驻波的能量分析与MATLAB模拟_徐宗瑜
一种基于地表类型的地杂波快速仿真方法
收稿日期：2020-03-26修回日期：2020-05-17基金项目：中国博士后科学基金资助项目（2018M642249）作者简介：张莹（1985-），女，河北沧州人，硕士，工程师。
研究方向：机载雷达杂波模拟技术。
*摘要：地杂波仿真技术对机载雷达的设计与研制有着重要影响。
针对机载雷达地杂波仿真技术开展研究，提出了一种基于地表类型的地杂波快速仿真方法。
该方法以数字地图和载机航线为两个重要输入，采用雷达波束照射区域的数字地图为有效先验地理环境信息进行仿真，提高了杂波仿真的逼真度；同时针对传统仿真方法中计算量较大的问题，优化了散射单元中天线功率增益的计算方法，减少了仿真时间。
对所提方法进行了计算机仿真验证，结果表明，该方法能够仿真多种场景下与实测数据高度近似的地杂波。
关键词：地杂波，机载雷达，地表类型，快速仿真，高逼真度中图分类号：TN958文献标识码：ADOI ：10.3969/j.issn.1002-0640.2021.05.033引用格式：张莹，张晨晓，廖理.一种基于地表类型的地杂波快速仿真方法［J ］.火力与指挥控制，2021，46（5）：174-179.一种基于地表类型的地杂波快速仿真方法*张莹，张晨晓，廖理（中国航空工业集团公司雷华电子技术研究所，江苏无锡214063）A Fast Simulation Method of Ground ClutterBased on Land Cover TypeZHANG Ying ，ZHANG Chen-xiao ，LIAO Li（AVIC Leihua Electronic Technology Research Institute ，Wuxi 214063，China ）Abstract ：The technology of ground clutter simulation has an important influence on the designand development of airborne radar.This article has researched on the ground clutter simulation technology of airborne radar ，and has proposed a fast simulation method of ground clutter based on land cover type.This method takes digital map and airplane route as two important inputs ，and uses digitalmap of radar beam irradiation area as effective prior geographic environmental information to make simulation ，which improves the fidelity of clutter simulation.At the same time ，according to the problem of large amount of calculation in the traditional simulation method ，the calculation method of the antenna power gain in the scattering unit is optimized and the simulation time is greatly reduced.The proposed method is verified by computer simulation ，and the results show that this method can simulatethe ground clutter which is highly similar to the measured data in many simulation scenes.Key words ：ground clutter ，airborne radar ，land cover type ，fast simulation ，high fidelity Citation format ：ZHANG Y ，ZHANG C X ，LIAO L.A fast simulation method of ground clutter based on land cover type ［J ］.Fire Control &Command Control ，2021，46（5）：174-179.0引言随着机载相控阵雷达得到长远发展和重视，在研制机载相控阵雷达系统时，需要采用实测或仿真的地杂波数据对杂波抑制、目标跟踪等性能进行验证。
圆环驻波实验的深入解析
表 １ 驻波节点数据记录表
频率 / Ｈｚ
９.０
１２.０
１７.６
３３.０
３６.０
５２.０
６４.０
８２.０
２０ ｃｍ
( 细)
２０ ｃｍ
( 粗)
３０ ｃｍ
( 粗)
４０ ｃｍ
( 粗)
５０ ｃｍ
( 粗)
－
－
－
３
４
３
－
ห้องสมุดไป่ตู้
－
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３
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３
－
射系数 ｒꎬ定义为反射后的行波振幅与反射前的振
幅之比ꎬ设定反射系数 ｒ 在每次反射前后均保持
恒定值ꎮ 以 Ａ 表示行波的振幅ꎬ那么经过 ｎ 次反
射后的振幅将会变为 ｒ ｎ Ａꎮ
经过平直弦线左端点的行波ꎬ经过多次反射
后的各列波的波动表达式为:
２２
圆环驻波实验的深入解析
将测试后的吉他弦弯成圆环状固定在振动源
上ꎬ当振源频率和弹性弦线长度满足一定条件时ꎬ
即可观测到稳定的圆环驻波 [７] ꎮ
若记 ｕ 为弦驻波在圆环线上传播的速度ꎬＴ
为圆环弦线中的张力ꎬｒ 为圆环线的线密度ꎬλ 为
波源振动频率ꎬｌ 为驻波波长ꎬ那么根据波动方程
及波动规律有:
收稿日期: ２０１９￣０８￣０８
在选择驻波载体时经过反复筛选ꎬ确定了能以有
限的长度展现出较多清晰的驻波节点的优良材
料—吉他弦ꎬ以便于观察到明显的圆环驻波现象ꎮ
驻波能量分析
驻波能量分析摘要：驻波是由振幅、频率、和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线沿相反方向传播时叠加而成的一种特殊形式的干涉现象。
但是它不同于行波，它不定向传播能量，只是在波腹和波节间转移。
本文以定量的方式来讨论驻波能量问题。
关键词：驻波能量定量解释不定向传播一、驻波的方程现在假设两个振幅、频率、和传播速度都相同、初相为零的两列简谐波，其波动方程分别为：y1=Α cos2π (νt− X/λ); (1)y2=Α cos2π (νt+ X/λ); (2)式中Α为波的振幅，ν为频率，λ为波长。
则其形成的驻波的波函数为：y=2Acos2πx/λcos2πνt; (3)上式表明驻波上各点做振幅为|2Acos2πx/λ|、频率为ν的简谐运动。
由驻波的波函数易得其波节位置为：x=±(2k+1)λ/4, k=0,1,2,⋯波腹位置为：x=±kλ/2, k=0,1,2,⋯二、驻波的动能、势能、总能量、能量密度下面我们以下图所示的棒为例，假设其为弹性均匀介质。
考察距棒x处一段长为dx的体积元。
该棒的密度为ρ，截面积为S，则该体积元体积为dV=Sdx，质量为dm=ρSdx。
当波传到了该体积元时，若它的左端发生了位移y,右端位移为y+dy,这表明它不仅发生了运动，而且还发生了被拉伸dy的形变，所以它应同时具有振动动能和弹性势能。
d W k=1/2(dm)υ; (4)由式(3)，该体积元的振动速度为：υ=∂y/∂t=−2πν·2 Acos2π x/λ cos2πνt=−4πν Acos2π x/λ cos2πνt(5)所以sin22πνt; (6)d W k=1/2ρdV 16π2ν2A2cos22πxλ同时，体积元因形变而具有的弹性势能d W p=k(dy)2/2, 此处k为棒的劲度系数，而k与弹性模量E的关系为k=SE/dx。
于是弹性势能为：d W p=k(dy)2/2= SE/dx·(dy)2/2= SE·dx(dy/dx)2/2;又因为υ=E/ρ.所以上式为：d W p =1/2ρυ2(dy/dx)2;而此时dy/dx =∂y/∂x =−2π/λ·2A sin 2π x/λ cos 2πνt;所以d W p =1/2 ρdV 16π2ν2A 2sin 22πxλ cos 22πνt ; (7) 所以体积元的总能量为dW=d W k + d W p =8 ρdV π2ν2A 2(cos 22πxλsin 22πνt +sin 22πxλcos 22πνt); (8)其能量密度为： W =dWdV =8ρπ2ν2A 2(cos 22πxλ sin 22πνt +sin 22πxλcos 22πνt); (9)三、驻波能量在波节波腹间的变化①相邻波节、波腹之间的能量为W= dW= 8ρ π2ν2A 2(cos 22πx λ sin 22πνt +sin 22πx λcos 22πνt)dV =S8ρ π2ν2A 2(cos 22πx λ sin 22πνt +sin 22πx λcos 22πνt)dx (2k+1)λ/42k λ/4=8S ρ π2ν2A 2[sin 22πνt ·(12x +λ8πsin 4π x/λ)|2k λ/4(2k+1)λ/4+ cos 22πνt ·(12x −λ8πsin 4π x/λ)|2k λ/4(2k+1)λ/4]=8S ρ π2ν2A 2·12·λ4(cos 22πνt +sin 22πνt)=8S ρ π2ν2A 2·12·λ4= S ρ π2ν2A 2λ (10) ②任意不相邻的波节与波腹之间的能量W= dW= 8ρ π2ν2A 2(cos 22πx λ sin 22πνt +sin 22πx λ cos 22πνt)dV =S8ρ π2ν2A 2(cos 22πx λ sin 22πνt +sin 22πx λcos 22πνt)dx 2k+1 λ4+N λ22k λ/4=(2N+1) S ρ π2ν2A 2λ 其中N 为波节、波腹间隔的个数N= 0，±1，±2，±3，⋯ (11)③对应位置之间的能量W= dW= 8ρ π2ν2A 2(cos 22πx λ sin 22πνt +sin 22πx λ cos 22πνt)dV =S8ρ π2ν2A 2(cos 22πx λ sin 22πνt +sin 22πx λcos 22πνt)dx 2k+1 λ4+N λ2+∆x 2k λ/4+∆x=(2N +1) S ρ π2ν2A 2λ 其中N 为波节、波腹间隔的个数N= 0，±1，±2，±3，⋯ (12)由上述三点可以得出这样一个结论：驻波的能量在任一波节及波腹间都保持不变，且在相对应的位置之间的能量之和也保持不变。
平板断面颤振过程中能量输入特性研究
平板断面颤振过程中能量输入特性研究
贾明晓;刘祖军;杨詠昕
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2013(032)007
【摘要】通过风洞试验研究流线型较好的平板断面颤振性能,基于流固松耦合的计算策略,应用CFD数值方法,模拟平板颤振过程.并用相位平均方法研究颤振临界状态下模型尾部旋涡的演化规律,分析表明模型尾部风嘴处呈直线排列的涡街规律性摆动主导结构振动直至模型振动发散.利用分块分析思路研究颤振过程中气流能量在模型表面不同区域的输入特性及模型尾部旋涡演化过程对模型表面气动力分布与能量输入特性影响.分块分析结果表明振动模型通过迎风端风嘴从气流中吸收大量能量,且在一完整振动周期内气流输入到振动系统的能量不断增加,造成平板颤振多为结构稳定性突然丧失.
【总页数】6页(P135-140)
【作者】贾明晓;刘祖军;杨詠昕
【作者单位】同济大学桥梁工程系,上海200092
【正文语种】中文
【中图分类】O317
【相关文献】
1.平板耦合颤振过程中气动能量转换特性 [J], 刘祖军;杨詠昕;葛耀君
2.理论平板及其中央开槽颤振特性的CFD研究 [J], 祝志文;陈政清;顾明
3.弯扭耦合颤振过程中的能量转换机理 [J], 刘祖军;葛耀君;杨詠昕
4.不同风攻角下薄平板断面颤振机理研究 [J], 伍波;王骑;廖海黎;李志国
5.平板断面扭弯耦合颤振机理研究 [J], 杨詠昕;葛耀君;项海帆
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大学物理课件-驻波
波源的振动通过介质传递到另一 端，并被反射回来，形成驻波。
分类
按形成方式分类
可分为自由驻波和强制驻波。自由驻 波是由自由振动的波源产生的，而强 制驻波则是由外部力作用下的振动系 统产生的。
按节点数量分类
可分为一阶驻波、二阶驻波等。节点 数量越多，波形越复杂。
02
驻波的形成原理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
液体和气体介质中的驻波
在液体和气体介质中，由于声速较低，驻波的波长较 长。与固体介质中的驻波相比，液体和气体中的驻波 振幅分布更加均匀，能量分布也更加广泛。
不同形状的驻波
要点一
矩形驻波
矩形驻波是指沿着传播方向上存在周期性变化的波形。在 矩形驻波中，波腹和波节的位置是固定的，振幅和相位在 空间中呈现周期性变化。
大学物理课件-驻波
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
• 驻波的概念 • 驻波的形成原理 • 驻波的应用 • 驻波实验 • 驻波的数学模型与计算 • 驻波的扩展知识
目录
CONTENTS
01
驻波的概念
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
波腹
在驻波中，有些位置的振动幅度最大，这些位置被称为波腹。波腹的位置由介质 和障碍物的性质共同决定。
弦的振动与驻波的关系
弦的振动
弦的振动可以产生驻波。当弦以一定的频率振动时，产生的 波动会在弦的两端反射，形成驻波。
弦的长度与驻波的关系
弦的长度必须是半波长的整数倍才能产生驻波。如果弦的长 度不是半波长的整数倍，则无法形成驻波。
乐器发声原理
弦乐器
驻波实验报告
驻波实验报告篇一：驻波实验报告实验目的：1、观察弦振动及驻波的形成；3、在振动源频率不变时，用实验确定驻波波长与张力的关系；4、在弦线张力不变时，用实验确定驻波波长与振动频率的关系；4、定量测定某一恒定波源的振动频率；5、学习对数作图法。
实验仪器：弦线上驻波实验仪（FD-FEW-II型）包括：可调频率的数显机械振动源、平台、固定滑轮、可动刀口、可动卡口、米尺、弦线、砝码等；分析天平，米尺。
实验原理：如果有两列波满足：振幅相等、振动方向相同、频率相同、有固定相位差的条件，当它们相向传播时，两列波便产生干涉。
一些相隔半波长的点，振动减弱最大，振幅为零，称为波节。
两相邻波节的中间一点振幅最大，称为波腹。
其它各点的振幅各不相同，但振动步调却完全一致，所以波动就显得没有传播，这种波叫做驻波。
驻波相邻波节间的距离等于波长λ的一半。
如果把弦线一端固定在振动簧片上，并将弦线张紧，簧片振动时带动弦线由左向右振动，形成沿弦线传播的横波。
若此波前进过程中遇到阻碍，便会反射回来，当弦线两固定端间距为半波长整数倍时，反射波与前进波便形成稳定的驻波。
波长λ、频率 f和波速V满足关系：V = f λ(1)又因在张紧的弦线上，波的传播速度V 与弦线张力T及弦的线密度μ有如下关系：(2)比较(1)、(2)式得：(3) 为了用实验证明公式(3)成立，将该式两边取自然对数，得：(4)若固定频率f 及线密度μ，而改变张力T，并测出各相应波长λ，作lnT -lnλ图，若直线的斜率值近似为，则证明了的关系成立。
同理，固定线密度μ及张力T，改变振动频率f，测出各相应波长λ，作ln f - lnλ图，如得一斜率为的直线就验证了。
将公式(3)变形，可得：(5) 实验中测出λ、T、μ的值，利用公式（5）可以定量计算出 f 的值。
实验时，测得多个(n个)半波长的距离l，可求得波长λ为：(6)为砝码盘和盘上所挂砝码的总重量；用米尺测出弦线的长度L，用分析天平测其质量，求出弦的线密度（单位长度的质量）：(7)实验内容：1、验证横波的波长λ与弦线中的张力T 的关系（f 不变）固定波源振动的频率，在砝码盘上添加不同质量的砝码，以改变同一弦上的张力。
科学计算与模拟平台模拟有阻尼的驻波运动大物DTP
科学计算与模拟平台模拟有阻尼的驻波运动李军润（华南师范大学物电学院08级物理学3班 20082301155）摘 要：讨论了两列相向而行、振幅随传播距离增加而线性衰弱的相干波叠加后的数学形式，并用武汉才纳数字教学软件工作室所编写的《科学计算与模拟平台》对计算结果进行模拟，得到相关的驻波波形。
关键词：驻波；阻尼；微分方程；冲量法；科学计算与模拟平台 1. 引言一端固定，另一端受简谐驱动力的弦，在一定的条件下能够形成驻波.而我们在平时的学习与研究中，为了数学推导的简单，往往假定振幅在传播过程中保持不变，这与我们的实际情况基本不符合.实验中可以观察到驻波最后一个波幅的高度与第一个波幅的高度不相等的现象.引起该现象的原因较多，如摩擦阻尼等等.那么，到底如何选择一个合适的数学模型来反映有阻尼时的驻波振动呢？如何运用数学物理方法使得此问题更为简便呢？本人在参考了诸多的文献后，认为，弱阻尼条件下，振幅应随传播距离的增加而线性衰弱，并用文中的（3）式描述，将其作为线性方程的一个特解，并运用传统的微分方程求解.并运用《科学计算与模拟平台》对实验数据与结论进行模拟对比，结果表明所用的数学模型与实验事实相符. 2. 数学表达本问题的数学表述为：振幅在x=l 处，源振动方程为)(cos αω+==t H U lx .反射点在x=0处，为固定端，00==x U.设波在固定端反射时无能量损失，弦在阻力与速度成正比的媒质中运动，弦的线质量密度为ρ，弦中的张力为T ，阻尼系数为γ，则弦上任意一点的运动方程为]1[0=+-t xx tt U TU U γρ令βργρ2,==a T(1)该定解问题为⎪⎩⎪⎨⎧==+===+-0),(,0)0,()(cos ),(,0),0(022t l U x U t H t l U t U U U a U t t xx tt αωβ （2） 本文采用⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a x t kx A a x t kx A U SP ωωcos )1(cos )1(00 （3）的形式模拟2列相向传播振幅随传播距离增加而线性衰弱的相干波.式中k 为常量，由（3）式得0)1=x 时，0),0(=t U SPl x =)2时，)sin 1sin sin 1(sin 2),0(0t akl t a A t U SPωωωω-= 而)sin sin cos (cos ),(αωαωt t H t l U -= 令),(),(t l U t l U SP =通过比较t ωcos ，t ωsin 的系数，可知H ，α与0A ，k ，l ，a 的关系.因为此计算过程不影响以下问题的讨论，故不赘述.将（3）式作为线性方程的特解，并由（3）式得出spxx U ，sp tt U ，sp t U .由线性方程的可叠加性]2[，令SP U W U += (4)得ta x x k A t a x ka A U U a U W W a W sp t sp xx sp tt t xx tt ωωωβωωβωββsin cos 4cos sin )(4220022--=-+-=+-则U 的定解问题变为W 的定解问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====--=+-a x A x W a x kx A x W t l W t W t ax x k A t a x ka A W W a W t t xx ttωωωωωωβωωβωβsin 2)0,(cos 2)0,(0),(),0(sin cos 4cos sin )(4200002（5） （2）式得定解问题变为（5）式得定解问题. （5）式又可分成具有齐次边界条件的2个定解问题]3[，其中一个为具有非零初始条件的齐次方程，该方程只有衰减解，故不讨论；另一个是具有零初始条件的非齐次方程，另写为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====---=+-=∏=∏=∏=∏∏∏∏0,00]sin cos cos sin )[(4200002t t t l x x t xx ttW W W W t ax x k t a x ka A W W a W ωωωβωωβωβ（6） 用冲量法]3[解出（6）式得稳态振动解为⎪⎩⎪⎨⎧ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---++-+-•--=∑∞=+∏2222122201)(sin cos )()(sin cos )(sin )])()[(4)1(n n n n n n n t t t t a l ka l a n a n A Wωωβωβωωωωωβωβωωωωβωωπωπ}l xn t t t t a l l a n al a l l n n n n πωωβωβωωωωωβωβωωωωωπωωβsin )(sin cos )()(sin cos )(sin )()(2cos 222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-式中2122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=βπωl a n n . 这样弦上任意一点的位移为（3）式与（7）式得叠加，即：∏+=W U U sp （8）3.《科学计算与模拟平台》模拟 子程序：void demoApp::RenderScene(int sceneIndex) {title.Show(30, 0, -50, false);// 在(0,0,0)处显示汉字内容，不Color4f color={1,0,0,0.1*X},color1={0,0,0,0.1*V};static Point3f s2[30][100],s1[2001], q[3], s[2];doubleA0=0.01,k=0.0893,w=3802,a,T=0.489,l=3.20,n=3,p=0.0003796,USP,x,t,U,V ,W,X,Y,Z,wn,b,r=0.01;static PI=3.1415926;int i,j;a=sqrt(T/p);x=0;Y=0;t=step/1000;b=r/2/p;wn=sqrt((n*PI*a/l)*(n*PI*a/l)-b*b);for(i=0;i<=100;i++){for(j=1;j<=1000;j++){Y=((pow(-1,j+1)*4*A0*n*PI*a*a*w))/(((n*PI*a)*(n*PI*a)-(w*l)*(w*l))*w n);}U=(k*a-b)*sin(w*l/a)*(((w+wn)*cos(w*t)-b*sin(w*t))/(b*b+(w+wn)*(w+wn) )-((w-wn)*cos(w*t)-b*sin(w*t))/(b*b+(w-wn)*(w-wn)));V=l*b*(cos(w*l/a)+(2*a*l*w)/((n*PI*a)*(n*PI*a)-(w*l)*(w*l))*sin(w*l/a ))*(((w+wn)*sin(w*t)+b*cos(w*t))/(b*b+(w+wn)*(w+wn))-((w-wn)*sin(w*t )+b*cos(w*t))/(b*b+(w-wn)*(w-wn)));X=(U-V)*sin(n*PI*x/l);s1[i].z=A0*((1-k*x)*cos(w*(t-x/a))-(1+k*x)*cos(w*(t+x/a)));s1[i].z+=X*Y;s1[i].z*=100;s1[i].x=(x-20)*5;s1[i].y=0;s[0].x=0; s[0].y=0; s[0].z=0;s[1].x=-80; s[1].y=0; s[1].z=0;q[0].x=0; q[0].y=80; q[0].z=0;q[1].x=80; q[1].y=0; q[1].z=0;q[2].x=0; q[2].y=0; q[2].z=70;glt::EnableLight();draw::Arrow3D(q[1],s[1] , 0.0, 0.3, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0); draw::Arrow3D(s[0],q[2], 0.0, 0.3, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0); glt::DisableLight();glt::SetLineWidth(3);draw::LineStrip(100, s1, color1);Text text; //定义文字ushort str[20];swprintf(str, L"速度＝%.2fm/s", X);text.LoadWords(str, L"楷体_GB2312", 20, wiz::cBLACK, 256, 48); // 加载文字内容text.Show(-20, 0, 0, false); // 显示文字，不可旋转}4.结束语用（3）式模拟相向传播振幅随传播距离增加而线性衰弱的相干波，可得（8）式.由《科学计算与模拟平台》模拟（8）式得结果，得到稳定的驻波波形.可见，（3）式确实可以反映有阻尼的一类驻波振动.这一模型还可用于测定阻尼系数.如T，l，n, ρ都是容易测定的量，当准确测定了第一个及最后一个波腹的高度和位置后，可确定K值.再测出波腹最高时的ω值，代入（8）式和（1）师即可得阻尼系数.参考文献：]1[赵景员，王淑贤.力学【M】.北京：高等教育出版社，1979.466-467.]2[梁昆淼.数学物理方法【M】.北京：人民教育出版社，1978.232-240.]3[徐世良.数学物理方法解题分析【M】.南京：江苏科学技术出版社，1983.394-400,419-425.]4[徐荣历，梅嘉炜.物理实验【J】.计算机模拟有阻尼的驻波振动，2004，24（11）44-45,48.Scientific calculation and simulation platform simulation of a damping standing wave vibrationLi Junrun（the School of Physics And Telecommunication Engineering, South China Normal University No.20082301155）Abstrat: A mathematical model of superposed cohere waves, moving toward each other and amplitudes declining with the extension of traveling distance, is studied. A simulation solution of a damping standing wave is obtained by scientific calculation and simulation platform.Key words:standing wave; damping; differential equations; impulse law; scientific calculation and simulation platform。
(34)波的能量、干涉、驻波
O O
x
dx
x
y + dy
y
பைடு நூலகம்
x
（34）波的能量、干涉、驻波 34）波的能量、干涉、
O O
机械波
x
dx
x
y + dy
y
x
1 1 2 dWk = (dm )v = (ρdV )v 2 2 2 ∂y x x y = Acosω(t − ) ∴ v = = −ωA sin ω (t − ) ∂t u u 1 x 2 2 2 dWk = ρdVA ω sin ω (t − ) 振动动能 2 u
（34）波的能量、干涉、驻波 34）波的能量、干涉、
二 波的干涉
机械波
频率相同、 频率相同、 振动方向平行、 振动方向平行、 相位相同或相位 差恒定的两列波 相遇时，使某些 相遇时， 地方振动始终加 强，而使另一些 地方振动始终减 弱的现象， 弱的现象，称为 波的干涉现象. 波的干涉现象
（34）波的能量、干涉、驻波 34）波的能量、干涉、
N
L
d
N
i I i A1 d i A B1 B2 B3
I A
i′
d 3 i′
B1 B2 B3
时刻 t
时刻 t+△t
（34）波的能量、干涉、驻波 34）波的能量、干涉、
波的折射
N I 界面
机械波
i i
r
'
L
1）折射线、入射线和界 ）折射线、 面的法线在同一平面内； 面的法线在同一平面内；
sin i u1 = 2） ） sin r u 2
tanϕ = A1 sin(ϕ1 − A1 cos(ϕ1 −
2 1 2 2
λ
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度、 能流密度中的一个或两个进行分析 ． 而且理论分 还是 不 利 于 学 生 对 于 此 问 题 的 深 入 析太过于抽象 ， 了解 ． 本文从能量 、 能量密度 、 能流密度三个角度对驻 波传播 过 程 中 的 能 量 转 换 规 律 进 行 全 面 分 析 ． 用 能 量、 能流密度的计 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ 程序实 现 了 驻 波 波 形 、 算机模拟 ， 生动展现其传播过程 ， 有利于学生对相关 概念的理解 ． ２ 驻波中的能量 ２． １ 驻波方程 设有两个振幅均为 Ａ ， 角频率为ω ， 波长为λ 的 相干谐振波 ， 一个沿ｘ 轴正方向传播 ， 另一个沿ｘ 轴 负方向传播 ． 其波动方程分别为 ２ π ｏ ｓω ｔ－ ｘ ｙ１ ＝Ａｃ 烄 λ 烅 ２ π 烆 ｏ ｓω ｔ＋ ｘ ｙ２ ＝Ａｃ λ
２ ２
（ ） ２ １
仍为恒量 ，这体现了在整个弹性介质中无数对应位 置间流出和流入的 能 量 净 值 也 是 不 随 时 间 变 化 的 ， 因此 ，驻 波 从 整 体 效 果 上 看 ，不 存 在 能 量 的 传 播 ． 可见驻波能量的移 动 是 被 限 制 在 由 波 腹 到 波 节 （ 或
ｋ λ 能 流密度的表达式可以看出在ｘ ＝± （ ｋ＝ ０， １， ２， ４ ｋ Ｔ （ …） 在ｔ＝ 时驻波上各 ３…）处Ｉ＝０， ｋ ＝１， ２， ３， ４
（ （
） ）
（ ） ２ ３
λ ） ＋Δ ）得 ａ 点 处． 将 ｘ ＝± （ ２ ｋ ＋１ ｘ 代入式 （ １ １ ４
处能量密度
２ ２ ２ ２ ２ Ａ２ ｓ ｉ ｎ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｃ ｏ ｓ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ） ｗａ ＝２ ω （ Δ ω Δ ω ρ
Ｉ＝ Ｉ Ｉ １－ ２＝
２ ２ π π ２ ２ ２ ２ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ ｔ－ ｘ －ｓ ｔ＋ ｘ ω ω ω ρ λ λ
２ ２
（ ） １ ９ 将 ｘ ＝± ｋ
λ ）式得ｂ 点处能量密度 ｘ 代入 （ １ １ ＋Δ ２
［ （ ） （ ）］＝ ２ ２ π π ｓ ｉ ｎ（ ｉ ｎ（ ｔ－ ｘ ） ｔ＋ ｘ ） ω Ａｖ －ｓ ω ω ρ ［ ］ λ λ ２ ２ π π ｓ ｉ ｎ（ ｉ ｎ（ ｔ－ ｘ ） ｔ＋ ｘ ） ＋ｓ ［ ω ω ］＝ λ λ
式中 ， ｗ１ ＋ｗ２ 为恒量 ，这表明在波节和波腹处流出 和流入的能量的净值 是 不 随 时 间 变 化 的 ． 这一规律 不仅在于波节和波腹 ，还存在于任意一对 “ 对应 ” 位 置处 ． 设任一波节位于 ｘ１ 处 ，某点ａ 位于ｘ１ ＋ Δ ｘ 处 ；任一波腹位于ｘ２ 处 ，某对应点ｂ 位于ｘ２ ＋Δ ｘ
２ ２ Ａ２ ｃ ｏ ｓ ｔ ｗ１ ＝２ ω ω ρ
１ ２ π ２ ２ ｘ＝ λ Ｓ Ａ２ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔｄ ω ω ４ ρ λ
）
其中应用了积分公式
∫
ｋ λ ２
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
２ ｓ ｉ ｎ
２ π ｘｄ ｘ＝ λ
（ ） １ ６ （ ） １ ７
∫
ｋ λ ２
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
任选一交叠点为原点 ， 并在ｘ ＝ ０时振动质点向 上移动到最大位移时 为 计 时 起 点 ， 得到横驻波方程
１］ 为［
２ π Ａｃ ｏ ｓ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ω ｙ ＝ｙ１ ＋ｙ２ ＝２ λ
（ ） ２
２ π 其中 ｃ 而｜ ｏ ｓ ｔ 是一个简谐运动项 ， ２ Ａｃ ｏ ｓ ｘ｜ 表 ω λ 示各质元的振幅 ． 波线上振幅始终为零的点是波节 ， 波节位于 ｘ ＝ ） ２ ｋ ＋１ λ ±（ ｋ ＝０， １， ２， ３… ４ （ ） ３
１ 引言 驻波是 《 大学物理 》中的一 个 章 节 ． 它在传播过 程中的能量变化始 终 是 困 扰 学 生 学 习 的 一 个 难 点 ， 其理论性较强 ， 难以理解 ． 对驻波 的 能 量 分 析 ， 虽然已有不少的文献作了
１， ２］ ， 讨论 ［ 但 是 分 析 角 度 大 多 选 取 了 能 量、 能量密
２ ２ π π ｄ ｘ＝ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎω ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓω ｔ） （ λ λ
２ ２
（
）
∫
ｋ λ ２ ｘ ＋Δ
λ ４ ｘ ＋Δ
２ Ｓ Ａ２ ｘ＝ ωｄ ρ
（ ） ２ ｋ －１ ２ Ｓ Ａ２ λρ ω ４
（ ） １ ５
（ ） １ ０ ）得介质的能量密度为 由式 （ １ ０ ｄ Ｅ ｗ ＝ ＝ ｄ Ｖ ２ π π ２ ２２ ２ ） Ａω ｃ １ １ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ （ ２ ω ω ρ λ λ
波线上振幅始终为最大值的点是波腹 ， 波腹位于 ｘ ＝ ±ｋ λ ｋ ＝０， １， ２， ３… ２ （ ） ４
介于波腹和波节之间的质元的振幅则介于最大值和 最小值之间 ． ２． ２ 驻波的动能和势能 设波是在密度为ρ 的 弹 性 均 匀 介 质 中 传 播 ， 现 在坐标为 ｘ 处取一体积 元 为 ｄ 称 之 为 介 质 体 元， Ｖ， 其质量为 ｄ 视该 体 积 元 为 一 小 体 积 元． 由 ｍ＝ ｄ Ｖ， ρ ）可求出介质体元的振动速度 式（ ２
２ Ａ２ ｗ１ ＋ ｗ２ ＝２ ω ρ
式中 ｖ 为波 速 ， 其 矢 量 式 为 Ｉ ＝ω 方向为波速方 ｖ， （ ） １ ８ 而能流密度为 ω 向， ｖ． 两相干波的能流密度分别为 ２ π ２ ２ ２ Ｉ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｔ－ ｘ ω ω １＝ ρ 烄 λ 烅 ２ π ２ ２ ２ 烆 Ｉ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ ｘ ω ω ２＝ ρ λ
２ ２
由此证明了任一波 节 波 腹 间 ， 任一一对“ 对 应” 位置间的总能量都守 恒 ， 即能量不能从波节或波腹 流出或流入 ， 能量被禁锢在相邻波节与波腹之间 ， 即 驻波在振动过程中不存在能量的定向传播 ． ） 、 （ ）两 式 可 以 看 出 ， 由（ 动能密度和势能密 ６ ８ 度， 无论在空间或时间上都相差 ９ 当动能密度为 ０ ° ． 零时 ， 势能密度最大 ， 反 之 亦 然． 且相邻最大值间的
４ π ２ ２ Ａｖ ｓ ｉ ｎ ｘ ｓ ｉ ｎ ２ ｔ －ρ ω ω λ （ ） ２ ４ 我们绘 出 不 同 时 刻 能 流 密 度 的 曲 线 ， 由曲线和
２ ２ ２ ２ ２ ｗｂ ＝２ Ａ２ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ） ω （ Δ ω Δ ω ρ
） （ ２ ０ 则 ｗａ ＋ ｗｂ ＝２ Ａω ρ
（ （
） ）
ｙ ２ π ｖ＝ Ａ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ ＝－２ ω ω ｔ λ
（ ） １ 由此得介质体元的动能为 １ π ２ ２２ ２ Ｅｋ ＝ ｄ ｍ ｖ２ ＝２ Ａ２ Ｖ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ ｄ ωｄ ω ρ ２ λ
（ ） ５
（ ） ６
— ３ １ —
２ ０ １ ２ 年第 １ １ 期 物理通报 大学物理教学 介质体元产生相对弹性形变
（
２
）
可证 ， 平均能量密度为 ｗ ＝ １ Ｔ
Ｔ
２ ２ ０
ｔ＝ Ａω ρ ∫ｗｄ
（ ） １ ２
λ 即等于相邻波腹和波节间的距离 ． 表明驻 间隔为 ， ４
波能量不断地在势能 和 动 能 间 来 回 变 换 ， 并在转换 再由波 过程中不断地由波节 附 近 集 中 到 波 腹 附 近 ， 腹附近集中到波节附 近 ， 始终没有能量沿某一方向 传送出去 ． 然而 ， 常说驻波不传播任何能量 ， 是对驻波里各 点处的时间平均值和 对 驻 波 以 外 的 空 间 来 说 的 ， 并 实际上 ， 在驻波 非指对于驻波里任一体积元来说的 ．
ｋ λ ２ λ ４
ｙ ２ π ２ π ｄ ｘ ＝－２ Ａ ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ｄ ｘ ω ｙ＝ ｄ ｘ λ λ
由此得介质体元的弹性形变势能为
Ｅ＝ Ｅ ＝ ｄ
（ ） ７
ｘ＝ ∫ ∫ρＳＡ ω ｄ
（ ） ２ ｋ －１ ２ Ｓ Ａ２ λρ ω ４ （ ） １ ４
２
２
１ π ２ ２ ２２ ２ ｄ Ｅｐ ＝ ｋ（ ｄ Ａ２ Ｖ ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ωｄ ω ｙ） ＝２ ρ ２ λ （ ） ８ 式中 ｋ 为弹性模量
ｋ λ ２ ｘ ＋Δ
（ ） ９
２． ３ 驻波的能量和能量密度 ）和式 （ ）可得 ， 由上面的式 （ 介质体元的总能 ６ ８ 量为
Ｅ＝ ｄ Ｅ＝
２
∫ ∫
２
λ ４ ｘ ＋Δ
２ ２ Ｓ Ａ２ ω · ρ
Ｅ ＝ｄ Ｅｋ ＋ｄ Ｅｐ ＝ ｄ
π π ２ ２２ ２ ２２ ２ Ａ２ Ｖ ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｔ＋ｓ ｉ ｎ ｘ ｃ ｏ ｓ ｔ ２ ωｄ ω ω ρ λ λ
根据 ｄ 各质元的 Ｅｋ， ｄ Ｅｐ， ｄ Ｅ， ｗ 的表达式可知 ， 势能和机械能随时间作周期性的变化 ． 动能 、 ３ 驻波传播过程中的能量转换 ３． １ 总能量的转换 体积元 ｄ 其中 Ｓ 为 体 积 元 横 截 面 积 ， Ｖ ＝Ｓ ｄ ｘ，
２］ 则任一相邻波节波腹间的总能量为 ［
（ ２ ｋ １） ＋ λ ４
摘
要： 分析了驻波能量 、 能量密度 、 能流密度在传播过程中的转换规律 ． 用Ｍ 能量 ａ ｔ ｌ ａ ｂ程序实现了驻波波形 、
能流密度的计算机模拟 ， 形象地展现了驻波传播过程中的能量变化 ， 计算机 模 拟 结 果 与 理 论 分 析 所 得 结 果 一 密度 、 最后得到了在振动过程中驻波能量不断地从波节到波腹间相互转移 ， 而从整体看驻波不传播任何能量的结论 ． 致． 关键词 ： 驻波 能量 能量密度 能流密度 计算机模拟
２ ２ ｄ Ｖ λω ｋ＝ ρ ４ ２ ·（ ２ ） ｄ ｘ π
由此证明了 不相邻波节波腹间的总能量也守 这一 规 律 还 可 以 进 一 步 推 广 ． 设某一波节位于 恒． 点ａ 位于ｘ１ ＋Δ 某一波腹位于ｘ２ 处 ， 某 ｘ１ 处 ， ｘ 处； 点ｂ 位于ｘ２ ＋ Δ 称 ａ 和ｂ 为一对 “ 对应 ”位置 ｘ 处， ）可得 ， 由式 （ 一对“ 对 应 ”位 置 点 间 的 总 能 量 点． １ ０ 为