用集合的思想方法解决问题
集合思想在小学数学教学中的应用
集合思想在小学数学教学中的应用大亚湾区道南小学吴小锋著名的集合论的创始人是德国数学家康托(1845 -1918)。
自康托创立集合论以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。
集合思想作为现代数学最重要的思想方法之一，早已渗透到各国的小学数学教材之中。
我国小学数学新课程改革，也竭力把集合思想直观地渗透到教材内容中，从而改变了教材的面貌。
小学数学新课标要求：结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想方法，以加深对基础知识的理解。
集合论本身的无穷魅力，引起许多学者的浓厚兴趣。
集合论与小学数学的教学有着非常微妙的联系，并且在小学数学竞赛领域中得到广泛应用。
本文就小学数学课本中(以义务教育课程标准实验教科书为例)常见的集合思想及其在小学数学竞赛中的应用谈点浅见，主要研究它在小学数学教学中的渗透和应用。
一．集合思想在小学数学教学中的渗透我们把具有某种属性的一些对象的全体看成一个集合。
运用集合的知识去解决有关的问题,这样的思维观点被称为集合的观点。
集合思想在小学数学教学中是这样渗透的。
（1）集合概念在教学中的渗透小学生在学习数学的开始，教材就通过直观形象的韦恩图渗透了集合的概念。
在认识0～10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。
如《数学》第一册表示“1”的集合图里只有一个元素（一只大象）；表示4的集合图里有4个元素（4朵白云）。
这就很形象地把集合中的元素与基数的概念有机地联系起来。
在教学“0”时，教材通过三个集合里分别有两个茶杯，一个茶杯、没有茶杯来说明空集这一概念。
《数学》第一册的“分类”一节课中，把两个球圈在一起，还把书包、鸡、气球放在一幅图里，让学生试一试能否把同类物体圈在一起。
这部分内容渗透了如何把一些同类的物体组成一个集合的思想。
教学“分数的意义”时，为了突破单位“1”的含义这个难点，教材通过两个实物韦恩图，直观说明把4 个苹果和 6 只熊猫玩具各作一个整体，都可以用自然数 1 来表示，通常把它叫做单位“1”。
高中数学专题学习：第1讲--集合思想及应用
第1讲 集合思想及应用一、知识梳理1．元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．2．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a∉A ． 3．集合表示法列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合．描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合．{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的．4．集合的关系子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ，读作A 含于B ．空集是任何一个集合的子集．真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ．集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B ．集合关系与其特征性质之间的关系：设A ＝{})(x p x ，B ＝{})(x q x ．如果A ⊆B ，则)()(x q x p ⇒．如果 )()(x q x p ⇒，则A ⊆B ．5．集合的运算交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B ．并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：∁U A ，读作：A 在U 中的补集．二、方法归纳1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{})(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题．2．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论．3．数集的运算往往用数轴法．4．用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ⊆B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （∅）＝0．5．容斥原理：Card(A ∪B )=Card(A )＋Card(B )－Card(A ∩B )Card(A ∪B ∪C )=Card(A )＋Card(B )＋Card(C )－Card(A ∩B )－Card(B ∩C )－Card(C ∩A )＋Card(A ∩B ∩C )6．n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1． 三、典型例题精讲【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 ( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．2 解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x ．∴2x =-．答案：C【技巧提示】牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性． 又例:若3∉{1，a ，2a }，求实数a 的范围．答案：a ≠0，±1，3，±3【例2】已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．多个 【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C ．解析：根据{}1+==x y y M ，得R M =，为数集，{}1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集， ∴=N M ∅．答案：A【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件．交集是由两个集合的公共元素组成的集合．又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}1),(22=+=y x y x B ，则B A 的子集的个数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素， ∴ B A 有8个子集．答案：D【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 ( )A ．A ⊆CB ．C ⊆A C ．A ≠CD ．A ＝∅解析：∵A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆ C又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ⊆C ， 故选A ．答案：A【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键．A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆C 就是交运算和并运算的重要性质．本题也可利用文氏图直接得出结论．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．又例:已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x | x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )解析：∵N ＝{0，－1}， M ＝{－1，0，1}，∴N M ⊆U ．答案：B ．【例4】设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3，4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－3，4}．将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9．∵A ∪B ＝{－3，4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}．∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ② 由①得c ＝3b －9，代入②整理得：(b －6)2＝0，∴b ＝6，c ＝9．故a ＝－1，b ＝6，c ＝9．【技巧提示】 由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．【例5】设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于 ( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}，∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2] ，因此A ×B ＝(2，＋∞)，故选A ．答案：A【例6】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}．(1)求A 、B ；(2)求(∁U A )∩B ．解析：(1)由已知得：log 2(3－x )≤log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤43－x >0，解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}． 由5x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3．∴B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故(∁U A )∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}．【技巧提示】本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解．又例: 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |－2≤y ≤2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，那么集合A ∩(∁U B )等于 () A ．{y |－2≤y ≤0} B ．{y |0≤y ≤2}C ．{y |y ≥－2}D ．{y |y ≤0}解析：由题意易得：B ＝(0，＋∞)，∁R B ＝(－∞，0]，所以A ∩∁R B ＝{y |－2≤y ≤0}．答案：A【例7】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围．解析：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎨⎧ a ≤23a ≥4即43≤a ≤2，当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a ≥4即a ∈∅．∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2．(2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43，∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅．(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，故所求a 的值为3．【技巧提示】(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质．(2)本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小，进而将集合B 表示出来． 又例:已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．(1)若A 是空集，求m 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求m 的值；(3)若A 中含有两个元素，求m 的取值范围．解析：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集．(1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴△＝4－12m ＜0，即m ＞13．(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解．若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝32；若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m ＝13．∴m ＝0或m ＝13．(3)∵A 中含有两个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两解，满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0△>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠04－12m >0，∴m ＜13且m ≠0．四、课后训练1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |mx ＝1}，若Q ⊆P ，则实数m 的数值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0，1或－12．已知U ＝{2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5，7}，N ＝{2，4，5，6}，则 ( )A ．M ∩N ＝{4，6}B ．M ∪N ＝UC ．(∁U N )∪M ＝UD ．(∁U M )∩N ＝N3．设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3＝I ，则下面论断正确的是A ．∁I S 1∩（S 2∪S 3）＝∅B ．S 1⊆（ ∁I S 2∩∁I S 3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3＝∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）4．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝_____5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n6．设集合A＝{x|－12＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－12＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}7．设全集为U，且2011∈U，与2011∉（A∪B）意义相同的是()A．2011∈A∪B B．2011∉A或2011∉BC．2011∈(∁U A)∩(∁U B)D．2011∈(∁U A)∪(∁U B)8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1{ B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x≤2} D．{x|2≤x＜3}。
数学思想之 集合思想在小学数学教学中的渗透.
数学思想之“集合思想”在小学数学教学中的渗透王艳日本数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。
”小学数学思想方法是对知识有本质的认识，从方法论的角度来研究小学数学中分析问题、思考问题的方法。
在小学数学教学中，教给学生数学知识的同时，要重视挖掘知识发生、形成和发展运用过程中所蕴藏的数学思想方法，不失时机地渗透数学思想方法，指导学生运用数学思想方法科学的思考问题，培养学生探索规律、解决问题的能力，从而促进学生数学素质的提高。
集合思想作为现代数学最重要的思想方法之一，早已渗透至各国的基础数学教育中，同时也是当前新一轮基础教育改革的关于数学的指导性思想之一。
本文就以集合思想为重点，探究这一数学思想方法在小学数学教学中如何渗透，如何运用集合思想来解决数学问题。
一、集合思想的内涵和历史：把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。
集合思想是由德国数学家康托在19世纪创立的，它成为现代数学的基础。
二、集合思想如何在小学数学教学中逐步渗透：集合是现代数学基本概念之一。
在小学数学教学中运用集合思想去分析问题，有利于学生加深对数学知识的理解和掌握。
教师适当讲授一些集合论的基本知识，加深学生对某些数学知识的理解，这对提高数学教学质量都是十分重要的。
但是，集合论毕竟是一门较为抽象的数学理论，如在小学阶段过多地讲授抽象的概念，势必对教学带来很大困难。
我国现行小学数学教材中采取“渗透”的方法，命题本身既体现了集合思想，又避免了教师过多地去讲，这对提高学生认识客观世界事物之间的基本数量关系，发展他们的认识能力、思维能力，都具有十分重要的现实意义。
例如：教材在认数前就出现了反映日常生活中一些常见事物的集合。
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？答;1、集合思想。
集合思想对数学的影响巨大，很多的数学分支都需要用集合语言表达。
①教学中要注重集合概念的渗透。
例如，认识“2”的教学中，例举多个两个物体，这多个两个物体的所在类的代表就是“2”。
又如六头猪和六只狗等所在类的代表就是“6”。
这里的2、6就是集合的基数。
”②教学中要注重集合关系的渗透。
如：一一对应关系，包含关系等。
③教学中要注重集合运算的渗透。
如：加法运算其实就是并集，减法运算的结果就是差集。
2、数形结合思想。
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数与形之间的联系即称为数形结合，或形数结合。
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
即“以形助数”或“以数解形”。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用一般可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决很多数学问题。
①利用数与形的对应来理解数学概念。
例如：认识分数的教学。
②利用数与形的对应解应用题。
例如：画线段图解应用题。
③坐标思想。
用方程表示图形，沟通数形之间的关系。
在教学中要培养学生积极主动地利用数形结合的思想解决问题。
3、函数思想。
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。
在小学阶段学习的对应关系，正、反比例关系中就蕴藏中基本的函数思想。
4、变换与转化思想。
变换与转化思想是中小学数学中最重要的数学思想，充分重视这种数学思想方法在解题中的应用，不但可使问题化繁为简、化难为易，而且还可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。
2023年人教版数学三年级上册集合公开课教案(优选3篇)
人教版数学三年级上册集合公开课教案（优选３篇）〖人教版数学三年级上册集合公开课教案第【1】篇〗数学广角集合教学目标：1、在具体情境中使学生感受集合的思想，感知集合图的产生过程。
2、能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，同时使学生在解决问题的过程中进一步体会集合的思想，进而形成策略。
3、渗透多种方法解决重叠问题的意识，培养学生善于观察、勤于思考的学习习惯。
教学重点：让学生感知集合的思想，并能初步用集合的思想解决简单的实际问题。
教学难点：对重叠部分的理解。
教学准备：课件教学过程：一、开门见山，引入新课1.导入：课间，同学们都喜欢什么样的运动？看，三（1）班选拔了一部分喜欢运动的同学参加学校的运动会（出示例1），那么我们能算出参加这两项比赛共有多少人吗？二、组织活动，探究新知1、同学们，你们都做了哪些运动？2、老师调查其中一个小组的体育爱好情况：第三小组喜欢踢毽子的有哪些同学？（假设7人）喜欢跳绳的有哪些同学？（假设8人）有没有两样都喜欢的？（假设3人）３、老师在讲台的两边分别画了两个圈：左边黄色的圈表示喜欢踢毽子的，右边红色的圈表示喜欢跳绳的。
４、现在请第三小组踢毽子的同学到左边黄色的圈内集合；请喜欢跳绳的同学到右边红色的圈内集合。
我们看看他们怎么站？５、问题出在哪儿呢？谁有好的建议以指导他们站到他们该站的位置？６、接下来请大家拿出纸和笔，想一想，画一画，写一写，怎样能使别人一看就知道喜欢踢毽子的有哪些同学，喜欢跳绳的有哪些同学，两样都喜欢的有哪些同学？同时还方便我们数人数？７、谁愿意展示一下你的想法？（适时肯定学生合理的想法。
）在100多年前，英国有一位名叫韦恩的逻辑学家，用一个图很方便地解决了我们今天遇到的这个问题。
让老师来展示给大家看。
８、这种图是韦恩最早发明的，所以就以他的名字命名，叫韦恩图。
利用韦恩图，既能表示重复的部分，又能方便统计总数。
接下来，如果要用算式表示喜欢踢毽子和跳绳的一共有多少人，又该是怎样的呢？９、刚才同学们交流了很多算法，你觉得哪种比较容易理解。
数学思想方法在集合问题中的应用
个总体的阐述 ，然后配 以典型的例题辅以说明 ，旨
在引导考生尽快领会如何应用所介绍的方法解题 ，相 信新一届高三的同学们 阅读后会有不少的收获．
一Hale Waihona Puke （ １年 考 苏 设 合Ａ｛，ｌ－ ２ １ 高 江 卷） 集 ＝ ） ０ （ｙ￣
≤ — ） ≤ｍ ， ，ＹＥＲ ，曰 ｛ ｙ １ ￣ ＋ ≤２ ２ ＋ ｝ ＝ ，） ｍ＜ｘ ｙ ｍ＋ ２
数 学有数
数学思想方法在集合 问题 中的应用
■黄伟 军 张 勇平
集合是每年高考必考的知识点 ．若 以选择题或者
填 空题 的形式 出现 ，主要有两种考查倾 向 ，一是考查 集合的基本概念 ，二是一些基本运算问题 ：当然也不 排除 出解答题 的可能 ．集合 常与其他知识 （ 函数 、 如 方程 、不等式等 ）进行交汇命题 。考查 中学数学 的一 些数学思想方法． 在解答集合这部分内容 中的数学问题 时 。倘 能积极挖掘问题 中隐含 的数学思想方 法 ．能使 复杂的问题变得条理清楚 ，脉络分明 ，起到化难为易 、
具 体化 ．从 而快 速找 到解 题 的途径 ． 在每 年 的高 考
中 ，利用数 形结合 法解答 客观题 （ 包括 填空 与选 择 题 ）的频率是相 当高的 ，希望 同学们应注意和重视数
形结合法解题．
好地把握如何利用数学思想方法解题 ，本文总结 了集 合中 比较常考的思想方法 ，并对每一种思想方法先作
理、公式、法则等，利 用直接 法来解答的题 目是 相 当
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多的 ，希望同学 在 复习备考 时应 注意把基础部 分的 ｊ
《数学广角 —— 集合》精品教案
《数学广角——集合》
一、教学目标
1.理解集合的概念，能用集合的思想解决实际问题。
2.掌握集合的表示方法，会进行集合的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重难点
1.重点：理解集合的概念，掌握集合的表示和运算方法。
2.难点：运用集合思想解决实际问题。
三、教学方法
讲授法、演示法、讨论法。
四、教学过程
1.导入
1.展示一些生活中的分类问题，如参加不同兴趣小组的学生人数统计，
引出集合的概念。
2.提问学生如何对事物进行分类。
2.认识集合
1.讲解集合的定义和特点，如确定性、互异性、无序性。
2.通过具体例子，让学生理解集合的概念。
3.集合的表示方法
1.介绍集合的常用表示方法，如列举法、描述法。
2.举例说明如何用不同方法表示集合。
4.集合的运算
1.讲解集合的并集、交集和补集的概念和运算方法。
2.通过实例演示，让学生掌握集合的运算。
5.解决实际问题
1.出示一些实际问题，让学生运用集合的思想进行解决。
6.巩固练习
1.安排一些练习题，巩固集合的表示和运算方法，提高解决问题的能
力。
7.总结
1.总结集合的概念、表示方法和运算规则，强调集合思想在实际问题
中的应用。
2.布置作业：完成课后练习，找生活中的集合问题。
高考数学专题复习 对集合的理解及集合思想应用的问题 试题
卜人入州八九几市潮王学校高考数学专题复习对集合的理解及集合思想应用的问题高考要求集合是高中数学的根本知识，为历年必考内容之一，主要考察对集合根本概念的认识和理解，以及作为工具，考察集合语言和集合思想的运用本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用重难点归纳1解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描绘法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题2注意空集∅的特殊性，在解题中，假设未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,那么有A =∅或者A≠∅两种可能，此时应分类讨论典型题例示范讲解例1设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论此题主要考察考生对集合及其符号的分析转化才能，即能从集合符号上分辨出所考察的知识点，进而解决问题知识依托解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了错解分析此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其本质内涵，因此可能感觉无从下手技巧与方法由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进展限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值解∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <25②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅例2向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生实在掌握此题主要强化学生的这种才能知识依托解答此题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来错解分析此题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索技巧与方法画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联络解赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合BB 都不赞成的学生人数为3x+1,赞设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,那么对A 、成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21 所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人例3集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},假设A ∩B ≠∅,务实数m 的取值范围解由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或者m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内故所求m 的取值范围是m ≤－1学生稳固练习1集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =42k ππ+,k ∈Z },那么() A M =NB M NC M ND M ∩N =∅2集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,假设A ∪B =A ，那么()A －3≤m ≤4B －3<m <4C 2<m <4D 2<m ≤43集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },假设A 中元素至多有1个，那么a 的取值范围是_________4x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x -=1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________ 5集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B∅和A ∩C =∅同时成立6{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41x2－y 2=1,x ,y ∈R }试问以下结论是否正确，假设正确，请给予证明；假设不正确，请举例说明(1)假设以集合A 中的元素作为点的坐标，那么这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素； (3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅7集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值 8设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }(1)求证A ⊆B ;(2)假设A ={－1，3}，求B参考答案1解析对M 将k 分成两类k =2n 或者k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或者k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }答案C2解析∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4 答案D3a =0或者a ≥89 4解析由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b y a x -=1相切，那么1=22b a ab +,即ab =22b a + 答案ab =22b a +5解log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或者a =－2当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩B∅，∴a =－26解(1)正确在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,那么21=n S n (a 1+a n ),这说明点(a n ,nS n 〕的坐标适宜方程y 21=(x +a 1),于是点(a n ,nS n )均在直线y =21x +21a 1上(2)正确设(x ,y )∈A ∩B ,那么(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解 ∴A ∩B 至多有一个元素(3〕不正确取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0假设A ∩B ≠∅,那么据(2〕的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0〕,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0〕∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的7解由w =21zi +b 得z =ib w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ibw 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1 ∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0〕为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =28(1)证明设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0)即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B(2)证明∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得∴f (x )=x 2－x －3于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x , 也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根将方程(*)变形，得(x 2－x －3)2－x 2=0解得x =1,3,3,－3故B ={－3，－1，3，3}课前后备注。
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用集合的思想方法解决问题
看图解决问题
15人 15人
参加书法比赛 的有9 的有9人
课件制作：隋元庆 课件思
参加绘画比赛 的有多少人？ 的有多少人？
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课件制作：隋元庆 课件制作： 课件思路：杨永存 课件思路：
三（1）班参加语文、数学小组学生名单 班参加语文、
王 语 杨 李 刘 陈 爱 文 明 芳 红 东 华 数 杨 李 刘 李 杨 学 明 芳 红 强 红
张 丁 赵 伟 旭 军 张 于 周 陶 华 力 晓 伟
语文小组＋ 语文小组＋数学小组的人数与实际人数 相比结果如何？为什么呢？ 相比结果如何？为什么呢？
参加绘画比赛 ？
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只参加书法比赛只参加绘画比赛ຫໍສະໝຸດ ？课件制作：隋元庆 课件思
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语文组8 语文组8人
数学组9 数学组9人
3人
你能算一算这两个小组实际有多少人？
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用集合的思想方法解决问题
三年级一班有48人 在午后自习时， 三年级一班有48人。 在午后自习时， 做完语文作业的有37人 做完语文作业的有37人，做完数学作业 的有42人 语文、 的有42人。 语文、数学作业都做完的有 多少人？ 多少人？
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用集合的思想方法解决问题
人教版三年级下册第九单元
用集合的思想方法解决问题
三（1）班有8人参加语文小组， 班有8人参加语文小组， 有9人参加数学小组， 人参加数学小组， 猜一猜两个小组一共有多少人？ 猜一猜两个小组一共有多少人？
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用集合的思想方法解决问题
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语文组 王爱华 张伟 丁旭 赵军 陈东 杨明 杨明 李芳 李芳 刘红 刘红 杨明 李芳 刘红 数学组 李强 杨红 张华 于力 周晓 陶伟
杨明、李芳、刘红既是语文小组的成员， 杨明、李芳、刘红既是语文小组的成员， 又是数学小组的成员，他们3个人重复了。 又是数学小组的成员，他们3个人重复了。