关于驻波能量的基本认识
6-驻波
驻波
波动
驻波系统的驻波原理: 驻波系统的驻波原理: 简正模式的频率称为系统的的固有频率 简正模式的频率称为系统的的固有频率,一个 固有频率, 驻波系统有多个固有频率, 驻波系统有多个固有频率,这与弹簧振子只有 一个固有频率不同. 一个固有频率不同. 当外界驱动源以驻波系统的某个固有频率振 动时,会激起强驻波,这种现象也称为共振 共振. 动时,会激起强驻波,这种现象也称为共振. 系统究竟按哪种模式振动取决于初始条件, 系统究竟按哪种模式振动取决于初始条件,一 般驻波系统的振动频率是各种简正模式的叠 加.
y = 2 A cos2π cos2π ν t
x
λ
y
λ 2
例 x=±
λ 3λ
4 λ
4
,
为波节
o
x
x
λ2
x
4
x
λ
4
<x<
, cos2 π > 0
λ
3λ x < x < , cos2 π < 0 4 4 λ
λ
y = 2 A cos 2 π
y = 2 Acos2 π
λ
cos 2π ν t
cos(2 πν t + π)
驻波
波动
B
o
y反
驻波方程: 驻波方程:
y = y入 + y反
2π t 2π ( 3 λ x ) 4 = A cos T λ 2π t 2π x 3π = A cos( + ) T λ 2
2πt 2πx π 2πt 2πx 3π = A cos( + ) + A cos( + ) T λ 2 T λ 2 2π x 2π t π λ = 2 A cos( ) cos( + ) n = 0, x1 = λ T 2 4
驻波解析
原点描写合成驻波。由于绳很长，可不考虑反射。 绳上的波速设为u 。
解 设左端的振动为y1 =Acos t，则右端的振动 为 y2=Acos ( t + ）。
设右行波的波动表达式(以绳的中心为坐标原点)
y1Acos(t[ux)1]
设左行波的波动表达式(以绳的中心为坐标原点)
dE k2dV A 22co 2(2 s πx)si2 nt dE p2dV A 22si2n 2 πxco 2st
(1) cos t = ±1 各质点的位移达到最大,dEk为零，
势能dEp不为零。波节处势能最大；在波腹处势 能最小。势能集中在波节附近。
波腹处势能始终为0
(2) cos t = 0 各质点都回到平衡位置，此时所有
反射波在B点的振动方程
tl y反 BAco2 s([T)]
反射波的表达式
y 反 A co 2 (T s t [ l) 2 (l x )]
y反
Acos2( t T
212x)
Acos2(t x)
T
（2）驻波的表达式为
yy入y反
Acos2（t x)Acos2(t x)
T
T
2Asin2xsin2t
x k
2
点O 到点B 之间的波节
x 0 ,,,3 ,2 ,5 , 3 ,7 ,4 ,9 ,5
22 2 2 2
波腹的坐标
sin 2π x 1 2π x(2k1)π x (2k 1)
2
4
x ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 ,1,3 1 ,5 1,7 19
4444444 4 4 4
例题* 两人各执长为l 的绳的一端，以相同的角 频率和振幅在绳上激起振动，右端的 ]A co (t sx [l)]
机械波的驻波问题
机械波的驻波问题引言：机械波是一种在介质中传播的能量和信息的形式。
驻波是机械波在传播过程中出现的一种特殊现象，它是由于波的传播过程中发生的干涉造成的。
驻波在许多领域中有着广泛的应用，如声波、横波、纵波等。
本文将从驻波的定义、特征和应用等方面进行探讨。
一、驻波的定义和特征1.1 定义驻波是指波的前进和反射波之间的干涉效应形成的一种特殊波动形式。
当两个具有相同频率、方向、幅度但传播方向相反的波沿同一介质传播时，则它们之间会发生干涉，形成驻波。
1.2 特征1）驻波的节点和腹部：在驻波中，波峰和波谷位置保持不变，形成一系列不动的节点和腹部。
节点是波动方向振动幅度的最小值，而腹部则是振动幅度的最大值。
2）驻波的波长和频率：在驻波中，波动方向中的振动模式是由两波相互叠加形成的。
波长是两个传播波的波长之比。
3）驻波的单一模式：驻波只能形成某种特定的波动模式，而不会形成多种波动模式。
4）驻波的能量传递：在驻波中，能量在波峰和波谷之间来回传递，而不会在波动方向上传播。
二、驻波的数学描述和实验现象2.1 数学描述驻波的数学描述是通过波函数来进行的。
设波函数为y(x,t)，驻波的数学描述可以表示为y(x,t) = A*sin(kx)*cos(ωt)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率。
2.2 实验现象通过实验可以观察到驻波的形成和特征。
一种常见的实验是通过绳子来观察驻波现象。
将一根绳子固定在一端，然后在另一端通过振动源产生波动，当波动传播到固定端时，会发生反射并与传入的波动叠加形成驻波。
在绳子上可以观察到波节和波腹的形成，波节为绳子不振动的位置，波腹为绳子振动幅度最大的位置。
三、驻波的应用驻波在许多领域中有着广泛的应用。
3.1 声波的驻波在乐器中，驻波是产生声音的基本原理之一。
当乐器振动时，空气中的声波在乐器内传播并与传入的声波叠加形成驻波，产生特定的音调。
不同的乐器具有特定的驻波形式，因此可以通过驻波来区分不同乐器的声音。
公开课——驻波
本征频率；基频；谐频
2. 一端固定一端自由的弦振动的简正模式
l (n 1) n n 1,2,
22
l 1
4
l 32
4
l 53
4
第五节 驻
波
一、 驻波的产生
振幅相同的两列相干波，在同一直线上
沿相反方向传播，叠加后所形成的波叫
驻波（驻波是一种特殊的干涉现象）
横驻波演示
波节
波腹
➢波腹是干涉极大值位置；波节是干涉极小值位置。
纵驻波演示
二、 驻 波方 程
负向: 正向:
y1
A cos(t
2
x
1)
y2
A cos(t
2
x
2)
y
y1
y
结论: 相邻两个波腹之间的距离为半个波长。
2 2 x＝2 x 2
（2）波节位置(为干涉极小值位置）
2
2
x
2
1
（2k＋1）
,
k 0,1. 2,
✓求出的X即为波节处.
相邻两个波节之间的距离也为半个波长.
2
y
o
2
x
应用:可用测量波腹或波节间的距离, 来确定波长
3. 位 相
y 2A cos( 2 x ) cos( t )
2 x (2K 1) ,
2
(k 0,1,2,)
✓求出的 x 即为波节的位置。
❖方法二(求出X处质点两分振动的位相差）
y1
A cos(t
2
x 1)
,
y2
A cos(tBiblioteka 2 x2)
2
2
x 2
1
（1）波腹位置（为干涉极大值位置）
大学物理 驻波(一)2024
大学物理驻波（一）引言概述：驻波是在介质中传播的波在与逆向传播的波相遇时形成的一种特殊波动现象。
它在大学物理中有着重要的应用和理论意义。
本文将从驻波的基本概念和特点入手，详细介绍了驻波的形成条件，驻波的数学描述以及驻波的实验观察等。
正文：1. 驻波的基本概念和特点- 驻波是由两个相同频率、振幅相等而方向相反的波在空间中相遇而形成的。
- 驻波的震动节点是固定不动的，而虚节点一直在不断地交替出现。
- 驻波是由于波的干涉而形成的，不会传输能量或物质。
2. 驻波的形成条件- 驻波形成的必要条件是波的传播速度相同，波长相等且频率相同。
- 在一维情况下，驻波形成的充分条件是两波的幅值、频率、相位相同。
3. 驻波的数学描述- 驻波可以用数学方程来描述，常用的方程为y(x,t) = Acos(kx)cos(ωt + φ)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为初相位。
- 驻波方程中的k和ω与波长λ和周期T之间有着确定的关系：k = 2π/λ，ω = 2π/T。
4. 驻波的实验观察- 驻波可以通过在一定条件下的波的传播介质中观察到，如绳上的驻波、声管中的驻波等。
- 在实验观察中，可以通过调节波的频率、振幅、传播介质的长度等参数来观察驻波的形成与特性。
5. 驻波的应用- 驻波在声学、光学、电磁学以及其他物理学领域中有着广泛的应用，如乐器共鸣现象、干涉仪的工作原理等。
- 驻波还可以用于测量波的参数，如测量波速、波长等。
总结：驻波是在介质中传播的波在与逆向传播的波相遇时形成的一种特殊波动现象。
它具有震动节点固定、虚节点不断交替出现的特点，是由波的干涉形成的。
驻波的形成需要满足波的传播速度相等、波长相等且频率相同的条件。
驻波可以通过实验观察到，并可用数学方程进行描述，有着广泛的应用价值。
驻波的工作原理
驻波的工作原理首先，让我们了解什么是驻波。
驻波是指在两个波沿传播方向相对立的波叠加形成的波现象。
当一条波沿某一介质中传播时，如果遇到另一条相同频率和振幅的波从相对方向传播而来，两条波会相互叠加形成驻波。
驻波的工作原理可以通过以下几个步骤来解释：1. 信号源产生波：首先，一个信号源会产生一条波。
这个信号源可以是电磁波源、声波源或其他波源。
2. 波在传输介质中传播：波从信号源出发，在传输介质中传播。
传输介质可以是空气、水、电缆等。
3. 波遇到障碍物或反射点：在传输过程中，波会遇到障碍物或者反射点。
这些障碍物或者反射点会使波反射或折射。
4. 反射波与源波叠加形成驻波：当反射波遇到源波时，如果它们满足相位差为整数倍关系，那么它们就会相互叠加形成驻波。
驻波的反映波和源波振幅可以相互增强或相互抵消。
5. 驻波节点和驻波腹：在驻波中，存在一些位置振幅为零的点，称为节点。
同时，存在振幅最大的位置，称为腹。
驻波的节点和腹是由波的叠加效应形成的。
6. 驻波在传输介质中保持不变：一旦驻波形成，它会在传输介质中保持不变。
这是因为驻波是由源波和反射波的叠加效应形成的，当两者相遇并满足一定条件时，波的能量不会再继续传播。
驻波的工作原理可以用数学公式来描述。
对于一维驻波，其数学表达式可以表示为：A(x, t) = A_0 * sin(kx) * cos(ωt)其中，A(x, t)是波的振幅，x是位置坐标，t是时间，A_0是振幅的最大值，k是波数，ω是角频率。
这个表达式说明了驻波的位置和时间的关系。
驻波在实际应用中有许多重要的应用。
例如，在乐器中，弦乐器上的驻波使得我们可以产生不同的音调。
此外，在安全检测中，通过发送或接收信号源产生的波与反射波的驻波可用于探测目标物体的位置和性质。
此外，通过使用驻波技术还可以制造微波炉、无线电天线和光纤通信系统等设备。
综上所述，驻波是由源波和反射波的叠加效应形成的。
通过满足一定条件，波的振幅在某些位置形成节点和腹，从而形成驻波现象。
电磁驻波中的能量与能流分布探讨
电磁驻波是电磁学中一个重要的研究课题。
它不仅可以提供精确的电磁场数据，而且可以用来探索电磁场中的能量和能量流分布。
首先，讨论电磁驻波中的能量分布。
电磁驻波中的能量主要来自电场和磁场，即电磁能量。
电场和磁场的能量密度分布可以用电磁能量密度的概念来解释。
它表明，电磁驻波中的能量密度分布是电磁功率的功率密度的函数。
电磁功率的功率密度可以用电功率和磁功率的功率密度的概念来解释。
其次，讨论电磁驻波中的能量流分布。
电磁驻波中的能量流是由电场和磁场的能量流决定的，它是一种电磁能流密度的概念。
电磁能流密度可以用电功率和磁功率的功率密度的概念来解释，电磁功率的功率密度是电磁能量的功率密度的函数。
因此，电磁驻波中的能量流分布与电磁能量的分布相关。
综上所述，电磁驻波中的能量主要来自电场和磁场，而电磁驻波中的能量流分布与电磁能量的分布相关。
电磁能量的功率密度可用电功率和磁功率的功率密度的概念来解释，而电磁能流密度可以用电磁功率的功率密度来解释。
因此，电磁驻波中的能量和能量流分布是电磁功率的功率密度的函数，可以反映电磁场的状态。
驻波的原理
驻波的原理驻波是指在传播介质中产生的一种特殊的波动情况，其特点是波动形式呈现出相互干涉的现象。
驻波的形成是由于波的传播过程中发生反射现象，在介质中由传播方向相对相反的两个波相遇产生干涉。
驻波的形成原理可以通过以下几个步骤来解释：1. 波的传播：当一波传播到介质中时，它会遇到终端或者障碍物。
在遇到障碍物时，波会发生反射，并以相反的方向传播。
2. 反射：当波达到障碍物时，一部分能量被反射回传了原来的方向，而另一部分能量继续传播。
反射波与入射波在介质中相互干涉，形成驻波。
3. 干涉：当入射波与反射波相遇时，它们会相互干涉。
干涉是指波的相位和振幅的叠加效应。
如果入射波与反射波的振幅相等，相位相反，它们将相互抵消，形成驻波。
在某些点上，波的振幅为零，这些点称为节点；而在其他点上，振幅达到最大值，这些点称为腹部。
4. 波长和频率：驻波的形成需要一定的波长和频率条件。
波长需要满足几何限制，以使得反射波与入射波之间的干涉产生稳定的驻波。
频率则取决于波的源和介质的性质。
总结起来，驻波的形成是通过反射波与入射波在介质中相互干涉产生的，它要求在一定波长和频率下波的振幅和相位满足特定条件。
驻波在电磁波、声波等不同媒介中都有普遍存在，具有重要的理论和应用价值。
继续驻波的原理，我们可以从数学角度来理解。
驻波的形成是由于在传播介质中存在对称的波和反射波之间的相互干涉。
考虑一维情况下的驻波，我们可以将介质分为两个相同的部分，每个部分的波动由自由传播波和反射波构成。
假设传播介质中的波形为 $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$，其中 $A$ 表示振幅，$k$ 表示波数，$x$ 表示位置，$\omega$ 表示角频率，$t$ 表示时间。
当波达到反射边界时，一部分波会以相反的方向反射回来，并产生反射波。
反射波的形式为 $y(x, t) = A \sin(-kx - \omega t) = -A \sin(kx + \omega t)$。
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关于驻波能量的基本认识
姓名：李昕学号：D3******* 专业：生物工程
一、什么是机械波
机械振动在介质中的传播称为机械波（mechanical产wave）。
机械波与电磁波既有相似之处又有不同之处，机械波由
机械振动产生，电磁波由电磁振荡生；机械波的传播需要特定
的介质，垂直，则这种波称为横波；如果振动波的方向与波的
方向平行，则称为纵波。
）在不同介质中的传播速度也不同，在
真空中根本不能传播，而电磁波（例如光波）可以在真空中传
播；机械波可以是横波和纵波，（如果振动方向与波的传播方向
但电磁波只能是横波；机械波与电磁波的许多物理性质，如：
折射、反射等是一致的，描述它们的物理量也是相同的。
常见
的机械波有：水波、声波、地震波。
机械波传播的基本条件：有波源和传播机械振动的介质。
这是产生机械波的两个基本条件。
波的传播实质即波动实
质上是波的振动状态在介质中的传播。
而且传播过程有两
个特点：
1、介质中各质点都在做与波源同方向同频率的振动。
2、沿着波的传播方向，介质中各质点的振动相位是逐一
落后的
二、机械波的能量
因为在机械波传播的过程中，各质元即由静止开始振动，同时也
发生了形变。
所以机械波传播的过程中一定有动能与弹性势能的转化。
振动动能+形变势能=波的能量
在平衡点，其振动速度最大，故动能最大。
同时该处的形变最大因此该处质点的动能和势能为最大，其总能量也就最大。
而位于波峰的A点和位于波谷的C点其动能和形变最小为零所位于平衡位置的以其能量最小。
所以介于平衡位置和波峰之间的点和介于平衡位置和波谷之间的点其能量介于最大和零之间。
离平衡位置越近的质点，它的能量就越大，即能量在波的传播方向上也呈现周期性的分布，随着波形的向前传播，这种能量分布的状态也以波的传播速度向前传递。
三、驻波的能量
驻波是频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。
波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。
例如，如图所示，一弦线的一端与音叉一臂相连，另一端经支点O并跨过滑轮后与一重物相连。
音叉振动后在弦线上产生一自左向右传播的行波，
传到支点 O 后发生反射，弦线中产生一自右向左传播的反射波，当
弦长接近1/2波长的整数倍时。
两列波叠加后弦线上各点的位移为（设音叉振动规律为u=Acosωt） u（x，t）=2Asin（x）sin（ωt ）=A（x）sin（ωt），弦线上每个固定的点均作简谐运动，但不同点的振幅不同，由x值决定。
振幅为零的点称为波节，振幅最大处称
为波腹。
波节两侧的振动相位相反。
相邻两波节或波腹间的距离都是
半个波长。
在行波中能量随波的传播而不断向前传递，其平均能流密度不为零；但驻波的平均能流密度等于零，能量只能在波节与波腹间来回运行。
测量两相邻波节间的距离就可测定波长。
各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器，都是由于产生驻波而发声。
为得到最强的驻波，弦或管内空气柱的长度L必须等于半波长的整数倍，即，k为整数，λ为波长。
因而弦或管中能存在的驻波波长为，相应的振动频率为，υ为波速。
k=1时，，称为基频，除基频外，还可存在频率为kn1的倍频。
简谐波在弹性介质中传播时，波所经过的质元都在各自平衡位置附近振动，具有动能，同时弹性介质产生了形变，又具
有弹性势能。
现在以横波为例，研究体元的动能、势能以及总
的机械能。
在有简谐横波传播的介质内，取一微小体元，根据简谐波方程2.2.1可求其振动速度。
形成驻波的简谐波可以是纵波
或横波，现就横波为例定量讨论驻波的能量，但是结论对纵波
也适用。
同样驻波在弹性介质中传播时，波所经过的质元都在
各自平衡位置附近振动，具有动能，同时弹性介质产生了形变，
又具有弹性势能。
因此驻波的能量为弹性介质中质元的动能和
势能之和。
设驻波在密度为 的弹性介质中传播，在介质中取
一体元V ，则该质元的质量为m ,则该质元的质量
为Vm 同理，在有驻波传播的介质内，
按照求“平面简谐波的动能、势能、总机械能”的方法，可求其驻波振动速度。
①在驻波传播中，波节处的各质元始终不动，动能为零，只有弹性势能，弹性势能随时间作周期变化；波腹处的各质元没有形变，弹性势能为零，只有动能，动能随时间作周期性变化。
其它位置上的质元既有动能，又有弹性势能。
②在驻波传播中，能量只在相邻波节（波腹）、波腹（波节）之间流动，每一段{波节（波腹）和波腹（波节）之间}都可看作一个独立单元，没有能量通过波节和波腹，任一单元内各部分同时达到最大位移，又同时回到平衡位置。
并且各段上的总能量守恒，与时间无关。
在驻波传播中，相邻波节（波腹）、波腹（波节）之间的动能与势能不断地相互转换，当所有质元都振动到平衡位置时，相邻波节和波腹之间的能量会全部转化为动能。
当所有质元都振动到最大位移时，相邻波节和波腹之间的能量会全部转化为势能。
由于驻波在传播过程中能量只在局部区域内流动，没有沿某一固定方向传播，所以得出驻波能量的主要特征是：能量只在波节波腹间来回振荡，并且不向外传播，不存在沿单一方向的能流。