四元数的一种新的代数结构
四元数——精选推荐
四元数复数：我们把形如a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位， i*i= -1;复变函数:四元数：正如复数是有⼀个实部和⼀个虚部组成的，那我们将⼀个虚部换成三个虚部，即两两相交{i, j, k}。
其中n为三维的单位向量，i²=j²=k²=i·j·k=-1。
这便是四元数的常规表达形式，不过单位四元数是有⼀⼤堆的约束的，并不是所有四维向量都是四元数。
如何去理解四元数：四元数（以后不特指四元数=单位四元数）是四维空间中⼀个超球上⾯的点，满⾜w²+x²+y²+z²=1；⽽纯四元数是四维空间在w=0时的⼀个⼦空间的点，形式为{0, q}，特别注意的是纯四元数与四元数是不同的概念。
四元数是复数虚部扩展的结果，复数的虚部为1个，⽽四元数虚部有3个，且两两互相正交，其中实部是cosθ/2，⽽虚部为⼀个単位轴乘以sinθ/2。
四元数⾃由度并没有四个维度，由于存在w²+x²+y²+z²=1这个约束，它的⾃由度其实只有3，且每个四元数可以对应⼀个特征向量，即n。
但请记住四元数并不是与特征向量⼀⼀对应的，后⽂会有说。
如何利⽤低维信息去理解⾼维信息？例⼦：三维的球⽤代数表⽰为x²+y²+z²=1，虽然球上⾯的点是由x，y，z三个参数来确定，但实际上我们只需要两个。
假设取x和z表⽰，其中y可以通过x和z进⾏求解。
那么，我们将y轴信息给隐去，只看投影平⾯，如下图所⽰。
这张图的意思是，整个球在XOZ平⾯上投影是⼀个圆，当球⾯⼀点投影在圆上时，y=0；投影的位置位于圆内时，则分别两种情况，y>0处于北半球，y<0处于南半球。
所以我们仅通过投影后的圆即可还原出整个球体。
推⼴到四维，w²+x²+y²+z²=1中取x、y和z来表⽰超球。
形象解说四元数
形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。
复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。
四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。
四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。
由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。
数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。
以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。
闵可夫斯基 四元数 -回复
闵可夫斯基四元数-回复什么是闵可夫斯基四元数？闵可夫斯基四元数是一种扩展了复数和三元数的数学结构，由俄罗斯数学家米哈伊尔·闵可夫斯基于1843年引入。
它是一个四元有序实数集{a,b,c,d}，其中a、b、c 和d 都是实数，并且满足以下规则:1. 四元运算：任意两个四元数相加、相减或相乘时，其结果仍为一个四元数。
这意味着闵可夫斯基四元数构成了一个代数结构。
2. 单位元：存在一个特殊的四元数单位元"1"，满足任意四元数与单位元相乘等于其本身。
即∀a,b,c,d ∈R，有(a,b,c,d) * (1,0,0,0) = (a,b,c,d)。
3. 加法和乘法分配率：对于任意四元数a = (a₁,a₂,a₃,a₄)，b = (b₁,b₂,b₃,b ₄) 和c = (c₁,c₂,c₃,c₄)，有：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)，(b + c) * a = (b * a) + (c * a)。
4. 纯四元数：如果一个四元数中只有最后一个分量是非零，那么它就是一个纯四元数。
纯四元数可以表示为：xi = (0,0,0,1)，yj = (0,0,1,0)，zk = (0,1,0,0)。
这些规则使得闵可夫斯基四元数在几何代数、物理学和工程学等领域中得到了广泛的应用。
闵可夫斯基四元数的运算和性质如下：1. 加法运算：两个四元数相加时，分别对应分量相加。
例如，(a,b,c,d) + (e,f,g,h) = (a+e,b+f,c+g,d+h)。
2. 乘法运算：两个四元数相乘时，分别对应分量进行运算。
例如，(a,b,c,d) * (e,f,g,h) = (ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag-bh+ce+df,ah+bg-cf+de)。
3. 共轭四元数：一个四元数的共轭四元数定义为实部不变，负虚部。
例如，共轭四元数(a,b,c,d) 的表示为(a,-b,-c,-d)。
四元数详解
四元数详解四元数是一种数学概念，它在多个领域都有广泛的应用。
在计算机图形学中，四元数用于表示旋转变换。
下面我将以人类的视角来介绍四元数的定义、性质和应用。
四元数是一种扩展了复数的数学结构。
它由一个实部和三个虚部组成，可以写成q = a + bi + cj + dk的形式，其中a、b、c、d分别是实数，i、j、k是虚数单位。
与复数一样，四元数也有加法和乘法运算。
我们来看四元数的定义。
四元数的实部a对应于实数部分，而虚部bi + cj + dk对应于虚数部分。
四元数的加法定义很简单，就是将实部和虚部分别相加。
而乘法则稍微复杂一些，需要使用四元数的乘法规则：i² = j² = k² = ijk = -1。
通过这个规则，我们可以计算出两个四元数的乘积。
接下来，我们来探讨一下四元数的性质。
首先，四元数的加法满足交换律和结合律。
然而，四元数的乘法不满足交换律，即ab ≠ ba。
此外，四元数的乘法满足结合律，但不满足分配律。
这些性质使得四元数的运算有一些独特的特点。
四元数在计算机图形学中有广泛的应用。
由于四元数可以用于表示旋转变换，因此在三维游戏和动画中经常被用到。
与传统的欧拉角相比，四元数具有很多优点，例如不存在万向锁问题和旋转插值更加平滑。
因此，使用四元数可以提高计算机图形学的效率和质量。
除了计算机图形学，四元数还在其他领域有着重要的应用。
例如，在航空航天领域，四元数可以用于表示飞行器的姿态和旋转控制。
在物理学中，四元数可以用于描述粒子的自旋。
此外，四元数还可以用于解决某些数学问题，例如解四次方程和计算曲线的弯曲度。
四元数是一种重要的数学概念，具有广泛的应用。
它在计算机图形学、航空航天和物理学等领域都发挥着重要作用。
通过深入理解四元数的定义、性质和应用，我们能够更好地应用它们解决实际问题，推动科学技术的发展。
四元数群的自同构群-概述说明以及解释
四元数群的自同构群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：四元数是一种数学结构，它扩展了复数的概念。
与复数类似，四元数可以用方式a + bi + cj + dk进行表示，其中a、b、c和d分别是实数，而i、j和k是特定的虚数单位。
四元数群是指由四元数构成的数学群，其中群的运算是四元数的乘法。
本文主要研究四元数群的自同构群。
自同构群是指一个数学结构自己到其自身的同构映射所构成的群。
在本文中，我们将探讨四元数群的自同构群的概念和性质，并研究其特点、应用和意义。
了解四元数群的自同构群对于理解四元数的结构和性质具有重要意义。
自同构群可以帮助我们发现四元数群中的对称性质和关系，从而推导出关于四元数的重要性质和结论。
此外，研究四元数群的自同构群还能够为解决一些实际问题提供有力的工具和方法。
因此，深入研究四元数群的自同构群对于数学和工程领域的学者都具有重要的参考价值。
在接下来的正文中，我们将首先介绍四元数群的定义和性质，包括四元数的乘法运算和群的封闭性等。
然后，我们会详细讨论自同构群的概念和性质，并给出一些自同构群的例子和结论。
最后，我们将总结四元数群的自同构群的特点，并探讨其在实际应用中的意义和潜在的发展方向。
希望通过本文的研究，读者能够对四元数群的自同构群有一个清晰的认识，并能够将其应用于相关领域的研究和解决问题中。
1.2文章结构文章结构部分将描述文章的整体结构和各个章节的内容安排。
文章按照以下的结构进行组织和撰写：1. 引言：引言部分主要包括以下内容：1.1 概述：对四元数群和自同构群的基本概念进行简单介绍，强调自同构群对于四元数群的重要性和研究意义。
1.2 文章结构：详细阐述文章的整体结构，即各个章节的内容和组织方式。
1.3 目的：明确本文的研究目的和研究方法，指出本文的创新点和科学价值。
2. 正文：正文部分分为以下几个章节：2.1 四元数群的定义和性质：介绍四元数群的基本定义，包括四元数的表示方法以及群运算的性质，如结合律、单位元等。
四元数
我们举个最简单的例子：把点 P(1, 0, 1)绕旋转轴 u = (0, 1, 0)旋转 90°，求旋转后的顶点坐标。首先将 P 扩充到四元数， 即 p = (P, 0)。而 q = (u*sin45°, cos45°)。求 p′=qpq−1 的值。建议大家一定要在纸上计算一边，这样才能加深印象， 连笔都懒得动的人还是不要往下看了。最后的结果 p` = ((1, 0, -1), 0)，即旋转后的顶点位置是(1, 0, -1)。
在 Unity 里，tranform 组件有一个变量名为 rotation，它的类型就是四元数。很多初学者会直接取 rotation 的 x、y、 z，认为它们分别对应了 Transform 面板里 R 的各个分量。当然很快我们就会发现这是完全不对的。实际上，四元数的 x、y、z 和 R 的那三个值从直观上来讲没什么关系，当然会存在一个表达式可以转换，在后面会讲。
那么，四元数又是什么呢？简单来说，四元数本质上是一种高阶复数（听不懂了吧。。。），是一个四维空间，相对于 复数的二维空间。我们高中的时候应该都学过复数，一个复数由实部和虚部组成，即 x = a + bi，i 是虚数单位，如果你 还记得的话应该知道 i^2 = -1。而四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位， i、j、k，即一个四元数可以表示为 x = a + bi + cj + dk。那么，它和旋转为什么会有关系呢？
[csharp] view plain copy print?
1.
transform.rotation = Quaternion.AngleAxis(degrees, transform.right) * transform.rotation;
四元数 旋转变换-概述说明以及解释
四元数旋转变换-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度来写：四元数是一种数学对象，广泛应用于旋转变换和姿态控制等领域。
它可以用来描述三维空间中的旋转变换，具有很多独特的性质和优势。
在传统的三维空间中，我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述旋转变换。
然而，欧拉角存在奇异性问题，而旋转矩阵则涉及到复杂的计算和高代数运算。
相比之下，四元数具有简洁、紧凑、可逆和无奇异性等优势，使其成为了一种更为有效的旋转变换描述方法。
四元数的定义在数学上是一种复数扩展，由一个实部和三个虚部组成。
它可以用于表示旋转轴和旋转角度，通过旋转轴和旋转角度的乘积形式来描述旋转变换。
这种形式上的描述使得四元数可以方便地进行数学运算，比如加法、减法和乘法等，从而实现了旋转变换的复合和插值等操作。
本文将从四元数的基本概念开始介绍，包括四元数的定义、表示和运算规则等内容。
然后，我们将详细讨论四元数在旋转变换中的应用，包括如何通过四元数进行旋转变换、如何进行旋转的插值和相对旋转的合成等。
最后，我们将总结四元数旋转变换的优势和应用领域，并给出结论。
通过本文的学习，读者将能够了解四元数在旋转变换中的基本原理和应用方法，掌握四元数的运算规则和操作技巧，进一步提升对旋转变换的理解和应用能力。
同时，本文还将展示四元数相对于其他旋转变换描述方法的优势和特点，为读者在实际应用中选择合适的旋转变换描述方法提供参考。
1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。
在概述中，将简要介绍四元数和旋转变换的背景和重要性。
文章结构部分将详细说明本文的组织结构和每个部分的内容。
目的部分将明确本文的目标和意图。
最后，在总结中将简要回顾本文的主要内容和结论。
正文部分主要包括三个章节：什么是四元数、四元数的定义和性质，以及四元数的旋转变换。
在什么是四元数章节，将解释四元数的基本概念和定义，以及它们在数学和物理中的应用。
glm 四元数转换矩阵-概述说明以及解释
glm 四元数转换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四元数（Quaternion）是数学中的一种扩展复数，广泛应用于3D计算机图形学和空间几何运算等领域。
它由一个实部和三个虚部组成，具有一些独特的性质和优点。
在图形学中，四元数被用于表示和计算物体的旋转，相比其他表示旋转的方法，如欧拉角和旋转矩阵，四元数具有更简洁和高效的计算方式。
本文将首先介绍球面线性插值（Spherical Linear Interpolation, 简称SLERP）的概念及其在计算机图形学中的应用。
接下来，我们将详细探讨四元数的定义和性质，包括四元数的运算法则、单位四元数的特点等。
最后，我们将重点讲解四元数与旋转矩阵之间的相互转换关系，包括如何将一个旋转矩阵转换为对应的四元数表示，以及如何从四元数恢复出旋转矩阵。
通过深入理解四元数与旋转矩阵之间的转换关系，我们可以更好地理解和应用四元数在3D图形学中的作用。
对于计算机图形学从业者来说，这是一个非常重要的基础知识。
此外，我们还将展望四元数在虚拟现实、计算机动画等领域的应用前景，并提出相关讨论和建议。
通过阅读本文，读者将能够理解四元数转换矩阵的原理和算法，并能够应用于实际问题中。
无论是从事计算机图形学研究还是从事相关行业工作的人士，本文的内容都将对他们的工作产生积极的影响和帮助。
总结起来，本文旨在为读者提供一份系统而全面的关于glm四元数转换矩阵的学习材料，并希望能够激发更多人对这一领域的兴趣和研究。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下样式：2. 正文2.1 球面线性插值2.2 四元数的定义和性质2.3 四元数到旋转矩阵的转换在正文部分，我们将着重介绍GLM（OpenGL 数学库）中的四元数转换矩阵的相关知识。
首先，我们将会详细讨论球面线性插值算法的原理和应用，以便更好地理解四元数和矩阵之间的转换关系。
接下来，我们将会介绍四元数的定义和性质。
四元数是一种复数的扩展形式，具有独特的性质和运算规则。
四元数的一种新的代数结构
（）若 。 一 。 ， ， ｋ ｌ线 性 无 关， 则 。 ．｛ ・ ７ １Ｘ ｋ Ｚ＋ １。
∈
、 由命 题 ２１和 ，的 定 义 易 得： ． 命 题 ２２ 若 Ａ ∈Ｑ ． 则 复 矩 阵 Ａ 的秩 为 偶 数 ．
鼋 ｊ
ｘ
＋
命题 ２３ 若 Ａ ∈Ｑ… ， Ｉ（ Ｉ ． 则 ， Ａ） 是非负实 数． 《 证 明 令 ＾是 ｆＡ） Ａ （ ＝ ∈Ｃ 的一个特 征根， ｎ是其特 征向量，即 Ａｆ ＝ Ａ 由
法．
１ 四 元 数 的 复 表 示 令 Ｒ 表 示 实 数 域 ， ｃ 是 复 数 域 ， Ｑ 是 四 元 数 体， 对 任 意 ： Ｊ ： Ｏ＋ｚ ＋ｚ ｊ＋ ∈ ０ ２ ３
Ａ ＝ （ｉ ∈０… ， 义复表示 ， ａ） ｊ 定
，） （＝
ｘ ＋Ｘ ￣ ｏ ｌ
］ — ｌ∈Ｃ。 ＝ ｌ Ｉ ＝ … ｚ 一ｚ ＿ Ｊ Ｉ一 ａ ｌ ０ 一 』 ｌ
（） ） 一 １ （ ＝ ； （）（ Ｊ ＋ ： ２ 一 ＝
（）（ ＝ ＾ ３ Ａ ∞： （）（ ４ Ａ ） Ａ ； ＝ （）若 ≠ Ｏ 则 ， 线性 无 关 ； ５ ， ２ （）ｚ ， ２ ６ ｌｚ
Ｃ０ ｎ×１ ．
， 线性 无 关 营 ｚ ；… ， ｚ ；线 性 无 关
立起 丁一 套 四元 数力 学 的简 单数 学 方法 ．
关键 词 四兀数 ， 四元数 力 学，代 数 结构 ，复表 示，友 向量
引 言
近 年 来 ， 四 元 数 矩 阵 在 刚 体 力 学 、量 子 力 学 、控 制 理 论 和 陀 螺 技 术 中的 应 用 日趋 重 要 和 广 泛 Ｉ ３， 着 上 述 四 元 数 力 学 的 不 断发 展 ，对 四 元 数 矩 阵 的 进 一 步 认 识 和 研 究 就 显 得 越 来 越 ｔ 】随 ￣
四元数理论框架
四元数理论框架一、四元数理论框架的基本定义：四元数是用以描述不同维次（ 3次或2次）空间的一个概念，它通常被称作是四维球体。
它实际上可以被视为是带有多余三个虚数值的三维复数。
我们将复数看成与2次幂、 1次幂、 - 1次幂和0次幂相关联的四个数组，它们组合起来构成四元数。
四元数理论建立于20世纪30年代末，数学家格罗滕迪克提出了四元数的想法并证明其真实性。
他使用矩阵工具证明了每个4元数都是正交的。
这个重要发现为解决一些悬而未决的问题奠定了基础，例如复数中所有的四元数到底有多少？欧拉乘积与相似对角线之间的关系等。
经过几十年后的许多数学家进一步的研究，四元数已经被认为是研究集合论的工具之一。
在所有这些关于四元数的证明中，唯一没有引入任何4元数的概念却依然可以证明其存在性的是查尔斯·西尔维斯特·谢瓦利埃（ charles silvaille）的著名证明，它最终导致了四元数集的诞生。
（三）四元数的三种类型： 1、四元数只能在-1维上分解； 2、在某些情况下，四元数可以在两维或多维空间上分解； 3、多维度上的四元数在本质上属于四元数群。
二、在低维度下，四元数可以分解为它的三个维度：负数：四元数中，所有大于0的偶数，全部属于负数的范畴，即包含1和-1。
整数：对于正数，所有正奇数全部属于整数范畴。
小数：对于负数，负偶数和负整数属于小数范畴。
零：由于0不属于任何维度，因此是唯一的非负数，所有非零整数都是0的倍数。
三、在高维度下，四元数可以分解为它的三个维度：两个维度：除去-1外，一切实数全部属于两个维度。
第三个维度：所有无限维的复数全部属于三个维度。
这就意味着四元数理论中的四元数的确是四维球体。
第四个维度：所有三维复数全部属于四元数群。
2、在某些情况下，四元数不能分解为它的三个维度。
举例如下：四元数可以分解为它的两个维度，但两个维度并不是直接相连的。
四、一个四元数可以同时是一个三元数和一个五元数，也可以既是一个三元数又是一个五元数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四元数的一种新的代数结构
作者：姜同松
作者单位：华东师范大学数学系,上海,200062,临沂师范学院数学系,山东临沂,276005
刊名：
力学学报
英文刊名：ACTA MECHANICA SINICA
年，卷(期)：2002,34(1)
被引用次数：16次
1.肖尚彬四元矩阵的乘法及其可易性 1984(02)
2.王庆贵四元数变换及其在空间机构位移分析中的应用 1983(01)
3.Adler SL Quaternionic Mechanics and Quantum Fields 1994
4.屠伯埙高等代数 1987
5.Nathan Jacobson Basic Algebra I 1974
6.姜同松;陈丽四元数体上矩阵的广义对角化[期刊论文]-应用数学和力学 1999(11)
7.陈龙玄Cayley-Hamilton定理在四元数体上的推广 1991(06)
8.Chen Longxuan Definition of determinant and Cramer solutions over the quaternion field[外文期刊] 1991(02)
9.陈龙玄四元数矩阵的Jordan标准形 1996(06)
10.张庆成四元数体上重行列式的性质及其应用 1995(02)
11.陈龙玄四元数矩阵的特征值和特征向量 1993(03)
12.陈龙玄四元数体上的逆矩阵和重行列式的性质 1991(01)
1.王不了.冯良贵.WANG Bu-liao.FENG Liang-gui四元数的实矩阵表示[期刊论文]-国防科技大学学报2010,32(4)
1.连德忠四元数矩阵的弱可交换乘积[期刊论文]-龙岩学院学报 2009(2)
2.李莹.赵建立四元数自共轭矩阵特征值的变分特征及其应用[期刊论文]-河北大学学报（自然科学版） 2009(2)
3.郑福四元数矩阵实表示的基本性质及应用[期刊论文]-数学的实践与认识 2009(4)
4.李莹.张丽梅.贾志刚.赵琳琳四元数矩阵的行列式的一种新定义及其应用[期刊论文]-聊城大学学报（自然科学版） 2008(2)
5.赵建立.李莹.张丽梅四元数矩阵的OR分解及等式约束最小二乘问题[期刊论文]-山东大学学报（理学版）
2007(6)
6.赵琳琳.赵建立.张丽梅四元数矩阵上的偏序关系[期刊论文]-河北大学学报（自然科学版） 2007(3)
7.冯良贵四元数矩阵的列左秩[期刊论文]-自然科学进展 2006(5)
8.赵琳琳.李莹.杨庆芝四元数矩阵上的几种偏序的研究[期刊论文]-聊城大学学报（自然科学版） 2006(3)
9.李莹.赵建立四元数矩阵的Rayleigh-Ritz 定理的证明[期刊论文]-内蒙古大学学报（自然科学版） 2006(1)
10.胡琳玲若干矩阵方程问题的讨论[学位论文]硕士 2006
11.胡淑娥关于四元数矩阵若干问题的结果及应用[学位论文]硕士 2005
13.连德忠四元数向量和矩阵的秩[期刊论文]-数学研究 2003(3)
14.刘永辉四元数矩阵方程AXAH=B的最小二乘解[期刊论文]-数学研究 2003(2)
15.连德忠四元数体上的范数理论和应用[期刊论文]-闽西职业大学学报 2003(2)
16.刘永辉.姜同松.魏木生四元数矩阵的奇异值分解及其应用[期刊论文]-高等学校计算数学学报 2003(4)本文链接：/Periodical_lxxb200201014.aspx。