2.1-2.3基本逻辑运算和规则(2012)解析
数字电路的逻辑运算
非运算：1 0
0 1
请特别注意与普 通代数不同之处
2.基本公式
0-1律 ： A A 10 AA
A11 A00
互补律： A A 1 A A 0
分别令A=0及 A=1代入这些 公式，即可证 明它们的正确 性。
重叠律： A A A A A A
还原律（双重否定律）： ( A) A
亦称 非非律
ABCD Y 1 0 00 1 1 0 01 1 1 0 10 1 1 0 11 1 1 1 00 1 1 1 01 1 1 1 10 1 1 1 11 1
四输入变 量，16种 组合
n个变量可以有2n个组合， 一般按二进制的顺序，输出与输 入状态一一对应，列出所有可能 的状态。
逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、
A′·(A·B) ′=A′·(A′+B′) =A′·A′+A′·B′ = A′·(1+B′) =A′
§2.4 逻辑代数的基本定理
一、代入定理 任何一个含有变量A的等式，如果将所有出
现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍 然成立。这个规则称为代入定理。
例如，已知等式 (A B )A B ，用函数Y=BC代
A ⊙ 0= A′ A ⊙ 1= A A ⊙ A′= 0 A ⊙ A= 1
5、 与或非运算：逻辑表达式为：
Y (A B C D )
A
& ≥1
B
Y
C
D
与或非门的逻辑符号
§2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式
1.常量之间的关系
与 运 算 ： 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 或 运 算 ： 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
(完整版)逻辑代数的运算规则
逻辑代数的运算规则逻辑代数的基本定律逻辑代数的三个规则1、代入规则在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然成立，这一规则称之为代入规则。
2、反演规则已知一逻辑函数F，求其反函数时，只要将原函数F中所有的原变量变为反变量，反变量变为原变量；“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”。
这就是逻辑函数的反演规则。
3、对偶规则已知一逻辑函数F，只要将原函数F中所有的“＋”变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1”变为“0”，而变量保持不变、原函数的运算先后顺序保持不变，那么就可以得到一个新函数，这新函数就是对偶函数F'。
其对偶与原函数具有如下特点：1.原函数与对偶函数互为对偶函数；2.任两个相等的函数，其对偶函数也相等。
这两个特点即是逻辑函数的对偶规则。
逻辑运算的常用公式逻辑代数的总结基本逻辑运算：与（或称“积”）---符号（&、?、无、∧、∩）或（或称“和”）---符号（| 、＋、∨、∪）非（或称“反”）---符号（! 、）1、基本运算法则：0-1律：0?A=0 0＋A=11?A=A 1＋A=A同一律：A?A=A A＋A=A互补律：A?A=0 A＋A=0反演律A?B =A＋B A＋B=A?B还原律A =A√⊕⊙？?＋A=02、常用公式交换律：A?B=B?A A+B=B+A结合律：A?(A?B)=(A?B)?C A＋(A＋B)=(A＋B)＋C 分配律：A?(A＋B)=A?B＋A?C A＋(A?B)=(A＋B)?(A＋C) 吸收律：A?(A+B)=AB A+(A?B)=ABA?B+(A?B)=A (A+B)?(A+B)=A。
基本逻辑运算解读
3
T3 2
0.3V
饱和
（2）输入有低电平0.3V 时。
由于T4和D导通，所以： 该发射结导通， VB1=1V 。 T2 、 T3 都截止。 VO≈VCC-VBE4-VD =5-0.7-0.7=3.6（V） 忽略流过RC2的电流，VB4≈VCC=5V 。 实现了与非门的逻辑 功能的另一方面： 输入有低电平时， 输出为高电平。
_
_
A B
=1
L=A + B
(1)两变量的“异或逻辑”和“同或逻辑”互为反 函数。
A B A ⊙ B A⊙ B A B A B A B A B AB A B AB A B A B
_ _ ___________ _ _ _ _ ___________ _ _
_________
________
A B
=
L=A + B
两变量的“异或逻辑”和“同或逻辑”互为反函 数。
(2) 多变量的“异或”及“同或”逻辑
多变量的“异或”或“同或”运算， 要利用两变量的“异 或门”或“同或门”来实现。
图 2 – 11 多变量的“异或”电路
图 2 – 12 多变量的“同或”电路
A B F F1 C ( A B) C A B C 由图2 - 11(b)得： F A B F C D 1 2 F F1 F2 ( A B) (C D) A B C D Y1 A B 由图2 - 12(a)得：Y Y1 ⊙ C ( A ⊙ B ) ⊙ C A ⊙ B ⊙ C Y1 A ⊙ B Y2 C ⊙ D 由图2 - 12(b)得：Y Y1 ⊙ Y2 ( A ⊙ B ) ⊙ (C ⊙ D ) A ⊙ B ⊙C ⊙ D
逻辑运算的基本法则
逻辑运算的基本法则一、逻辑与运算逻辑与运算是一种复合运算，表示两个或多个逻辑变量同时为真时，结果才为真。
逻辑与运算的符号为“∧”，如果A和B两个逻辑变量为真，则A∧B为真；如果A和B中至少有一个为假，则A∧B 为假。
二、逻辑或运算逻辑或运算是一种复合运算，表示两个或多个逻辑变量中至少有一个为真时，结果就为真。
逻辑或运算的符号为“∨”，如果A、B中至少有一个为真，则A∨B为真；只有当A和B都为假时，A∨B才为假。
三、逻辑非运算逻辑非运算是一种一元运算，表示一个逻辑变量取反。
逻辑非运算的符号为“¬”，如果A为真，则¬A为假；如果A为假，则¬A为真。
四、逻辑等价运算逻辑等价运算表示两个逻辑变量相等或不相等的关系。
逻辑等价运算的符号为“↔”，如果A和B相等，则A↔B为真；如果A和B 不相等，则A↔B为假。
五、逻辑蕴含运算逻辑蕴含运算表示一个逻辑变量如果为真，则另一个逻辑变量也为真的关系。
逻辑蕴含运算的符号为“→”，如果A为真而B也为真，则A→B为真；否则，A→B为假。
六、逻辑析取三段论逻辑析取三段论是一种复合推理，表示如果两个前提中至少有一个为真，则结论一定为真的推理方式。
在形式化表示中，如果A和B 分别表示两个前提，C表示结论，则形式化表示为：(A∨B)→C。
七、逻辑合取三段论逻辑合取三段论是一种复合推理，表示如果两个前提都为真，则结论一定为真的推理方式。
在形式化表示中，如果A和B分别表示两个前提，C表示结论，则形式化表示为：A∧B→C。
八、逻辑重析取三段论逻辑重析取三段论是一种复合推理，表示一个前提析取另一前提的合取结果的推理方式。
在形式化表示中，如果A、B和C分别表示三个命题，D表示结论，则形式化表示为：(A→(B∧C))→D。
逻辑运算法则
03
非门（NOT Gate）
• 非门是一种一元运算，表示为¬A
• 非门的功能是将输入的真变为假，将假变为真
逻辑门电路的设计与实现：晶体管与二极管电路
晶体管
• 晶体管是一种常用的半导体器件，可以用作开关和放大器
• 晶体管可以实现与门、或门和非门等逻辑门电路
二极管
• 二极管是一种半导体器件，具有单向导电性
• 逻辑门电路是数字电路的基础，广泛应用于电子设备中
逻辑运算在计算机科学中的应用
• 逻辑运算用于处理计算机中的逻辑操作
• 逻辑运算在计算机硬件和软件的设计中都起着重要作用
逻辑运算在编程语言中的应用
• 逻辑运算用于编写条件语句和循环语句
• 逻辑运算在算法和数据处理中有着广泛的应用
逻辑运算的历史发展：从布尔代数到现代逻辑电路
• 二极管可以实现或门和非门等逻辑门电路
逻辑电路的综合与优化：用逻辑代数表示电路设计
逻辑代数
电路综合
• 逻辑代数是一种用代数符号表示逻辑运算的方法
• 电路综合是一种将逻辑代数表达式转化为实际电路设计
• 逻辑代数可以用于分析和设计逻辑电路
的方法
• 电路综合可以用于优化逻辑电路的性能，提高电路的可
靠性
的便利
• 现代逻辑电路在计算机科学、通信技术等领域有着广泛的应用
02
逻辑运算的基本种类与性质
常见的逻辑运算：与、或、非、异或等
01
02
03
04
与运算（AND）
或运算（OR）
非运算（NOT）
异或运算（XOR）
• 与运算的逻辑表达式为：A
• 或运算的逻辑表达式为：A
• 非运算的逻辑表达式为：
数字逻辑与数字系统 逻辑代数基础
4. 逻辑门的使能和禁止特性
14
逻 辑 门 的 使 能 和 禁 止 特 性
4. 逻辑门的使能和禁止特性
1）与门
与门被禁止
与门被使能
与门的使能与禁止运算真值表 A 0 B 0 Y=AB 0
0
1 1
1
0 1
0
0 1
Y=0 禁止 Y=B 使能
15
逻 辑 门 的 使 能 和 禁 止 特 性
异或、同或运算真值表(异或与同或互为取非运算) A
0
B
0
F=AB
0
F=AB +A B
0
F=A ⊙ B
1
F=A B +AB
1
0
1 1
1
0 1
1
1 0
1
1 0
0
0 1
0
0 1
IEEE/ANSI符号
异或门 XOR 同或门 XNOR
A B A B =1 F
国际符号
F
惯用符号
A B
A B F
A B
A B
A B
A B
=1 F
=
F
F
=
F
⊙
F
12
正 逻 辑 和 负 逻 辑
正逻辑和负逻辑
通常规定：
高电平代表1，低电平代表0，是正逻辑(高电平有效) 高电平代表0，低电平代表1，是负逻辑(低电平有效) 本书中如无特殊声明，均指正逻辑。 对同一个逻辑电路，从正逻辑和负逻辑的角度分析，其表达的逻辑 关系是不一样的。 例如一个逻辑电路在正逻辑分析时是一个与门电路，而使用负 逻辑分析时则成为一个或门电路。 负逻辑门的逻辑符号和正逻辑门的逻辑符号画法一样，但要在输入 端和输出端分别加上一个小圆圈，以便区别于正逻辑门。
命题的逻辑运算与真值表
命题的逻辑运算与真值表逻辑运算是数理逻辑中的一个重要概念，它描述了命题之间的关系和推理规则。
命题是一个陈述句，可以被判断为真或假。
本文将介绍命题的逻辑运算及其真值表。
一、基本逻辑运算基本逻辑运算包括与运算（∧）、或运算（∨）和非运算（¬）。
1.1 与运算（∧）与运算表示两个命题同时为真时，整个逻辑表达式才为真。
符号为"∧"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，命题Q为"今天是晴天"，则"我喜欢游泳∧今天是晴天"表示我只有在今天是晴天的时候才喜欢游泳。
1.2 或运算（∨）或运算表示两个命题中至少有一个为真时，整个逻辑表达式才为真。
符号为"∨"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，命题Q为"今天是晴天"，则"我喜欢游泳∨今天是晴天"表示我不管今天是不是晴天，只要我喜欢游泳就为真。
1.3 非运算（¬）非运算表示对命题的否定。
如果一个命题为真，则其否定为假；如果一个命题为假，则其否定为真。
符号为"¬"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，则"¬我喜欢游泳"表示我不喜欢游泳。
二、复合逻辑运算在基本逻辑运算的基础上，可以进行复合逻辑运算，包括蕴含（→）、等价（↔）和异或（⊕）。
2.1 蕴含运算（→）蕴含运算表示如果前提为真，则结论也为真。
符号为"→"。
例如，命题P为"如果下雨，那么我会带雨伞"，命题Q为"下雨了"，则"P→Q"表示如果下雨了，那么我会带雨伞。
2.2 等价运算（↔）等价运算表示两个命题具有相同的真值，当且仅当两个命题的真假相同时，整个逻辑表达式为真。
符号为"↔"。
三种基本逻辑运算的运算规则
三种基本逻辑运算的运算规则
逻辑代数的基本逻辑运算有三种：逻辑乘、逻辑加和逻辑非。
这三种是基本逻辑运算。
逻辑加法（“或”运算）逻辑加法通常用符号“＋”或“∨”来表示.逻辑加法运算规则如下：0＋0＝0，0∨0＝00＋1＝1，0∨1＝11＋0＝1，1∨0＝11＋1＝1，1∨1＝1从上式可见，逻辑加法有“或”的意义.也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1；两者都为1则逻辑加为1.逻辑乘法（“与”运算）逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示.逻辑乘法运算规则如下：0×0＝0，0∧0＝0，0·0＝00×1＝0，0∧1＝0，0·1＝01×0＝0，1∧0＝0，1·0＝01×1＝1，1∧1＝1，1·1＝1不难看出，逻辑乘法有“与”的意义.它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1.逻辑否定（"非"运算）逻辑非运算又称逻辑否运算.其运算规则为：0＝1 “非”0等于11＝0 “非”1等于0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
表达式： 逻辑符号： A
B A B A B
F A B
1
F F
国标符号
美国符号 （国际符号） 常用符号
F
与逻辑运算真值表
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
0
1 1 1
二极管或门： 0V A 3V B
V1
F 2.3V
V2
R (3.9 K )
3、非运算（逻辑反）
R E A F
表达式： 逻辑符号：
F
0 1 1 0
B
互为反函数
1 0 0 1
A B A
A
B A B
( A B) A
B
互为对偶函数
(A
B) A B
异或运算与同或运算的一些特性：
异或逻辑运算真值表
1、因果互换性
A
B
0 1 0 1
F
F A B A F B BFA
F
的反函数。
注意： 1、逻辑变量的运算顺序不变； 2、不属于单变量上的非号保留不变。 解：
F ( A B) C D E
3、对偶规则 对于任意一个逻辑函数F，将表达式中： • 换成 + 0 换成 1 + 换成 • 1 换成 0
所得到的新的表达式为F的对偶函数，记为： 举例： 求： F A B C D E
同或逻辑运算真值表
F
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
1 0 0 1
F
不同为0 相同为1
F
异或运算与同或运算的关系：
异或运算 F AB AB A B
异或逻辑运算真值表
同或运算 F AB AB A
同或逻辑运算真值表
B
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
A A 1
00 0 0 1 1 0 1
11 1
0 1 1 0
3、与普通代数A
A B B A ( A B) C A ( B C ) A BC ( A B)( A C )
结合律： ( A B) C A ( B C ) 分配律：
F A B AB
A B A B A B
&
F F
国标符号 美国符号 （国际符号） 常用符号
U CC (5V )
R (3.9 K )
F
与逻辑运算真值表
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
0
0 0 1
二极管与门：
V1
0V A 3V 3V B 3V
F 0.7V 3.7V
V2
2、或运算（逻辑加）
A
FA
1
F
国标符号
A
F 美国符号 （国际符号） F
A
非逻辑运算真值表
常用符号
A
0 1
F
1 0
三极管非门：
U CC (5V )
RC
3V
0V
A
R
V
F (U O )
0.3V 5V
2.1.3 逻辑函数
逻辑函数：用来表达输入逻辑变量（自变量）与输出逻辑变量（因变量） 之间逻辑关系的函数。
F f ( A, B, C )
用B=C+D代替等式两边的B,则有：
A C D AC D AC D
2、反演规则 对于任意一个逻辑函数F，将表达式中： • 换成 + 0 换成 1 + 换成 • 1 换成 0
原变量换成反变量 反变量换成原变量 所得到的新的表达式为F的反函数，记为： 举例： 求： F A B C D E
证明：
AB AC BC AB AC ( A A) BC AB AC ABC ABC AB AC
2.3 复合逻辑
2.3.1 复合逻辑运算和复合门
与非 F AB
A B A B A B
&
或非 F A B
A B A B A B
与或非
F AB CD
2.1.2 三种基本逻辑运算（与、或、非）
举例：考察电路中，开关A、B的状态如何影响灯泡F的状态。（逻辑关系）
A E B F
A B E F
E
R A F
逻辑变量：A B F 规定： 开关合上：A=1 B=1 灯亮：F=1 灯灭：F=0 开关断开：A=0 B=0
1、与运算（逻辑乘）
A E B F
表达式： 逻辑符号：
举例：
A
0 0 0 0 1
B C
0 0 1 1 0 0 0
F1
0 0 0
F2
0 0 0
F1 A BC F2 ( A B)( A C )
逻辑函数的相等：
对于形式不同的两个逻辑函数，如果 1、出入变量相同 2、真值表相同
1 0 1 0 1
0
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1 1 1
1 1
F
的对偶函数。
注意： 1、逻辑变量的运算顺序不变； 2、不属于单变量上的非号保留不变。 解：
F ( A B) C D E
2.2.3 若干常用公式 合并律：
AB AB A
吸收律：
A AB A
A AB A B
AB AC BC AB AC
A ( B C ) AB AC
4、逻辑代数中的特殊规律 反演律： 还原律：
A B A B
A B A B
A A
2.2.2 三个重要规则 1、代入规则 任何一个逻辑等式，如果将等式两边出现的某一变量都代之以同一 逻辑函数，等式仍然成立。 举例：
A B A B
第二章 逻辑代数基础
2.1 三种基本的逻辑运算
2.1.1 逻辑变量
逻辑变量：逻辑代数中用来表达事物状态的量。通常用大写字母表示。
逻辑变量的取值：0，1 没有数值大小的意义，仅仅表示事物的两种相互对立的状态。 例如：开、关；行、止；同意、不同意
举例：A表示房间里某个灯的状态。A=1（灯亮）A=0（灯灭）
1
2.2 逻辑代数的基本定律和规则
2.2.1 基本定律
1、常量之间的逻辑关系 2、变量和常量之间的逻辑关系
00 0 0 1 1 0 0 11 1
0－1律： A 0 0
自等律： A 1 A 重叠律： A A A 互补律： A A 0
A 1 1 A0 A A A A
F F
1
F F
A B C D
& 1
F
F
F
异或运算 F AB AB A B
异或逻辑运算真值表
逻辑符号：
A B A B A B A B A B A B
1
F
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
0 1 1 0
B
相同为 0 不同为 1 逻辑符号：
F
F
同或运算 F AB AB A