2021-2022学年湖南省怀化市溆浦县、会同县九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年湖南省怀化市溆浦县、会同县九年级（上）期末数学试卷1.下列四个点中，在反比例函数y=−6x的图象上的是( )A. (3,−2)B. (3,2)C. (2,3)D. (−2,−3)2.已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=( )A. 38°B. 62°C. 52°D. 72°3.如图，DE//BC，则下列比例式错误的是( )A. ADBD =DEBCB. ADBD =AEECC. ABBD =ACECD. ADAB =AEAC4.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2−16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是( )A. 24B. 24或8√5C. 48或16√5D. 8√55.如图，D，E分别是AB，AC上的两点，CD与BE相交于点O，下列条件不能使△ABE和△ACD 相似的是( )A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD，AB=ACD. AD:AC=AE:AB6.已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象大致是( )A.B.C.D.7.把中考体检调查学生的身高作为样本，样本数据落在1.6～2.0(单位：米)之间的频率为0.28，于是可估计2000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生有( )A. 56B. 560C. 80D. 1508.2012年滕县某陶瓷厂年产值3500万元，2014年增加到5300万元．设平均每年增长率为x，则下面所列方程正确的是( )A. 3500(1+x)=5300B. 5300(1+x)=3500C. 5300(1+x)2=3500D. 3500(1+x)2=53009.如图，△ABC中，D为AC中点，AF//DE，S△ABF：S梯形AFED=1：3，则S△ABF：S△CDE=( )A. 1：2B. 2：3C. 3：4D. 1：110.已知点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是函数y=−5x图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y3<y2<y1D. 无法确定11.若yx =12，则y+xx=______ ．12.在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC的长是______ ．13.方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=______．14.在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA−12|+(sinB−√22)2=0，则∠C=______ ．15.如图，点P是∠α的边OA上的一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα=______ ．16.如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′=______ ．17.计算：(1)−12021−2−1+sin30°+(π−314)0；(2)cos245°+sin60°tan45°+sin230．18.解方程：(1)4(x−3)2−25=0；(2)3x(x−3)=2(x−1)(x+1)．19.如图已知A(−4,2)，B(n,−4)两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积．20.如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？21.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？22.某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动，“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别(图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类)，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图(如图)，请你结合图中的信息解答下列问题：(1)求被调查的学生人数；(2)补全条形统计图；(3)已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？23.同学们我们以前学过乘法公式，你一定熟练掌握了吧！计算：(1−122)(1−132)(1−142)(1−1 52)⋯(1−1n2)．24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．(1)求证：△DOB∽△ACB．(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长．(3)当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y=kx中，k=xy为定值是解答此题的关键；根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．【解答】解：由反比例函数y=−6x的解析式，可得xy=−6，A.∵3×(−2)=−6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；B.∵3×2=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C.∵2×3=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D.∵(−2)×(−3)=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选A．2.【答案】C【解析】解：∵锐角α，且sinα=cos38°，sinA=cos(90°−∠A)，∴sinα=cos(90°−α)=cos38°，∴90°−α=38°，解得：α=52°．故选：C．直接利用一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos(90°−∠A)，即可得出答案．此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．3.【答案】A【解析】解：∵DE//BC，∴AD BD =AEEC，ABBD=ACEC，ADAB=AEAC；∴A错误；故选A．根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．4.【答案】B【解析】解：∵x2−16x+60=0，∴(x−6)(x−10)=0，解得：x1=6，x2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①，AB=AC=6，BC=8，AD是高，∴BD=4，AD=√AB2−BD2=2√5，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×8×2√5=8√5；当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，S△ABC=12BC⋅AC=12×8×6=24．∴该三角形的面积是：24或8√5．故选：B．由x2−16x+60=0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．5.【答案】C【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB时，△ABE和△ACD相似．当BE=CD，AB=AC时，不能判定△ABE和△ACD相似．6.【答案】C【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0，∴正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，的图象经过第二、四象限．反比例函数y=bx综上所述，符合条件的图象是C选项．故选：C．根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数y=kx和反比例函数y=b图象所在的象限．x本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7.【答案】B【解析】解：0.28×2000=560.故选B．根据频率的意义，每组的频率=该组的频数：样本容量，即频数=频率×样本容量．数据落在1.6～2.0(单位：米)之间的频率为0.28，于是2000名体检中学生中，身高在1.6～2.0米之间的学生数即可求解．本题考查频率的意义与计算，频率的意义，每组的频率=该组的频数：样本容量．8.【答案】D【解析】解：设每年的增长率为x，依题意得3500(1+x)(1+x)=5300，即3500(1+x)2=5300．故选D．由于设每年的增长率为x，那么第一年的产值为3500(1+x)万元，第二年的产值3500(1+x)(1+x)万元，然后根据今年上升到5300万元即可列出方程．本题考查了列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平均增长率为x”的含义以及找到题目中的等量关系．9.【答案】D【解析】解：△ABC中，∵AF//DE，∴△CDE∽△CAF，∵D为AC中点，∴CD：CA=1：2，∴S△CDE：S△CAF=(CD：CA)2=1：4，∴S△CDE：S梯形AFED=1：3，又∵S△ABF：S梯形AFED=1：3，∴S△ABF：S△CDE=1：1．故选：D．先由AF//DE，得出△CDE∽△CAF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出S△CDE：S△CAF=(CD：CA)2=1：4，则S△CDE：S梯形AFED=1：3，然后结合已知条件S△ABF：S梯形AFED=1：3，即可求出S△ABF：S△CDE=1：1．本题考查了中点的定义，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出S△CDE：S△CAF=1：4是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是函数y=−5x图象上的三点，∴y1=−5−1=5，y2=−51=−5，y3=−52=−2.5．∵−5<−2.5<5，∴y2<y3<y1故选：B．把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y1、y2、y3的值，然后比较它们的大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点坐标都满足该函数解析式．11.【答案】32【解析】解：∵yx =12，∴y+xx=y x +1=12+1=32．故答案为：32．先把式子y+xx 化成yx +1，再把yx =12代入计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12.【答案】√5【解析】解：△ABC 中，∠C =90°， 所以sinA =BCAB=23，而BC =2， 所以AB =3，所以AC =√AB 2−BC 2=√5． 故答案为√5．先利用正弦的定义得到sinA =BCAB =23，可计算出AB =3，然后根据勾股定理计算AC 的长． 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．13.【答案】1【解析】解：∵方程x 2+2x +m =0有两个相等实数根， ∴△=b 2−4ac =4−4m =0， 解之得：m =1．若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b 2−4ac =0，建立关于m 的方程，求出m 的取值． 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．14.【答案】75°【解析】【分析】此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA −12=0，sinB −√22=0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A 、∠B 的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C 的度数即可．【解答】解：∵|cosA −12|+(sinB −√22)2=0， ∴cosA −12=0，sinB −√22=0， ∴cosA =12，sinB =√22， ∴∠A =60°，∠B =45°，则∠C =180°−∠A −∠B =180°−60°−45°=75°，故答案为75°．15.【答案】512【解析】解：作PB ⊥x 轴于点B ，则PB =5，OB =12，在Rt △POB 中，tanα=PB OB =512， 故答案为：512．作PB ⊥x 轴于点B ，根据正切的定义计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形，掌握正切的定义是解题的关键．16.【答案】2−√2【解析】解：设BC 与A′C′交于点E ，由平移的性质值，AC//A′C′，∴△BDA′∽△BCA ，∴S △BDA′：S △BCA =A′B 2：AB 2=1：2，∵AB =2，∴A′B =√2，∴A′A =AB −A′B =2−√2．故答案为：2−√2．利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，先求出A′B ，再求AA′即可得出答案．本题主要考查三角形的面积，运用相似三角形的性质和平移的性质是解题的关键．17.【答案】解：(1)−12021−2−1+sin30°+(π−314)0=−1−12+12+1=0．(2)cos 245°+sin60°tan45°+sin 230=(√22)2+√32×1+(12)2=12+√32+14 =34+√32．【解析】(1)首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．(2)首先计算特殊角的三角函数值、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18.【答案】解：(1)4(x −3)2=25，开方得：2(x −3)=±5，解得：x 1=112；x 2=12； (2)方程化为一般形式，得x 2−9x +2=0，∵a =1，b =−9，c =2，∴b 2−4ac =(−9)2−4×1×2=73，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=9±√732×1=9±√732， ∴x 1=9+√732,x 2=9−√732． 【解析】(1)两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)先把方程化为一般形式：x 2−9x +2=0，然后把a =1，b =−9，c =2代入求根公式计算即可．本题考查了解一元二次方程，能性质适当的方法解方程是解此题的关键．19.【答案】解：(1)∵A(−4,2)，B(n,−4)两点是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =m x 图象的两个交点，∴m =(−4)×2=−8，∴反比例函数y =−8x， ∴−4n =−8，解得n =2，∴B(2,−4)，把A(−4,2)，B(2,−4)代入y =kx +b 得{−4k +b =22k +b =−4， 解得{k =−1b =−2， ∴一次函数的解析式为y =−x −2；(2)令y =−x −2=0，解得x =−2，∴C(−2,0)，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×2×2+12×2×4=6．【解析】(1)将A 坐标代入反比例函数解析式中，求出m 的值，确定出反比例解析式，再将B 的坐标代入反比例解析式中求出n 的值，确定出B 的坐标，将A 、B 坐标代入一次函数解析式中利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；(2)利用三角形面积公式，根据S △AOB =S △AOC +S △BOC 求得即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的数学思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．20.【答案】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴MA MO =ACOP，即MA20+MA =1.68，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5−1.5=3.5米．【解析】本题考查的是相似三角形的应用有关知识.如图，由于AC//BD//OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．21.【答案】解：设每个商品定价为x元，则销售量为180−10(x−52)=(700−10x)个，依题意得：(x−40)(700−10x)=2000，整理得：x2−110x+3000=0，解得：x1=50，x2=60．当x=50时，700−10x=200>180，不合题意，舍去；当x=60时，700−10x=100，符合题意．答：每个商品定价为60元．【解析】设每个商品定价为x元，则销售量为(700−10x)个，根据总利润=销售每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.【答案】解：(1)被调查的学生人数为：12÷20%=60(人)；(2)喜欢艺体类的学生数为：60−24−12−16=8(人)，如图所示：(3)全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×2460=480(人)． 【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用到的知识点是频数、频率与总数之间的关系和用样本估计总体，关键是根据科普类的人数和所占的百分比求出被调查的总人数．(1)根据科普类的人数和所占的百分比求出被调查的总人数；(2)用总人数减去文学类、科普类和其他的人数，求出艺体的人数，从而补全统计图；(3)用该校的总人数乘以喜爱文学类图书的学生所占的百分比即可．23.【答案】解：(1−122)(1−132)(1−142)(1−152)⋯(1−1n 2) =(1+12)(1−12)(1+13)(1—−13)…+(1+1n )(1−1n )=32×12×43×23×…×n+1n ⋅n−1n=(12×23×34×…×n−1n )⋅(32×43×54×65×…×n+1n )=1n ⋅n+12=n+12n ．【解析】根据平方差公式解决此题．本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．24.【答案】(1)证明：∵DO ⊥AB ，∴∠DOB =∠DOA =90°，∴∠DOB =∠ACB =90°，又∵∠B=∠B，∴△DOB∽△ACB；(2)解：∵∠ACB=90°，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴DC=DO，在Rt△ACD和Rt△AOD中，{AD=ADDC=DO，∴Rt△ACD≌Rt△AOD(HL)，∴AC=AO=6，设BD=x，则DC=DO=8−x，OB=AB−AO=4，在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO2+OB2=BD2，即(8−x)2+42=x2，解得：x=5，∴BD的长为5；(3)解：∵点B′与点B关于直线DO对称，∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，∵∠B为锐角，∴∠OB′D也为锐角，∴∠AB′D为钝角，∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，∵△DOB∽△ACB，∴OB BD =BCAB=810=45，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，∵AB′+B′O+BO=AB，∴5x+4x+4x=10，解得：x=1013，∴BD=5013．【解析】(1)由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易证明△DOB∽△ACB；(2)先由勾股定理求出AB，由角平分线的性质得出DC=DO，再由HL证明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，设BD=x，则DC=DO=8−x，由勾股定理得出方程，解方程即可；(3)根据题意得出当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出OBBD =BCAB=45，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD．本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)(3)中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果．。