整数和整除的意义
数的整除
一、整数与整除的意义 1、 零和正整数统称为自然数。
2、 正整数、零、负整数，统称为整数。
3、 整除：整数a 除以整数b （0b ），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b能整除a ，记作b ︱a 。
整除的条件：（1） 除数、被除数都是整数；（2） 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽与整除联系与区别：（1） 联系：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除。
（2） 区别：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零。
二、因数与倍数1、 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称约数）,因数与倍数是相互依存的.。
2、 因数和倍数的特点：（1） 一个整数的因数有有限个。
一个整数最小的因数是l ，最大的因数是它本身。
（2） 一个整数的倍数有无限个。
最小的倍数是它本身，没有最大倍数。
3、 因数和倍数的性质：（1） 任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（3） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。
三、奇数与偶数整数与整除知识要点1、奇数和偶数的概念：能被2整除的整数叫做奇数；不能被2整除的整数叫做偶数。
2、运算性质：（1）奇数±奇数=偶数（加减法中奇数改变结果的奇偶性）（2）奇数±偶数=奇数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（3）偶数±偶数=偶数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（4）奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数（5）偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数（6）奇数×奇数=奇数（7）偶数×偶数=偶数（8）奇数×偶数=偶数（9）奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数（10） a+b与a-b同奇或同偶四、整数的可整除性特征：1、被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
01-第一章-数的整除-六年级(上)-知识点汇总-沪教版
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。
1.1整数与整除的意义
1.1整数与整除的意义
基础题
1、 和 统称为自然数.
2、 、 和 统称为整数.
3、3412=÷，我们可以说 能被 整除；也可以说 能整除 .
4、如果一个正整数除以7，商是3，余数是4，那么这个正整数是 .
5、三个连续的自然数之和是54，则这三个数是 .
6、已知23能被正整数a 整除，则a 可能是 .（写出所有的可能）
7、判断：
（1）没有最小的自然数. （ ）
（2）有最大的整数. （ ）
（3）所有的自然数都是整数. （ ）
（4）3=÷n m ，n 一定能整除m . （ ）
（5）0不能作除数. （ ）
8、从下列数中选择适当的数填入相应的圈内
6，-8，0，0.5，-17，6
5，98，-3.75 正整数 负整数 自然数 整数
9、根据要求把下列算式分别填入框内
25和5，18和1，7和21，4和0.5，3和51，14和6
第一个数能被第二个数整除 第一个数能整除第二个数
提高题
10、根据要求把下列算式分别填入框内： 213÷，714÷，1751÷，522÷，624÷，317÷
整除 除尽。
数的整除 整除、因数和倍数
1 / 7第四讲 数的整除 整除、因数和倍数【知识点】一、整除的意义1、零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
2. 整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
用式子表示:如果 a ÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。
（区分两种表述）3. 整除的条件:1）除数，被除数都为整数2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
二、因数和倍数1. 整数a 被整数b 整除,a 叫b 的倍数,b 叫a 的因数(也称为约数)2.注意：只有在整除的条件下，才有因数和倍数的概念。
倍数和因数是相互依存的，不能单独存在，这里包含两层意思：第一，讲倍数和因数时，只能说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数，不能说谁是倍数，谁是因数。
第二，两个整数存在倍数和因数关系是相互，如果a 是b 的倍数，那么b 一定是a 的因数。
一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3.求一个数的因数的方法（1）.列乘法运算：根据因数的意义，有序的写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。
（2）.列除法运算：用此数除以任意数，所得商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。
4.求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。
三、奇数和偶数1.整数中能被2整除的整数叫做偶数（2k），余下的整数都是奇数[（2k+1）或（2k-1）]2.奇数＋奇数＝偶数偶数＋偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数奇数－奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数奇数－偶数＝奇数奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数3. 能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除【典型例题】2 / 73 / 7 一、整除例1. 什么是整数？什么是自然数？在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中， 正整数有 ，自然数有 ，整数有例2.最小的自然数是思考：非负整数，如小于3的非负整数有例 3.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 __________________________，第二个数能整除第一个数的是12和24；39和13；54和27；46和4；17和51；84和7例4. 12÷3=4，那么 能被 整除； 能整除例5： 小明认为2.5能被5整除。
沪教版六年级数学上册 第1章 整数和整除的意义(带答案)
教 师学 生 上课时间 学 科数学 年 级 预初 课题名称 整数和整除的意义 教学目标1、从数的类型认识整数及整数的分类、自然数的意义。
2、从整数的运算结果看、领会、理解整除的意义和条件 重点难点 整除的意义和整除的条件一、授课内容：如，一片草地的一半是21，一半的一半就是41。
即：零和正整数统称为自然数（natural ：正整数、零、负整统称为整数（integer ）12、 -7、 0、 0.4、 -23、 54、 91、 -8.75、 2016 正整数 负整数 整数 自然数5、若一个自然数为a （a ＞0），则与它相邻的两个自然数可以表示为 ；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是 。
4、 知识总结与拓展:1、自然数的单位任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。
任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。
由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。
自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。
2、整数整数； 正整数、零、负正整统称为整数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。
负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
3、零现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。
那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。
3）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）4）任何数与0相加，值不变。
5）任何数与0相乘，积等于0。
6）任何数减去0它的值不变。
7）相同的两个数相减，差等于0。
8）0不能作除数。
9）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
10）0被非0的数除商等于0。
整数与整除
【知识点1】1、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
2、自然数和整数零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.3.除尽没有余数4.整除与除尽相同点：都没有余数；除尽中包含整除不同点：整除中，被除数、除数和商都是整数，余数为0；除尽中，被除数、除数和商不一定是整数，余数为0.【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。
【基本习题限时训练1】1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝32、下列各组数中，均为自然数的是（）（A）1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）23，34，45（D）2，4，63、下列说法正确的是……………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）3248÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。
5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
【拓展题1】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。
2、试证明：能被3整除的三位数各数位上数的和能被3整除。
一、填空题1.统称为自然数。
2.统称为整数。
3.用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句。
（1）2 整除4 （2）2 整除5（3）5 被2整除（4）6 被2整4.把下列各数填在指定的圈内：2,125，-7,0.4，101，0，-1.6，-97，43，-1自然数 负整数 整数二、选择题 1. 6÷5=1.2，表示（ ）A.6能被5整除B.6能被5除尽C.6不能被5除尽D.5能整除62.和11相邻的整数是（ ）A.9、10B.10、12C.12、13D.都是3.下列四句话中，正确的是（ ）A.最小的整数是1B.整数一定比小数大C.4能被0.8整除D.负整数、0、正整数都是整数4.把下列各算式填入相应的方框里。
6年级上学期数学讲义(华东师大版)
课题1：数的整除1.整数和整除的意义●整数：正整数、零、负整数统称为整数。
●自然数：零和正整数统称为自然数。
[例1]是否有最小的自然数？是否有最大的整数？[解]最小的自然数是0，没有最大的整数。
●整除：整数a除以整数b（b≠0），如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
●除尽与整除的区别：除尽是指除数、被除数不一定是整数、得到的商不是无限小数。
[例2]填空：已知a能整除19，且a是正整数，那么a是_________。
[解]a能整除19，那么a是1和19。
2.因数和倍数●整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)。
●一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
[例3]填空：3694÷=中，_________是________的因数，________是________的倍数。
[解]3694÷=中，9是36的因数，36是9的倍数。
3.能被2，3，5整除的数●能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
▲个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
[例4]下列一组数中，哪些是偶数？哪些是奇数？91，23，78，10，11，351，66，245，0。
[解]偶数有：78，10，66，0；奇数有：91，23，11，351，245。
●个位是0或5的整数都能被5整除。
[例5]在下列一组数中找出既能被2整除，又能被5整除的数，指出这些数有什么特点？12，20，35，50，72，90，112，120，105，270。
[解]既能被2整除又能被5整除的数有：20、50、90、120、270。
这些数的特点是个位上的数是零。
●一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
4. 素数、合数与分解素因数● 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数；如果除了1和它本身以外，还有别的因数，这样的数叫做合数。
1.1整数和整除的意义
一、引例：
小明家装修新房，客厅的地面是长6米、宽4.8米的 长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市 场上地砖有30×30、40×40、60×60、80×80（单位： 厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖， 该选哪一种尺寸呢？
二、新授：
（一）整数：
整数和整除的意义：
三整一零
练习 2． 下列哪一个算式的被除数能被除数整除？ √ 10÷3； 48÷8； 6÷4． 24÷6．√ 51÷17． √ 2.6÷1.3．
3． 下列说法对吗？为什么 （2）51能整除17 × （1）3能被6整除 × （3）2.5能被5整除 × （4）51能整除17 × （5）10能被100整除 × （6）10能整除20 √
零既不是正整数，又 不是负整数
自然数也叫做非负整数
2．自然数：
正整数 自然数 零
3．注意整除的条件：“三整一零”．
4．在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除， 请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”． 72和36（√ ）； 20和5（ √ ）； 18和3（ √ ）；
×
17和34（ ）；
× ×
0.5和5（
0.2和4（
）.
17和3（
×
19和38（
×
）； ）.
）.
三、小结： 1．整数分类：
正整数 整数 零 负整数
自然数有时也叫 做非负整数!
练习：
1．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内．
12，－7，0，0.4，－23，
12，91
3 4
，91，－8.75．
-7，-23
正整数
12，-7，0，-23，91
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整数和整除
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
1．理解并掌握整数、整除的概念；
2．理解并掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系；
3．知道一个数的因数和倍数的求法。
1.整数
（1）零和正整数统称为自然数；
（2）正整数、零、负整数，统称为整数。
正整数自然数
整数零
负整数
思考题：(1)是否有最小的自然数？
(2)是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？
(3)有多少个自然数？正整数？负整数？
2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. 例如：24÷2＝12，我们就说24能被2整除，或者说2能整除24.
注意整除的条件：（1）除数、被除数都是整数；
（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为0.
3.除尽与整除
（1）相同点：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除；
（2）不同点：整除中被除数、除数和商都是整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定是整数，余数为零.
4.因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数）
注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在,
5.一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身.
6.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身.
【例1】从下列数中选择适当的数填入相应的圈内：
—32，10， 2.15，—11.5，0，18，5.5，25
自然数正整数负整数整数
【例2】下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A. 25÷4 B. 25÷0.5 C. 2.5÷5 D. 5÷5
【例3】从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内。
25÷4
25÷
6.3÷8
25÷6
5
【例4】已知12÷4=3，根据此式，判断下列说法中，不正确的是（）A.12是4的倍数 B.12是倍数
C.4是12的因数
D.4是12的约数
【例5】分别写出16的所有因数，它有多少个，最大的和最小的是几？
【例6】写出2的倍数，你能写出多少个？
1.将下列各数进行归类。
12，－7，0，0.4，－23，91，－8.75
正整数：______________________________________________________；
负整数：______________________________________________________；
整数：______________________________________________________；
2.判断对错。
（1）自然数的个数是有限的。
（）
（2）0既不是正整数，也不是负整数。
（）
（3）最小的整数是1.（）
3.下列算式属于整除的是：
A. 2.6÷1.3=2
B. 26÷13=2
C. 23÷13=1…10
D. 26÷130=0.2
4.在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在后面打“√”，不能整除的打“×”。
（1）72和36 （2）17和34
（3）20和5 （4）0.5和5
（5）18和3 （6）19和38
（7）0.2和4 （8）17和3
5. 对下列各数进行分类。
2，3，4，5，6，12，15，18，20，24，30，60
60的因数：_______________________________________________；
6的倍数：________________________________________________；
6.分别写出下列四个数的所有因数，再分别写出这四个数的倍数（只需要从小到大写出3个即可。
）12，18，30，36
7.能整除18，又能整除30的整数有几个？最大是多少？
1. 判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）0是最小的自然数。
（ ）
（2）正整数是自然数。
（ ）
（3）正整数和负整数统称为整数。
（ ）
（4）整数包括自然数和负整数。
（ ）
2. 在下列除法算式中，被除数能被除数整除的是（ ）
A. 9.037.2=÷
B. 5525=÷
C. 3.226.4=÷
D. 5.6213=÷
3. 在下列各组数中，第一个数不能被第二个数整除的是（ ）
A. 51和3
B. 21和7
C. 18和1
D. 4和0.5
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 小数一定比整数小
B. 1是最小的整数
C. a ÷b 的商是整数，那么a 能被b 整除
D. 负整数和自然数统称为整数
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；
B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身；
C. 12在100以内的倍数共有10个；
D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16；
6. 除式21÷5=4…1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加_______，这时候商为_________；
7. 一个长方形的长和宽都是自然数，面积是36平方米，这样的长方形共有多少种不同的形状？
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
1．下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在后面的括号内打“√”。
（1）50和25 （ ） （2）16和32 （ ）
（3）2.1和0.3 （ ） （4）15和4 （ ）
（5）13和3 （ ） （6）18和6 （ ）
2．填空
（1）一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是_________；
（2）一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是_________；
（3）一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，则这个自然数是________；
（4）如果a 的最大因数是17，b 的最小倍数是1，则a+b 的和的所有因数有______个；b a -的差的所有因数有______个；b a ⨯的积的所有因数有______个；
（5）比6小的自然数中，既是2的倍数，又是2的因数的数是_________；
3．选择题
（1）15的最大因数是（ ）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 15
（2）在14=2×7中，2和7都是14的（ ）
A. 因数
B. 倍数
C. 偶数
D. 奇数
（3）一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）
（4）36的因数共有：
A. 2个
B. 8个
C. 9个
D. 12个
4．从下列数中选择适当的数填入相应的横线上：
1 2- 0 25% 27 0.3 100- 56
自然数：__________________________________________________；
负整数：__________________________________________________；
整 数：__________________________________________________；
5．把下面的算式填入相应的横线上：
630÷ 5120÷ 675÷ 62÷ 168÷ 1248÷ 整除：________________________________________________________；
除尽：________________________________________________________；
6．老师问：“当a=3.6，b=0.9时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是4，是整数，所以a 能整除b 。
”你认为对吗？
7．整数a 能被整数b 整除，它的商是c ，那么整数2×a 能被整数b 整除吗？若能整除，商是多少？若不能整除，请说明理由。
8．一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少？。