初中数学精品教案：尺规作图-线段的垂直平分线-

16.2线段的垂直平分线（三）—尺规作图
教学设计说明
一、内容和内容解析；
本节课是冀教版义务教育课程标准教科书八年级上册第十六章《轴对称和中心对称》的第二节的第三课时，是在学习了线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理之后，探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线；在掌握了基本做法后，再来探究如何运用作线段的垂直平分线的方法过一个点作已知线段的垂线；并以作线段的垂直平分线为载体提高学生尺规作图的能力．因而探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线是本节课内容的核心所在．也是线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理学习的一种延续，是这两条定理的一种应用．其目的是加深对线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解；同时本节课探究作图的思维方式及作图的步骤和方法又是对下一节研究角平分线又是对下一节利用尺规作一个角的平分线的铺垫，起着承上启下的作用．是轴对称的重要组成部分．所以本节课的教学重点是探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线．
二、目标和目标解析：
1．让学生亲身经历用直尺和圆规作线段的垂直平分线和过一点作已知直线垂线的探究过程；使学生熟练掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；
2．培养学生运用简练、准确的语言表达作图方法与步骤的能力；
3．培养学生使用“执果索因”的方法探究问题的能力和发展学生的逻辑思维；在实际动手操作中体验几何探究的乐趣，培养学生科学的学习态度．
三、教学问题诊断分析：
学生在本节课之前已经学习了全等三角形的知识，在本章还学习了线段的垂直平分线性质定理及逆定理，已经具备了用尺规作线段的垂直平分线的理论基础；此前还学习了用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，学生已经具备了操作尺规的基本技能．尽管如此，由于学生不能根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理借助圆规找到符合条件的两个点（这两个点必须在已知线段的垂直平分线上），进而由两点确定一条直线，这将成为教与学中遇到的第一个障碍．在授课过程中需要教师帮助学生做好思维的准备，首先让学生回顾线段的垂直平分线性质定理及其逆定理和前面学习的基本
尺规作图，同时还要给学生充分的思考和探究的时间．在学生充分思考和动手实践后，在小组内交流，不拘泥于单一简单的做法，引导学生尝试不同的做法，力求让学生理解用尺规作线段的垂直平分线的本质．
在掌握了线段的垂直平分线的做法后，探究如何过一点作已知直线的垂线，学生很难推理出垂线产生的条件，即使学生想到将其转化为作线段的垂直平分线，但学生一时很难找到合适的线段，所以这个问题成为本节课教学中的第二个障碍，同时也是本节课的教学难点．教学过程中先让学生独立思考，动手实践后，发现一部分学生无法顺利突破难点，教师再给予及时的提示：已知点P一定在某条线段的垂直平分线上，而这条线段必然在已知直线l上，只要找到这条线段就可以很容易解决这个问题．如何找到这条线段呢？只要找到这条线段的两个端点即可．引导学生使用“执果索因”的方法探究，只要考虑到点P也在这条线段的垂直平分线上，所以点P到线段两个端点的距离相等，此题难点就此突破．
四、教学支持条件分析：
首先，在探究如何用尺规作线段的垂直平分线的教学过程中，需要给予学生足够的理论支持和构建典型的数学几何模型，所以教师借助多媒体帮助学生回顾线段的垂直平分线性质定理及逆定理，尤其是数学几何模型的出现，帮助学生理顺了数学思维，为学生寻找已知线段的垂直平分线确立了目标——线段的垂直平分线上的两个点，进而可由两点确定直线．
其次，在探究出多种方法作线段的垂直平分线后，教师借助多媒体将三种不同的方法同时呈现在学生面前，学生潜意识里会对此进行比较，发现其中的数学规律，进而得到解决问题的实质——寻找符合条件的各个点．
再次，在学生探究如何过一点作已知直线的垂线遇到困难时，教师又适时的借助多媒体在直线上呈现符合条件的不同线段，帮助学生更有效的进行数学思维，打开思路，为顺利突破本节课的难点起到了关键性的作用．
最后，在回顾本节课主要内容时，又借助多媒体依次呈现典型的几何模型，帮助学生理顺本节课的数学知识和数学方法，发现其中的数学规律和必然联系．
五、教学过程设计：
（一）引入
前面我们学习了线段的垂直平分线的性质定理和性质定理的逆定理．
如果已知一条线段，你如何作出这条线段的垂直平分线呢？
图1 图2 图3 前面我们利用直尺和圆规作出了一条线段等于已知线段，还作出了一个角等于已知角，现在我们能利用直尺和圆规作出线段的垂直平分线吗？
（二）探究一
已知：线段AB ．
求作：线段AB 的垂直平分线．
小组交流：
1．你是怎么想的？
2．你是怎么做的？
3．你作图的理由是什么？
给学生足够的时间去独立思考，动手操作．虽然大部分学生能作出线段AB 的垂直平分线，但方法单一，而且不能理解尺规作出线段的垂直平分线的实质．
然后小组内交流，充分交流后利用实物投影展示不同的做法．通过不同做法的展示，让学生归纳推理相出其中的数学规律，发现问题的实质．
推理思路：
1．找到符合条件的两个点即可：两点确定一条直线；
2．既然是线段垂直平分线上的点，必然满足到线段两端点的距离相等．
作法一：如图1所示，
（1）分别以点A 、B 为圆心，a （ a ＞
12
AB ）为半径在线段AB 的两侧画弧；分别交于点C 、D ；
（2）连接CD ；直线CD 即为所求．
作法二：如图2所示，
（1）分别以点A、B为圆心，a（ a ＞1
2
AB ）为半径在线段AB 的上方画弧；交于点
M；再分别以点A、B为圆心，b（b ＞1
2
AB，b≠a）为半径在线段AB的下方画弧，
交于点N；
（2）连接MN；直线MN即为所求．作法三：如图3所示，
（1）分别以点A、B为圆心，a（ a ＞1
2
AB）为半径在线段AB的上方画弧；交于点
E；再分别以点A、B为圆心，b（b ＞1
2
AB，b≠a）为半径在线段AB的上方画弧，
交于点F；
（2）连接EF；直线EF即为所求．
从中任取一种画法，来解释一下为什么这条直线是线段AB
的垂直平分线．
如图4，第一种方法：从线段的垂直平分线定义的角度，
利用三角形全等给予证明．
第二种方法使用线段垂直平分线性质定理的逆定理给予
证明．
以上三种作图方法都是正确的，后两种得到的点采用半径不同，而第一种采用半径相同的作法，因此比较容易操作，以后，我们一般采用第一种方法做线段的垂直平分线．教师规范做法，并写出规范的作图语言．
（三）探究二
已知：直线l 和直线l 外一点P（或直线l 上一点P ）.
求作：经过点P，且垂直于l 的直线.
大部分学生思考后无法解决，然后进行小组内合作探究.
图4
在相当一部分学生仍旧不能解决时，教师给予适当的提示：点P一定在某条线段的垂直平分线上，而这条线段必然在直线l上，我们只要找到这条线段就可以很容易解决这个问题了．
然后再让学生思考，合作交流探究．
学生小组合作探究后，相当一部分学生得以解决，选择两位具有典型做法的学生上台板演，并讲解．
点P在直线l外：经老师提示，因为点P在所求线段的垂直平分线上，所以点P到线段两个端点的距离相等，因此，以P为圆心适当长度为半径画弧，与直线l有两个交
点C、D，线段CD就是我们要找的线段．然后再分别以C、D为圆心，以a（a ＞1
2 CD）
为半径画弧，两弧交于点E，连接PE．PE就是我们要作的直线．
点P在直线l上：以P为圆心，任意长为半径画弧，与直线l有两个交点C、D，线段C、D就是我们要找的线段．在按照作线段的垂直平分线的作法，很容易就找到了符合条件的直线．
提升：无论点P的位置在哪儿，我们都找到了一条合适的线段，将此题转化为做线段的垂直平分线，进而作出了已知直线的垂线．
拓展：利用作线段的垂直平分线的方法可以作出一个直角，如果给定边长还可以能作一个直角三角形．
（四）实际应用
为进一步打造“宜居河北”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等
于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．
这里的尺规作图帮助我们找到了垂直平分线，还帮助我们找到了线段的中点．作垂直，找中点就是我们这种作法的重要作用．
（五）回顾与反思
通过这节课的学习，你有哪些收获和感悟呢？
1．利用尺规作已知线段的垂直平分线；
2．利用尺规作已知直线的垂线、作直角、直角三角形，以及找中点；
3．尺规作图中直尺和圆规的基本作用．
六、目标检测设计：
为检测学生对本节课知识的掌握情况，在教学过程中我设计了两个问题．
目标检测一：
给出以下两个定理：
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．
∵点A在直线l上，
∴AM=AN（）
∵BM=BN，
∴点B在直线l上（）
∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．
这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）
这与条件CM≠CN矛盾．
以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）
A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①
此题从正反两个方面考察线段垂直平分线性质定理及逆定理，其目的是检验学生对
这两条定理的的掌握情况，即对尺规作垂直平分线方法理论依据的考察．检验了学生对本课所学知识的掌握情况．
目标检测二：
已知：线段a,b
求作：以线段a,b为相邻两边的长方形。

（保留作图痕迹，不要求写出作法）
这个问题即使对尺规作线段垂直平分线方法的延伸、拓展运用，又是对课上用尺规作直角及直角三角形教学的呼应．既检测了学生对尺规作线段垂直平分线的掌握情况，又培养了学生学以致用、举一反三的能力．。