理论力学第6章精品PPT课件

,
ay
d2y dt 2
,
az
d2z dt 2
,
例6-1
• 椭圆规。曲柄OC绕O转动，C与规尺AB铰 接，滑块A和B在滑槽中运动，已知： OC=AC=BC=l，MC=a,φ=ωt。
• 求：M的运动方程、轨迹、速度、加速度。
• 解：点M的坐标(运动方程)：
x(t) (l a) cos (l a) cost y(t) (l a) sin (l a) sin t
• 消去t，得轨迹方程：
( x )2 ( y )2 1 la la
• 速度：
vx (l a) sin t vy (l a) cost
• 加速度：
ax (l a) 2 cost ay (l a) 2 sin t
• 例6-2 正弦运动机构，曲柄OM=r，以匀角 速度ω绕O点转动，转角φ= ω t+θ0。滑杆AB 在固定的垂直槽内滑动，滑块M在机构的水 平滑槽内运动，求A、B两点的速度、加速 度。
• 密切面：轨迹曲线上两个邻点的切线形成 的平面。
• 法平面：过轨迹曲线某点与切线垂直的平 面。
• 主法线，n：法平面与密切面的交线。 • 副法线，b：与切线、主法线垂直的线。
• τ ，n，b组成右手螺旋系
• 3. 曲线坐标的一些性质
• （1）曲率中心：曲线上 两个邻点的法线交点。
• 曲率半径：曲线上的一点 到曲率中心的距离。
• 自然法：利用质点轨迹作为曲线坐标系描述 其运动。
• 1. 弧坐标：在轨迹曲线上建立弧坐标。s=s(t) • 2. 自然轴坐标系 • 切线及其单位矢τ：轨迹曲线的切线方向的单
位长度的矢量。 • 主法线单位矢n：由质点所在位置指向曲率
中心的单位长度的矢量。
• 副法线单位矢b：与和构成右手螺旋系的的 单位长度的矢量。
Байду номын сангаас
at
d 2s dt 2
τ
dv dt
τ
• 法向加速度
an
ds dt
dτ dt
v
dτ dt
dτ dτ ds 1 vn
dt ds dt
v2
an n
• 全加速度
a
dv dt
τ
v2
n
at
an
a at2 an2
• 例6-4 半径为r的轮子沿地面直线轨道作纯 滚动，转速为ω，转角为φ= ω t。求轮上任 一点M的运动方程、速度、加速度（切向、 法向）。
• 解：
s(t) l 2 x2 (t)
ds dt
v0 , v
•
x, a
••
x
•
v0 2
2x x l 2 x2 (t)
•
v x v0
l2 x2
1
a
dv dt
v0
2
1
l2 x2
(1
2l 2 x3
•
x)
v02l 2 x3
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
• 解：初始时，设点M与点O重合。 • 求M点的坐标（运动方程）：
OC MC r rt
x OC r sin r(t sin t) y r r cos r(1 cost)
• 求M点的速度：
•
vx x r( cost) r(1 cost)
•
vy y r sin t
v
vx2
• 解：点B的运动：
xB r sin(t 0 )
•
vB xB r cos(t 0 )
••
aB x B r 2 sin(t 0 )
• 点A的运动：
xA b r sin(t 0 )
•
vA x A r cos(t 0 )
••
aA x A r 2 sin(t 0 )
§6-3 自然法
• 设M和M’是曲线上的两 个邻点，相距△s，切向 单位矢分别τ(s) 为和τ(s+ △ s) ，曲率半径为ρ。
• 曲率半径ρ的定义 ：
s , ds d
• (2)切向单位矢沿曲线的变化率
• 令：τ(s+Δs)-τ(s)=Δτ
• 显然， Δτ指向曲率中心。
d
2
lim
sin
2
ds s0 s
1
v
2 y
r (1 cost)2 sin2 t
2r sin t
2
• 求M点的曲线位移： • 方法1
v ds dt
s
vdt
t
2r 0
sin
t dt
2
4r (1
cos
t
2
)
• 求M点的曲线位移：
• 方法2
ds d 2 x d 2 y
r 2 2 (1 cost)2 r 2 2 sin2 t dt
ax x r 2 sin t
••
ay y r 2 cost
a
ax2
a
2 y
r 2
a2 at2 an2;
at
dv dt
r 2
cos t
2
an
a2
at2
r 2 sin t
2
• 习题6-5 套管A由绕过定滑轮B的绳子牵引 而沿着导轨上升。滑轮中心到导轨等距离 为l，设绳索以速度v0拉下，忽略滑轮尺寸， 求套管A的速度和加速度与x的关系。
第六章 点的运动学
• §6-1 矢量法和直角坐标法
• 1. 表示质点运动的矢量法：
• 质点的空间位置用矢径r表示，它是时间的 函数，
•
r = r(t)
• 投影式： r = xi+yj+zk
• 轨迹：矢径r 端点的连线。
• 速度：
v dr lim r(t t) r(t)
dt t0
t
• 加速度：
a
dv dt
d 2r dt 2
• 2. 表示质点运动的 直角坐标法
• 质点的位置坐标是时间的函数：
• x=x(t), • 速度：
y=y(t), z=z(t),
• v = vxi+ vyj+ vzk
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
加速度：
a = axi+ ayj+ azk
vz
dz dt
,
ax
d2x dt 2
r 2 2 costdt
r 4sin2 t dt
2
2 r sin t dt
2
s
ds 2r
t t
sin dt
0
02
s 4r(1 cos t )
2
• 轮摆线
x(t) r(t sin t) y(t) r(1 cost)
s(t) 4r(1 cos t )
2
• 求M点的加速度：
••
lim
s0 s
d 1 n ds
• 3.点的速度 v lim s ds v
t0 t dt
• 点的速度v就是切向速度 。
• 4.点的加速度:
a dv dt
• 动点移动时，速度大小和方向都发生改变。
a
dv dt
d dt
( ds dt
τ)
d 2s dt 2
τ
ds dt
dτ dt
• 切向加速度