极限存在的夹逼准则
1-7存在准则两个重要极限
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
7、 lim(1 x )2x _________. x x
8、 lim(1 1 ) x _________.
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan 2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
2、 lim sin 2x __________. x0 sin 3x
3、 lim arc cot x __________.
函数极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则首先，我们需要明确函数极限的定义。
设有函数$f(x)$在其中一点$a$的一些邻域内有定义，如果存在一个常数$L$，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<，x-a，<\delta$时，有$，f(x)-L，<\varepsilon$成立，则称$L$是函数$f(x)$在$x=a$处的极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。
现在，我们来介绍夹逼准则的概念。
设有三个函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$，在其中一点$a$的一些邻域内有定义。
如果存在正实数$\delta$，当$0<，x-a，<\delta$时，有$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$成立，且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$，则可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。
根据夹逼准则的定义，我们可以证明一个函数的极限存在或不存在。
具体地，当我们找到两个函数$f(x)$和$h(x)$，满足$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$时，我们可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。
这是因为当$x$趋近于$a$时，不等式$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$右侧的函数$h(x)$和左侧的函数$f(x)$的极限都趋近于$L$，由此我们可以推断出$g(x)$的极限也趋近于$L$。
夹逼准则的重要性在于它提供了一种判断函数极限存在的方法。
它适用于各种类型的函数，包括无穷的函数，可以广泛地应用于极限的证明中。
接下来，我们将通过一些例子来说明夹逼准则的应用。
例1：证明$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0$。
解：由于$-1\leq\sin\frac{1}{x}\leq 1$，我们可以得到以下不等式：$-x\leq x\sin\frac{1}{x}\leq x$当$x$趋近于$0$时，左侧和右侧的极限都为$0$。
极限存在准则 重要极限
2.单调有界准则 单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 ≤ x 2 ⋯ ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ ⋯ , 单调增加 x1 ≥ x 2 ⋯ ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ ⋯ , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限
单调数列
几何解释: 几何解释
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
6
例2
证明数列 xn = 3 + 3 + ⋯ + 3 ( n重根
∴ {xn } 是单调递增的 ;
式)的极限存在 . 证 显然 x n + 1 > x n ,
∴ {xn } 是有界的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
2 2
, .
的 快
24
β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β是α的k阶的 α
无穷小.
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0. β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;
17
思考题
求极限
1 x x
x → +∞
lim (3
x
+9
1 x x
极限存在准则 两个重要极限
∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3
1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim
极限存在准则 两个重要极限
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在的夹逼准则
极限存在的夹逼准则夹逼准则的形式如下：设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内定义，且对于该邻域内的所有x，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
若当x趋于a 时，f(x)和h(x)的极限都等于L，则g(x)的极限也等于L。
在数列的情况下，如果数列a_n满足对于所有n，有a_n≤b_n≤c_n，且当n趋于无穷大时，数列a_n和c_n的极限都等于L，则数列b_n的极限也等于L。
夹逼准则的直观理解是通过两个函数或数列夹在另一个函数或数列之间，从而得到了在极限过程中的一些性质。
通过在这些性质上的限制，可以得出对于夹逼的函数或数列的极限存在性及其值的结论。
夹逼准则在实际应用中具有广泛的用途。
在求极限的过程中，有时候可以找到一对比较简单的函数或数列来“夹逼”待求的函数或数列，从而求得待求的极限。
夹逼准则在证明函数或数列的极限存在性以及极限值时，能够起到重要的作用。
夹逼准则的证明主要通过对于ε-δ的定义的运用，结合函数或数列的性质，构造出合适的不等式和判断条件，进而得出极限存在及其值的结论。
其中，ε表示误差范围，δ表示自变量趋于一些点时，与函数或数列的距离。
夹逼准则的基本思想是利用函数或数列与另一个已知的函数或数列的关系，通过比较它们的大小关系，证明待求的极限存在，并确定极限值。
总结起来，极限存在的夹逼准则是微积分中一种重要的判定极限存在性的方法。
它通过构造两个函数或数列来夹逼待求的函数或数列，从而得到极限存在性及其值的结论。
夹逼准则在实际应用中具有广泛的用途，可以帮助我们求解各种类型的极限。
通过掌握夹逼准则的使用方法和证明思路，可以更好地理解和应用微积分中的极限概念。
极限存在的夹逼准则
sin x BD , x AB, tan x AC.
因为 所以
SAOB S扇形AOB SAOC ,
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2
o
x
D
A x
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
sin x cos x 1, x
此式对
x x0 x x0
h(x)
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f ( x) A. xx0 y
A
A
g (x)
f (x)
A
o
x0 2 x0 1
x0 r
x 0 x0 2 x0 1
x0 r
x
证明 0, 因 lim g ( x) A, 所以由极限的定义， 0, 当 0 | x x | 1 0 1 时，有 | g ( x) A | , 则
x x0
A g (x).
x x0
①
又因为 lim h( x) A, 所以 2 0, 当0 | x x0 | 2 时，有 | h( x) A | ， 则
h( x ) A .
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r 时，有
《高等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学》
极限存在的夹逼准则
一、回顾
定理3 设 lim f ( x) A, lim g ( x) B, 则
⑴ lim[ f ( x) g ( x)] A B; ⑵ lim[ f ( x) g ( x)] A B;
f ( x) A , 其中B 0. ⑶ lim g ( x) B
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A
h(x)
A
g(x)
f (x)
A
•
x0
•
r
•
•
•
x0
•
r
•
o x0 1 x0 2 ---
x0 x0 2 x0 1Leabharlann x证明0,
因 lim g(x) A, x x0
所以由极限的定义，1 0, 当 0 | x x0 | 1
时，有 | g(x) A| , 则
A g(x).
①
an
a,
lim
n
bn
b,则
⑴ nlim[an bn ] a b;
⑵ nlim[an bn ] a b;
⑶ lim an a , 其中 b 0.
b n n
b
---
二、问题
（1）设 an
1 n2 1
1 n2 2
1 n2
n
,
求极限
lim
n
an
.
（2）求极限 lim sin x . x0 x
《高等数学》
极限存在的夹逼准则
--
---
一、回顾
定理3 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 ⑴ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑵ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑶ lim f (x) A , 其中B 0.
g(x) B
定理4
设
lim
n
lim
n
an.
解 因为 而
n n2n n n2 n
an an
n ,
n 2n 1 n2 1
lim n lim 1 1, lim n lim 1 1,
n n2 n
n 1 1 n
n
n2 1
n
1
1 n2
所以，由夹逼准则得
lim
n
an
1.
---
例2 求极限 lim sin x . x0 x
A g(x) f (x) h(x) A ,
即
| f (x) A| .
注 当 x 时，
所以 lim f (x) A. x x0
定理1类似成立.
---
定理2 如果数列 {xn}, {yn} 及{zn} 满足下列条件：
(1) N0 N ,当 n N0 时，有
yn xn zn ；
---
三、夹逼准则
定理1 如果函数 f (x), g(x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当x U o (x0,r), g(x) f (x) h(x),
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A.
y x x0
y
C
B
x
o
D
A
x
---
解 设 0 x , 由图知，
2
sin x BD, x AB, tan x AC.
y
C
B
因为
SAOB S扇形AOB SAOC ,
所以
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
x
o
D
Ax
cos x sin x 1, x
又因为 lim h(x) A, x x0
所以 2 0,
当0 | x x0 | 2 时，有 | h(x) A|
，则
h(x) A .
②
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r 时，有
g(x) f (x) h(x).
③
取 min{r,1,2}, 当 0 | x x0 | 时，①， ②，③式同时成立. 故
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A. xx0
2.一个重要极限: lim sin x 1.
x0 x
五、作业
P56 4(1),(2) .
---
---
此式对 x 0 也成立. 因 limcos x 1 与 lim1 1 ，
2
x0
x0
由夹逼准则知，
lim
x0
sin x
x---
1.
四、小结
1. 夹逼准则
定理1 如果函数 f (x), g(x)及 h(x)满足下列条件：
⑴ 当 x U o (x0, r) 时，g(x) f (x) h(x)；
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那么数列{xn } 的极限存在，且
lim
n
xn
a.
定理1和定理2称为夹逼准则(也称为两边夹法则）.
利用夹逼准则
求极限关键是构造
出合适的 yn, zn ,
或--- g(x), h(x).
四、应用
例1 设 an
1 n2 1
1 n2 2
1, n2 n
求极限