定积分的应用习题答案
不定积分+定积分及其应用习题附带答案
1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )()F x ()f x (),-∞+∞()F x ()f x A ．偶函数 B ． 奇函数C ． 非奇非偶函数 D ．不能确定2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数()f x cos x ()g x 2x ()f g x ⎡⎤⎣⎦为 ( )A ．B ． 2x 2cos x C ． D ．2cos x cos x3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )()f x A ． ()()1222f x dx f x c '=+⎰B ．()()22f x dx f x c'=+⎰C ． ()()()222f x dx f x ''=⎰D ．()()2f x dx f x c'=+⎰4．设且()22cos sin f x x '= ,则=( )()00f =()f x A ． B ． 212x x -212x -C ． D ．1x -313x x-5．设是的一个原函数,则2xe-()f x ( )()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆A ． B ．22xe -28xe-C ． D ．22xe--24xe-6．设,则=( )()xf x e -=()ln f x dx x'⎰A ．B ． 1x-c +ln x c -+C ．D ． 1c x+ln x c +7．若是的一个原函数,则ln x x ()f x =()f x '8．设的一个原函数为()()tan 2f x k x =,则 2ln cos 23x k =9．若,则()2f x dx x c =+⎰=()231x f x dx -⎰10．()()2cos 2sin 2d θθθ=⎰11．若,则()()f x dx F x c =+⎰()xx ef e dx --=⎰12．若,则()ln cos f x x '=⎡⎤⎣⎦()f x =13．计算()23x xe dx +⎰14．计算()()sin ln cos ln x x dx x⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰15．计算ln(tan )sin cos x dxx x ⎰16．计算21arctan1x dx x +⎰17．计算11sin dx x+⎰18．计算19．计算20．计算21．计算22．计算23. 计算()221tan xex dx+⎰24．已知的一个原函数为,求()f x sin x x()3x f x dx '⎰1、解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A()()f x F x '∴=2、解:(1),()()cos sin f x x x '==- ()()()22sin 2g x x x f g x x'==∴=-⎡⎤⎣⎦(2)()2cos 2cos (sin )xx x '=- 选B sin 2x =-∴3、解:()()12222f x dx f x d x''=⎰⎰()122f x c =+选A4、解：(1)()22cos 1cos f x x '=- ()1f x x'∴=- (2)()22x f x x c=-+且得()00f =0c =,选A ()22x f x x =-5、解：(1)原式=()()()022limx f x x f x x∆→-∆--⎡⎤⎣⎦-2∆()2f x '=-(2)()2xF x e-= ()()222x xf x e e --'∴==-(3) 原式= 选D222(2)4xx ee ----=6、解：(1)()()ln ln ln f x dx f x d xx''=⎰⎰()ln f x c=+(2)(),xf x e -= ()1lnln 1ln x xf x e ex-∴===(3)原式=选C 1c x+7、解：(1)()ln F x x x= ()()1ln f x F x x'∴==+(2) ()()11ln f x x x''=+=8、解：()2ln cos 23F x x =()()2sin 223cos 2xf x x -∴=-故 ()()4tan 21ln 3x F x x '=-=+43k =-9、解： 原式=()()331113f x d x ---⎰()3113x c =--+10、解：原式=2222cos sin 4sin cos d θθθθθ-⎰221144sin cos d d θθθθ=-⎰⎰11cot tan 44t cθθ=--+或1csc 2c θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11、解：原式=()()xxx f edeF e c----=-+⎰12、解：()ln cos f x dx xdx'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰()1ln sin f x x c =+()1sin sin c x xf x e c e -==⋅13、解:原式=()22323x xx x e e dx ⎡⎤++⋅⎢⎥⎣⎦⎰()2923xxxe dx dx e dx=++⎰⎰⎰219232ln 91ln 3x x xx e e c ⋅⋅=++++14、解:原式=()()sin ln cos ln ln x x d x⋅⎰()()sin ln sin ln x d x =⎰=()21sin ln 2x c +⎡⎤⎣⎦15、解:原式=()2ln tan tan cosx dxx x⎰()ln tan tan tan x d xx=⎰()()ln tan ln tan x d x =⎰ ()21ln tan 2x c =+⎡⎤⎣⎦16、解:原式=221arctan11x dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰21arctan111x d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰11arctan arctand x x=-⎰211arctan 2cx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17、解:原式=21sin 1sin xdx x --⎰21sin cos cos x dx dx x x=-⎰⎰2cos tan cos d xx x =+⎰1tan cos x cx=-+18、解:2,1,2t x t dx tdt==-=原式=()2221211tdt dt tt t=++⎰⎰=2arctan t c+c+回代19、解:令2tan ,sec x t dx tdt==原式=32tan sec sec ttdtt⎰=2tan sec td t⎰()2sec 1sec t d t=-⎰31sec sec 3t t c =-+()()3122221113x x c +-++回代20、解:令2sin ,2cos x t dx tdt ==原式=2cos 2sin cos t dtt t ⎰1csc 2tdt =⎰()1ln csc cot 2t t c -+公式12c 回代21、解:(倒代换)令211,x dx dt t t-==原式==-11arcsin 333t c =-=-+13arcsin 3c x-+回代13arccos 3c x=+(注:(三角代换)令3sec ,x t =,3sec tan dx t tdt =原式=3sec tan 19sec tan 3t t dt t c t t =+⎰)13arccos 3c x+回代22、解:2,1,xt e t ==+ ()222ln 1,1tx tdx dtt=+=+原式=222211211t t t dt dtt t ⋅+-=++⎰⎰=()2arctan t t c-+2c-+回代23、解： 原式=()221tan2tan xex x dx++⎰2tan 2tan x d x e xdx=+⎰⎰2x e 222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰22tan x xe dx +⎰2tan x e x c=+24、解： ()sin x F x x= ()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==原式()3x df x =⎰()()323x f x f x x dx=-⋅⎰2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x --=⋅-⎰2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx xdx =--++⎰⎰2cos 4sin 6cos x x x x x c=--+1．设初等函数在区间有定义，则在上一定 （ ）()f x [],a b ()f x [],a b A ．可导 B ．可微C ．可积D ．不连续2．若连续，下列各式正确的是 （ ）f A ．()()ba d f x dx f x dx =⎰B ．()()df x dx f x dx dx =⎰C ． ()()bx d f t dt f x dx =⎰D ．()()xad f t dt f x dx =⎰3. 下列关系式中正确的是 （ ）A ．B ．21100x x e dx e dx =⎰⎰211x x e dx e dx≥⎰⎰C ．D ．以上都不对211x x e dx e dx ≤⎰⎰4．下列各式中，正确的是 （ ）A ．B ．2101x e dx ≤≤⎰211x e dx e≤≤⎰C ． D ．以上都不对2120x e e dx e ≤≤⎰5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是 （ ）[]1,1-AB ．C1x 6．设在上，[],a b ()()()0,'0,''0f x f x f x ><>记，，，则有 （ ）()110S f x dx =⎰()()2S f b b a =⋅-()()32b aS f b f a -=+⎡⎤⎣⎦A ． B ．123S S S <<213S S S <<C ． D ．312S S S<<231S S S <<7．xx →=8．设连续，且，则 ()f x ()()xe xF x f t dt -=⎰()'F x =9．设连续，则 ()'f x 1'2x f dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰10．设则()()120121f x f x dx x=-+⎰ ()1f x dx =⎰11．设连续，且则 ()f x ()21301,(1)x f t dt x x -=+>⎰()8f =12．设，则y 的极小值为()01xy t dt =-⎰13．方程，确定，求cos 0yx t e dt tdt +=⎰⎰()y y x =0x dydx=14．设在连续，且满足，求 ()f x []0,1()()13243f x x x f x dx =-⎰()f x 15．讨论方程在区间内实根的个数4013101xx dt t --=+⎰()0,116．设在连续，且在单调减少，讨论在区间()f x [],a b (),a b ()()1xa F x f t dt x a=-⎰的单调性(),a b 17．求()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰18．设其中为连续函数，求()()2xa x F x f t dt x a=-⎰f ()lim x a F x →19．设，且可导，，求()()01122xf t dt f x =-⎰()f x ()0f x ≠()f x20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性()f x ()0xf t dt ⎰21．1321sin x x x dx-⎡⎤⎣⎦⎰22．已知，求221x t e dt -⎰()1xf x dx⎰23．1⎰24．设连续，证明()f x 并由此计算()()20sin 2sin f x dx f x dx ππ=⎰⎰0π⎰1、解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
定积分的应用61792
第六章 定积分的应用练习题1． 选择题（1）由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．31 B ． 32 C ． 21 D ． 23 （2）由曲线22,2x y x y ==与直线1=y 所围成图形的面积为（ ）A ．322- B ． 3224- C ． 32 D ． 31（3）心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ．223a π B ． 243a π C ． 283a π D ． 23a π （4）由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）A ． π16B ． π32C ． π8D ． π4（5）曲线22,2x y x y ==与直线1=y 所围成的图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）A ． πB ．π43 C ． π41D ． π21 （6）曲线2xx e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）A ． 2a a e e -+B ． 2aa e e -- C ．12++-a a e e D ．12-+-a a e e （7）一汽船按2t x =做直线航行，水的阻力与速度平方成正比（比例系数为k ），汽船从静止开始向前航行2米，发动机克服阻力所做的功为（ ） A ． k B ． 2k C ． 4k D ．8k（8）水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）A ． 245kNB ． 245NC ． 205．8ND ． 205．8kN （9）一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，平面与地面的交角为α，则平面截该圆柱体所得立体的体积为（ ）A ．αtan 323R B ． αtan 313R C ． αtan 343R D ． απtan 33R （10）一圆柱形水池，深为h ，半径为a ，则将其中盛满的水抽出一半与全部抽出所需做的功之比为（ ）A ．31 B ． 32 C ． 21 D ． 41 2．填空题（1）曲线0,,0,sin ====y x x x y π围成的平面图形的面积为 ．（2）由抛物线22x y =与直线x y 24-=所围成图形的面积为 ．（3）椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为 ．（4 ）双纽线θ2sin 32=r 相应于22πθπ≤≤-上的一段弧所围成的图形面积为 ．（5）由曲线x y x y ==,2所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．（6）由双曲线xy 1=和直线1,-=-=x e x 与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．（7）曲线331x x y -=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ． （8）一底为8cm ，高为6cm 的等腰三角形片，铅直地浸没在水中，顶在上、底在下．则该三角形片的侧面所受到的水的压力为 ．3．下列各图中画斜线部分的面积：4．求由下列各组曲线所围平面图形的面积：（1）2,,===-x e y e y x x （2）0,2,1,3====x y y x y （3）2,2=+=y x x y （4）0,)2(,23=-==x x y x y（5）0,ln ,1,0====x x y y y （6） 0,22=+-=y x x x y（7）8,2222=+=y x x y (较小的一块) （8）0,,1,1=-=-==y e x x xy 5．求由曲线x y sin =与x y 2sin =π≤≤x o 所围成的平面图形的面积．6．求抛物线x y 42=及其在点（1，2）处的法线所围成的图形的面积． 7．已知曲线)0(2>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为489，试求k 的值． 8．求a 的值，使曲线)1(2x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．9．在第一象限内求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积10．求 椭圆1322=+y x 与1322=+y x 所围公共图形的面积 11．求笛卡尔叶形线0333=-+axy y x 所围成的平面图形的面积为．12．求星形线 ⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 与坐标轴在第一象限所围成图形的面积．13．求由下列各平面图形的面积：（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=r 与θ2cos 2=r 的公共部分14．求对数螺线θae r =及射线πθπθ=-=,所围图形的面积．15．求曲线xe y -=与x 轴之间位于第一象限的平面图形的面积．16．证明：从抛物线12-=x y 上的一点P 引抛物线2x y =的切线，该切线与2x y =所围成的面积与P 点的位置无关．17．一物体，其底面是半径为R 的圆，用垂直于底圆某一直径的平面截该物体，所得截面都是正方形，求该物体的体积．18．求抛物线2x y =与直线x y 2=所围图形分别绕x 轴和y 轴旋转所形成立体的体积． 19．曲线4)5(22=-+y x 围成的平面图形绕x 轴旋转，求所得旋转体的体积．20．求由双曲线12222=-by a x 与直线b y ±=所围成平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积．21．曲线222x y -=和21x y -=围成一平面图形．求（1） 该平面图形的面积．（2） 将该平面分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积． 22．利用定积分证明，下底半径为R ，高为h 的正圆锥的体积为h R 231π23．求以圆222a y x =+为边界线的平面图形绕直线b x =旋转所形成立体的体积（0>>a b ）．24．求曲线)20()cos (sin )sin (cos π≤≤⎩⎨⎧-=+=t t t t a y t t t a x 的弧长25．求曲线y y x ln 21412-=相应于e y ≤≤1上的一段弧长． 26．求曲线)1ln(2-=x y 相应于区间[2，3]得一段弧长．27．求曲线dt t y x⎰--=323的全长28．求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长29．利用定积分证明，半径为R 的圆周的周长为2πR ．30．证明曲线x y sin =一个周期的弧长等于椭圆2222=+y x 的周长31．由虎克定律可知，弹簧的伸长与拉力成正比．已知弹簧伸长1cm 时拉力为1N ，求把弹簧拉长10cm ，拉力所做的功．32．一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m ，深2m ，长8m ．要把满池水全部抽到距水池上方20m 的水塔中，问需要做多少功？33．设有一质量为M ，长为L 的匀质细棒，和一个位于细棒延长线上相距细棒近端为a 的指点，质点的质量为m ．求细棒对该质点的引力．（根据万有引力定律）34．某下水道的横截面时直径为3m 的圆，水平铺设，下水道内水深1．5m ，求与下水道垂直的闸门所受的压力．35．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅值地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，顶离水面3厘米，试求它侧面所受的压力．36．设有一半径为R ，圆心角为α的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ．在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力．37．若电量Q 均匀地分布在长为L 的细棒上，求棒的中垂线上离棒中心为a 处的电荷q所受的电场力．38．一物体以速度t t v 232+=（米/秒）作直线运动，计算它在前3秒内的平均速度． 39．计算正弦交流电t A i ωsin =一个周期T （ωπ2=T ）内，电流的平均值和有效值（即电流的均方根⎰=T dt t i T I 02)(1） 40．求下列函数在],[a a -上的平均值 （1）22)(x a x f -=（2）3)(x x f =41．血液在动脉里流动时，距离动脉中心线r 处的血液流动速度为)()(22r R k r v -=，其中R 是动脉的半径，k 是常数，求血液流动的平均速度．42．一密度均匀的薄片，其边界由抛物线ax y =2与直线)0(>=a a x 围成，求此薄片的重心坐标．43．某厂每批生产某产品Q 单位时，收益函数为Q Q R 02.010)(-=（单位：元/单位），当生产10单位时总成本为60元．问此时生产利润是多大？自测题（A ）（一）选择题1．曲线2y x =与直线x y =所围成的平面图形的面积为（ ）A ．21 B ． 31 C ． 61 D ． 32 2．椭圆 ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos )232(ππ≤≤t 与y 轴所围成图形的面积为( )A ．ab 4πB ．ab 2πC ．ab 43πD ．ab π3．曲线)22(cos ππ≤≤-=x x y 与x 轴所围成的图形，绕x 轴旋转一周所围成旋转体的体积为（ ）A ．2πB ．πC ．22πD ．2π4．曲线2,12=+=x y x 所围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）A ．π1564 B ． π1532 C ． π152 D ． π1565．一物体沿x=3t 2作直线运动，所受阻力与速度的平方成正比（比例系数为k ），物体从x=0移到x=1时克服阻力所作的功为A ． 4kB ．2kC ．6kD ．8k6．曲线)(x f y =具有一阶连续导数，则曲线上相应于],[b a x ∈的一段弧长为（ ） A ． ⎰+badx x f )(12B ． ⎰-badx x f 1)(2 C ．⎰+badx x f |)('|1 D ．⎰+badx x f 2)]('[1（二）填空题1．由曲线y=cosx 和直线 x y -=π2 所围图形的面积为 ．2．对数螺线θe r 2=自0=θ到πθ2=的一段弧所围平面图形的面积为 ． 3．由曲线4,3=+=y x xy 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ．4．曲线)1ln(2x y -=相应于区间[0，21]上的一段弧的长度为 ． 5．曲线0,2,3===y x x y 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为 ．6．函数12+=x y 在区间[-2，4]上的平均值为 ．（三）解答题1． 求由曲线x y x y ==,3所围图形的面积．2．求c 的值（c>0），使两曲线2x y =与3cx y =所围图形的面积为323．如图6—27，设函数20,sin π≤≤=x x y ．求：（1）t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最大？ （2）t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小？4．设平面图形式由x y x y ==,2及x y 2=所围成，求：（1） 此平面图形的面积．（2） 此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积．5．设有一直径为8m 的半球形水池，盛满水，若将池中的水抽干，问至少需做多少功？ 6．利用定积分证明，半径为r 的球体的体积为343V r π=自测题（B ）（一）选择题1． 曲线2x y =与32x y =所围成的图形的面积为（ ）A ．53 B ． 52 C ． 153 D ． 151 2．曲线xe y =及该曲线的过原点的切线和x 轴的负半轴所围成的平面图形的面积为（ ）A ． eB ． 2e C ． e 21 D ． 221e 3．曲线)2)(1(--=x x x y 与x 轴所为图形的面积可表示为（ ） A ．⎰--20)2)(1(dx x x x B ．⎰⎰-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x xC ． ⎰---2)2)(1(dx x x x D ．⎰⎰--+---211)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x4．由)0(sin π≤≤=x x y 和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积为（ ）A ． 2πB ． 24πC ．231π D ． 22π 5．摆线)20()sin 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 的一拱与x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转所得旋转体的体积为（ ）A ． 34a πB ． 325a π C ． 324a π D ． 35a π6．一个半圆形的水池半径为R ，池内盛满了水，则把池内的水抽出2R所做的功与把水全部抽出所做的功之比为（ ）A ．21 B ． 167 C ． 32 D ．41 （二）填空题1．由曲线2,2,1==+=y x xx y 围成的平面图形的面积为 ． 2．由0,2,3===y x x y 所围成的图形，绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ．3．抛物线342-+-=x x y 与直线62,34+-=-=x y x y 围成的平面图形的面积为 ．4． 曲线16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ．5．曲线⎰-=xdt t y 2cos π的全长为 ．6．由直线21=x 与抛物线x y 22=包围的图形绕直线1=y 旋转所得旋转体的体积为 ．（三）解答题1．求由曲线x y x y sin ,cos ==和直线π2,0==x x 所围图形的面积．2．过抛物线2x y =上一点),(2a a P 做切线，问a 为何值时所做的切线与抛物线142-+-=x x y 所围成的图形面积最小？计算该最小值．3．试求抛物线2x y =在点（1，1）处的切线与抛物线自身及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积4．求曲线1,sin 1=+=r r θ所围成的图形公共部分的面积．5．在椭圆1422=+y x 绕长轴旋转生成的椭球中，沿长轴方向打一圆孔，如果剩余部分的体积是椭球体积的一半，则孔的直径是多少？6．边长为b a ,的矩形薄片，与液面成30角沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设b a ，液体的比重为γ，试求薄片每面所受的压力．7．如图6-2-5所示，在曲线)0(2>=c cx y 上对应1=x 的点A(1，c)处作其法线，今将由该法线及曲线2cx y =与y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周．证明41=c 时旋转体体积最小．参考答案练习题1．（1）A （2）B （3）B （4）C （5）C （6）B （7）D （8）C （9）A （10）D2． （1） 2； （2）335； （3） πab ； （4）23； （5）π103；（6）)1(2-e π； （7）3432-； （8）940．8kN ． 3． （1）61； （2） 1； （3） 332； （4） 332． 4． （1） 222-+-e e ； （2） )12(4334-； （3） 214； （4） 1225；（5）1-e ； （6）214； （7）π234+； （8）1 ． 5．2． 6．364． 7．322． 8．23． 9．)32,33(． 10．a 332． 11．a 23． 12．2323a π．13．（1）2a π； （2）2332-π； （3）π227； （4）2316-+π． 14．)(4222ππe e a -． 15．1． 16．略． 17．3316R ． 18．π1564． 19．240π． 20．382b a π． 21．（1） 238π-； （2） 3,1544ππ==y xV V ． 22．略． 23．b a 222π． 24．a 22π． 25．)1(412+e ． 26．3ln 2ln 1+-． 27．π343+． 28．a 8． 29．略． 30．提示 ：将椭圆方程化为参数方程，分别导出两条曲线的长度，即可证明． 31． 0．5J ． 32．16411．73kJ ． 33．)(a l a GMm+． 34．20．05kN ．35．1646．4kN ． 36．2sin 2,0αρR km F F x y ==． 37．提示：建立以中垂线为y 轴，细杆为x 轴的平面直角坐标系，将电荷受到的力分解为x 轴和y 轴方向的分力．由对称性，x 轴方向的分力，合力为零，只需计算y 轴方向上的分力． 2242La a kQq F y +=38．12m/s ． 39．A 22． 40．（1）4πa ； （2）0． 41．232kR ． 42．0,53==y a x ． 43．39元． 自测题（A ）一．1．C 2．B 3． C 4． A 5． C 6．D二．1．316271π+； 2．14-πe ； ．π38；4．213ln -； 5．π564； 6． 5． 三．1．125． 2．21． 3．（1）0=t ，（2）4π=t ．4．（1）67；（2）ππ615,1562==y x V V ． 5．1964．4 kJ ． 6．略． 自测题（B ）一．1．D 2． 3．B 4．D 5．B 6．D 二．1．212ln -； 2．π564； 3．49；4．2160π； 5． 4；， 6．34π． 三．1．123+， 2．min 41,3a A ==3． 30π 4．245-π 5．约为1．22 6．)4(41b h ab +γ 7．略。
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
定积分习题与答案
第五章 定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==与横轴所围成的图形的面积。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： 3．估计下列各积分的值4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x⎰10)2与⎰+10)1(dx x5．计算下列各导数 6．计算下列极限7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？8．计算下列各积分⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： 10.计算下列定积分11.利用函数的奇偶性计算下列积分12．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx x x14．计算下列定积分15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。
1）⎰∞+14xdx2）⎰+∞-0dx e ax ()0>a3）dx ee x x ⎰∞+-+014）⎰+∞->>0)0,0(sin ωωp tdt e pt5）⎰-121x xdx 6）⎰-211x xdx7）⎰∞+∞-++222x x dx8）()⎰-e x x dx 12ln 1 (B)1．填空： 1）________)12111(lim =++++++∞→nn n n n 。
2）估计定积分的值：_____sin 1____342≤+≤⎰ππx dx。
3）运用积分中值定理可得：⎰-→xa a x x f dt t f a x )(()(1lim 是连续函数）＝________，______)0(sin lim =>⎰+∞→a dx xxa n n n 。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
定积分的应用习题答案
1填空题［解答］犁（对=2-亍，令”5=0，可得注二;当0-时，严工；0＜：0,〕单调递减.4所以 F （町的单调递减区间是 （Q-）或（4才］.⑵曲线丿★—与其在r 处的切线所围成的部分被.轴分成两部分，这两部分面积之比是日n 2 2 尸3 272 2两直线的交点可求得=—，即求解27护- 9穿+ 2 = 0方法一：已知其一根为勺二齐设方程为 （T -J 十 = 0通过比较可得 盘二27,占=2 C = —6，可解得另外一根为 E =-彳方法二：分解方程有27卞弓—了誥―6斗+ 2= 0弘+2(3JT-1)=0(我-1)〔弘2 -3H -2) = 0 即(软-ly (致+ 2) = 0所以= (；［(*- ©+(红+厶］必=P^(Z^-iT+—)^X= — ］43274 3 27 27A 弘―亠◎诗吩農则虽仝 & 1⑶设/（工）在［一兀兀］上连续，当门=_时，片何訂［于⑺―毗C ■旳讦必取最 小值.［解答］L/S) -口 COSM 阳;r=[[f^(X)- 2(^(X)COE + cP CCS^ ^jr](2/z J-J=I2&J /(jc) cosKxdx + J coE^ MZtiz令F3=Q ，则［解答］直线方程为⑴函数片何=（工＞ 0）的单调减少区间__2『/(JT)匚0$/3兀C/Y二2口J COS，戶jcdxJ /(TT)cos松兀国兀=2(3] UOE'MJT心=12(1 + cos 2?ix)dyi = aTT1所以a =—了〔X J COSMK M X⑷+ b三a°绕疋=-i (& ＞说＞O旋转所成旋转体体积—[解答]令:= a = asin 0，则当A ＞0时，卩I =TTp (z + 占)2 如=/r[[ (/ cof 妒+ 2i3buo汐+护加cos 饵© = jr(£/ + f 口°血十2脑)I 3 2当X €0时，空 4 X=可,(说'gJ G CM 沖竝畢-汀(-—+—/力-2^护)所以2卩平-比=4J血珅+2肿)JT⑸ 求心脏线p = 4(l + cos^和直线3 = 0及日=-围成的图形绕极轴旋转所成旋转体£-a体积［解答］将极坐标化为直角坐标形式为X =4(1+ cos, y= 4(1 + cc>s^)sin & 则血=即抵=64/7(1 + cos 軒 gmS •[-血0 cog 却一(1 + cos sin 吕弹0 =&47r(l + cos + 2 cos siti^ 田吕所以卩-斜可;(1 + cg&)气I + 2 &)(1 - GG/&)詞(g30) (x= 3S&)二64可；(1 + T)\l + 2x)(1- P沖=64 巴fci +讦(1 + 2町(1—町必 (f = l + x)=也兀Q 广一站-2?）； =1607r 2.计算题⑴ 在直线 卞一y+l=O 与抛物线 》二疋2-4工+ 5的交点上引抛物线的法线， 求由两法线 及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 ［解答］由题意可计算两法线的方程为尸一2二一（工一1）,即卩恵一2卩+3=0匚/-5 = --(jc-4)，l 卩 x + 4y-24=09壮，则 … 卢K + 3. ,.24-Fs+l -丁如[(〒 1 f 4 1 rS.= -[b —1)必 +aJjlS-3；C 血_ 15-- 斗丿=一;^'+4工一 1所围成的面积最小.［解答］直线的斜率 k = 2x=2a ，则直线方程为即 工'+（2盘一 4）jr + l-/二0，设方程的两根为 且天［也，则片］+兀2 = 4 - 2口， 町殆=1 - 从而X] — 尤]=+ 尤2尸 一4天1兀2 = 2J2屮-Aa-^3工；-看二（兀-工1）（乂2 +兀J = 4（2 -小4加-4盘+3£ 二［'（一兀‘十4兀 一 1一 2心十二 f一 1 一 J?十（4 一=—』2(^ ' — 4C 3(十 了 • (2，_ 斗£2 + 3)42二-(时-4卫 +3)1两直线的交点为 ⑵ 过抛物线 护=兀2上的一点 血&2］作切线,问 曲为何值时所作的切线与抛物线y-以二2口 （x-a ），与抛物线相交,E（呛-4）=0卩=2开|：开（7? - 2点一 血十衍L 巩F 一 F 十2力必又 2^2—41 + 3> 0,所以 A =⑶求通过点〔口）的直线F = #（工）中使得畑环 为最小的直线方程. ［解答］设y-1 =七（盂-1）,贝y 卩=/（盂）=£i + l-七=七盂+£则 rnW 訂:［/—了W 卩必二J ：［/ —严2=［［十 一 2£严 +〔P - 2巧 J + 2^加 + a 的 号？ R=丁一號+亍（沪一2办）+ 4妊+ 2护斗7一軒匕严⑷求函数了⑴=］；（U 必 的最大值与最小值 ［解答］f ⑴=2尢（2-内昇■令n ，可得同尸0） = 2（2- 3押）茁* 一4心-齐"当x = C 时，/%0）:＞0，即/（畫）在z = 0取最小值，此时 /（R = 0 当"忑时，/"（血）=-牝J 丈0，即/（舟在"忑取最大值此时/（砧=（（2-0尹处"十/ ⑸ 求曲线y " - 2x 与y" 所围阴影部分面积 & ,并将此面积绕歹轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.Q ?［解答］S = J 1（丘一 2A - ”）必十［（，一 F 十2五乂兀，宀討町-”=誇3=1 — 土）由叫円可得亠呼一心。
高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．填空题
⑴函数的单调减少区间__
[解答] ，令，可得
当时，，单调递减.
所以的单调递减区间是或.
⑵曲线与其在处的切线所围成的部分被轴分成两部分，这两部分面积之比是__
[解答] 直线方程为，即，
两直线的交点可求得，即求解
方法一：已知其一根为，设方程为
通过比较可得，可解得另外一根为
方法二：分解方程有
即
所以
则
⑶设在上连续，当＿时，取最小值.
[解答]
令，则
即
所以
⑷绕旋转所成旋转体体积__
[解答] 令，则
当时，
当时，
所以
⑸求心脏线和直线及围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积__
[解答] 将极坐标化为直角坐标形式为，
则
所以
2．计算题
⑴在直线与抛物线的交点上引抛物线的法线，求由两法线
及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.
[解答] 由题意可计算两法线的方程为
，即
，即
两直线的交点为，则
⑵过抛物线上的一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线
所围成的面积最小.
[解答] 直线的斜率，则直线方程为，与抛物线相交，即，设方程的两根为且，则
，从而
又，所以
⑶求通过点的直线中使得为最小的直线方程.
[解答] 设，则
则
由可得即可得
又则当时为最小，此时方程为
⑷求函数的最大值与最小值.
[解答] 令，可得
当时，，即在取最小值，此时
当时，，即在取最大值
此时.
⑸求曲线与所围阴影部分面积，并将此面积绕轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.
[解答]
⑹已知圆，其中，求此圆绕轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.
[解答] 令，如图所示，则
⑺设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，
①若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？[解答] 抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
若下沉，此时受到的静压力为
要使，解得.
②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？
[解答] 建立如图坐标系，则抛物线方程为，则在水下到这一小块所
受的静压力为
所以整块薄板所受的静压力为
若下沉，此时受到的静压力为
要使，解得.????。