与圆有关的轨迹问题课件
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
81.圆与圆的位置关系、轨迹方程 课件-广东省惠来县第一中学2021届高三数学一轮复习
内切
|dr=_1_-__r_2_|_(r1≠r2)
内含
≤ < 0___d__|r1-r2|(r1≠r2)
代数法:两圆方程联立 组成方程组的解的情况
无___解 一组_____实数解 两组__不___同___的___实数解
一组实数解
无解
第一方面：圆与圆的位置关系的判定方法
问题1：若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相切, 则实数m的取值集合是________.
A．相交
B．相切
C．相离
D．与k 取值有关
3.已知圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆 C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的
公共弦所在的直线方程为__________．
4.已知点 P（2,2），圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两
点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
解得m=1-2 或m=2,或m=0或m2 =- .
5
5
所以实数m的取值集合是{12 , 2 ,0答, 2}案:
55
{12 , 2 ,0, 2} 55
【规律方法】 处理两圆位置关系多用圆心距与半径
和或差的关系判断,一般不采用代数法.
变式1： 若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与 圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则 实数m的取值范围是________.
法一：因为圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)关于直线 x-y=0的对称图形是圆C3:(x-1)2+y2=r2,由题 意可知圆C3与C2有公共点, 又因为两个圆有公共点的充要条件为圆心距不
与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
圆中轨迹问题
与圆有关的轨迹问题
例1：设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以 OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．
变式：已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积．
例2：已知BC ＝2，且AB ＝2AC ，求点A 的轨迹．
变式1：若在ABC ∆中，BC ＝2，且AB ＝2AC ，求ABC ∆面积的最大值。
变式2：已知点 (5,0)A - ，直线OA 上（O 为坐标原点）是否存在定点
B （不同于A ），对圆229x y +=上的任意一点P ，使得PB PA
为一常数．
变式3：已知点(2,0),(4,0)A B -，圆22:(4)()16C x y b +++=，P 为圆 上的动点，若
PA PB 为定值，求实数b 的值．
变式4：已知圆)0,1(,1)4(:221Q y x C =++,过点P 作圆C 1的切线，切点为M ， 若PQ PM 2=，求P 点的轨迹方程。
2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)
三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.
圆的一般方程轨迹问题解析ppt课件
例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).
证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
解法一：求圆心、求半径 •P
解法二：相关点法
P点满足PA⊥PB
A
• C
B
即 yy1 yy2 1
xx1 xx2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
【分析】设M(x,y), A(x0,y0)
因为M是AB的中点，
所以
x
y
x0 4 2
y0 3 2
解得
x0 y0
2x 2y
4 3
又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，
y
M(x,y) B(4,3)
A (x0,y0)
o
x
所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
得 (x3)2(y3)2 1为所求。
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。
(x-2)2+y2=4
(0≤x< 1)
y
A M B
o
Px
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
∴端点C的轨迹方程是
(x-4)2+(y-2)2=10(
x y
35且xy
5 -1
).
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 1 0 为半径的圆,
高二数学动圆圆心轨迹(共10张PPT)
她只知这是宝音回屋的必经之路，而且没什么人，估算宝音一定会回屋整装，就于此处守株待兔。
探求2 ：与直线 相切，⊙ B (x-5)2+y2=r2相切 的动圆圆心S的轨迹
〔1〕当两定圆外离时 宝音也没有那样尝试，只是放在布套上让她看见，给她一个警告。
例１：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=1
第二页，共10页。
探求与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的间隔的和与差不放。
C S AB
A SB
S
A
B
第三页，共10页。
二、构建平台：
例１：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=1
相切 的动圆圆心S的轨迹。
y
〔1〕与两圆均外切 y
〔2〕与两圆均内切
A Bx
A Bx
〔4〕与圆A外切、与圆B内切
再回想开去，木屐里的那块石子，要是搁到明秀碗里，说不定戳破明秀的嘴、硌掉明秀的牙！
亲生姐妹尚且可以争得他死我活呢！
dapingtai888/ 时时方案群 hxh69kyd 〔4〕与圆A外切、与圆B内切
〔3〕当两定圆相交时
问题１：与⊙A(x+5)2+y2=169相切，且过B(5,0)点的动圆圆心S的轨迹。
〔4〕当两定圆内切时
〔5〕当两定圆内含时
第五页，共10页。
当两定圆 〔1〕外离
y
A Bx
〔2〕外切
y
A Bx
〔3〕相交
y
A Bx
〔5〕内含
y A Bx
〔4〕内切
y
A Bx
第六页，共10页。
第七页，共10页。
与圆有关的轨迹问题
法 点 关 相3
法方 本基的迹轨求
圆
线物抛
法 义 定2
线直 圆椭
法 译 直1
线曲双
简化
入代
式列
l
点设
系建
义定
法
x
A M
O B y
译直
2
2
.
M BA
BA 2 1
3 1 2 1
译直
A M B M y B
|BM| 2= |MA| 2 |BA| x A
1
A M B
M y B
|BM|= |MA|2 2 |BA| x A
x
P
支右的 线曲双的点焦为�、�以 �为迹轨的�点�以所
7� � � � � � � � � � � 此 因 r +7 � � � � � � 得 可 故 切外 相 �圆 定 与圆 动 为因 r�����即 r为 径 半的 � 圆动 设
A
oC
y
�)0,5-(�心圆的�圆�解
r �
P
7-r
rC M
P 9 4 � y � )5 � x ( C
2
)0,5(A
2
3 1 式变
� r M r
P
r-31
C
9 4 � y � )5 � x ( C 961
2
P
)0,5(A
2
3 2 式变
�
C
009 14 � y � )5 � x ( C
2
P
)0,5(A
2
3 3 式变
B
S
A
B
S
A C
B
S
A
。放不差与和的离距的点定两到心圆圆 动牢抓要迹轨心圆圆动的切相圆定与索探
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y
A Bx
A Bx
（3）与圆A内切、与圆B外切（4）与圆A外切、与圆B内切
y
y
A Bx
A Bx
学习交流PPT
19
方法小结 ：与定圆相切的动圆圆心的轨迹情 况复杂，
1.抓牢两个圆心，一个切点，三点一定共线。 2.抓牢定圆的半径，设出动圆半径作辅助。 3.抓牢动点到两定点的距离的和与差不放。
学习交流PPT
再根判据断 条动件点
求出的
由定5 义可得：a=3.5,c=5。
故 轨 迹 方 程 为 :x9212y.7 2学5 习交流P1PT (x>o)
轨迹轨方迹程
13
经过点 A(5,0)且与
变例式13：：圆 C (x 5)2 y2 49
相外切的圆的圆心 P 的轨迹方程。
M
Cr
Ａ
r-7 P
r
学习交流PPT
14
经过点 A(5,0)且与
变例式23：：圆 C (x 5)2 y2 49169
相外切的圆的圆心 P 的轨迹方程
M r P
13-r
r
C
Ａ
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15
经过点 A(5,0)且与
变例式33：：圆 C (x 5)2 y2 41900
相外切的圆的圆心 P 的轨迹方程
C
Ａ
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16
生成1 ：平面内与定点的距离等于定长 的点的轨迹是圆。
生成2 ：平面内到两个定点的距离之比 是一个不为1的常数的点的轨迹是圆。
生成3 ：平面内定长的线段的两个端点
分别在两条互相垂直的线上滑动，线段
中点的轨迹是圆。
学习交流PPT
4
例1：
②已知点A在x轴上，点B在y轴上， 且|AB|＝2，
|AM| =2 |MB| ，求点M的轨迹。
探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的距离的和与差不放。
C S AB
A SB
S
A
B
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17
结论 ：过定点A，同时与定圆⊙ B 相切 的动圆圆心S的轨迹可能是椭圆或双曲 线或直线的一部分。
学习交流PPT
18
课下探索：
与两个定圆都相切的动圆的圆心的轨迹
（1）与两圆均外切
（2）与两圆均内y切
D
A•
F
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•C
双曲
线
10
变题1:已知椭圆的方程 ax22 为 by22 1(a b0), F1, F2分别为左右焦 ,Q点 是椭圆上任意一 ,从点 右焦点 F2作F1QF2外角平分线的垂 ,垂线 足为 P,求点P的轨迹方.程
y
Q
M P
F1 O
F2
x
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11
经过点 A(5,0)且与
20
理化生更美
学 习 苦 苦 在 繁 琐 苦 在 单 调 苦 须 苦 中 作 乐
学习交流T
数
学
美
美
的
简
洁
美
的
逍
遥
美
要
美
不
胜
收
21
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下课了!
22
圆
7
如果点C在圆外(3,1), 一切照旧
D E
O•
C
圆
学习交流PPT
8
例2：
②如图，C是定圆A内的一个定点， D是圆上动点求线段CD的垂直平
分线与半径AD的交点F轨迹
D
E
F
A•
•C
学习交流PPT
椭圆
a
9
例2：
③如图，C是定圆A外的一个定点， D是圆上动点求线段CD的垂直平
分线与半径AD的交点F轨迹
BM
A
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直译
5
例1：
③已知点A在x轴上，点B在y轴上， 且|AB|＝2，
2|AM| =|MB| ，求点M的轨迹。
B M A
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6
① C(1,0)是定圆A: x2＋y2＝4 例2： 内的一个定点，D是圆上的动点，
求线段CD的中点E轨迹
D
E
O•
•C
如果点C在圆外呢？学习交流PPT
1直译法 3相关点法
椭圆
直线
2定义法
抛物线
圆
求轨迹的基本
方法
4消参法
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1
建系
求轨迹的步骤
l
学习交流PPT
设点
列式 代入 化简
2
例1： ①长为2的线段AB的两端点分别 在两条互相垂直的直线上滑动，
求线段AB的中点M的轨迹方程.
y BM
O
A
x2＋y2＝1
直译
x
法
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定义
3
圆的三种经典生成
例3：圆 C (x 5)2 y2 49
外切的圆的圆心 P 的轨迹方程
C
7
Ｍr P Ａr
学习交流PPT
12
解：圆Ｃ的圆心Ｃ(-5,0)，
设动圆Ｐ的半径为r 即｜ＰＡ｜＝r
y
P
因为动圆与定圆Ｃ相外切 故可得： ｜ＰＣ｜＝ 7+r
Co A
x
先由
因此，｜ＰＣ｜－｜ＰＡ｜＝7
定义
所以，点Ｐ的轨迹为： 以Ａ、Ｃ为焦点的双曲线的右支