Ⅰ) 有效”，B=“系统(Ⅱ)有效”，且A 和 互斥，因此:学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
概率：乘法公式及其应用
故
P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
(3)
注ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP(AB)与P(A | B)的区别！
请看下面的例子
例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
条件概率P(A|B)与P(A)数值关系 条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么, 是否一定有: P(A|B) P(A)? 或 P(A|B) P(A)? 请思考！！
AB A
S
3. 条件概率的性质(自行验证) 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P (S | B) =1 ；
3.设A1,…,An互不相容，则 P[(A1+…+An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
概率：乘法公式及其应用
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B). 一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
二、 乘法公式 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B) P ( B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
概率论与数理统计公式整理大学考试必备
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
连续型
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
第三章 二维随机变量及其分布
（1）联合分布
离散型
如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列与非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验与随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x与y是右连续的，即
（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为