第1章 事件与概率

例如 在平面上投掷一颗色子，分析下
面各题中A、B两个事件的关系。
1. 记掷出两点为事件 A ，掷出偶数 点为 B。 2为偶数 事件A发生 掷出 2 点 事件B发生 所以事件 A 包含于 B ，即 A B 。
2. 记掷出两点为事件 A ，掷出大于 1小于3点为 B 。 < 3 事件A发生 1掷出2 2< 点 事件B发生 所以事件 A 等于 B ，即 A B 。
事件B的概率
事件C的长度 事件C的概率
P(B)= 0/1=0
LC= 1－0－0 =1 P(C) = 1 / 1 = 1
课堂练习
第2次课堂练习
1.袋中有2个白球和8个黑球，现在无放回的 一个个抽出来，求第k次抽到的是白球的 概率。
2.思考题
① 概率为1的事件一定是必然事件吗？
② 概率为0的事件一定是不可能事件吗？
② A +Ｂ= Ω ① AB = Ο D={掷出大于1的点},指出几个不同的互斥完备群 称事件A与事件B为对立事件。 及其构成互斥完备群的事件。 记事件A的对立事件为 A 。 解 1) A1、A2、…、A6构成互斥完备群； 即 B = A。 2) B、C 构成互斥完备群； 3) A1、D 构成互斥完备群。
；
② AB, 或ABC ABC ；③ ABC AB C A BC ； ④ ⑥
A B C；
⑤ A B C ；
ABC AB C A BC 。
2. 为对立事件。方法1：因为 A B C A B C 。 方法2：因为 ( ABC )( A B C) ,( ABC ) ( A B C) 。 3. {至少甲和乙正常} AB A B。
Ai Aj (i j )
称 A1 , A2 , , An 满足两两互斥性。
2. 若事件 A1 , A2 , , An 满足下面两个条件
①
两两互斥性
②
A
i 1
n
i

称 A1 , A2 , , An 构成互斥完备群。

互斥完备群与对立事件
3. 对立事件 例1-1 在平面上投掷一颗色子, Ai={掷出i点} 若事件A和事件B满足下面两个条件 (1≤i≤6), B={掷出偶数点}, C={掷出奇数点}，
1061 2048
频率 f n ( A)
0.5181 0.5069
费
勒
10000
24000 80640
4979
12012 39699
0.4979
0.5005 0.4923
Pearson
罗曼诺夫斯基

概率的统计定义
1.定义 在大量重复(相同)试验中，随机事件
A的频率 f n ( A) 稳定在某一个常数a附近摆动。 则称此常数a为事件A的概率，即 P( A)＝a 。
第一章
§1-1 §1-2 §1-3
事件与概率
随机事件及其运算 事件的概率 概率的运算法则
§1-1
随机事件及其运算
本节的重点
事 件 的 基 本 概 念
事 件 的 并 与 交 运 算 互 斥 完 备 群 与 对 立事 件
1-1.1
随机实验
随机事件
1、统计学研究的对象：随机现象 2、随机实验及其特征
1. 用A、B、C表示下列各个事件：
①
至少甲不正常；
②
至少甲和乙正常；
③
⑤
只有两人正常；
至少一人正常；
④ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⑥
三人都不正常；
只有一人不正常。
2. 判断事件④与事件⑤是否为对立事件。 3. 给出事件{至少甲和乙正常}的对立事件。
思考题
事件A、B与A+B、AB的关系？
课堂练习答案
1. ①
A , 或A B C A B C A BC A BC
解
构成互斥完备群等可能的基本事件数
5
n C54
54! 5!(54 5)!

54 53 52 51 50 5 4 3 2 1
3162510
1 事件{赢一万元}包含的事件数 m C50 50
P(赢一万元) = 50/3162510 ≈1/60000
1-2.3

事件的运算(并事件和交事件)
1. 事件的并运算：
① 两个事件A与B的并事件A+B：
A+B = {A与B中至少有一个发生} n ② n个事件 A1 , A2 , , An 的并事件 Ai ：
A ={ A1 , A2 , , An 中至少有一个发生}
i i 1
n
i 1
注：希腊字母 Σ (读音sigma[sigma])的数学含义
件 A={0.25≤x≤0.5}、事件 B={x = 0.5}、
事件C={0<x<1}，求P(A)、P(B)、P(C)。
解 区域Ω 的长度 事件A的长度 事件A的概率 事件B的长度 L
Ω =L[0,1]=1－0
=1
LA= 0.5－0.25=0.25 P(A)= 0.25/1=0.25 LB= 0.5 －0.5=0
P( A) A所包含的基本事件数 等可能基本事件总数 mA n
例1 抛一颗骰子，求出现的点数为偶数的概率。
解：设A={点数为偶数}={2，4，6},则m=3
而 ={1,2,3,4,5,6}，则n=6 所以P（A）=m/n=3/6=1/2
例2 某厂生产50件产品，其中有3件次品， 求： （1）任取一件，为次品的概率； （2）任取5件，其中有2件次品的概率。
① ②
A x
i 1 i 1 n
n
i
A A2 An （n个事件的并事件） 1 x1 x2 xn （n个数的和）
i
2. 事件的交运算：
①
两个事件A与B的交事件AB(AB):
A B = {A与B同时发生} n个事件 A1 , A2 , , An 的交事件 Ai ： i 1
思考题
事件A、B与A+B、AB的关系？
A(或B) AB。
A(或B) A B,
§1-2
事件的概率
本节的重点 概率的统计定义 概率的古典定义 概率的性质
1-2.1
概率的统计定义
概率与频率
1. 概率：一次实验中，用来描述随机事件发生可
能性大小的数量(用 P(A) 表示事件A的概率)。
概率的性质及几何定义
( ② P )=1; P( )=0
概率的性质
① 0 P（A） 1
概率的几何定义
1. 几何测度: 指长度、面积、体积。
2. 几何概率定义：若实验结果只能出现在区
域 Ω 中的任一点，且满足等可能性。事件A 只能发生在区域 Ω 中某个子区域A，则
例1-5 在闭区间[0，1]上随机取一数x，事
(1) 随机实验：对随机现象的观察。 (2) 随机实验的特征： ① 在相同条件下，实验可重复进行。 ② 每次试验结果各异，且试验之前不 能预测结果。 ③ 所有可能的试验结果是明确的，且 每次试验必有一种结果出现。
例如
1. 在平面上投掷一个硬币，观察 其出现的结果（正面、反面）。 2. 用某药治疗某病患者，观察其 治疗的结果(无效、有效)。 3. 袋中有5个球，从中抽出1球。在 不同条件下，观察抽到红球、白球 的结果。
1-1.2 事件之间的关系及其运算

事件的基本关系
1.包含关系：若事件A 发生，导致事件B 一 定发生，则称事件A 包含于事件B 或称事 件B 包含事件A 。记为
A B或B A.
2.等价(相等)关系：若事件A 包含事件B ， 且事件B 又包含事件A，则称事件A与事件 B 等价。记为 A = B 。
§1-3
概率的运算
本节的重点 互斥事件的加法法则 对立事件的概率 独立事件的乘法法则
1-3.1
加法定理（并事件的概率）
互斥事件的加法定理
1. 若事件A、B互斥(即AB = Ο ),则
P(A+B) = P(A) + P(B) 。
2. 若n个事件A1、A2、…、An两两互斥，则
P( Ai ) P( Ai )
i 1 n n
n
i 1
i
(知识点回顾：对立事件满足 AA 一般事件的加法定理
i 1
A AA)A 1P(A )) 3. 对立事件的概率： P( A (多个概率值的和 P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) )
(多个事件的并事件
2. 频率：在n次相同的实验中，事件A出现的
次数mA与实验次数n的比值mA/n。 ① 其中事件A出现的次数 mA，叫频数； ② 频率 mA/n 记为 f n ( A) ，即
f n ( A) mA n
。
抛 掷 钱 币 实 验
试验者
De Morgan Bufen
抛币次数n
2084 4040
正面向上 次 数
② 每次实验只可能有一个事件发生。
2. 等可能性：各个事件发生的可能性相同。

古典概率模型
具有：①互斥完备群由有限个基本事件构成；
②且各个基本事件满足等可能性，
两特点的随机现象概率模型为古典概型。

古典概率定义
在古典概型中，若互斥完备群由满足等可 能性的n个基本事件构成，随机事件A只包含 其中的mA个事件，则随机事件A的概率为：
A2 A3 A4一定不会发 生。
b) 在一次观察中，五个 事件至少有一个事件 一定会发生。即 A 0 + A 1+ A 2 + A 3 + A 4 一定会发生。
互斥完备群与对立事件