棋盘覆盖问题 分治法c(带截图)
分治算法-残缺棋盘
分治算法-残缺棋盘残缺棋盘是⼀个2^k*2^个⽅格的棋盘，其中恰有1个⽅格残缺。
图中给出，其中残缺部分⽤阴影表⽰。
这样的棋盘称为"三格板"，残缺棋盘问题就是⽤这四种三格板覆盖更⼤的残缺棋盘。
再次覆盖中要求:(1)两个三格板不能重复。
(2)三格板不能覆盖残缺棋盘⽅格，但必须覆盖到其他所有的⽅格。
算法思路:利⽤分治算法将棋盘细化，逐步解决,以4*4为例⾸先判断残缺的位置在哪⾥，然后在中间填上对应的三格板，如在上图中间拼上三⾓板(4)，变成下⾯这样然后通过中间将其分成了4个2*2的⼩残缺棋盘，从⽽问题得以解决4*4的分析过于简单，现在我们以8*8为例进⾏分析，能更清楚的理解这个例⼦中分治算法的思想⾸先将三格板放置在中间，将其分4个⼩的4*4的残缺棋盘通过红⾊线将其划分成4个4*4的残缺棋盘，现在以左上的残缺棋盘为例然后将左的4*4的⼩棋盘右划分成了4个2*2的⼩棋盘，这样就将问题优化成了2*2的三⾓棋盘的⼩问题，这样很快就能将左上的4*4的残缺棋盘解决了下⾯继续分析右上的4*4的棋盘，根据残缺的⽅格在⼩棋盘中的位置，在中间选择合适的三格板将⼩的残缺棋盘继续划分，将问题分化成更⼩的状态接着的问题和上⾯⼀样分析。
右上⾓的⼩棋盘很快也能解决了，下⾯两块残缺棋盘的分析⽅法和上⾯的⼀样，整个问题就这样⼀步步的分解成⼩问题，然后解决了。
下⾯是源代码#include <iostream>using namespace std;int amount,Board[100][100];void Cover(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){int s,t;if(size<2)return ;amount++;t=amount;s=size/2;if(dr<tr+s&&dc<tc+s)//残缺在左上⾓{//覆盖中间位置Board[tr+s-1][tc+s]=t;Board[tr+s][tc+s-1]=t;Board[tr+s][tc+s]=t;Cover(tr,tc,dr,dc,s);//覆盖左上Cover(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);//覆盖右上Cover(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);//覆盖左下Cover(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);//覆盖右下}else if(dr<tr+s&&dc>=tc+s)//残缺在右上⾓{Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;Board[tr+s][tc+s-1]=t;Board[tr+s][tc+s]=t;Cover(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);Cover(tr,tc+s,dr,dc,s);Cover(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);Cover(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);}else if(dr>=tr+s&&dc<tc+s)//残缺在左下 {Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;Board[tr+s-1][tc+s]=t;Board[tr+s][tc+s]=t;Cover(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);Cover(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);Cover(tr+s,tc,dr,dc,s);Cover(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);}else{Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;Board[tr+s-1][tc+s]=t;Board[tr+s][tc+s-1]=t;Cover(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);Cover(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);Cover(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);Cover(tr+s,tc+s,dr,dc,s);}}void Print(int s){for(int i=1;i<=s;i++){for(int j=1;j<=s;j++)printf("%5d ",Board[i][j]);printf("\n");}}int main(){int s=1,k,x,y;printf("输⼊2残缺棋盘的规模:2^k,k="); scanf("%d",&k);for(int i=1;i<=k;i++)s*=2;printf("输⼊棋盘残缺位置(x,y):");scanf("%d%d",&x,&y);Board[x][y]=0;Cover(1,1,x,y,s);Print(s);return 0;}。
算法设计与分析课件--分治法-线性时间选择
2.5 线性时间选择
这样找到的m*划分是否能达到O(n)的时间复杂度？ |A| = |D| = 2r, |B| = |C| = 3r +2，n = 10r +5. |A| + |D| + |C| = 7r + 2 = 7(n-5)/10 +2 = 7n/10 -1.5 < 7n/10 表明子问题的规模不超过原问题的7/10(d)。
T(n) = T(cn) + T(dn) + tn
6
2.5 线性时间选择
Select(S, k) Input: n个数的数组S，正整数k
T(n) = T(cn) + T(dn) + tn
Output: S中的第k个小元素
1. 将S划分成5个元素一组，共[n/5]个组；
2. 每组寻找一个中位数，把这些中位数放到集合M中；
寻找一个分割点m*, 使得左边子表S1中的元素都小于m*, 右子表 S2中的元素都大于m*。 如果寻找m*的时间复杂度达到O(nlogn), 那就不如直接使用排序 算法了。 如果直接寻找m*, 时间复杂度是O(n). 假设选择算法的时间复杂度为T(n), 递归调用这个算法在S的一 个真子集M上寻找m*，应该使用T(cn)时间，这里c是小于1的常数， 反映了M的规模与S相比缩小许多。
✓ 不妨假设n是5的倍数，且n/5是奇数，即n/5 = 2r+1. 于是： |A| = |D| = 2r, |B| = |C| = 3r +2，n = 10r +5.
✓ 如果A和D中的元素都小于m*,那么把它们的元素都加入到S1, S1对应规约后子问题的上限。 类似的，若A和D中的元素都 大于m*, 则把他们的元素都加 入到S2，S2对应规约后子问题 的上限。
算法设计与分析复习题目及答案 (3)
分治法1、二分搜索算法是利用（分治策略）实现的算法。
9. 实现循环赛日程表利用的算法是（分治策略）27、Strassen矩阵乘法是利用（分治策略）实现的算法。
34．实现合并排序利用的算法是（分治策略）。
实现大整数的乘法是利用的算法（分治策略）。
17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（分治法）。
29、使用分治法求解不需要满足的条件是（子问题必须是一样的）。
不可以使用分治法求解的是（0/1背包问题）。
动态规划下列不是动态规划算法基本步骤的是（构造最优解）下列是动态规划算法基本要素的是（子问题重叠性质）。
下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（动态规划法）备忘录方法是那种算法的变形。
（动态规划法）最长公共子序列算法利用的算法是（动态规划法）。
矩阵连乘问题的算法可由（动态规划算法B）设计实现。
实现最大子段和利用的算法是（动态规划法）。
贪心算法能解决的问题：单源最短路径问题，最小花费生成树问题，背包问题，活动安排问题，不能解决的问题：N皇后问题，0/1背包问题是贪心算法的基本要素的是（贪心选择性质和最优子结构性质）。
回溯法回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（排列树）。
剪枝函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（确定解空间的时间）分支限界法最大效益优先是（分支界限法）的一搜索方式。
分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（最大堆）。
分支限界法解旅行售货员问题时，活结点表的组织形式是（最小堆）优先队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（结点的优先级）在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点最多有一次机会成为活结点的是( 分支限界法).从活结点表中选择下一个扩展结点的不同方式将导致不同的分支限界法,以下除( 栈式分支限界法)之外都是最常见的方式.（1）队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。
算法设计与分析-分治法
3.2.1 归并排序
算法3.1——归并排序
void MergeSort(int r[ ], int r1[ ], int s, int t) {
if (s= =t) r1[s]=r[s]; //只有一个元素，直接赋值 else {
m=(s+t)/2; Mergesort(r, r1, s, m); //归并排序前半个子序列 Mergesort(r, r1, m+1, t); //归并排序后半个子序列 Merge(r1, r, s, m, t); //合并两个已排序的子序列 } }
A、B、C、D 四个区域
Ø想法
Ø 用二维数组data[N][N]表示N×N的方阵，观察方阵中数
字的规律，可以从外层向里层填数。 Ø 设变量size表示方阵的大小，则初始时size = N，填完一
层则size = size - 2；
Ø想法
Ø 设变量begin表示每一层的起始位置，变量i和j分别表示
MergeSort(r,r1,1,1) r1[1]=r[1]
Merge(r1,r,0,0,1)
MergeSort(r,r1,2,3)
MergeSort(r,r1,2,2) r1[2]=r[2]
MergeSort(r,r1,3,3) r1[3]=r[3]
Merge(r1,r,2,2,3)
Merge(r1,r,0,1,3)
• 分治思想 • 归并排序 • 快速排序 • 折半查找 • 选择问题 • 最大子段和问题 • 棋盘覆盖问题 • 循环赛日程安排问题
3.1 基本思想 3.2 排序问题中的分治算法 3.3 查找问题中的分治算法 3.4 组合问题中的分治算法 3.5 典型问题的C++程序（略）
棋盘覆盖问题c语言
// 覆盖本子棋盘中的其余方格
ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
}
//覆盖右上角子棋盘
if(dr<tr+s&&dc>=tc+s)
// 特殊方格在此棋盘中
ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
else
{//特此棋盘中无特殊方格 ,t号L型骨牌覆盖左下角
{//此棋盘中无特殊方格 ,t号L型骨牌覆盖左上角
board[tr+s][tc+s]=t;
// 覆盖本子棋盘中的其余方格
ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
}
}
int main()
{
int size,r,c,row,col;
printf("输入棋盘大小：\n");
scanf("%d",&size);//输入棋盘大小
{
for (c = 0; c < size; c++)
{
printf("%d ",board[r][c]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
运行效果：
实验报告成绩
老师
注：1）专业班级按打印课表中名称填写；2）课程名称按课表中名称填写，不能简写；
3）实验日期格式示例：）实验时间格式示例：“第三大节”5）实验情况包括任务（或题目）、解决方案（或者代码）、结果等；6）实验报告成绩按五级标准评分；精心搜集整理，只为你的需要
棋盘式算法
棋盘式算法（checkerboard algorithm）是一种并行计算算法，常用于解决二维网格上的计算问题。
该算法将计算任务分配到不同的处理器上，每个处理器负责计算一个子区域，最后将结果合并得到最终结果。
具体来说，棋盘式算法的流程如下：
1.将二维网格分成若干个大小相同的子块，每个子块包含连续的行和列。
2.将子块按照黑白相间的方式分配给处理器，即交替分配黑块和白块给不同的处理器。
3.处理器对自己分配到的子块进行计算，得到局部结果。
4.处理器之间进行通信，将边界处的结果传递给相邻的处理器。
5.处理器根据收到的结果更新自己的计算结果。
6.重复步骤3-5，直到所有处理器都完成了计算。
7.合并所有处理器的计算结果，得到最终结果。
棋盘式算法的优点在于可以充分利用多处理器系统的并行计算能力，同时减少了处理器之间的通信量，提高了运算效率。
这种算法常用于解决图像处理、模拟物理效应等需要大量计算的问题，具有广泛的应用前景。
棋盘理论知识点总结
棋盘理论知识点总结棋盘理论是图论的一个重要领域，研究的对象是在一个给定的网格状的结构上，如棋盘等，给定一些特定的规则和限制条件下的一些问题的性质和解法。
棋盘理论在数学、计算机科学、经济学、生物学等领域有着广泛的应用，例如在游戏算法、路径规划、资源分配等方面。
本文将从基本概念、经典问题、相关算法等方面对棋盘理论进行总结和介绍。
一、基本概念1.1 图论基础棋盘理论是图论的一个分支，图论是数学的一个分支，研究的对象是图。
图由结点（vertex）和边（edge）组成，其中结点代表实体，边代表结点之间的关系。
在棋盘理论中，棋盘可以看作一个特殊的图，其中每个格点都是一个结点，相邻的格点用边连接。
通过图论的概念和方法，可以更好地理解和分析棋盘理论中的问题。
1.2 状态空间在棋盘理论中，状态空间是指所有可能的状态的集合。
每个状态对应着棋盘上的一个局面，可以是游戏中的某个局面，也可以是路径规划中的某个位置等。
在状态空间中，通常会定义一些操作，使得在不同状态之间能够进行状态转移。
状态空间的性质和结构对于理解问题和设计算法有着重要的作用。
1.3 博弈论基础博弈论是研究多方参与的竞争行为的数学理论。
在棋盘理论中，经常会涉及到博弈论的相关概念和方法。
例如，博弈树、极小-极大搜索等算法都是博弈论在棋盘理论中的应用。
通过博弈论的分析，可以找到一些最优的策略和决策，对于解决棋盘理论中的一些问题非常重要。
1.4 相关算法在棋盘理论中，会涉及到一些经典的算法，例如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最短路径算法、最小生成树算法等。
这些算法在解决棋盘理论中的一些问题时，起着非常重要的作用。
通过这些算法，可以有效地求解一些复杂的问题，提高求解的效率和质量。
二、经典问题2.1 马踏棋盘问题马踏棋盘问题是棋盘理论中的一个经典问题，也是图论中的一个经典问题。
问题描述如下：在一个给定大小的棋盘上，有一个马，它从任意一个位置开始，按照马的走法进行移动，要求每个格点只能访问一次，最终能否遍历整个棋盘上的所有格点。
分治法棋盘覆盖问题算法原理
分治法棋盘覆盖问题算法原理
分治法棋盘覆盖问题算法是一种基于分治策略的算法，用于解决棋盘覆盖问题。
该算法的基本原理是将一个复杂的问题分解为若干个较小的子问题，然后分别求解这些子问题，最后将子问题的解合并为原问题的解。
在棋盘覆盖问题中，给定一个n×n的棋盘，要求用最少的1×2骨牌覆盖整个棋盘。
分治法棋盘覆盖问题算法通过将棋盘不断划分，将问题规模逐渐减小，最终将问题转化为若干个1×1的棋盘覆盖问题，从而使得问题得以解决。
具体来说，该算法首先将棋盘划分为四个相等的子棋盘，然后判断哪个子棋盘中包含特殊方格。
对于不包含特殊方格的子棋盘，用L型骨牌覆盖其会合处，将其转化为特殊棋盘。
然后递归地使用这种划分策略，直至将棋盘分割为1×1的子棋盘。
通过这种分治策略，算法可以将问题规模不断减小，直到每个子问题都能够被直接解决。
最终，所有子问题的解将被合并为原问题的解。
这种算法不仅具有高效性，而且能够将复杂的问题分解为若干个简单的子问题，使得问题的解决更加容易。
棋盘上的数学问题
希望杯
希望杯
学数
数学
竞 赛 题 竞 赛 题
(a)
(b)
图4
(要求 :每次移动网格中的字块时 ,只能
将字块滑动到相邻的空的网格中. )
(第 16 届“希望杯”全国数学邀请赛)
解 :将“希 、望 、杯 、数 、学 、竞 、赛 、题”八个
字分别记为 1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 ,则图 4 (a) 变为
③
a4 + a5 + a6 = 15.
④
①+ ②+ ③+ ④得
3 a5 + ( a1 + a2 + …+ a9 ) = 60 ,
即 3 a5 + 45 = 60 ,得 a5 = 5.
余下的 8 个数中有 4 个偶数 、4 个奇数.
若假设 a1 为奇数 ,则由式 ①知 a9 必为奇数.
分类讨论如下 :
14
综上 ,如图 8 所填的 3 ×3 棋盘 , 使 M 有最大 值 ,且最大值为 58.
注 :填数方法不唯一.
4 棋盘的覆盖问题
817 492 536
图8
这 里 的 覆 盖 问 题 是 指 最 简 单 的 一 类 覆
盖 ,即棋盘的完全覆盖 (在棋盘的覆盖中 ,各
个覆盖形的总格数等于棋盘的总格数) . 完全
在 3 ×3 网格的同一行中 ,按照要求调整 时 ,对应数字只能左右移动 ,移动前后的棋盘 所对应的八位数完全相同 ,相应的逆序的总 数不发生变化.
如果按照要求 ,将数字移动到相邻的行 中 ,相当于在对应的八位数中 ,将某个数字向 左 (或向右) 跳过了两个数字. 注意到在一个 多位数中 ,两个相邻数字交换位置 ,逆序总数 的变化量只能是 1 或 - 1 ,于是 ,将数字移动 到相邻的行时 ,对应的八位数的逆序总数的 变化量只能是 2 或 0 或 - 2.
棋盘覆盖算法
棋盘覆盖算法
棋盘覆盖算法是一种使用分治策略来覆盖一个给定的棋盘的算法。
其基本思想是将棋盘划分成四个等分的子棋盘，然后从中选择一个作为特殊方格，并在其它三个子棋盘上递归执行该算法。
这个过程会一直递归下去，直到棋盘被完全覆盖。
在实际应用中，棋盘覆盖算法可以用来解决一些与棋盘相关的问题，例如：在一个棋盘上，如何用L型骨牌覆盖所有格子？如何在一个棋盘上放置n个皇后，使得它们不互相攻击？
棋盘覆盖算法的时间复杂度为O(2^n)，因此在处理大规模的棋盘问题时，可能会存在效率问题。
为了提高算法的效率，可以考虑使用一些优化技巧，例如：使用启发式搜索来减少搜索空间，或者使用记忆化搜索来避免重复计算。
总之，棋盘覆盖算法是一种十分有用的算法，在许多棋盘相关的问题中都能够得到应用。
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void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
if(size == 1)
return;
int t = ++tile, s = size/2;
//覆盖左上角子棋盘
if(dr<tr+s && dc<tc+s)
printf("\n");
}
}
int main()
{
ChessBoard(1, 1, 1, 2, 4);
DisplayBoard(4);
return 0;
}
说明：同一标号代表组成的，0代表非填充区域，从运行结果可以看出排列的方法。
ChessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);
else
{
Board[tr+s][tc+s-1] = t;
ChessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);
}
//覆盖右下角子棋盘
if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)
ChessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);
棋盘覆盖问题
代码：分治法
需要说明：
tr:棋盘左上角方格的行号
tc:棋盘左上角方格的列号
dr:特殊方格所在的行号
dc:特殊方格所在的列号
size:方形棋盘的边长
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 11;
int Board[N][N];
//特殊方格在此棋盘中
ChessBoard(tr, tc, Nhomakorabeadr, dc, s);
else//此棋盘无特殊方格
{
//用t号L型骨型牌覆盖右下角Board[tr+s-1][tc+s-1] = t;
//覆盖其余方格
ChessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);
}
//覆盖右上角子棋盘
else
{
Board[tr+s][tc+s] = t;
ChessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);
}
}
void DisplayBoard(int size)
{
for(int i=1; i<=size; ++i)
{
for(int j=1; j<=size; ++j)
printf("%2d ", Board[i][j]);
if(dr<tr+s && dc>=tc+s)
ChessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);
else
{
Board[tr+s-1][tc+s] = t;
ChessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);
}
//覆盖左下角子棋盘
if(dr>=tr+s && dc<tc+s)