§4.3机械能守恒定律
机械能守恒定律的公式
机械能守恒定律的公式在物理学中，机械能是动能和势能的总和，可以用以下公式表示：机械能（Em）=动能（K）+势能（U）其中，动能（K）定义为一个物体由于运动而具有的能量。
动能与物体的质量（m）和速度（v）的平方成正比：动能（K)=1/2*m*v^2势能（U）定义为一个物体由于其位置而具有的能量。
势能的大小取决于物体的位置以及一些宏观物理量。
常见的势能形式包括重力势能和弹性势能等。
重力势能：当一个物体处于高处时，由于其重力而具有的势能。
重力势能与物体的质量（m）、重力加速度（g）和物体的高度（h）成正比：重力势能（Ug）=m*g*h弹性势能：当一个物体被压缩或拉伸时，由于其弹性而具有的势能。
弹性势能与弹性系数（k）和物体的位移（x）的平方成正比：弹性势能（Us）=1/2*k*x^2当一个系统不受外力做功时，机械能保持不变。
表示为：机械能初（Ei）=机械能末（Ef）机械能初指的是系统在一些时间点的初值，机械能末指的是系统在另一个时间点的末值。
根据机械能的定义和势能及动能的计算公式，可以将机械能守恒定律的公式推导为：1/2*m*v^2+m*g*h+1/2*k*x^2=常数这个常数的值取决于系统在不同时间点的机械能的初始值和末值。
但是，当一个系统处于自由落体或弹性碰撞等情况下，机械能守恒定律的公式可以更简化为：m*g*h初+1/2*m*v初^2=m*g*h末+1/2*m*v末^2其中，h初是系统在一些时间点的高度，v初是系统在该时间点的速度；h末是系统在另一个时间点的高度，v末是系统在该时间点的速度。
总结起来，机械能守恒定律的公式是用来描述一个系统在无外力做功的情况下，机械能保持不变的物理定律。
该公式由动能和势能的计算公式组成，可以通过这些公式计算出系统在不同时间点的机械能的初值和末值，进而验证机械能守恒定律。
在一些特殊情况下，该公式也可以进一步简化。
机械能守恒定律的三个表达式
机械能守恒定律的三个表达式
1. 机械能守恒定律的第一个表达式被表述为总机械能守恒。
对于一个完全受力，其机械能（即势能与动能的和）将始终保持恒定。
这是因为能量在其各种形式之间进行转换，但总量不会发生变化。
或者用公式来描述就是：E=Ek+Ep，在无外力作用情况下，系统的总机械能（E）等于系统的动能（Ek）和势能（Ep）之和，并且该值为常数。
2. 机械能守恒定律的第二个表达式是势能转化为动能，且两者可相互转换。
在垂直投掷运动中，物体上升时，动能逐渐转化为势能，直到到达最高点时，所有的动能都转化为势能，而下落时，势能又转化为动能。
即，它描述了能量状态的变
化过程，尤其是在势能和动能之间的转换。
公式为：动能 = 总机械能 - 势能；势能= 总机械能 - 动能。
3. 机械能守恒定律的第三个表达式是初动能加初势能等于末动能加末势能，即在整个运动过程中，无论物体如何运动，只要不受非保守力的影响，总机械能始终保持不变。
具体的数学表达是：初动能（Ek1）+初势能（Ep1）=末动能（Ek2）+
末势能（Ep2）。
这个表达式揭示了在闭合系统中，不论物质的内部状态如何变化，只需有足够的保守力在起作用，其系统的总机械能就会始终保持恒定。
机械能守恒定律
【精讲精析】
只有重力做功或弹簧弹力做功，
其他力不做功或做功等于零时，物体的机械能守
恒，D正确．
【答案】
D
应用机械能守恒定律解题的基本步骤
(1)确定研究对象，明确它的运动过程。
(2)对物体受力分析，明确各力做功情况，判断 机械能是否守恒。 (3)明确初状态和末状态的机械能.
(4)利用机械能守恒定律列方程求解
一个质量为m 的物体自由下 落，经过高度为hA的A点（初位置） 时速度为VA，下落到高度为hB的B
A v1 B v2 h2 h1
点（末位置）时速度为VB。写出动
能定理的表达式及重力做功和重 力势能变化之间的关系。
1、根据动能定理
1 1 2 2 W G mv2 mv1 2 2
2、根据重力做功
W G E p mgh1 mgh2
(2)应用机械能守恒定律时，要注意初、末状态的
机械能必须相对同一参考平面．
(3)应用机械能守恒定律解题时，选用哪种表述形
式要根据具体情况而定，在参考平面较易选取时 一般应选第1种，反之，则选第2、3种．
课堂互动讲练
机械能守恒的判断 (单选)(2011年北京四中调研)关于机械能是 否守恒的叙述，正确的是( ) A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒 B．做加速运动的物体机械能不可能守恒 C．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒 D．只有重力对物体做功时，物体机械能一定守 恒
成势能储存起来，出站时 重要任务。右图是上海“明珠
车站
下坡，势能变成动能，节 线”某轻轨车站的设计方案，
省了能源。 与站台连接的轨道有一个小的
坡度。 明珠号列车为什么在站台上要设置一个小小
的坡度？
动 能 与 势 能 可 相 互 转 化
机械能守恒定律的内容和表达式是什么
机械能守恒定律的内容和表达式是什么机械能守恒定律是指在没有非弹性碰撞和非保守力（如摩擦力和空气阻力）的情况下，一个封闭系统的机械能（动能和势能的和）将保持不变。
机械能守恒定律是经典力学中的一个重要原理，适用于一些特定的物理系统。
• U 是系统的势能，与物体的位置和受到的保守力有关。
机械能守恒定律的基本思想是，在没有非保守力的作用下，系统的机械能总量保持不变。
这意味着系统在运动过程中，动能和势能可以相互转化，但它们的总和保持常数。
要注意的是，机械能守恒定律通常仅在特定条件下成立，主要有以下几个条件：
1. 非弹性碰撞：碰撞过程中没有能量损失。
2. 非保守力：系统中没有非保守力，如摩擦力、空气阻力等。
3. 只有保守力：势能变化仅由保守力引起。
机械能守恒定律在解决一些力学问题时提供了非常有用的工具，例如弹簧振子、重力场中的自由落体等。
然而，在现实情况下，由于存在一些非保守力，机械能守恒定律并不适用于所有系统。
大学物理机械能守恒定律
弹性碰撞中，两物体之间的相互作用力是保守力，因此系统机械能守恒。通过分析碰撞前 后的速度、动量等物理量，可以求解碰撞过程中的能量转化和损失情况。
03 弹性碰撞中机械能守恒
Байду номын сангаас
完全弹性碰撞过程描述
碰撞前后动能守恒
在完全弹性碰撞中，两个物体碰撞前后的总动能保持不变。
碰撞前后动量守恒
同时，两个物体碰撞前后的总动量也保持不变。
例题3
一质量为 $m$ 的匀质球体，半径为 $R$， 绕通过其中心且与球面垂直的轴以角速度 $omega$ 转动。若在球面上挖去一个质 量为 $Delta m$ 的小球体，求剩余部分 的动能和势能变化。
06 振动系统中机械能守恒
简谐振动过程中能量转化关系
简谐振动中，动能和势能不断相 互转化，但总机械能保持不变。
在平衡位置，动能最大，势能最 小；在最大位移处，动能最小，
势能最大。
简谐振动的能量与振幅的平方成 正比。
受迫振动和共振现象中能量传递特点
受迫振动中，驱动力的频率接 近系统固有频率时，振幅显著 增大，能量传递效率提高。
共振现象是系统固有频率与外 界驱动力频率相等时发生的， 此时能量传递效率最高。
在共振现象中，系统的振幅达 到最大值，能量在驱动力和系 统之间高效传递。
典型例题分析
例题1
一弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，分析其在振动过程中的能 量转化关系。
例题2
一单摆受到周期性驱动力作用，分析其在受迫振动过程中的能量传 递特点。
例题3
一RLC振荡电路在共振状态下工作，分析电路中的能量转化和传递过 程。
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机械能守恒定理
机械能守恒定理机械能守恒定理又称位能定律，是物理学家佩尔斯和维克朗在19世纪末发现的。
它说明了物体在自然环境中运动过程中，其机械能量（物体系总能量）保持不变。
它们用物理学中常见的作动力学定理来表达：“系统中的机械能，既不主动创造也不自发消失，只有不可见的绝热效应可以使机械能量转化为其它形式。
”机械能守恒定理为物理学、动力学和热力学提供了一个重要基础，它指示出机械能量在任何物理过程中是不可创造和消失的，而只能从一种形式转化到另一种形式。
它的实质是，机械能量的各种形态之间的转换是一种绝热过程，只有在绝热环境中，物体能量可以保持不变，而在其他条件下，能量会发生变化。
机械能守恒定理的应用广泛，例如在催化反应中，反应物机械能会发生变化，因此催化剂能够起到催化作用，可以促进反应的产生和提高反应速率；在发动机系统中，汽油和空气的混合会产生机械能，使发动机达到最高效率；在电子设备中，电子束碰撞会产生机械能，使电子能被用于不同的用途。
机械能守恒定理也有助于理解物体受到外力作用，经过一段时间后，物体机械能可能发生变化，但是物体总能量仍将保持不变。
例如，当一个物体被一个很大的外力拉扯时，物体总能量之和仍将保持不变，因为外力只是将机械能转化为其它形式的能量，比如热能。
此外，机械能守恒定理还可以用来说明摩擦过程中能量的变化，当物体滑动时，由于摩擦力的作用，物体的机械能会转化为热能。
同样的原理也可以用来解释物体被撞击后，能量的变化。
机械能守恒定理被广泛应用于物理学的各个领域，因而也成为了物理学的一个重要支柱。
综上所述，机械能守恒定理是物体运动过程中，机械能量保持不变的重要定律，它可以帮助人们更好地理解和掌握物理世界中物体间能量变化的规律。
机械能守恒定律
4．重力势能的特点 (1)系统性：重力势能是 物体 和 地球 所共有的． (2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取 有关 ，但
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的
相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体
系统机械能守恒．
(4)对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题 目特别说明，否则机械能必定不守恒．
机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是
合外力为零；判断机械能是否守恒时，要根据不同情景恰 当地选取判断方法．
(2010· 成都模拟)如图5－3－
1所示，质量相等的A、B两物体在同一
水平线上，当A物体被水平抛出的同时，
B物体开始自由下落(空气阻力忽略不计)，
曲线AC为A物体的运动轨迹，直线BD为B 物体的运动轨迹，两轨迹相交于O点， 则两物体 ( )
A．经O点时速率相等 B．在O点相遇
C．在O点具有的机械能一定相等
3．动能定理侧重于解决一个研究对象受合外力做功的影
响，而引起自身动能的变化，即外界因素与自身变化
的关系；而机械能守恒定律是排除外界因素对系统的 影响，研究系统内两个或多个研究对象之间动能和势 能相互转化的规律．
解决机械能守恒的问题，关键是对研究对象所参与的运 动过程进行准确地分析，判断机械能是否守恒，哪个过程 守恒，然后再选取适当的形式列式求解．
②
③ ④
由①④式得：h≥
R
⑤
按题目要求，FN≤5mg，由②式得 v≤ 由①⑥式得：h≤5R 所以h的取值范围是 R≤h≤5R. ⑥
机械能守恒定律
一、实验
二、机械能守恒定律的推导
1.以自由落体 以自由落体 运动证明机 械能守恒定 律.
2.利用动能定理推导得： 利用动能定理推导得： 利用动能定理推导得
1 1 2 2 mv2 + mgh2 = mv1 + mgh1 2 2
也可写为： 也可写为：
Ek 2 + E p 2 = Ek1 + E p1
∆Ek = −∆E p
（动能的增加等于势能的减少） 动能的增加等于势能的减少）
例1：
把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（ 把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（如图 ），摆长为 最大偏角为 小球运动到最低位置 摆长为L 最大偏角为θ 下），摆长为 ,最大偏角为 .小球运动到最低位置 时的速度是多大？ 时的速度是多大？
如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动， 如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其 中图A 中的斜面是光滑的， 中的斜面是粗糙的， 中图 、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B 中的斜面是光滑的 中的斜面是粗糙的 中的F为木块所受的外力 方向如图中箭头所示， 为木块所受的外力， 中的 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的 中的 木块向下运动， 中的木块向上运动。 木块向下运动，图C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过 中的木块向上运动 程中机械能守恒的是（ 程中机械能守恒的是（ ）
四、机械能守恒定律的理解
1、弹性势能与动能之间也可以转化， 、弹性势能与动能之间也可以转化， 其机械能守恒定律可表述为； 其机械能守恒定律可表述为 ； 在弹 性势能和动能的相互转化中， 性势能和动能的相互转化中 ， 如果 只有弹力做功， 只有弹力做功 ， 动能和弹性势能之 和保持不变． 和保持不变．
-机械能守恒定律能量守恒定律
E p ＝ E p＋ eE pg 1 2k2x k0xm 1gx
考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得kx0=m1g，代
入上式得
Ep
1 2
kx2
可见，如选上板在弹簧上静止的平衡位置为原点
和势能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单一
形式出现。
守恒定律
（2）参看图(b)，以加力F 时为初态，撤去力F 而 弹簧伸长最大时为末态，则
x
x0 x
F
x2
O
x1
守恒定律
解（1）参看图(a)，取上板的平衡位置为x 轴的原点， 并设弹簧为原长时上板处在x0位置。系统的弹性势 能
E pe 1 2k (xx 0)21 2k0 2x 1 2k2x kx 0 x
系统的重力势能
Epg m1gx
x
x0 x
F
x2
O
x1
守恒定律
所以总势能为
速度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，
物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸
长？(设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不
计)。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多
大？
T
x
G
0
h
v
0
守恒定律
解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。 除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都 不作功，所以系统的机械能守恒。
即
m h kv0
守恒定律
钢丝绳对物体的拉力T和物体对钢丝绳的拉力T’是 一对作用力和反作用力。T’和T的大小决定于钢丝绳 的伸长量x，T’=kx。现在，当物体在起重机突然刹车 后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量x=x0+h 是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力
机械能守恒定律
N
W其它力
G
E k 2 E k1
从A-B、由重力做功与重力势能的关系：
W G E p1 E p 2
E k 2 E k 1 E p 1 E p 2 W 其它力
W 其它力 E k 2 E k 1 E p 1 E p 2 E k 2 E p 2 ( E k 1 E p1 ) E 2 E1 E
E 1 0 mgl (1 cos )
E2 0 1 2 mv
2
由机械能守恒定律得
0 mgl (1 cos ) 1 2 mv
2
0
v
2 gl (1 cos )
机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)根据题意，选取研究对象(物体或系统) 及研究的过程。 (2)对研究对象进行受力分析，弄清各力在 研究过程中的做功情况，判断是否符合机械 能守恒的条件。 (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在 过程中的起始状态和末始状态的机械能(包括 动能和势能)。
外延拓展：
（1）若系统内只有A、B两个物体，则A减 少（或增加）的机械能ΔEA等于B增加（或 减少）的机械能ΔEB 即 -ΔEA = ΔEB
（2）在有其它外力做功的情况下： 如：W其它力做正功，则E2＞E1，E↑ 如：W其它力做负功，则E2＜E1，E↓
W其它力=EP2+EK2-EP1-EK1=E2-E1
转化的观点：势能的减少量（或增 加量）等于动能的增加量（或减少 量）
3、机械能守恒条件： 1）从力做功角度分析
“只有重力做或弹力功” 【注意】只受重力作用和只有重力做功区别 ①只受重力作用，是除重力外不受其它力作用； ①只受重力或弹力作用，并且做功. ②只有重力做功，包含受其它力作用但其它力 不做功。 ②虽有其它力作用，但其他力不做功或做
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§4.3机械能守恒定律
【自主探究】
⒈机械能包括能和能，重力做功能和能可以转化，弹力做功能和能可以转化。
⒉机械能守恒定律：在做功的物体系统内，与可以
而总的保持不变。
⒊一个小球在真空中自由下落，另一个质量相同的小球在粘滞性较大的液体中匀速下落，它
们都由高度为h
1的地方下落到高度为h
2
的地方。
在这两种情况下，重力所做的功相等吗？
重力势能各转化成什么形式的能量？
⒋只有重力做功和只受重力是一回事吗？
⒌怎样判断物体的机械能是否守恒？
⒍利用机械能守恒定律解题的基本步骤是什么？
【合作解疑】
1、提出课题—机械能守恒定律。
2、力做功的过程也是能量从一种形式转化为另一种形式的过程，物体的动能和势能总和称为机械能，例举：通过重力或弹力做功，动能与势能相互转化。
分析上述各个过程中能量转换及重力、弹力做功的情况。
实验1：（激疑）钢球用细绳悬起，请一同学靠近，将钢球偏至同学鼻子处释放，摆回时，观察该同学反应。
释放钢球后，学生联系到伽利略理想实验中的判断，认识到若无空气阻力，应该摆到等高处，不会碰到鼻子。
【精讲点拨】
1、探究守恒量
实验2：将小钢球用细线悬挂一端固定在的小黑板上部，
让小球摆动，通过实验发现，小球可以摆到跟
释放点等高处，再用一钉子固定在小黑板上某
点挡住细线，再观察，发现仍等高。
引导学生讨论探究摆动中能量转换，分析实验现象所展示的能量转化特点，实验1和实验2中小球在摆动过程中通过重力做功，势能与动能互相转换：
小球摆动过程中总能回到原来高度，好像“记得”自己原来的高度，说明在摆动过程中有一个物理量是保持不变的，是什么呢？
实验3：⑴将小黑板倾斜，让小钢球靠着黑板运动，观察现象。
⑵小黑板不倾斜，将小钢球换成泡沫球再做，观察现象。
小球有时能摆到原来的高度，有时不能摆到原来的高度。
2、探究规律，并找出机械能不变的条件。
提出研究方法：在探究物理规律时，应该是由简单到复杂，逐步深入，先对简单的物理现象进行探究，然后加以推广深化。
在动能与势能转化的情景中，自由落体（只受重力）应该是比较简单的。
⑴只受重力作用分析
引导学生自主探究，不失一般性，设下落过程中 经过高度h 1的A 点速度v 1，高度h 2的B 点时速度为v 2， 由同学用学习过的知识（牛顿定律或动能定理），分析下 落过程中A 、B 两位置的机械能之间的数量关系。
A 点到
B 点，W G =
2
1mv 22-
2
1mv 12= E K2-E K1
由重力做功和重力势能变化的关系有 W G =mgh 1-mgh 2=E P1-E P2 得到 E K2-E K1=E P1-E P2 ① 移项后，得E P1+E K1=E P2+E K2 ② 即 E 1=E 2
引导学生讨论式①的含义是什么？式②的含义又是什么？
在表达式①中左边是物体动能的增加量，右边是物体重力势能减少量，该表达式说明：物体在下落过程中，重力做了多少正功，物体的重力势能就减小多少，同时物体的动能就增加多少。
在表达式②中，左边是物体在末位置时的机械能，右边是物体在初位置时的机械能，该式表示：动能和势能之和即总的机械能保持不变。
⑵只有重力做功分析
上述结论是在运动过程只受重力作用的时候得到的，如果物体是沿光滑斜面下滑，上述 结论成立吗？（由同学推导，分析）
沿光滑斜面下滑过程中，斜面的弹力不做功，由动能定理分析，通过重力做功，使重力 势能转化为动能，总的机械能保持不变。
如果物体沿光滑曲面滑下，怎么分析？
由学生通过重力势能的分析中将曲面看成无数个小斜面的处理方法，得出结论。
小结：在只有重力做功的情形下，不论物体做直线运动还是曲线运动，总的机械能保持
不变。
进一步分析实验2，摆球摆动过程受重力与细线拉力，两拉力方向始终与运动方向垂直，不 做功，则上式推导过程及结论都相同。
⑶分析守恒条件
分析讨论：泡沫球实验和黑板倾斜后球不能摆到等高处的原因。
泡沫球受到的阻力不能忽略，前面的推导过程中W =W G +W f ，E P1+E K1≠E P2+E K2，
从能量转化角度看，有机械能转化为热能，所以机械能将不断减少。
通过实验和理论推导的证明：只有重力做功时，物体系统内的机械能守恒。
（此处应说明：重力势能是物体和地球组成的系统具有的） ⑷只有弹力做功分析
提出问题：势能包括重力势能和弹性势能，只有弹力做功时，机械能与守恒吗？ 实验4：气垫导轨上的水平弹簧振子，观察振动过程。
由同学讨论振动过程的能量转化和实验结论，结合前 面已经探究过的弹力做功与弹性势能的关系，类比重力做 功，进行分析。
W F = E K2-E K1 又 W F = E P1-E P2=E K2-E K1 则E P1+E K1=E P2+E K2
结论： ⑸系统内只有重力和弹力做功分析
实验5：竖直弹簧振子的振动，观察现象，作出分析。
共同分析，得出结论（板书）： ⑹分析守恒条件，归纳结论
⑺引导学生分析结论，加深理解：
“在只有重力和弹力做功的物体系统内”是机械能守恒的条件 “而总的机械能保持不变”是结论
“动能和势能可以互相转化”是系统内重力或弹力做功的结果。
从能量转化角度看，机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。
条件： 公式： ⑻共同分析书本中的思考与讨论：
一小球在真空中下落，有一质量相同的小球在粘滞性较大的液体中匀速下落，它们都 因高度为h 1的地方下落到h 2的地方，在两种情况下，重力所做的功相等吗？重力势能各转化为什么形式的能？机械能守恒吗？ 【训练巩固】
1：分析下列情况下机械能是否守恒？
A ．跳伞运动员从空中匀速下落过程
B ．物体以8m/s 2在空中下落过程
A
B
C
C．物体作平抛运动过程
D．物体在细线拉力作用下沿光滑斜面上滑过程
2：下列情况中，物体的机械能有可能不变的是
A．物体所受合外力为零，重力对物体做正功
B．物体所受合外力为零，重力对物体做负功
C．物体以5m/s2的加速度做直线运动
D．物体以不变的速率在竖直平面内做曲线运动
3：把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（如图），摆长为l ,最大偏角为θ。
小球运动到最低位置时的速度是多大？
分析：这个问题直接用牛顿第二定律和运动学的公式来处理，需要用高等数学。
通过前面的分析，我们知道小球在摆动过程中机械能守恒，可以用机械能守恒定律求解。
解：
A C
O。