浅谈现代数学的三大学派

江西科技师范学院学年论文浅谈现代数学基础的三大学派郭秋平（数学与应用数学（2）班20081428）指导老师：王亚辉摘要本文简单介绍了现代数学基础的三大学派产生的背景，导致各学派失败的原因及其对现代数学发展所做出的贡献。

关键字：逻辑派；直觉派；形式公理派一、引言从20世纪初到30年代左右，由于集合悖论的发现，使许多数学家卷入了一场大辩论之中。

他们看到这次数学危机动摇了数学大厦的根基，因此必须对数学基础进行严密的考察。

原来还不十分明显的意见分歧成为学派之争，相应于数学是什么这个问题的答案，数学基础从它诞生开始便分成了三大哲学流派，这就是以罗素为代表的逻辑派，它强调逻辑而排斥直觉，主张逻辑是整个数学的唯一基础；以布劳威尔为代表的直觉派，它强调直觉而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础；以希尔伯特为代表的形式公理派，认为逻辑具有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征，它主张通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性和合法性。

三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大论战。

他们从各自的哲学观点出发，对悖论引起的数学危机，从概念的准确性、提法的严密性、推理的合理性等方面一一加以审查，对数学的本质、数学对象的存在性、数学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等进行哲学思考。

二、逻辑派逻辑主义学派主张把数学还原于逻辑，试图在逻辑的基础上建立全部数学。

在他们看来，数学不过是逻辑的自然展延，数学可以从逻辑推导出来，数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来，数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来，因此数学即逻辑。

逻辑主义学派的先驱是德国的戴德金和弗雷格，戴德金在集合的概念定义自然数时，便主张把数学还原于逻辑，这就是：从少量的逻辑概念出发，去定义出全部的数学概念；从少量的逻辑命题出发，去演绎出全部的数学理论。

（一）逻辑派的产生逻辑派的思想萌芽，可追溯到莱布尼茨，但他本人并没有做具体的工作。

弗雷格在研究算术公理化时发现，所有的算数概念都可以借助于逻辑概念来定义，所有的算术法则也都可以借助于逻辑法则来证明，从而弗雷格逐渐形成了数学还原为逻辑的观点。

他的研究成果发表在《算数基础》和《算数的基本定理》中。

罗素在吸引前人成果的基础上，采用了皮亚诺的自然数公理系统来作为自己的基础研究的出发点，于1903年完成了他的《数学的原理》，第一次系统的介绍自己用逻辑来推算出的数学成果。

1910—1913年，罗素与怀特海合著了《数学原理》，完整和更为详细地从公理出发，借助符号逻辑的手段把数学加以严格的处理。

（二）逻辑派的失败在《数学原理》中并没有把数学还原为逻辑。

罗素和怀特海在定义无穷基数时，不得不加一条“无穷公理”，不然就不能定义出自然数全体和无理数，就无法建立一个超穷数理论和实数理论。

在证明“非归纳数必定是自反数”时，又必须引进选择公理，否则有很多数学定理就不能成立，而“无穷公理”和“选择公理”都不是逻辑公理。

另外，在用类型论来处理分析中的问题时，为了避免复杂性，他们又引进了“可化归公理”。

由于这一公理随意性很大，因此受到众人的反对。

所以逻辑派将数学还原逻辑的企图不得不以失败而告终。

逻辑派之所以失败，最根本的原因在于过分夸大数学与逻辑之间的同一性，而对于数学与逻辑之间质的区别完全抹杀了。

我们说数学与逻辑既有同一性，又有他们之间的差别性。

他们的同一性首先表现在相互依赖上。

数学离不开逻辑，如数学中的公理化方法实质上就是逻辑方法在数学中的直接应用，在公理系统中所有的命题和有关概念都是逻辑地联系起来的。

另一方面，数学也促进了逻辑的发展，由传统逻辑向数学逻辑的演进正是数学方法的应用结果。

其次，数学与逻辑的同一性表现在两者的共同特性上，这种共同特性最重要的在于它们研究对象的高度抽象性。

数学与逻辑的差异性主要表现在研究对象的不同上，尽管它们都是抽象的，但抽象的内容不同，逻辑是研究如何单纯的依据语句的逻辑结构去解决推理的有效性问题，而数学舍弃了事物质的属性，从量的侧面研究客观世界的量的规律性。

（三）逻辑派的贡献尽管逻辑派的数学哲学观是错误的，但他们在数学研究方面的贡献还是应该肯定的，这主要表现在：（1）由于佛罗格、罗素等逻辑学派的工作，形式逻辑基本上实现了从传统逻辑到数学逻辑的发展；（2）《数学原理》已相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，这就为公理化方法的近代发展奠定了一个必要的基础；（3）罗素的类型论对于排除悖论具有重要的意义。

（4）为现代数理逻辑奠定了基础。

而符号逻辑的公理化，揭示了数学与逻辑之间的关系，对于当今计算机的研制和人工智能的研究具有巨大现实意义。

三、直觉派直觉主义学派也称为构造主义学派，他们主张数学产生于直觉，认为只有能直觉地感受到的东西才有意义，数学的对象只能由心智所构成，数学的真理性与经验无关。

他们不同意逻辑主义学派把数学归于逻辑的主张，认为不是数学依靠逻辑，而是逻辑依靠数学逻辑命题不过是一种更为普通的数学命题。

在他们看来，数学思维先于逻辑和经验，决定数学思维正确性的既不是逻辑，也不是经验，而是一种带构造性的直觉。

直觉主义的主要先驱是克罗内克和庞加莱，但作为一个学派则是荷兰数学家布劳威尔开创的，比起早期先驱者，无论是在哲学上，还是在数学上，都更加彻底、完整地发展了直觉主义观点。

布劳威尔坚持认为概念性思维不是数学本身的一个部分，概念只不过是理性对创造的性质加以隔离而产生的纯消极产物，概念性思维不能给数学带来任何有益的贡献，在直觉中是找不到概念思维的。

布劳威尔的宗旨是以“直觉上的可靠性”作为“可信性”的标准对全部已有的数学进行彻底的审查和改造。

直觉主义的基本思想是：数学独立于逻辑，数学的基础是一种能使人“知觉单位”1以及自然数列的原始直觉。

坚持数学对象的“构造性“定义，是直觉主义哲学的精粹。

（一）直觉派的产生直觉派认为，集合论悖论决不是偶然现象，它是整个数学所感染的疾病的一种症状，因此，悖论问题不可能通过对已有数学做某些局部的修改和限制加以解决，而必须依据可信性标准对已有数学做全面的审视改造。

那么什么样的方法和概念才是可信的呢？在直觉派看来，这就是“直觉上的可构造性”。

直觉派有句著名的口号是：“存在必须是被改造”。

这就是说，数学中的概念和方法必须是构造性的。

非构造型的证明是直觉主义者所不能接受的。

直觉主义者所说的“直觉”并不是指主体对于客观事物的一种直接把握的能力，而是指思维的本能，是一种心智活动。

直觉派把数学建立在自然数理论基础上。

而自然数理论，在他们看来，是直接建立在原始数学直觉之上的，从而也就不需要其他的基础了。

所谓原始直觉，就是一个人某一时刻集中注意某一对象，紧接着又集中注意另一对象，这就形成了数1，2，接着又构造法形成3，4，等等，如此构造下去就可以产生出任何一个自然数。

为了进一步展开直觉派数学，布劳威尔又依构造性的标准建立实数理论。

（二）直觉派的失败直觉派由于“存在必须被构造”的原则出发，对古典逻辑中的排中律、双重否定律等相当一部分原则持排斥态度，对古典数学结构性的结论采取否定态度，对数学中的实无限的对象和方法采取不承认的态度，从而也就抛弃了相当多的数学理论。

这是因为直觉派并没有按照他们的目标来重建古典数学。

即使直觉派建立起的直觉数学与古典数学相比，有很多地方显得非常繁琐，也并不直观，因此按照直觉派的观点来重建数学是失败的。

直觉派重建数学其失败的症结在于他们完全否定数学的客观性。

否定非构造性数学和传统逻辑是行不通的。

由于直觉派在本质上是主观的和荒谬的，因此，他们以直觉上的可构造性为由来绝对地肯定直觉派数学也就必定是不正确的。

离开实践就不可能真正解决数学理论的可靠性。

（三）直觉派的贡献直觉主义派强调可构造性或可行性对现代递归函数论的建立和发展起了很大的推动作用，特别是对计算机数学的发展意义更大。

直觉主义逻辑仍将是数理逻辑研究中的一个重要课题，只是它已经输入了辨证的新时代精神而继续对数学进行哲学思考。

四、形式公理派形式公理派的创始人是希尔伯特。

希尔伯特规划是他在数基础问题上的数学观的主体现，其核心是：以形式公理化为基础，以有限立场的推理工具，去证明整个数学的相容性，从而把整个数学建立在一个牢固的可靠基础上。

（一）形式公理派的产生为了解决悖论问题，希尔伯特指出：只要证明了数学理论的无矛盾性，那么悖论永远就排除了。

在1992年汉堡一次会议上，希尔伯特提出了数学基础研究的具体规划，这就是首先将数学理论组织成形式系统，然后，再用有限的方法证明这一系统的无矛盾性。

这里所说的形式系统就是形式公理化，所谓的一个数学理论的形式公理化，就是要纯化掉数学对象的一切与形式无关的内容和解释，使数学能从一组公理出发，构成一个纯形式的演绎系统。

在这个系统中那些作为出发点的命题就是公理或假设，而其余一切命题或定理都能遵循某些假设形式规划与符号逻辑则逐个地推演出来。

在希尔伯特看来，可信性只存在于有限之中，而对于无限的任何涉及都是不可靠的。

为了确保数学的可靠性，希尔伯特把数学划分为“真实数学”和“理想数学”两大类。

凡涉及实无限概念和超穷推理方法的数学都称为理想数学，其余的为真实数学。

把理想数学组织成形式系统，然后证明其不矛盾性。

这样就使无限的思想成分的应用与有限性的观点获得统一，从而也就解决了数学基础问题。

希尔伯特规划包含了对形式系统的全面研究，其基本内容有以下几点：（1）证明古典数学的每个分支都可公理化；（2）证明这样的系统是完备的；（3）证明这样的系统是不矛盾的；（4）证明这样的系统所相应的模型是同构的；（5）寻找这样的一种方法，借助于它，可以在有限步骤内判定任一命题的可证明性。

（二）形式公理派的失败首先，形式主义者数学的真理性归结为逻辑的无矛盾性是有其片面性的。

因为满足逻辑无矛盾的公理系统不一定都是真理，它仅是发展数学和验证数学真假性的必要条件，而非充分条件。

其次，1931年哥德尔公布了“不完备性定理”，这一定理证明了希尔伯特规划是不可能实现的。

希尔伯特规划之所以失败就在于他在基础研究中坚持的立场是错误的。

他完全否认了无限概念和方法的客观意义，过分夸大了形式研究的作用。

事实上，数学的真理性并不存在于形式系统的严格证明里，而归根结底要在与物质世界联系的实践过程中去验证。

（三）形式公理派的贡献尽管希尔伯特规划失败了，但他们对数学的发展还是作出了重要的贡献，这主要表现在以下几个方面：（1）由希尔伯特奠定的形式化研究方法有广泛的应用价值，具有重大的方法论意义。

（2）希尔伯特在进行形式公理化研究时涉及到作为研究对象的系统（称之为对象系统），而对“对象系统”进行研究时所作用到的数学理论，即“元数学”，亦即形式化研究导致“元数学”的产生。

把数学证明作为对象进行研究就产生了“证明论”。