热传导与热辐射大作业报告..
热传导与热辐射的实验研究
热传导与热辐射的实验研究一、引言热传导与热辐射是热学领域中非常重要的概念，它们在热能传递和热平衡的理解中起着关键作用。
本文旨在通过实验研究来探究热传导与热辐射的基本原理以及它们在实际应用中的表现。
二、热传导实验热传导是物质内部热能传递的过程，其本质是热能的有序微观振动。
为了观察和研究热传导现象，我们进行了以下实验。
实验材料：- 一根金属棒- 温度计- 热板实验步骤：1. 将金属棒固定在一块热板上，确保其与热板充分接触。
2. 在金属棒的一端加热，通过电热丝或火焰等外部热源。
3. 在金属棒的另一端测量温度变化，使用温度计记录不同时刻的温度数据。
实验结果：通过实验我们观察到，随着时间的推移，金属棒的一端温度逐渐升高，而另一端的温度也会相应上升，尽管升温速率略慢于加热一端。
这说明热能在金属棒内部通过热传导进行传递。
三、热辐射实验热辐射是物体通过电磁波辐射传递热能的过程。
为了了解热辐射的特性，我们进行了以下实验。
实验材料：- 一个黑色平板- 一个白色平板- 红外线热像仪实验步骤：1. 将黑色和白色平板置于同一环境温度下，确保两者热平衡。
2. 使用红外线热像仪对黑色和白色平板进行拍摄，并记录图像数据。
3. 分析红外热像图像，观察并比较黑色和白色平板的热辐射情况。
实验结果：通过实验我们观察到，黑色平板在红外热像图上显示出较高的热辐射，而白色平板则显示出较低的热辐射。
这是因为黑色物体吸收了更多的热能，并以辐射形式释放出去，而白色物体则反射了大部分热能。
这说明物体的颜色对于热辐射具有重要影响。
四、热传导与热辐射的应用热传导和热辐射在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 热传导在建筑中的应用：热传导是建筑物热工性能的重要指标。
通过正确选择和设计建筑材料，可以减少热传导损失，提高能源利用效率。
例如，采用高效隔热材料、空气密封和隔热层等措施，可以减少建筑物内部与外部的热能交换。
2. 热辐射在能源利用中的应用：热辐射是太阳能、火炬等能源利用的基础。
热传导与热辐射的实验研究
02 03
有限元法
将连续的物理空间划分为有限个单元，并在每个单元内构 造插值函数，通过求解单元刚度矩阵和载荷向量得到整体 刚度矩阵和载荷向量，进而求解热传导问题，适用于复杂 区域和复杂边界条件的问题。
蒙特卡罗法
通过随机抽样的方式模拟热传导过程中分子的随机运动， 从而得到温度场等物理量的统计规律，适用于微观尺度的 热传导问题。
热辐射实验方法
利用黑体辐射源或灰体辐射源， 测量试样在不同温度下的辐射强 度和波长分布，推算出辐射率和 发射率。
实验装置设计与搭建
热传导实验装置
包括加热系统、冷却系统、温度测量 系统、热流量测量系统等，确保试样 在稳定的温度梯度下进行测量。
热辐射实验装置
由辐射源、试样夹持装置、温度控制 系统、光谱测量系统等组成，实现试 样在特定温度下的辐射特性测量。
与实验结果对比分析
数据对比
将数值模拟得到的结果与实验结果进行对比，包括温度、热流密度 等关键物理量的数值大小和变化趋势，以验证数值模拟的准确性。
误差分析
针对数值模拟与实验结果之间的差异进行误差分析，探讨误差来源 和影响因素，如模型简化、参数设置、网格划分等。
模型优化
根据误差分析结果对数值模拟模型进行优化改进，提高模型的预测精 度和可靠性。
热传导与热辐射的应用场景
热传导适用于固体内部或固体之间的传热，而热辐射适用于真空或气体中的传热。
热传导与热辐射的优缺点
热传导具有传热稳定、可控性强的优点，但传热效率相对较低；热辐射传热效率高，但受物体表面特性 和环境温度影响较大。
CHAPTER 05
数值模拟与验证
数值模拟方法介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
有限差分法
热传导与热辐射的实验探究
热传导与热辐射的实验探究热传导与热辐射是热力学中重要的概念，它们对于物体热交换的理解和实际应用具有重要意义。
通过实验探究热传导和热辐射的规律，可以帮助我们更深入地理解热能的传递方式以及热力学的基本原理。
一、实验目的本实验旨在通过实际操作，观察和分析热传导和热辐射现象，探究它们的特点和规律，并对比它们在不同材料和表面状态下的差异。
二、实验材料与仪器1. 铜棒、铁棒和木棒各一根；2. 热电偶仪表；3. 温度计；4. 实验臂架和夹具。
三、实验步骤1. 将铜棒、铁棒和木棒平放在同一平台上，其中每个棒材的一端都与热电偶连接。
2. 打开热电偶仪表，预热至稳定状态，记录各棒材连接的温度。
3. 通过外源加热源加热平台的一侧，使其达到一定温度差，记录各棒材连接的温度变化情况。
4. 定期记录每个棒材不同位置的温度，并进行观察和分析。
四、实验结果与分析1. 热传导实验结果分析：通过记录和观察，可以发现随着时间的推移，铜棒、铁棒和木棒所连接的温度会逐渐增加。
同时，铜棒温度增加的速度相对较快，说明铜具有较好的导热性能；铁棒温度增加的速度次之；而木棒温度增加的速度相对较慢，说明木材的导热性能较差。
2. 热辐射实验结果分析：在热辐射实验中，热电偶仪表记录到的温度较为稳定，显示了物体通过辐射方式释放热能的特点。
与热传导不同，热辐射不需要实体媒介的传递，而是通过物体表面的辐射能量来实现热传递。
三、实验中的注意事项1. 实验中的温度测量和记录应尽量精确，以保证数据的准确性。
2. 在加热源加热的过程中，注意安全操作，避免烫伤和其他意外事故的发生。
3. 实验结束后，遵循实验室的废物处理规定，将使用过的材料进行分类和处理。
通过以上实验步骤和结果分析，我们可以发现热传导和热辐射在热能传递中起着不可替代的作用。
热传导是通过物质内部的分子间碰撞传递热能，而热辐射则是通过物体表面的辐射能量来传递热能。
在不同材料和表面状态下，它们的特点和规律也有所不同。
热传导与热辐射的能量转化实验探究与分析
热传导是物体内部或物体之间由于温 度差异而产生的热量传递现象。
热传导遵循傅里叶定律，其公式为： Q = -k * A * (dT/dx)，其中Q为热流 量，k为热传导系数，A为传热面积， dT/dx为温度梯度。
热辐射基本原理及公式
热辐射是物体由于内部微观粒子的热运动而发射的电磁波现象。
热辐射遵循斯特藩-玻尔兹曼定律和基尔霍夫定律，其公式分别为：E = σ * T^4（斯特藩-玻尔兹曼定 律，E为辐射力，σ为斯特藩-玻尔兹曼常数，T为绝对温度）和ε = A/E（基尔霍夫定律，ε为发射率， A为吸收率，E为入射辐射力）。
06
结论总结与展望
本次实验成果总结
验证了热传导与热辐射的基本理论和公式
通过实验数据的分析和处理，验证了热传导与热辐射的基本理论和公式，包括热传导方 程、热辐射定律等。
探究了不同材料对热传导与热辐射的影响
通过对比不同材料的实验结果，发现材料的导热系数、发射率等物性参数对热传导与热 辐射的能量转化具有重要影响。
揭示了温度差与热传导与热辐射能量转化的关系
实验结果表明，温度差是影响热传导与热辐射能量转化的重要因素，温度差越大，能量 转化速率越快。
对未来研究方向的展望
深入研究复杂形状和条件下的热传导与热辐射问题
目前的研究主要集中在简单形状和条件下的热传导与热辐射问题，未来可以进一步深入研究复杂形状和条件下的相关 问题，如非均匀加热、非线性热传导等。
03
对比分析。
为实际应用提供理论支持
01
为优化热传导与热辐射过程提供理论依据，指导实 际工程应用中的材料选择和结构设计。
02
通过实验数据与理论模型的对比分析，验证理论模 型的正确性和适用性。
03
热传导与热辐射大作业报告
热传导与热辐射大作业报告摘要：本报告主要介绍了热传导与热辐射的基本原理和应用。
首先，我们简要介绍了热传导和热辐射的概念及其在自然界和工程领域中的重要作用。
然后，我们详细讨论了热传导和热辐射的基本原理，包括传热机制、热传导方程和辐射传热公式。
接下来，我们通过实例分析了热传导和热辐射在不同领域中的应用，包括热传导在材料热处理中的应用、热辐射在太阳能利用中的应用等。
最后，我们总结了热传导和热辐射的特点、优缺点并展望了未来的发展方向。
关键词：热传导、热辐射、传热机制、热传导方程、辐射传热公式、应用。
1.引言热传导与热辐射是传热学中的两个基本概念。
热传导是通过固体、液体或气体中粒子的碰撞传递能量的过程，而热辐射是通过电磁波传递能量的过程。
它们在自然界和工程领域中发挥着重要的作用。
热传导在材料工程中的应用广泛，如热处理、导热材料等；热辐射在能源利用中的应用也越来越重要，如太阳能利用、红外线加热等。
2.热传导的基本原理热传导是通过固体、液体或气体中粒子的碰撞传递能量的过程。
它遵循傅里叶热传导定律，即热传导速率正比于温度梯度。
热传导方程是描述热传导现象的数学模型，可以通过求解该方程获得具体的传热速率和温度分布。
3.热辐射的基本原理热辐射是通过电磁波传递能量的过程。
根据斯特藩-玻尔兹曼定律，热辐射功率正比于物体的温度的四次方。
根据黑体辐射定律，热辐射功率与物体的波长和温度有关。
通过辐射传热公式，可以计算物体的辐射传热速率。
4.热传导与热辐射的应用热传导在材料工程中有广泛的应用。
例如，在热处理过程中，通过控制热传导速率可以改变材料的性能。
导热材料的设计也依赖于热传导的特性。
热辐射在太阳能利用中有重要的应用。
例如，通过太阳能光热发电，可以将太阳能转化为电能。
同时，热辐射还可以用于红外线加热，如红外线加热器、红外线热成像等。
5.总结与展望热传导和热辐射是传热学中的两个重要概念。
热传导通过粒子的碰撞传递能量，热辐射通过电磁波传递能量。
热工实验报告
热工实验报告热工实验报告引言：热工实验是热能工程专业中非常重要的一门实践课程。
通过实验，我们可以深入了解热力学和热传导等基本原理，并通过实际操作来验证和应用这些理论知识。
在本篇文章中，我将分享我在热工实验中的一些经验和观察结果，以及对于实验结果的分析和讨论。
实验一：热传导实验热传导实验是热工实验中最基础的一项实验，通过测量不同材料的导热性能，我们可以了解不同材料的热传导特性以及热传导的影响因素。
在实验中，我们选择了几种常见的材料，如铜、铝和塑料，制作成不同形状和尺寸的样品。
然后，我们将这些样品置于一个恒定温度差的热源和冷源之间，并测量样品两端的温度差。
通过测量得到的温度差和时间的关系，我们可以计算出材料的导热系数。
实验结果显示，铜的导热系数远大于铝和塑料。
这是因为铜具有更高的热导率，可以更快地传导热量。
此外，我们还观察到，导热系数与材料的形状和尺寸也有关系。
相同材料的不同形状和尺寸的样品，其导热系数也会有所差异。
这表明，热传导不仅与材料本身的性质有关，还与材料的形状和尺寸有关。
实验二：热辐射实验热辐射实验是热工实验中涉及到热辐射传热的一项实验。
通过实验，我们可以了解热辐射的基本原理和影响因素，以及如何利用热辐射进行传热。
在实验中，我们使用了一个热辐射仪来模拟热辐射的过程。
我们调节热辐射仪的温度，并测量不同距离处的辐射热流密度。
实验结果显示，热辐射的热流密度随着距离的增加而减小。
这是因为热辐射的能量随着距离的增加而扩散，导致单位面积上的热流密度减小。
此外，我们还观察到，热辐射的热流密度与温度的四次方成正比。
这是由于热辐射的能量与温度的四次方成正比，根据斯特藩-玻尔兹曼定律，热辐射的热流密度正比于温度的四次方。
实验三：热工循环实验热工循环实验是热工实验中涉及到热工循环的一项实验。
通过实验，我们可以了解不同类型的热工循环的工作原理和性能特点，以及如何优化热工循环的效率。
在实验中，我们选择了蒸汽动力循环和制冷循环作为研究对象。
热能传递：热传导和热辐射的实验
探究热能传递的规律
实验目的：探究热 传导和热辐射在热 能传递中的作用
实验原理：通过观 察不同材料和条件 下热传导和热辐射 的效果，分析热能 传递的规律
实验步骤：准备不 同材料和设定不同 条件进行实验，记 录实验数据并进行 分析
实验结果：得出热 传导和热辐射在热 能传递中的规律， 为实际应用提供理 论支持
实验操作流程
准备实验器材：包括热源、散热器、温度计、支架等 组装实验装置：将热源和散热器放置在支架上，连接温度计 开始实验：加热热源，观察温度计的变化 数据记录：记录实验过程中的温度变化数据 实验结束：关闭热源，待温度稳定后结束实验
数据记录与处理
实验过程中，需要实时记录实验数据，包括温度变化、热能传递速率等。 实验结束后，对实验数据进行整理、分析和处理，以得出实验结论。 使用表格、图表等方式展示实验数据，以便更好地比较和分析。 数据处理时需要注意误差分析，以避免实验结果的不准确。
影响因素：物体的温 度、表面材料和环境 因素等都会影响热辐 射的强度和波长分布。
实验原理：通过实验 测量不同条件下物体 热辐射的强度和光谱 分布，探究热辐射的 规律和影响因素。
实验装置介绍
实验装置包括加热 器、热电偶、散热 器和测量仪表等部 分
加热器用于产生热 量，热电偶用于测 量温度变化，散热 器用于控制热量的 散失
测量误差：测量 工具或方法不准 确导致的误差
环境因素误差： 实验环境变化对 实验结果的影响
系统误差：实验 设备或仪器的系 统误差对实验结 果的影响
06
结论与展望
实验结论总结
添加标题
热传导和热辐射是热能传递的两种主要方式，它们 在实验条件下表现出不同的传递特性和规律。
添加标题
小学热传导实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景热传导是物理学中的一个基本概念，指的是热量在物体内部或物体间的传递过程。
为了让学生更好地理解热传导的原理，我们进行了以下实验。
二、实验目的1. 了解热传导的概念和原理。
2. 观察不同材料的热传导性能。
3. 探讨影响热传导速度的因素。
三、实验器材1. 铜棒、铁片、木棒、塑料棒、玻璃棒、酒精灯、火柴、试管夹、烧杯、热水、凡士林。
四、实验步骤1. 实验一：（1）将铜棒固定在支架上，在火柴头上蘸少许凡士林，依次粘在铜棒的三个孔上。
（2）用酒精灯加热铜棒的一端，观察火柴由被加热的一端向另一端逐渐脱落的现象。
2. 实验二：（1）用试管夹夹住铁片，在铁片上放上蜡，分别从一边或中央加热铁片，观察铁片的熔化情况。
（2）将铁丝、木棒、塑料棒、玻璃棒、铜棒同时放入装有热水的烧杯中，用手感觉不同材料传热速度的快慢。
五、实验现象1. 实验一：（1）加热铜棒时，火柴由被加热的一端向另一端逐渐脱落。
（2）加热铁片时，从一边加热的熔化速度比从中央加热的快。
2. 实验二：将不同材料放入热水中，发现铜棒传热速度最快，其次是铁片、玻璃棒、塑料棒和木棒。
六、实验结论1. 热传导是指热量在物体内部或物体间的传递过程。
2. 不同材料的热传导性能不同，铜的热传导性能最好，其次是铁、玻璃、塑料和木棒。
3. 影响热传导速度的因素包括材料的热传导性能、物体的形状和大小等。
七、实验反思本次实验让学生直观地了解了热传导的原理，提高了学生的实验操作能力和观察能力。
在实验过程中，我们发现以下问题：1. 实验过程中，部分学生操作不规范，导致实验结果不准确。
2. 实验过程中，部分学生对实验现象的描述不够准确，影响了实验结论的可靠性。
针对以上问题，我们提出以下改进措施：1. 加强实验操作规范培训，确保实验结果准确。
2. 提高学生对实验现象的观察能力和描述能力，为实验结论提供有力支持。
八、实验总结本次实验让学生通过实际操作，了解了热传导的原理，掌握了不同材料的热传导性能，为今后的学习奠定了基础。
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热传导与热辐射大作业报告目录一、作业题目.............................................................................................................................. - 1 -二、作业解答.............................................................................................................................. - 2 - 个人感想.................................................................................................................................... - 17 - 附件.计算中所用程序.............................................................................................................. - 18 -一矩形平板a x ≤≤0, b y ≤≤0，内有均匀恒定热源0g ，在0=x 及0=y 处绝热，在a x =及b y =处保持温度1T ，初始时刻温度为0T ，如右图1所示：1、求0>t 时，矩形区域内的温度分布()t y x T ,,的解析表达式；2、若m a 18=，m b 12=，301m W g =，6T 1=0K m W k ⋅=0.1，热扩散系数20.8m s α=。
请根据1中所求温度分布用MATLAB 软件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析：(a)300s 内，在同一图中画出点)4,0(、)8,0(、()0,6、)0,12(、)6,9(（单位：m ）温度随时间的变化；(b)200s 内，画出点)4,18(、)8,18(、()12,6、)12,12(、)6,9(（单位：m ）处，分别沿x 、y 方向热流密度值随时间的变化；(c) 画出s s s s s t 1501251007550、、、、=时刻区域内的等温线； (d)300s 内，在同一图中画出点()0,9（单位：m ）在0g 分别等于31m W ，32m W ，33m W 情况下的温度变化；(e) 300s 内，比较点(9,6) （单位：m ）在其它参数不变情况下热导率分别为K m W ⋅5.0、K m W ⋅0.1和K m W ⋅5.1的温度、热流密度变化；(f)300s 内，比较点(9,6) （单位：m ）在其它参数不变情况下热扩散系数分别为m 24.0、s m 28.0和s m 22.1的温度、热流密度变化； 3、运用有限差分法计算2中(b)、(d)和(e)，并与解析解结果进行比较，且需将数值解与解析解的相对误差减小到1‰以下；4、附上源程序和个人体会；以报告形式整理上述结果，用A4纸打印上交。
1、求0>t 时，矩形区域内的温度分布()t y x T ,,的解析表达式；解答：我们令1T T θ-=，则可以得到一个方程和边界条件：t1k g y x 02222∂∂=+∂∂+∂∂Tαθθ （1-1）.0,0d ==x dxθa 0==x ，θ0,0yd ==y d θb ==y 0，θ 0t 10=-=，T T θ将上式分解为一个)y x s ，（θ的稳态问题：0kg y x 02s 22s 2=+∂∂+∂∂θθ （1-2）.0,0d s==x dxθa 0s ==x ，θ0,0yd ==y d sθ b ==y 0s ，θ 和一个),,h t y x （θ的其次问题： t1y x 2222∂∂=∂∂+∂∂Th h αθθ （1-3）.0,0d ==x dxhθ a 0==x h ，θ0,0yd ==y d hθb h ==y 0，θ其中),(),),(),h y x f y x y x F y x s *≡-=（（θθ则原问题的解根据下式求得：),,(),(),,t y x y x t y x h s θθθ+=（ （1-4）发热强度为常数的特解可从表2-4中查的，则新变量)y x s ，（θ可定义为：A x kg +-=20s2)y x )y x ，（，（θθ （1-5） 将（1-5）带入（1-2）整理得到：，（0y),(x ),2222=∂∂+∂∂y x y x θθ b y a x <<<<0,0 （1-6）.0,0d ==x dxθa a 220=-=x A kg ，θ0,0yd ==y d θb A x k g =-=y 220，θ 若令常数202ga kA =，则上式可以变为：，（0y ),(x ),2222=∂∂+∂∂y x y x θθ b y a x <<<<0,0 （1-7）.0,0d ==x dxθ a 0==x ，θ 0,0yd ==y d θb x f ==y )(，θ其中)(2)(220a x kg x f -=假定),y x （θ可以分离出如下形式：)()(),y Y x X y x =（θ （1-8） 对应于)()(y Y x X 和的分离方程为： 0)()(d 222=+x X dxx X β （1-9）0,0==x dxdXa x X ==，00)()(d 222=-y Y dyy Y β （1-10）0,0==y dydYb y x f Y ==，)(在)(x X 中特征值问题的解可以直接从表2-2第6条中得到，只需要用a 代替L ，x x X m m ββcos ),=（（1-11）a2)1=m N β（ （1-12）m β是下面方程的正根：0a cos =m β （1-13）方程（1-10）的解可以取为y h Y m m ββcos y ,=）（（1-14）),y x （θ的完全解由下式组成：∑∞==1cos cosh ),(m m m m x y C y x ββθ （1-15）此式满足热传导问题（1-7）及三个齐次边界条件，其中，系数m C 可以根据方程的解还应满足非齐次的边界条件来决定。
利用b y =的边界条件可得：∑∞==1cos cosh )(m m m m x b C x f ββa x <<0 （1-16）利用函数x m βcos 的正交性可以求得系数m C ，⎰=a mm dx x f x b N C 0'''m m )(cos cosh 1βββ）（ （1-17）式中：3m0'2a182'0''''sin )(2cos )(cos ββββk ag dx a x k g x dx x f x m m m =-⋅=⋅⎰⎰将这个表达式带入式（1-15），其中范数）（m βN 在前面已经给出，解得结果为301m sin cos cosh bcosh 12),m m m m m k ag x y a y x βββββθ⋅⋅⋅=∑∞=（（1-18）则：A x kg +-=20s 2)y x )y x ，（，（θθ )(2sin g cos cosh bcosh 12220301m x a k gk a x y a m m m m m -+⋅⋅⋅=∑∞=βββββ（1-19） 假定),,(h t y x θ分离成如下表达式)()()(),,(h y Y x X t t y x Γ=θ （1-20） 对应于函数)(x X 和)(y Y 的分离方程为)(x X ：0)()(d 222=+x X dxx X β a x <<0 （1-21）0,0==x dxdXa x X ==，0)(y Y ：0)()(d 222=-y Y dyy Y γ b y <<0 （1-22）0,0==y dydYb y Y ==，0)(t Γ的解为：tv t )(22n e)(γβα+-=Γ （1-23）上述问题的完全解为： ∑∑∞=∞=+-=11)(h ),(),(),,(22nm n v n tmn y Y x X e C t y x v γβθγβα（1-24）其中0<x<a,0<y<b 。
当t=0时，上式变为：∑∑∞=∞==11h ),(),(),(m n v n nv y Y x X C y x γβθ （1-25）其中0<x<a,0<y<b 。
确定未知系数m n C 的方法是，在上式两边逐项用如下算子作运算：⎰a 0n ),(dx x X β及⎰b0v ),(dy y Y γ 并利用这些函数的正交性，得到：⎰⎰=a 0b 0''''''v n nv ),(),(),(1dy dx y x y Y x X N N C h v n θγβγβ）（）（ （1-26）最终得到问题的解为：∑∑∞=∞=+-=11v n )(h ),(),(1),,(22m n v n ty Y x X N N e t y x v n γβγβθγβα）（）（⎰⎰⋅a0b''''''n ),(),(dy dx y x y Y x X h v θγβ），（（1-27）式中出现的特征函数，特征值及范数可以从表2-2中直接查得：x x X n n cos )(ββ=， （1-28）a2)(1n =βN （1-29）且m β为如下方程的正根：0cos n =a β（1-30）满足特征值问题的函数),(y Y n γ对应于表2-2中的第6条，得到：y y Y v γγcos ),(v =（1-31）b2)(1v =γN （1-32）且n γ是如下方程的正根：0b cos v =γ最后得到：∑∑∞=∞=+-⋅=11)(h cos cos 14),,(22nm n v n ty x abe t y x v γβθγβα ⎰⎰⋅a 0b0''''''n ),(cos cos dy dx y x y x h v θγβ （1-33） 令'''''v 'n a 00),(cos cos dy dx y x y x I h bθγβ⎰⎰=⎰⎰∑∞=-+⋅⋅--=a 001''2203''010'')](2sin cos cosh cosh k 2[cos cos bm m m m m m v n dy dx x a k g a x y ba g T T y x βββββγβ⎰⎰-=a 00''10''cos cos bvndy dx T T y x ）（γβ⎰⎰∑∞=⋅⋅⋅+a 001''3''0''sin cos cosh cosh 2cos cos b m m m m m m v n dy dx a x y bak g y x βββββγβ ⎰⎰-⋅+a 00''220'')(2cos cos b v n dy dx x a kg y x γβ其中令vn v n bv n ba T T dy dx T T yx I γβγβγβsin sin cos cos 10a 00''10''1）（）（-=-=⎰⎰令⎰⎰∑∞=⋅⋅⋅=a 001''3''0''2sin cos cosh cosh 2cos cos b m mm m m m v n dy dx a x y b ak g y x I βββββγβ ∑⎰⎰∞==10b0''''''30cos cosh cos cos cosh sin 2m a m m v n mmmdy dx x y y x b ak ag ββγββββ∑⎰⎰∞==10b''''''30cosh cos cos cos cosh sin 2m am v m n mm m dy y y dx x x b ak ag βγβββββ根据余弦函数的正交性，只有当m=n 时积分才不为0，故上式可以化为：⎰⎰a n v n n n m dy y y dx x x b ak a g 0b 0''''''3n 0cosh cos cos cos cosh sin 2βγβββββ 再令⎰==an n a dx x x I 0'''212cos cos ββb b h dy y y I v n v v n v γβγβγβγsin cos cosh cos 22n b'''22+==⎰所以)(sin sin cosh )1(2223n 22213n 02v n v m V n n ba I Ib ak g I γββγβγββ+=⋅⋅-= 令30a 00''220''3sin sin )(2cos cos nv n v b v n k a b g dy dx x a kg y x I βγβγγβ-=-⋅=⎰⎰ 所以)()[(1222202010n 321v n n v n v k g k g T T I I I I γββγβγβ++--=++= 由（1-4）、（1-19）及（1-33）可知)(2cos cosh 2),,(2201cosh sin 30x a kg x y t y x T m m m bak ag mmm -+-=∑∞=βββββ∑∑∞=∞=+-⋅++--+11v222221n)(coscos])()[(sinsin422nmvnvnnvnvvmt yxkgkgTTbaeabvγβγββγβγβγβγβα1T+。