离散序列的基本运算(DOC)
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
数字信号处理实验离散序列的基本运算
title('x(-n)');
五、序列的尺度变换
n=0:40;tn=n./20;
x=sin(2*pi*tn);
x1=sin(2*pi*tn*2);
x2=sin(2*pi*tn/2);
subplot(3,1,1),stem(tn,x,'filled','k');
ylabel('δ(n-4)');
subplot(3,1,3);stem(n,x3,'filled','k');
axis([n1,n2,1.1*min(x3),1.1*max(x3)]);
ylabel('δ(n-2)+δ(n-4)');
2.n1=-4:6;n01=-2;
x1=[(n1-n01)>=0];
x=y1+y2;
subplot(3,1,1);
stem(n1,x1,'filled','k');
ylabel('x1(n)');
axis([min(n),max(n),1.1*min(x),1.1*max(x)]);
subplot(3,1,2);
stem(n2,x2,'filled','k');
ylabel('x2(n)');
axis([min(n),max(n),1.1*min(x),1.1*max(x)]);
subplot(3,1,3);
stem(n,x,'filled','k');
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
DSP实验报告――离散信号的产生及运算(精)
离散信号的产生(chǎnshēng)及运算报告一、实验(shíyàn)目的：1、复习(fùxí)和巩固数字信号处理中离散信号的产生和运算2、学习和掌握(zhǎngwò)用MATLAB产生离散信号的方法3、学习(xuéxí)和掌握用MATLAB对离散信号进行运算二、实验原理：1．用MATLAB函数产生离散信号信号是数字信号处理的最基本内容。
没有信号，数字信号处理就没了工作对象。
MATLAB7.0内部提供了大量的函数，用来产生常用的信号波形。
例如，三角函数（sin,cos）,指数函数（exp）,锯齿波函数（sawtooth）, 随机数函数（rand）等。
1 产生被噪声污染的正弦信号用随机数函数产生污染的正弦信号。
2 产生单位脉冲序列和单位阶跃序列按定义，单位脉冲序列为单位阶跃序列为。
3 矩形脉冲信号：在MATLAB 中用rectpuls 函数来表示，其调用形式为：y=rectpuls(t,width，用以产生一个幅值为1，宽度为width,相对于t=0 点左右对称的矩形波信号，该函数的横坐标范围(fànwéi)由向量t 决定，是以t=0 为中心向左右各展开width/2 的范围，width 的默认值为1。
例：以t=2T(即t-2×T=0为对称中心的矩形脉冲信号(xìnhào)的MATLAB 源程序如下：（取T=1）t=0:0.001:4;T=1;ft=rectpuls(t-2*T,2*T;plot(t,ft;grid on; axis([0 4 –0.5 1.5];4 周期性矩形波（方波）信号在MATLAB 中用square 函数来表示，其调用形式为：y=square(t,DUTY，用以产生一个周期为2π、幅值为±1 的周期性方波信号，其中的DUTY参数表示占空比，即在信号的一个周期中正值(zhènɡ zhí)所占的百分比。
离散傅里叶变换及其快速算法
离散傅里叶变换及其快速算法离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。
而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种能够高效计算DFT的算法，大大减少了计算量。
首先，我们来看一下DFT的原理。
给定一个有限长度的离散信号序列x(n)，DFT将其转换为频谱X(k)，其中k为频率索引，取值范围为0到N-1，N为序列的长度。
DFT的定义公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * nk / N)其中，exp为自然指数函数，j为虚数单位。
DFT将信号分解为了N个复数的和，这些复数代表了不同频率分量在信号中的贡献。
然而，直接计算DFT的时间复杂度非常高，为O(N^2)。
为了提高计算效率，Cooley和Tukey于1965年提出了FFT算法。
FFT算法基于以下性质：若N为2的整数次幂，则DFT可以被分解为两个较小长度的DFT的线性组合。
具体来说，将N个点的DFT拆分为长度为N/2的两个DFT，然后再对这两个子序列进行DFT，最后将两个子序列的结果组合起来。
这个过程可以递归地进行，直到序列长度为1，即可得到最终的DFT结果。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的复杂度。
这使得FFT成为了处理大规模数据的首选方法之一、此外，FFT还有其他一些优点，如可并行化计算、对称性质等。
FFT算法可以采用不同的实现方式，最著名的是基于蝶形运算的Cooley-Tukey算法。
这种实现方式将FFT过程分为了两个阶段：置换阶段和蝶形运算阶段。
置换阶段通过将信号重新排序，将原始序列分为奇偶两个子序列，并计算每个子序列的DFT。
这个过程可以递归地应用于子序列，直到长度为1蝶形运算阶段是FFT算法的核心部分。
蝶形运算是指将两个频域上的复数进行运算，得到新的复数。
离散时间信号的时域描述及基本运算
[例] 画出信号f (t) 的奇、偶分量 画出信号f
解：
f(t) 2 1
-1
0
f(t) 2 1
1
t
-1
0
1
t
3．信号分解为实部分量与虚部分量 信号分解为实部分量 实部分量与
连续时间信号
f (t ) = f r (t ) + j f i (t )
实部分量 虚部分量
f * (t ) = f r (t ) j f i (t )
在序列2点之间插入 个点 在序列 点之间插入M1个点 点之间插入
4. 序列相加
指将若干离散序列序号相同的数值相加
y[k ] = f1[k ] + f 2 [k ] + … + f n [k ]
f1 [ k ]
1 k 0 1
f1[k ] + f 2 [k ]
2
f 2 [k ]
k
1 k
0
0
5. 序列相乘
1 f o (t ) = [ f (t ) f (t )] 2 f o (t ) = f o (t )
离散时间信号
f [k ] = f e [k ] + f o [k ] 1 f o [k ] = { f [k ] f [ k ]} 2
1 f e [k ] = { f [k ] + f [k ]} 2
1. 翻转
f [k] → f [k]
以纵轴为中心作180度翻转 将 f [k] 以纵轴为中心作 度翻转
f [k] 2 1 1 0 1 2 3 k
2 1 0 1
3 2
f [k] 2
3 2 1 2 k
2. 位移 f [k] → f [k±n]
离散数学文档1
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
离散数学知识点(可编辑修改word版)
1.内容及范围主要来自 ppt，标签对应书本2.可能有错，仅供参考离散数学知识点说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法: 绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P 规则，T 规则， CP 规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
离散系统卷积求和的方法
离散系统卷积求和的方法一、前言离散系统卷积求和是数字信号处理中的重要概念，涉及到信号的滤波、卷积等问题。
本文将介绍离散系统卷积求和的方法，包括直接求和法、FFT法、分块法等。
二、直接求和法直接求和法是最基本的离散系统卷积求和方法，其步骤如下：1. 给定两个离散时间序列x(n)和h(n)，其中x(n)为输入序列，h(n)为系统响应序列。
2. 将h(n)按照n的取值进行翻转得到h(-n)，即h(-n)=h(N-1-n)，其中N为序列长度。
3. 对于每个k，计算y(k)=sum(x(i)*h(k-i))，其中i从0到N-1。
4. 得到输出序列y(n)。
该方法简单易懂，但计算量较大，在实际应用中不太可行。
三、FFT法FFT法是一种快速计算卷积的方法，其基本思想是利用快速傅里叶变换（FFT）将卷积运算转化为乘法运算。
其步骤如下：1. 给定两个离散时间序列x(n)和h(n)，其中x(n)为输入序列，h(n)为系统响应序列。
2. 分别对x(n)和h(n)进行N点FFT，得到X(k)和H(k)，其中k为频率序列。
3. 计算Y(k)=X(k)*H(k)，即将X(k)和H(k)对应位置相乘。
4. 对Y(k)进行N点IFFT，得到输出序列y(n)。
该方法的计算量较小，计算速度快，但需要满足一定的条件才能使用，例如序列长度必须为2的幂次方。
四、分块法分块法是一种将长序列卷积运算拆分成多个短序列卷积运算的方法，可以减少计算量。
其步骤如下：1. 给定两个离散时间序列x(n)和h(n)，其中x(n)为输入序列，h(n)为系统响应序列。
2. 将x(n)和h(n)分别拆分成多个子序列，每个子序列长度为M（M<<N），得到x1(n), x2(n), ..., xn(N/M); h1(n), h2(n), ...,hn(N/M)，其中n=N/M。
3. 对于每个i=1, 2, ..., n，计算yi(m)=sum(xi(j)*hi(m-j))，其中j从0到M-1。
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学号：__201308030102__ 姓名：__刘晗皞__ 专业年级班级： _通信工程1301__
________________ 实验室组别________ 实验日期 _2016_ 年_4_ 月_18_ 日
学会运用MATLAB进行离散序列的运算，并掌握程序的编写方法。
n=-2:10;n0=2;n1=-2;
n1=0;n2=10;n01=2; n02=4;
实验记录见上表。
填写说明：
基本栏目填写准确，不要漏写。
实验每组在2人以上需填同组者姓名。
实验名称和编号实验项目名称，以实验教学大纲中的名称为准，不能随意修改；实验编号，为课程编号＋XX（XX是该课程的实验项目序号）例：LINUX/UNIX操作系统，课程编号CS06007，这门课程共有8个实验项目，则LINUX/UNIX操作系统实验项目名称序号分别为CS0600701，CS0600702，………CS0600708；由实验教师指导学生填写。
实验目的目的要明确，要抓住重点，可以从理论和实践两个方面考虑。
在理论上，验证定理、公式、
算法，并使实验者获得深刻和系统的理解，在实践上，掌握使用实验设备的技能技巧和程序的调试方
法。
一般需说明是验证型实验还是设计型实验，是创新型实验还是综合型实验。
实验环境实验用的软硬件环境（配置）。
实验内容和原理这是实验报告极其重要的内容。
这部分要写明依据何种原理、定律算法、或操作方法
进行实验。
实验步骤、方法和关键代码要写明经过哪几个步骤，还应该画出流程图，再配以相应的文字说明，要
实现功能采取的方法以及使用的关键代码。
测试记录、分析和结论从实验中进行测试记录，然后分析,作出结论。
小结对本次实验的体会、思考和建议。
可写上实验成功或失败的原因，实验后的心得体会、建议等。
注意：
实验成绩由平时成绩和实验报告成绩组成，实验报告成绩是实验成绩的主要依据。
实验卡和实验报告
信息科学与工程学院
∙每个实验项目学生填写一份《实验卡和实验报告》，学生填写好《实验卡和实验报告》后，交老师评阅计分，新一个实验项目开始前，学生交上个实验的《实验卡和实验报告》，迟交者扣分、缺交者不予记分。
∙每门课的同一个实验项目老师分班（如果是选修课人数不多，可以不分班）装订成一本，填写好实验报告封面信息。