立体几何线面关系的常见规律解剖

立体几何线面关系的常见规律规律一：线线平行与线线垂直的判定1、直线与直线平行的判定方法：公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行2、直线与直线垂直的判定方法：利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线垂直例题1：(2012·南通调研)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B ＝A1D，AB＝AD.求证：(1)AA1⊥BD；(2)BB1∥DD1.证明(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD ⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M⊂平面A1AM，所以BD⊥平面A1AM.因为AA1⊂平面A1AM，所以AA1⊥BD.(2)因为AA1∥CC1，AA1⊄平面D1DCC1，CC1⊂平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1⊂平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理可得AA 1∥BB 1，所以BB 1∥DD 1.例题2：（13泰州期末）在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=AC=3BC ,点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点，求证：BC ⊥AM方法小结：（1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。

即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。

第二条思路用的较多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘（2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。

面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视同步练习1：在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，．（1）求证：1CC AB ⊥；A1A（2）求证：11//CC AA ．同步练习2：如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .求证：;1AA BD ⊥同步练习3：（13南京期初）如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1；规律二：线面平行的判定：方法一：直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；方法二：平面与平面平行的定义：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任1AEC D BA1D1B1C 第16题ABC DA 1B 1C 1(第16题)一条直线平行于另一个平面例题2：三棱柱111ABC A B C -中，面11BB C C ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC的中点，M 为1AA 上一动点． 若1AM MA =，求证：AD ∥平面1MBC ；例题3：如图，已知▱ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点．求证：直线AE ∥平面BDF ；例题4：在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2BC ＝4，CD ＝3，E为AB 中点，过E 作EF ⊥CD ，垂足为F ，如(图1)，将此梯形沿EF 折成一个直二面角A —EF —C ，如(图2)． 求证：BF ∥平面ACD ；方法小结：在证明线面平行有两条思路：第一：通过线面平行的判定，即在平面上找一条直线与已知直线平行，在平面上找直线与已知直线平行有三种方法：1、构造平行四边形；2、通过中位线寻找平行；3、通过比例关系找平行相似。

第二，当在已知平面找不出或很难找出直线与已知直线平行时可以考虑用面面平行的性质来证明，即过已知直线构造平面与已知平面平行。

同步练习1：在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点，1BC BB =．求证：1A C ∥平面1AB D ；同步练习2：如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点． 证明：MN ∥平面A ′ACC ′；证明 法一 连接AB ′，AC ′，如图，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.DC 1B 1A 1CBA又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.同步练习3：如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明法一如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接E K.图1∵F，H分别是AB，AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴B KBH＝2 3.又据题设条件知，BEBG＝2 3，∴B KBH＝BEBG，∴E K∥GH.∵E K⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.法二图2 如图2，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN∵F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，∴FH綉12BC，EN綉12BC，∴FH綉EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.规律三：线面平行中的探索问题如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.(1)证明∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE ⊥BF ， 又BF ∩BC ＝B ∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE . ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE . 同理，GN ∥平面ADE . 又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE . 又MN ⊂平面MGN ， ∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．方法小结：解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．同步练习：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、P A 的中点．在线段PD 上是否存在一点E ，使NM ∥平面ACE ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解 在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .证明如下：取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ，因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点，所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规律三：平面与平面平行的判定：平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.例题5：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面PMN ∥平面A 1BD .证明 法一 如图，连接B 1D 1，B 1C . ∵P ，N 分别是D 1C 1，B 1C 1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.法二如图，连接AC1，AC，且AC∩BD＝O，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面AC1C，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.规律四：直线与平面垂直的判定：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面例题6：如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)，知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且P A ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面P AD ，而PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .例题6：如图1所示，在ABC Rt ∆中，6=AC ，3=BC ，︒=∠90ABC ，CD为ACB ∠的平分线，点E 在线段AC 上，4=CE .如图2所示，将BCD ∆沿CD 折起，使得平面⊥BCD 平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点. 求证：⊥DE 平面BCD ；方法小结：在证明线面垂直时通常用到的证明线线垂直的方法有：1、等腰三角形的三线合一；2、菱形与正方形的对角线垂直；3、根据线段的长度运用勾股定理的逆定理；4、线面垂直的定义；5、面面垂直的性质定理在证明过程中可以引导学生去掌握证明推理中的分析法，即逆向推理同步练习：(2013·江西卷改编)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3. 证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明 过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BEF 中，BE ＝ 3.在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C.规律四：平面与平面垂直的性质与判定：平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直例题6：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.证明∵ABC－A1B1C1是棱柱，且AB＝BC＝AA1＝BB1，∴四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1.由AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，得BB1⊥平面ABC.∵AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，又∵AB＝BC，且AC＝2BC，∴AB⊥BC，而BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1.∴B1C⊥平面ABC1，而B1C⊂平面B1CD，∴平面ABC1⊥平面B1CD.方法小结：其实证明面面垂直就是证明线面垂直，不同的是需要我们找哪条直线垂直哪个平面，一般方法是如果是要证明βα⊥，那么就在α内找一条直线l 证明β⊥l ，或者在β内找一条直线a 证明α⊥a同步练习：如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M .证明 由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BM .又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，所以C 1M ＝CM ＝1.在Rt △B 1C 1M 中，B 1M ＝B 1C 21＋MC 21＝2，同理BM ＝BC 2＋CM 2＝2，又B 1B ＝2，所以B 1M 2＋BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M .又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，所以BM ⊥平面A 1B 1M ，因为BM ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面A 1B 1M .。