平面解析几何与圆锥曲线
高中数学 平面解析几何——圆锥曲线与方程
高中数学 平面解析几何——圆锥曲线与方程一、单选题1．若双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．√3B ．2C ．12D ．2√332．已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线C 1与曲线C 2：x 2+y 2−b 2=0在第二象限的交点为M ，且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13，则双曲线C 1的离心率为( ) A ．√32B ．3C ．√3D ．323．抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，点 A(6,y 0) 是 C 上一点， |AF|=2p ,则 p =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．经过点 M(2√3,2√2) 且与双曲线 y 24−x 23=1 有共同渐近线的双曲线方程为（ ）A ．x 26−y 28=1B ．y 26−x 28=1C ．x 28−y 26=1D ．y 28−x 26=15．过双曲线 E ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 E 交于A ，B 两点，与双曲线 E 的渐近线交于C ，D 两点，若 |AB|=√32|CD| ，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±2xD ．y =±2√3x6．若双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 的一条渐近线经过点 (3,4) ,则此双曲线的离心率为( )A ．√73B ．54C ．43D ．537．双曲线x 2a 2−y 2b2=1的离心率为√3，则它的渐近线方程是（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±2xD ．y =±12x8．已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A(0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√55MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p 的值等于（ ）A ．18B ．2C ．14D ．49．椭圆x 29+y 24−k =1的离心率为45，则k 的值为（ ）A．－21B．21C．−925或21D．925或2110．曲线x 210−m+y26−m=1(m<6)与曲线x25−m+y29−m=1(5<m<9)的（）A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同11．已知双曲线Γ过点M(3,4)且其渐近线方程为y=±2√33x，ΔABC的顶点A,B恰为Γ的两焦点，顶点C在Γ上且|AC|>|BC|，则sin∠BAC−sin∠ABCsin∠ACB=（）A．−2√77B．2√77C．−2D．212．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）A．4.25米B．4.5米C．3.9米D．4.05米14．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为 A ．√2+3√62B ．√2+√62C ．3√2+√62D ．3√2+2√6215．已知椭圆 y 2a 2 + x 2b2 =1(a>b>0)与直线 y a −x b =1 交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．√5−12B ．√3−12C ．√3+14D ．√5+1416．设双曲线 C ： x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点 P 在 C 上，且满足 |PF 1|=3a .若满足条件的点 P 只在 C 的左支上，则 C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．(2,+∞)C ．(2,4]D ．(4,+∞)17．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若|MN|=|F 1F 2|，2√2|MF 2|=|NF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√24B ．12C ．6√2−37D ．3√2−37二、填空题18．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)上一点P （点P 在第一象限），过双曲线C 中心O 且与坐标轴不平行的直线l 交双曲线C 左右两支于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ），设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=14，则双曲线C 的离心率为 .19．过点(2√3，√3)且渐近线与双曲线C ：y 2−x 22=1的渐近线相同的双曲线方程为 .20．已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点， P 为 C 上的一点，若 |PF|=3 ，则点 P 的坐标为 21．已知点 (1,2) 在抛物线 y 2=2px 上，则该抛物线的焦点坐标为 ． 22．已知抛物线 y 2=2ax 的准线方程为 x =−2 ，则 a = ． 23．抛物线x 2=−2y 的焦点到准线的距离为 ．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2=8x 上一点P 到点A （4，0）的距离等于它到准线的距离，则PA= ．25．椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 上的任意一点 P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 B 1,B 2的连线交 x 轴于点 M 和 N ，则 |OM|+|ON| 的最小值是 ．26．已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27﹣Y 29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的焦点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为27．如图从双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 （其中 b >a >0 ）的左焦点F 引圆 x 2+y 2=a 2 的切线，切点为T ，延长 FT ，交双曲线右支于P ，若M 为线段 FP 的中点，O 为原点，则 |MO|−|MT| 的值为（用 a 、b 表示） ．28．设F 为抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点，过F 作倾斜角为 60° 的直线交C 于A ，B 两点，若 |AF|−|BF|=4 ，则 |AB|= .29．已知椭圆E ： x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的焦距为2c （c ＞0），左焦点为F ，点M 的坐标为（﹣2c ，0）．若椭圆E 上存在点P ，使得PM= √2 PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是 ．30．已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：(x −3)2+y 2=4相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为 ．31．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ．过点 M(−1，0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 FA ⊥FB ，则直线 l 的斜率为 ．32．过双曲线x 2- y 215=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x-4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2-|PN|2的最小值为 ．33．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0) ， B(1,√3) ，动点 P 满足 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 |x|+|y|=1 ，则动点 P 形成的轨迹长度为 .34．已知F 是抛物线 C ：y 2=2px(p >0) 的焦点，抛物线C 上的点 A ，B 满足 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 A ，B 在准线上的射影分别为 M ，N ，且 △MFN 的面积为5，则 |AB|=三、解答题35．某海域有 A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是 A 、B 两岛．曾有渔船在距A 岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在 A 、B 两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A 、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5：3 ．你能否确定鱼群此时分别与 A 、B 两岛的距离？ 36．已知直线l 的参数方程为 {x =2+ty =√3t (t 为参数)， P(2,0) ，曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=1 .（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长 |AB| 以及 |PQ| .37．已知 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左，右焦点， |F 1F 2|=6 ，当 P在 E 上且 PF 1 垂直 x 轴时， |PF 2|=7|PF 1| .（1）求 E 的标准方程；（2）A 为 E 的左顶点， B 为 E 的上顶点， M 是 E 上第四象限内一点， AM 与 y 轴交于点 C ， BM 与 x 轴交于点 D . 求证：四边形 ABDC 的面积是定值.38．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为√174，抛物线D ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，准线为l ，l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，ΔMNF 的面积为8. （1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程.39．已知B ，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．40．已知函数 y =2x 2 ，函数图象上有两动点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) .（1）用 x 1 表示在点 A 处的切线方程；（2）若动直线 AB 在 y 轴上的截距恒等于 1 ，函数在 A 、 B 两点处的切线交于点 P ，求证：点 P 的纵坐标为定值.41．已知双曲线 x 2−y 23=1 ，抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 P(x 0,y 0) 为抛物线上一点. （1）求双曲线的焦点坐标；（2）若点 P 到抛物线的焦点的距离是5，求 x 0 的值.42．已知圆C 的方程为：x 2+(y +1)2=r 2(r >0)（1）已知过点M(12，−52)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若r =1，|AB|=√3，求直线l 的方程；（2）如图，过点N(−1，1)作两条直线分别交抛物线y =x 2于点P ，Q ，并且都与动圆C 相切，求证：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标.43．已知椭圆 C ： x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左､右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，且 |F 1F 2|=2 ，点M(√3，√32) 在椭圆 C 上.（1）求椭圆 C 的标准方程.（2）P 为椭圆 C 上一点，射线 PF 1 ， PF 2 分别交椭圆 C 于点 A ， B ，试问 |PF 1||AF 1|+|PF 2||BF 2| 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 44．已知双曲线C ： x 2a 2−y 2b2 ＝1(a ，b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c>0，M(c ，3)在C 上，且C 的离心率为2. （1）求C 的标准方程；（2）若O 为坐标原点，△F1MF2的角平分线l 与曲线D ： x 2c 2+y 2b2 ＝1的交点为P ，Q ，试判断OP 与OQ 是否垂直，并说明理由.45．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ： x 2a2+y 23 =1（a ＞0）的左、右焦点． （△）求椭圆C 的方程；（△）若A ，B 分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF 1△BF 1． （△）当△ABF 1为等腰三角形时，求△ABF 1的面积； （△）求点F 1，F 2到直线AB 距离之和的最小值．46．已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的离心率为 √33 ，且经过点 (32,√22) .（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若△OAB的面积为4√617，求直线l的方程.47．已知抛物线E:y2=2px的焦点F恰好是椭圆C:x2+2y2=2的右焦点.（1）求实数p的值及抛物线E的准线方程；（2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值．48．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点P为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为−3 4 .（1）求C的方程；（2）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM//AP交椭圆于点M，试探究|AP|⋅|AQ||OM|2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.49．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个顶点分别为点A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32.（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值.50．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2√55，且|BF|=√5．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．答案解析部分1．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，所以b a=√3，所以该双曲线的离心率为e =c a =√1+(b a )2=2。
数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析
第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。
知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。
（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。
高中数学圆锥曲线(平面解析几何)基础
圆锥曲线基础1.椭圆的有关公式(1)定义性质:|PF ₃|+|PF ₂|=2aa²=b²+c²(2)离心率:e =c a ,e <1(3)焦半径:|PF ₁|=a+ex ₀,|PF ₂|=a-ex 。
(4)通径:2b 2a(5)焦点三角形:周长=2a+2c,面积=b 2tan θ2(∠F 1PF 2=θ)当P 为短轴的端点时，θ最大，越向两侧，θ越小.(6)椭圆的第二定义:设椭圆上任意一点M(x,y)F(c,0)直线l:x =a 2c ,由|MF|d =c a (a ⟩c >0),其中d =a 2c −x化简，得：x 2a 2+y 2b 2=1(b 2=a 2−c 2)平面内到定点距离与到定直线距离比等于常数e(0圆的焦点，定直线为椭圆的准线.(7)弦长公式:|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|点差法可以解决直线与椭圆相交时，与弦中点有关的问题.(8)椭圆的参数方程：(θ为参数)(9)点差法:设,A(x ₁,y ₁),B(x ₂,y ₂)在x 2a 2+y 2b 2=1上,(1)-(2)得:(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=−(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2为AB 中点坐标2.双曲线的有关公式(1)定义性质:||PF₁|-|PF₂||=2a<|F₁F₂|=2c,a²+b²=c²(2)离心率:e=ca =√1+(ba)2,e>1(3)渐近线：焦点在x轴上，渐近线y=±bxa焦点在y轴上，渐近线y=±axb(4)渐近线常用结论①求渐近线：令常数“1”等于0时，解出y即为渐近线方程②双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线为矩形(x=±a,y=±b)的对角线③等轴双曲线：即a=b时，渐近线方程y=±x；离心率(e=√2如:y=1x,焦点(−√2,−√2),(√2,√2),a=b=√2,c=2.④与x2a2−y2b2=1共渐近线的双曲线方程：x2a2−y2b2=λ(λ≠0)⑤共轭双曲线：x2a2−y2b2=1与y2b2−x2a2=1互为共轭双曲线它们渐近线相同；四个焦点共圆；1e12+1e22=1(5)通径:|AB|=2b 2a(6)焦点三角形：三角形面积(7)焦半径:①双曲线的第二定义：平面内到定点距离和它到定直线距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹.定点为焦点，定直线为准线x=±a 2c②焦半径：∴|PF₁|=|a+ex₀||PF₂|=|a-ex₀|3.抛物线有关公式(1)平面内到定点F与到定直线L(L不经过F)距离相等的点的轨迹叫抛物线，F叫焦点，L叫准线.(2)离心率:e=1(3)通径:2P(4)焦半径:|PF|=x0+P2(5)过焦点倾斜角为α的直线AB，|AB|=2Psin2α,且x1⋅x2=P24,y1⋅y2=−P2.4.平面解析几何公式直线与圆的公式(1)两点间距离公式：|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2.(2)点到直线的距离：d=00√22(3)圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)圆心:(a,b)半径:r(4)圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0D²+E²-4F>0圆心坐标：(−D2,−E2)半径长：√D2+E2−4F2。
高中数学圆锥曲线知识点
高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。
用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，22221x y a b+=||x a ≤||y b ≤x a =±所围成的矩形里；y b =±②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点y -y (,)x y 也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于(,)x y -x x -x 轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
y x -x y -y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，x y 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭x y 圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
0x =y b =±1(0,)B b -2(0,)B b y 同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
0y =x a =±1(,0)A a -2(,0)A a x 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A 21B B 2a 2b a 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
b 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，a 22Rt OB F ∆2||OBb =，，且，即；2||OF c =22||B F a =2222222||||||OF B F OB =-222c a b =-④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
高考数学第八篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题(第3课时)定点、定值、存在性专题文
＋1)，
由x82＋y42＝1，
得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
y＋2＝k（x＋1），
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4k（1＋k－2k22），
y1)，B(x2，y2)．
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第7节 圆锥曲线的综合问题 第二十二页，共四十二页。
由x42＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. y＝kx＋m
则 Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2 ＝－1＋8km4k2，x1x2＝41m＋2－4k42 ，则 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m12＋－44kk22，
且 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132.
直线 AE 的方程为 y＝x1y－1 2(x－2)，
令 x＝4，得点 M4，x12－y12，
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第7节 圆锥曲线的综合问题 第十七页，共四十二页。
直线 AF 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)， 令 x＝4，得点 N4，x22－y22， 所以点 P 的坐标为4，x1y－1 2＋x2y－2 2. 所以直线 PF2 的斜率为 k′＝x1y－1 2＋4－x21y－2 2－0 ＝13x1y－1 2＋x2y－2 2＝13·y2xx11x＋2－x22y（1－x12＋（xy21）＋＋y24）
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第7节 圆锥曲线的综合问题 第十一页，共四十二页。
(2)由(1)知 F(1，0)，设 A(x0，y0)(x0＞0)，D(xD，0)(xD＞0)， 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1， 由 xD＞0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2，0)， 故直线 AB 的斜率为 kAB＝－y20， 因为直线 l1 和直线 AB 平行， 故可设直线 l1 的方程为 y＝－y20x＋b，
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质和方程。
在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而圆锥曲线则是曲线的一种特殊类型。
本文将探讨曲线与圆锥曲线的性质与方程。
一、曲线的基本概念在解析几何中，曲线是由一组点构成，这些点满足一定的几何条件。
曲线可以是一条直线，也可以是一条弧线。
曲线有很多重要的性质，比如长度、弧度等。
曲线的方程是将曲线上的点与坐标系中的数值进行对应的数学表达式。
二、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一类曲线，其定义是通过一个点（焦点）和一个直线（准线）来确定的。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
这三种曲线都具有独特的性质和方程。
1. 椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之和等于常数。
椭圆的中心是焦点所在的点，长轴和短轴是椭圆的两个重要参数。
椭圆的方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的长轴和短轴长度。
2. 抛物线的性质与方程抛物线也是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离等于准线到点的距离。
抛物线具有对称性，焦点所在的直线称为对称轴。
抛物线的方程可以表示为y² = 4ax，其中a是抛物线的参数，代表焦点到准线的距离。
3. 双曲线的性质与方程双曲线是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之差等于准线到点的距离。
双曲线具有两个分支，每个分支都有一个焦点和一个准线。
双曲线的方程可以表示为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线的参数。
三、曲线与圆锥曲线的联系曲线可以包含圆锥曲线作为其特例。
例如，当圆锥曲线的焦点与准线重合时，圆锥曲线成为一条直线。
当圆锥曲线的参数满足一定条件时，圆锥曲线可以退化为点或者不存在任何实数解。
解析几何中的圆锥曲线
解析几何中的圆锥曲线解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形的性质和变换，其中圆锥曲线是解析几何中的重要概念之一。
圆锥曲线由平面与一个双曲面或者一个抛物面相交而产生，包括椭圆、双曲线和抛物线。
本文将对这些圆锥曲线的性质和应用进行一些解析。
椭圆是一种非常常见的圆锥曲线。
它的定义是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆有很多有趣的性质，比如它的离心率小于1，离心率等于0时，椭圆就变成了一个圆。
椭圆也是一种对称图形，它的两个焦点和中心都在同一条直线上。
椭圆还有一些重要的应用，比如在天文学中，行星的轨道就可以近似看作是椭圆。
双曲线是另一种常见的圆锥曲线。
它的定义是平面上到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
这两个给定点同样称为焦点，而常数则是离心率。
与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1。
双曲线也有很多有趣的性质，比如它的两个焦点和中心不在同一条直线上。
双曲线在物理学和工程学中也有广泛的应用，比如电磁波的传播就可以用双曲线来描述。
抛物线是圆锥曲线中的最后一种形式。
它的定义是平面上到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。
这个给定点称为焦点，给定直线称为准线。
抛物线有很多有趣的性质，比如它是一种对称图形，焦点和准线都在对称轴上。
抛物线在物理学中也有重要的应用，比如抛物线的形状可以用来描述物体的抛射运动。
除了上述三种基本形式的圆锥曲线，解析几何还研究了它们的性质和变换。
例如，圆锥曲线的方程可以用代数的方法来表示，这样就可以通过方程来研究它们的性质。
此外，圆锥曲线还可以进行平移、旋转和缩放等变换，这些变换可以改变圆锥曲线的形状和位置。
在实际应用中，圆锥曲线有着广泛的应用。
比如在工程学中，圆锥曲线可以用来描述光的反射和折射现象，从而帮助设计光学器件。
在航天领域，圆锥曲线可以用来描述行星和卫星的轨道，从而帮助计算它们的运动轨迹。
在计算机图形学中，圆锥曲线可以用来描述曲线和曲面的形状，从而帮助生成逼真的图像。
韦达定理的分类应用
韦达定理的分类应用引言韦达定理，也被称为平面解析几何的圆锥曲线定理，是数学中重要的定理之一。
它揭示了平面上一条直线与一个圆锥曲线的关系，具有广泛的应用价值。
本文将介绍韦达定理的分类应用，包括判断直线与圆锥曲线的位置关系，求解直线与圆锥曲线的交点等。
定理表述韦达定理的一般表述为：平面上一条直线与一个圆锥曲线相交点的数量等于该直线与曲线的方程的次数之和。
应用场景1. 判断直线与圆锥曲线的位置关系利用韦达定理，可以通过判断直线与圆锥曲线的交点数量来确定它们的位置关系。
如果交点数量为零，则说明直线与圆锥曲线没有交点，两者不相交；如果交点数量为一个，则说明直线与圆锥曲线相切；如果交点数量为两个，则说明直线穿过圆锥曲线。
2. 求解直线与圆锥曲线的交点除了判断位置关系，韦达定理还可以帮助求解直线与圆锥曲线的交点坐标。
首先，根据直线与曲线的方程构成一个方程组，然后通过解方程组可以求得交点的坐标。
案例分析下面通过一个简单的案例来说明韦达定理的应用。
案例：求解直线与椭圆的交点坐标。
已知椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$直线的方程为：$y = mx + c$将直线的方程代入椭圆的方程，得到：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(mx + c)^2}{b^2} = 1$$整理后可得二次方程：$$(a^2m^2 + b^2)x^2 + 2a^2mcx + (a^2c^2 - a^2b^2) = 0$$利用韦达定理，可以求解该二次方程的解，即直线与椭圆的交点坐标。
结论韦达定理是一项重要的数学工具，可以方便地判断直线与圆锥曲线的位置关系，以及求解它们的交点坐标。
在实际问题中，对于涉及圆锥曲线的分析和计算，韦达定理具有广泛的应用价值。
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平面解析几何与圆锥曲线
解析几何是数学中的一门学科，它研究的是几何图形在坐标系中的运动和性质。
圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，由直线和圆相交、旋转、平移等方式形成的曲线。
本文将探讨平面解析几何与圆锥曲线的关系及相关概念。
一、平面解析几何基本概念
在平面解析几何中，我们常用的坐标系是笛卡尔坐标系，它由两条相互垂直的直线构成。
其中，横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，x称为横坐标，y称为纵坐标。
根据欧氏距离公式，两点间的距离可以表示为d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
在解析几何中，直线是一个基本图形。
根据两点确定一条直线的原理，我们可以通过已知的两个点求解直线的方程。
一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
二、圆锥曲线的基本类型
圆锥曲线可以分为四种基本类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
1. 椭圆
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
它的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点组成的图形。
如果两个定点的距离为2a，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上，那么椭圆的标准方程为(x²/a²) + (y²/b²) = 1。
2. 双曲线
双曲线是圆锥曲线中另一个重要的类型。
它的定义是平面上到两个
定点的距离之差等于常数的点组成的图形。
如果两个定点的距离为2a，双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1。
3. 抛物线
抛物线是圆锥曲线中非常常见的一种形式。
它的定义是平面上到一
个定点的距离等于定直线的距离的点组成的图形。
抛物线的标准方程
为y² = 2px，其中p是焦点到准线的垂直距离。
4. 直线
直线可以看作是圆锥的一种特殊情况，它的标准方程可以表示为
Ax + By + C = 0。
直线在平面解析几何中有着重要的应用，如直线的交点和直线与曲线的切点等。
三、平面解析几何与圆锥曲线的应用
平面解析几何与圆锥曲线的应用广泛，不仅在数学中发挥着重要作用，也应用于物理学、工程学等其他学科。
1. 几何分析
通过解析几何的方法，我们可以分析和计算各种几何图形的特性，
如曲线的切线与法线，图形的对称性，以及曲线与直线的交点等。
这
些分析可以帮助我们深入理解图形的性质和几何关系。
2. 物理模型
平面解析几何与圆锥曲线的模型可以应用于物理学中描述物体的运动轨迹和力学问题。
通过建立合适的坐标系和方程，我们可以研究物体的运动轨迹、速度和加速度等相关物理性质。
3. 工程应用
平面解析几何与圆锥曲线的概念和技巧在工程学中也得到了广泛应用。
例如，在土木工程中，我们可以利用圆锥曲线来设计合理的道路曲线，以提高交通安全性和车辆行驶的舒适度。
结语
平面解析几何与圆锥曲线是数学中的重要分支，通过对坐标系、直线和圆锥曲线等基本概念的理解和应用，我们能够更深入地研究和分析几何图形的性质和运动规律。
它在数学、物理和工程等学科中有着广泛的应用，对于理解与解决实际问题起到了重要的作用。