2020届内蒙古赤峰市高三下学期4.16模拟考试试题文科数学(解析版)

2020年高考卷（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（﹣1，1]D．[﹣1，2]2．设复数z在复平面上的对应点为（1，﹣1），为z的共轭复数，则（）A．z+是纯虚数B．z﹣是实数C．z•是纯虚数D．是纯虚数3．“x＞y＞0”是“lg（x+1）＞lg（y+1）”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是（）A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当5．已知a＝2，b＝5，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．若双曲线C：的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则m＝（）A．B．C．D．7．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数对．问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是（）A．B．C．D．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a2，2a3，a4成等差数列，则S8＝（）A．510B．255C．512D．2569．将函数y＝sin x cos x﹣cos2x+的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．g（x）是最小正周期为2π的偶函数B．g（x）是最小正周期为4π的奇函数C．g（x）在（π，2π）上单调递减D．g（x）在[0，]上的最大值为10．已知椭圆C：+＝1，F1，F2是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有•＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．[﹣3，0）∪（0，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，当三棱锥P﹣ABC体积最大值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．πB．36πC．πD．π12．已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．[0，1+]B．[0，e2﹣3]C．[1+，e2﹣3]D．[1+，+∞）二、填空题13．设f（x）在R上是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1）时，f（x）＝x3，则f（）＝．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟﹣一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积（含上下两底）最小那么它的底面半径是尺．16．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n＝S n+1，则使a12+a22+…+a n2＜•2n+1成立的n的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（--）必考题：共60分17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，∠ADC＝45°，AD ∥BC，AD＝2AB＝2，△ADP为等边三角形，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PCE；（2）点F在线段CD上，且＝，求三棱锥F﹣ABP的体积．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b+c＝a cos B+a sin B．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．19．3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台SSRN．上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多．研究者分析了1月1日～29日的6013份病例数据，发现55.9%的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有58.8%为男性．随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据．他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有11.8%为危重，而女性患者危重情况的为7%．也就是说，男性的发病情况似乎普遍更严重．研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色．”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻﹣中度感染重度（包括危重）总计男性患者20m x女性患者30n y总计5050100（1）求2×2列联表中的数据m，n，x，y的值；（2）能否有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？（3）该学生实验小组打算从“轻﹣中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果．然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率．附表及公式：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．已知曲线C上的任意一点M到点F（0，1）的距离比到直线l：y＝﹣2的距离少1，动点P在直线s：y＝﹣1上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求曲线C的方程；（2）判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由．21．已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣lnx．（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜0时，求函数f（x）在上[，1]的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡.上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）若a＝﹣2，求曲线C与l的交点坐标；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且|PA|的最大值，求a的值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤l；（2）记函数f（x）的最大值为s，若a+b+c＝s（a，b，c＞0），证明：a2b2+b2c2+c2a2≥3abc．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1]C．（﹣1，1]D．[﹣1，2]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝（﹣1，1]．故选：C．2．设复数z在复平面上的对应点为（1，﹣1），为z的共轭复数，则（）A．z+是纯虚数B．z﹣是实数C．z•是纯虚数D．是纯虚数【分析】由已知求得z，进一步求出，然后逐一核对四个选项得答案．解：由题意，z＝1﹣i，则，∴是实数；是纯虚数；是实数；，是纯虚数．故选：D．3．“x＞y＞0”是“lg（x+1）＞lg（y+1）”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】lg（x+1）＞lg（y+1）⇔x+1＞y+1＞0，解出范围即可判断出关系．解：lg（x+1）＞lg（y+1）⇔x+1＞y+1＞0，解得：x＞y＞﹣1．∴“x＞y＞0”是“lg（x+1）＞lg（y+1）”成立的充分不必要条件．故选：A．4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是（）A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当【分析】根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A＝0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A ＝0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A＝0.4A，2015年食品的消费额为0.3×A＝0.3A，，B错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A＝0.6A，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A＝0.1A，，C对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A＝0.3A，2015年生活用品的消费额为0.05×A＝0.05A，不相等，D错；故选：C．5．已知a＝2，b＝5，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵a10＝25＝32，b10＝52＝25，∴a＞b＞1，∵0＜log32＜1，∴0＜c＜1，∴c＜b＜a，故选：B．6．若双曲线C：的一条渐近线方程为3x+2y＝0，则m＝（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出方程，求解m即可．解：由题意知双曲线的渐近线方程为，3x+2y＝0可化为，则，解得．故选：A．7．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数对．问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过20的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列举法先求出从30以内的素数，再求出组成的孪生素数对，进而求出这对孪生素数的积不超过20的个数，由此能求出这对孪生素数的积不超过20的概率．解：从30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，组成的孪生素数对有：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），共4个，这对孪生素数的积不超过20的有：（3，5），共1个，∴这对孪生素数的积不超过20的概率是p＝．故选：C．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a2，2a3，a4成等差数列，则S8＝（）A．510B．255C．512D．256【分析】利用等比数列通项公式和等差数列性质列方程求出公比，由此能求出等比数列的前8项和．解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且4a2，2a3，a4成等差数列，∴2×（2q2）＝4q+q3，解得q＝2，∴S8＝＝255．故选：B．9．将函数y＝sin x cos x﹣cos2x+的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．g（x）是最小正周期为2π的偶函数B．g（x）是最小正周期为4π的奇函数C．g（x）在（π，2π）上单调递减D．g（x）在[0，]上的最大值为【分析】本题考查的三角函数图象的基本性质．先将给定函数化成A sin（ωx+φ）的形式，跟据题中所给条件作出判断．解：令f（x）＝sin x cos x﹣cos2x+＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣；∵f（x）向右平移个单位∴g（x）＝sin[2（x﹣﹣）]﹣＝sin（2x﹣）﹣＝﹣cos2x﹣，A答案：T＝＝＝π，所以A错．B答案：此函数为偶函数，所以B错误．C答案：增区间为kπ≤x≤kπ+，所以C错误．D答案：正确．故选：D．10．已知椭圆C：+＝1，F1，F2是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有•＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．[﹣3，0）∪（0，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）【分析】由于椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中∠F1PF2最大时点P为短轴上的顶点，而•＞0恒成立可得∠F1PF2为锐角，即∠F1PO＜45°可得b，c的关系，再由a，b，c之间的关系可得a的取值范围．解：椭圆上的点与椭圆的焦点构成的三角形的三角形中∠F1PF2最大时点P为短轴上的顶点，要使•＞0恒成立，则∠F1PF2为锐角，即∠F1PO＜45°，即tan F1PO＝＜1，所以c2＜b2，而c2＝a2﹣b2＝a2+9﹣a2＝9所以9＜a2，解得：a＞3或a＜﹣3，故选：C．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝，当三棱锥P﹣ABC体积最大值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（）A．πB．36πC．πD．π【分析】由题意可得该三棱锥为三条棱相等且两两相互垂直，放在正方体中，可得该正方体的棱长为，由正方体的对角线等于外接球的直径可得外接球的半径，进而求出体积．解：PA＝PB＝PC＝，当PA，PB，PC两两相互垂直时三棱锥P﹣ABC体积最大值，放在正方体中，如图所示，可得棱长为的正方体，由外接球的直径2R是正方体的对角线可得，2R＝＝3，解得R＝；所以外接球的体积为V＝＝故选：A．12．已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，则实数a的取值范围是（）A．[0，1+]B．[0，e2﹣3]C．[1+，e2﹣3]D．[1+，+∞）【分析】求出函数y＝﹣x2+a关于原点对称的函数y＝x2﹣a，已知函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点M，函数y＝﹣x2+a的图象上存在点N，且点M，N关于原点对称，等价为y＝1+2lnx（x∈[，e]）与y＝x2+a，有交点，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和最值，利用数形结合进行求解即可．解：函数y＝﹣x2+a的图象与函数y＝x2﹣a关于原点对称，则原题等价于函数y＝1+2lnx（x∈[，e]）与函数y＝x2﹣a的图象有交点，即方程1+2lnx＝x2﹣a（x∈[，e]）有解，即a＝x2﹣1﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2﹣1﹣2lnx（x∈[，e]）f′（x）＝2x﹣＝，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．f（x）min＝f（1）＝0，f（）＝＝1+，f（e）＝e2﹣3，所以实数a的取值范围是[0，e2﹣3]，故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．设f（x）在R上是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1）时，f（x）＝x3，则f（）＝．【分析】先求出函数f（x）的一条对称轴为x＝1，进一步求得其周期为4，由此即可转化得解．解：∵f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（x）关于直线x＝1对称，又f（x）为奇函数，∴f（x）的最小正周期为4，∴．故答案为：．14．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为．【分析】由题意，利用平面向量的数量积，求出夹角的余弦值，从而求得夹角．解：由，且，所以（﹣）•＝•﹣＝0，所以•＝；所以cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以与的夹角为．故答案为：．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟﹣一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的高是20尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积（含上下两底）最小那么它的底面半径是尺．【分析】设粮仓的高是h（尺），则该粮仓的容积可求，求出一万斛粟的体积，由体积相等列式求得h；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为h1，由体积关系可得，代入圆柱形粮仓的表面积公式，利用基本不等式求最值．解：设粮仓的高是h（尺），则该粮仓的容积为45×30h＝1350h（立方尺）．一万斛粟的体积为10000×2.7＝27000（立方尺）．由题意有：1350h＝27000，得h＝20（尺）；设圆柱形粮仓的底面半径为r，高为h1，由题意可得πr2•h1＝27000，则，∴圆柱形粮仓的表面积S＝＝＝（平方尺）．当且仅当，即r＝时上式取等号．故答案为：20；．16．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n＝S n+1，则使a12+a22+…+a n2＜•2n+1成立的n的最大值为3．【分析】先求出{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，根据题意得到，求出最大的n即可．解：由2a n＝S n+1，①当n＝1时，2a1＝a1+1，得a1＝1，当n≥2时，2a n﹣1＝S n﹣1+1，②①﹣②得，a n＝2a n﹣1，故{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，，，所以a12+a22+…+a n2＝1+4+42+…+4n﹣1＝，化简得：（2n）2﹣10•2n﹣1＜0，令t＝2n＞0，解不等式t2﹣10t﹣1＜0得，0＜t＜，故最大的n＝3，故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（--）必考题：共60分17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，∠ADC＝45°，AD ∥BC，AD＝2AB＝2，△ADP为等边三角形，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PCE；（2）点F在线段CD上，且＝，求三棱锥F﹣ABP的体积．【分析】（1）推导出PE⊥AD，PE⊥BC，CE⊥BC，从而BC⊥平面PCE，由此能证明平面PBC⊥平面PCE．（2）过F作FG⊥AB，垂足为G，三棱锥F﹣ABP的体积V F﹣ABP＝V P﹣ABF＝．解：（1）证明：∵△PAD为等边三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PE⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC，由题意知ABCE是正方形，∴CE⊥BC，∵PE∩EC＝E，∴BC⊥平面PCE，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCE．（2）解：过F作FG⊥AB，垂足为G，∴三棱锥F﹣ABP的体积：V F﹣ABP＝V P﹣ABF＝＝＝＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b+c＝a cos B+a sin B．（1）求角A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）由题中所给方程，通过正弦定理化边为角，利用三角函数性质求解；（2）结合（1）中结果，利用余弦定理，求出bc的值域，代入面积公式求面积，求出最值．解：（1）由题意及正弦定理得sin B+sin C＝sin A cos B+sin A sin B，∵A+B+C＝π，∴sin C＝sin（A+B），sin B+sin（A+B）＝sin A cos B+sin A sin B，化简得sin B（sin A﹣cos A﹣1）＝0，∵sin B＞0，∴sin A﹣cos A﹣1＝0，∴sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，∴A＝，（2）∵a＝2，∴由余弦定理得，bc＝b2+c2﹣12，∴bc＝b2+c2﹣12≥2bc﹣12，（当且仅当b＝c），∴bc≤12，∴，∴△ABC的面积的最大值为3．19．3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台SSRN．上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多．研究者分析了1月1日～29日的6013份病例数据，发现55.9%的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有58.8%为男性．随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据．他们按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有11.8%为危重，而女性患者危重情况的为7%．也就是说，男性的发病情况似乎普遍更严重．研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色．”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻﹣中度感染重度（包括危重）总计男性患者20m x女性患者30n y总计5050100（1）求2×2列联表中的数据m，n，x，y的值；（2）能否有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？（3）该学生实验小组打算从“轻﹣中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果．然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概率．附表及公式：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）直接由题意可得m，n，x，y的值；（2）求出K2的值，结合临界值表得结论；（3）利用分层抽样可得在“轻﹣中度感染”的患者中抽取到的男女人数，再由枚举法写出基本事件总数，得到其中至少抽到2名女性患者的情况种数，再由古典概型概率计算公式求解．解：（1）由题意可得，m＝30，n＝20，x＝50，y＝50；（2）∵＜10.828，∴没有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关；（3）由于在“轻﹣中度感染”的患者中，按男女比例2：3，设抽取的5人中3名女性患者用a，b，c表示，2名男性患者用D，E表示，则所有组合为：（D，E，a），（D，E，b），（D，E，c），（D，a，b），（D，a，c），（D，b，c），（E，a，b），（E，a，c），（E，b，c），（a，b，c）共10种可能的情况．其中至少抽到2名女性患者的情况有7种，则至少抽到2名女性患者的概率为．20．已知曲线C上的任意一点M到点F（0，1）的距离比到直线l：y＝﹣2的距离少1，动点P在直线s：y＝﹣1上，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求曲线C的方程；（2）判断直线AB是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由．【分析】（1）由已知得动点M到点F（0，1）的距离与到直线l：y＝﹣1的距离相等，然后直接利用抛物线的定义求曲线C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（t，﹣1），利用导数求过点A与B的切线方程，可得点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标都满足，由此可得直线AB：y＝，恒过抛物线的焦点F（0，1）．解：（1）由已知得动点M到点F（0，1）的距离与到直线l：y＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C为抛物线，焦点F（0，1），准线l：y＝﹣1．∴曲线C的方程为x2＝4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（t，﹣1），由x2＝4y，即，得y．∴抛物线C在点A处的切线方程为，即．∵，∴，又点P（t，﹣1）在切线PA上，∴，①同理，②综合①②得，A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标都满足．∴直线AB：y＝，恒过抛物线的焦点F（0，1）．21．已知函数f（x）＝x2+（1﹣a）x﹣lnx．（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值；（2）当a＜0时，求函数f（x）在上[，1]的最小值．【分析】（1）可求得f′（x）＝ax+（1﹣a）﹣＝，进一步分析知函数f（x）在（0，1）上为减函数，函数f（x）在（1+∞）上为增函数，可求函数f（x）的极值；（2）由（1）可得f′（x）＝（x＞0）⇒可得x1＝﹣，x2＝1，分﹣≥1，即﹣1≤a＜0，＜﹣＜1，即﹣4＜a＜﹣1，当0＜﹣≤，即≤﹣4时，三类讨论，分别求得其最小值，最后通过分段函数式表示即可．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝ax+（1﹣a）﹣＝…2分∵a＞0，x＞0，∴＞0，f′（x）＜0⇒0＜x＜1，函数f（x）在（0，1）上为减函数；f′（x）＞0⇒x＞1，函数f（x）在（1+∞）上为增函数；所以f（x）极小值＝f（1）＝1﹣，无极大值…5分（2）由（1）可得f′（x）＝（x＞0），∵a＜0，由f′（x）＝0，可得x1＝﹣，x2＝1…6分当﹣≥1，即﹣1≤a＜0时，f′（x）≤0在x∈[，1]成立，f（x）在此区间[，1]上为减函数，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣…7分当＜﹣＜1，即﹣4＜a＜﹣1时，x∈[，﹣]，f′（x）＜0；x∈（﹣，1），f′（x）＞0；所以f（x）在[，﹣]为减函数，在（﹣，1）为增函数，所以f（x）min＝f（﹣）＝1﹣+ln（﹣）…9分当0＜﹣≤，即a≤﹣4时，∵x∈[，1]，f′（x）≥0，∴f（x）在[，1]上为增函数，∴f（x）min＝f（）＝﹣a+2ln2…11分综上所述，f（x）min＝…12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡.上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）若a＝﹣2，求曲线C与l的交点坐标；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且|PA|的最大值，求a的值．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立关系，进一步点到直线的距离求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为，整理得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，转换为直角坐标方程为．当a＝﹣2时，直线l的参数方程为（t为参数），整理得，转换为直角坐标方程为x+2y+2＝0．所以，解得或，所以交点坐标为（﹣2，0）和（1，）．（2）曲线的直角坐标方程为x+2y﹣a＝0，故曲线C上任意一点P（）到直线的距离d＝＝，则|PA|＝＝，当a≥0时，|PA|的最大值为，解得a＝1．当a＜0时，|PA|的最大值为，解得a＝﹣1．故a＝1或﹣1．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≤l；（2）记函数f（x）的最大值为s，若a+b+c＝s（a，b，c＞0），证明：a2b2+b2c2+c2a2≥3abc．【分析】（1）将函数f（x）化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；（2）易知a+b+c＝3，利用基本不等式可得2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c），由此得证．解：（1），当x≤﹣1时，﹣3≤1恒成立；当﹣1＜x＜2时，2x﹣1≤1，即x≤1，则﹣1＜x≤1；当x≥2时，3≤1显然不成立．故不等式的解集为（﹣∞，1]；（2）证明：由（1）知，s＝3，于是a+b+c＝3，由基本不等式可知（当且仅当a＝c时取等号），（当且仅当a＝b时取等号），（当且仅当c＝b时取等号），上述三式相加可得，2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c）（当且仅当a＝b＝c时取等号），∵a+b+c＝3，∴a2b2+b2c2+c2a2≥3abc．。