有限元法分析荷载作用下简支梁受力问题
求简支梁受均布荷载跨中位移有限元分析步骤(平面梁单元)
K151 M O K 5151
对号入座，组合整体刚度矩阵，并将各个分块矩阵对应的数值代入， 组合成整体刚度矩阵
1
6l 12 6l 2l 2 −12 −6l 2 6l 2l 0 0 0 0 0 0 0 EI 0 K= 3 l M M 0 0 0 0 −12 −6l
ql RA − 12 2 6l −12 ql 2 − 6l 12 0 ql 0 0 0 EI 0 ql = l 0 M M ql RB − 2 0 ql 2 0 12
{Fpy }( 2 )
− ql / 2 − ql 2 / 12 2 = − ql / 2 3 2 ql / 12
……
1
2
3
….
51
ql Fpy = − 2
1
−
ql 12
2
ql 0 ql 0 L
−
ql 2
ql 12
根据
[ F ] = [ K ][δ ]
υ1 = 0
−12 −6l 24 0 −12 6l 0 0 0 0 M 6l 2l 2 −6l 2l 2 0 0 0 0
求出各节点的结点位移
[δ ]
0 θ 1 v2 θ2 v3 θ3 M 0 θ51
0 1 −
0 0
2 3 l l2 1 2 − 3 2 l l
δ1 1 δ 2 = N δ e − [ ] l δ3 1 δ 4 l2 0 0
进行有限元分析时简支梁约束条件的确定
法， 可 实现 有 限元 分析 中对 三 维模 型 的约 束功 能与材料 力学 中简 支梁 的支座 约束 功能 一致 ． 通
过与材 料 力 学的计 算结果 比较 可知 ， 这种施 加 约束 的 方 法 ， 能 够获得 正确 的有 限 元计 算 结 果 ，
从 而为 简支 梁的有 限元分析 提供 了重要参 考．
Ｗ ＡＮＧ Ｄｅ ． ｓ ｈ ｅ ｎ ｇ ， ＧＨＥＮＧ Ｊ ｉ ａ ｎ ． ｙ ｅ ， Ｇａ ｏ Ｇｕ ｏ ． Ｆ ｕ
（ １ ．Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆＭｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ｄ Ｐ ｏ ｗ ｅ ｒ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｈ ｅ ｎ ａ ｎ Ｐ ｏ ｌ ｙ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ． Ｊ ｉ ａ ｏ ｚ ｕ ｏ ４ ５ ４ ０ ０ ０ ， Ｈ ｅ ｎ ａ ｎ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ； ２ ．Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ｉ ａ ｎ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
ａ ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ ｈ ｉ ｎ ｇ ｅ ｅ ｎ ｄ． Ａ ｍｏ ｖ ｉ ｎ ｇ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎｔ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｂ ｅ ａ ｍ ｃ ｒ ｏ ｓ ｓ — ｓ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｍｏ ｖ ａ ｂ ｌ ｅ ｈ ｉ ｎ ｇ ｅ ｅ ｎ ｄ ｉ ｓ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｓ ｐ ｌ ｉ ｔ
ｌ ｉ ｎ ｅ ． Ｔｈ ｕ ｓ ｌ ｙ，ｃ ｏ ｎｓ ｅ ｎ ｓ ｕ ｓ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｅ ｖ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ － ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ －
均布荷载作用下简支梁结构分析
均布荷载作用下简支梁结构分析摘要：本文利用ANSYS软件中的BEAM系列单元建立简支梁有限元模型，对其进行静力分析与模态分析，得出梁的结构变形，分析梁的受力情况。
并用有限元刚度矩阵知识求解简支梁端点处得位移和旋度。
在此基础上，利用经典力学对以上所得的结果进行梁的有关计算，并将结果与有限元刚度矩阵和ANSYS软件所得结果进行比较。
通过比较得出不同方法在简支梁求解过程中自己的优势和缺点。
关键词：ANSYS简支梁均布荷载求解应力位移1.引言钢制实心梁的截面尺寸为10mm×10mm(如图1所示)，弹性模量为200GPa，均布荷载的大小及方向如图1所示。
图12.利用力学方法求解运用力学方法将上述结构求解，易得A、B支座反力相等为500N，该简支梁的计算简图、弯矩图以及剪力图如下图所示：1000N/m1000mm图2简支梁计算简图跨中弯矩：125N㎡图3简支梁弯矩图支座反力500N图4简支梁剪力图3.利用ANSYS软件建立模型与求解通过关键点创建实体模型，然后定义材料及单元属性，然后划分网格，建立有限元模型。
具体步骤包括：添加标题、定义关键点、定义直线、选择单元，定义实常数、定义材料属性、设定网格尺寸、划分网格、施加荷载求解（选择分析类型、定义约束、施加荷载）查看分析结果。
图5简支梁变形前后的情况图6简支梁应力图图7简支梁剪力图4.计算结果对比4.1简支梁内力分析结果比较节点应力有下面公式计算求得：ᵟ=有限元计算所得结果与力学的计算结果对比如下表所示：)单位(N/㎡ANSYS模态结果结构力学计算结果4.2简支梁竖向位移分析结果比较4.2.1结构力学计算求得的简支梁最大位移由下面图乘法求得：aFpx实际荷载作用下梁弯矩表达式：M(x)=500x-500x2单位荷载作用下梁弯矩表达式：Mp= (1-a)x (0<x<a)a(1-x) (a<x<1)则在梁上任意点的竖向位移f：f=500+500dx=0.25a4-0.5a3+0.25a(0,0.1, 0.2 ……) 分别代入分段点的a的数值得各点的位移如下表：4.2.2有限元计算所得简支梁y方向位移如下图8所示：图84.3端点旋度分析结果比较（1）利用结构力学图乘法求得端点处得旋度旋度：Ф=（）0.5=（2）利用有限元刚度矩阵求得端点位移与旋度为：假设梁的两端固定，并计算等价的节点荷载用以表示均匀变化的荷载力M1 -M2R2-1/2qL 12 6L -12 6L v1-1/12qL26L 4L2-6L 2L2Ө1-1/2qL =EI/L3-12L -6L 12 -6L v2 (a)1/12qL26L 2L2-6L 4L2 Ө2方程（a）是固定的精确模型，因为如果从中解出的所有位移和旋度，它们的计算值都将为零。
桥梁承载力计算方法
桥梁承载力计算方法桥梁承载力计算是工程设计中的重要环节，其准确性和可靠性直接关系到桥梁的使用寿命和安全性。
本文将介绍一些常用的桥梁承载力计算方法，包括静力学计算方法和有限元分析方法。
一、静力学计算方法静力学计算方法是一种基于力学平衡的计算方法，根据桥梁受力的基本原理，通过计算各个部件的受力大小，来确定桥梁的承载力。
下面介绍两种常用的静力学计算方法。
1. 等效荷载法等效荷载法是一种常用的桥梁承载力计算方法，它将实际受力系统转化为一个等效荷载作用下的简化受力系统，通过计算等效荷载下各个部件的受力情况，来确定桥梁的承载力。
2. 部件受力法部件受力法是一种基于部件受力的计算方法，根据桥梁的几何形状和受力分布情况，通过计算各个部件的受力大小，来确定桥梁的承载力。
这种方法适用于复杂结构的桥梁，可以更准确地反映桥梁各部件的承载能力。
二、有限元分析方法有限元分析方法是一种基于有限元理论的数值计算方法，通过将桥梁划分为许多小的有限元单元，建立有限元模型，利用电子计算机进行求解，得到桥梁的受力分布情况和变形情况，从而确定桥梁的承载力。
有限元分析方法具有高精度和广泛适用性的特点，可以对桥梁的复杂受力和变形情况进行详细分析，可以考虑各种荷载和边界条件的影响。
但是，有限元分析方法需要较高的计算机性能和专业的软件工具支持。
三、案例分析为了更好地理解桥梁承载力计算方法的应用，我们以某桥梁为例进行案例分析。
该桥梁为简支梁桥，采用等效荷载法进行承载力计算。
首先，确定桥梁的荷载情况，包括车辆荷载、风荷载和温度荷载等。
然后，根据等效荷载法的原理，将实际受力系统转化为一个等效荷载作用下的简化受力系统。
接下来，通过计算等效荷载下各个构件的受力情况，包括梁体、支座和墩身等，来确定桥梁的承载力。
根据计算结果，对桥梁的结构进行相应的调整和加固，以提高桥梁的承载能力和安全性。
四、结论桥梁承载力计算是工程设计中的关键内容，准确性和可靠性对桥梁的使用寿命和安全性有着重要影响。
简支梁的有限单元法分析-三角形三节点单元
三角形三节点平面单元
王 峰
有限元分析的基本步骤：
结构离散化
单元分析
整体分析
1 结构离散化
图示为简支梁，梁的厚度为t，泊松比m =0.3，弹性 模量为E=2e+5Mpa，用三节点三角形单元进行离散， 直角三角形边长为2。
2 单元分析
单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的
物理方程
{s }=[D]{} 而 { }=[B]{}e (求应力的表达式) {s }=[D][B]{ }e
记 [S]=[D][B]
[S]应力矩阵: [S]=[Si Sj Sm]
2.5节点力与节点位移的关系
令实际受力状态在虚位移状态上做虚功，虚功方程：
({ *}e )T {F}e { *}T tdxdy s
位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。
单元分析的步骤：
节点 (1) 位移
单元内部 各点位移
(2)
单元 (3) 应变
单元 应力
(4)
节点 力
单元分析
2.1 形函数
形函数反映了单元的位移形态，是坐标的函数。 三节点三角形单元的形函数为：
1 Ni ( x, y ) (ai bi x ci y )（i , j , m） 2A ai x j ym xm y j （i , j , m） bi y j ym ci xm x j
Ni 1 Ni 1 bi , ci x 2 A y 2 A
因此，三角形单元的应变矩阵[B]是常量，
（i , j , m）
代入数据得到：
1 0 0 0 1 0 1 B 0 0 0 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1
进行有限元分析时简支梁约束条件的确定
进行有限元分析时简支梁约束条件的确定王得胜;程建业;高国富【摘要】为使用三维单元对简支梁进行有限元分析,结合简支梁支座的约束特点,提出建立与梁截面中性层重合的基准平面,并用此基准平面与梁的两个端面生成的分割线作为约束对象,对固定铰链端的分割线施加固定约束,对活动铰链端的分割线施加梁端平面内的移动约束的方法,可实现有限元分析中对三维模型的约束功能与材料力学中简支梁的支座约束功能一致.通过与材料力学的计算结果比较可知,这种施加约束的方法,能够获得正确的有限元计算结果,从而为简支梁的有限元分析提供了重要参考.【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(033)002【总页数】5页(P177-181)【关键词】简支梁;铰链;有限元分析;约束条件【作者】王得胜;程建业;高国富【作者单位】河南理工大学机械与动力工程学院,河南焦作454000;郑州煤炭工业技师学院,河南新郑451150;河南理工大学机械与动力工程学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】TP391.41按照材料力学的理论，当作用在直杆上的外力与杆的轴线垂直时(一般称为横向力)，直杆的轴线由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲变形为主的杆件称为梁.在进行梁的强度和刚度计算时，必须对其几何形状、约束和载荷进行简化.梁受到作用在其对称平面内的载荷后，在对称面内可能有3种刚体位移，即沿梁轴线及其垂直方向的移动和在对称面内绕其端点的转动.因此，必须有支座来约束梁的运动，约束的数目至少能够阻止上述3种位移，使支座处的约束反力与载荷组成一个平衡的平面力系.根据支座能够提供的约束反力将支座分为固定铰链、活动铰链和固定端3种类型.其中固定铰链约束沿梁轴线及其垂直方向的位移，但允许绕支座中心产生转动；活动铰链允许有沿梁轴线的微小位移和绕支座中心的转动，但约束了梁轴线垂直方向的位移；固定端则约束了全部位移(移动和转动)，接近于绝对固定.在实际工程中的支座，可能对某一方向的运动既不能完全阻止，而又有一定的阻力，这时需要根据实际情况近似地简化成典型支座进行计算.如一根传动轴，如果一端的支承轴承的宽度比较窄且无止推功能，它基本上不能阻止轴在其轴线平面内的微小转动与沿轴线的移动，此时将其简化为活动铰链.如果支承轴承的宽度较窄但有止推功能，则可简化成固定铰链.简化后得到的力学模型，若是一支座为活动铰链，而另一支座为固定铰链的梁，则称其为简支梁；若直杆两端均伸出支座之外，称为外伸梁；若只有一端为固定端则称为悬臂梁.这种简化因未考虑构件截面形状和尺寸的变化，可认为是一种宏观力学模型.随着计算机辅助设计技术的发展，有限元分析技术已经成为机械设计领域的重要手段.不仅是ANSYS，ADINA，ABAQUS，MSC等知名软件的应用越来越广泛，而且在SOLIDWORKS，PROE和UG等三维设计软件中也融入了有限元分析功能，为评估机械系统或零件的结构与尺寸的合理性提供了方便[1-7].有限元分析是一种数值计算方法，在求解构件或零件的应力和变形时，不是去求出准确的连续函数，而是将构件或零件先划分成若干个单元(如平面问题的三角形，空间问题的四面体等)，并设法求出节点(单元的顶点)的位移，其它各点的位移表示成单元顶点位移的插值函数，从而获得一个近似的位移分布.如果划分的单元足够多，且分布的位置也比较恰当，则可得到足够准确的解答[8-12].与材料力学中的模型相比，有限元分析是用微小尺寸的模型来表示较大尺寸构件的力学参数，可以认为是一种微观力学模型.使用有限元分析软件对构件进行有限元分析时，一般要经过建立构件的三维模型，选取材料，选择单元形式，划分网格，确定边界条件(包括施加载荷与约束)，进行计算以获得相关数据，查看结果等步骤.虽然材料、单元形式等对计算精度有一定影响，但因其主要取决于软件的功能，使用者能够干预的因素较少，而边界条件(包括载荷与约束条件)会随着使用者的水平不同对结果数据产生较大的影响.因此，本文主要结合简支梁支座的约束特点，讨论使用三维单元对简支梁进行有限元分析时确定约束条件的方法和步骤.简支梁是按材料力学理论确定的计算模型，如图1所示是受均布载荷的简支梁，若从有限元分析的角度考虑，它是一种平面模型，在图1坐标系的x轴方向(图1中未示出x轴)没有移动，也没有绕y轴和z轴的转动，A端的固定铰链约束了2个自由度(即沿z轴和y轴的移动)，保留了绕A点(实质上是过A点垂直于yz平面的轴，下同)的转动，B端为活动铰链，约束了沿y轴的移动，保留了沿z轴的移动和绕B点的转动.在进行有限元分析时，简支梁支座的这些特点是对A和B端施加约束条件的重要依据.在目前常用的有限元分析软件中，用于简支梁有限元分析的单元类型可归纳为2大类：二维和三维单元.二维单元如ANSYS中的BEAM3，BEAM23和BEAM54等，三维单元如ANSYS中的BEAM4，BEAM24和BEAM344等，另外，实体单元SOLID45等也可以作为简支梁有限元分析的单元.不同类型的单元需要使用者定义的参数数量和类型各不相同，需要定义的支座自由度约束数量和类型也不同.对于等截面的直杆，若采用BEM3梁单元，两端支座简化为节点，只需对模型(显示为一段线段)两个端点的自由度进行约束即可.这类单元虽然计算速度快，结果数据正确，但不能显示梁截面上的应力(应变)分布情况，不能用于求解梁截面变化较大或需要考察梁截面上应力分布情况的问题.在SOLIDWORKS，PROE和UG等三维设计软件中的有限元分析插件，利用设计软件建立三维模型的优势，实现了三维模型建立与有限元分析的无缝对接.例如，在SOLIDWORKS三维设计软件中，其有限元分析插件专门设立了“视为横梁”选项，并提供了铰链约束，计算后查看结果的图形虽然是三维的，但仍然没有清楚表明梁截面上的应力分布情况如图2所示.为了考察梁截面上应力或应变的分布情况，必须使用三维单元对简支梁进行有限元分析.由于构件具有一定的尺寸，而且单元是在整个研究域内划分的，所以，确定约束的类型和施加位置就成为能否获得正确数据的关键.本文利用SOLIDWORKS 三维设计软件中的有限元分析插件的相关功能，说明对简支梁进行有限元分析时确定约束条件的方法.3.1 简支梁有限元模型的建立设图1所示简支梁的截面为正方形(100 mm×100 mm)，梁的跨度l=600 mm，均布载荷强度q=100 N/mm，为利用SOLIDWORKS三维设计软件中的有限元分析插件进行计算，首先建立三维模型，将坐标原点设置在梁截面的形心上，并利用基准平面在简支梁两截端面上添加分割线，以作为施加约束条件的对象，如图3所示.分析可知，为使进行有限元分析时的约束条件与材料力学规定的简支梁支座特点一致，在对三维模型施加约束时，只能选择两端面的边线或分割线作为约束对象，而不能选择三维模型中的其它面要素或体要素.对于固定铰链，使约束对象固定，可实现固定铰链的约束功能；对于活动铰链，使约束对象在y和x方向的位移为0，实现活动铰链的约束功能.将图1中的分布载荷，转化为p=1 N/mm2的压强施加于梁三维模型的上表面上，从而完成简支梁的三维建模.3.2 不同约束条件的有限元分析结果3.2.1 对两端面上缘边线施加约束的情况当在简支梁两端面上缘边线施加约束时，简支梁的弯曲应力云图和沿梁长度方向的应力分布如图4所示.从图4可以看出，简支梁的上缘为压应力，下缘为拉应力，在梁的中部对称截面上，压应力具有最小值而拉应力具有最大值，其绝对值均接近27 MPa，但上缘的应力分布在接近两端附近出现较大波动.3.2.2 对两端面分割线施加约束的情况在载荷不变的情况下，在简支梁两端面分割线施加约束，简支梁的弯曲应力云图和沿梁长度方向的应力分布如图5所示.从图5可以看出，简支梁的上缘为压应力，下缘为拉应力，在梁的中部对称截面上，压应力具有最小值而拉应力具有最大值，其绝对值均接近27 MPa，上缘和下缘的应力分布在接近两端附近均比较平滑，没有明显的波动.3.2.3 对两端面下缘边线施加约束的情况仍然保持载荷不变，在简支梁两端面下缘边线施加约束，简支梁的弯曲应力云图和沿梁长度方向的应力分布如图6所示.从图6可以看出，简支梁的上缘为压应力，下缘为拉应力，在梁的中部对称截面上，压应力具有最小值而拉应力具有最大值，其绝对值均接近27 MPa，下缘的应力分布在接近两端附近具有较大的波动，且波动的规律基本与上缘相同.根据计算条件，按照材料力学理论容易算出，上述简支梁的最大弯矩为梁的抗弯截面模量为梁危险截面(中部对称截面)上的最大弯曲应力(绝对值)为对比图4-图6可知，在载荷条件不变的情况下，3种约束条件下的计算结果在危险截面上的最大应力值基本相同，且均接近按照材料力学计算的理论值，说明这种简支梁有限元分析模型是有效的.但是，无论是把两端面的上缘边线还是下缘边线作为约束对象，与约束对象处于同一表面的弯曲应力的分布在两端面附近都会出现较严重的波动，这种现象是不符合材料力学的理论分析结果的，而只有以两端面对称分割线作为约束对象时，弯曲应力的分布规律才与材料力学理论分析结果基本一致.这种情况并非偶然，由材料力学理论可知，此例中两端截面上的分割线正是两端面的中性轴，而用于产生分割线的基准平面正是梁的中性层.对于简支梁来说，建立约束的本质实际上就是在中性层上对约束目标进行约束.因此，对于任意截面形状的简支梁来说，要实现简支梁的固定铰链和活动铰链约束，首先应该建立梁两端截面的中性轴，然后约束固定铰链端中性轴的全部移动自由度，约束活动铰链端的中性轴在端面内的移动自由度，即可实现简支梁两端支座的约束功能.上述讨论虽然是以方形截面的简支梁为对象，但所得结果对于其它截面形状的简支梁也是适用的.分析方形截面梁的有限元计算过程，可归纳出对任意截面形状的简支梁进行有限元分析的一般步骤如下.(1)建立梁的三维模型.(2)根据梁的截面形状确定其中性层，建立与中性层重合的基准平面.(3)利用与中性层重合的基准平面与梁两端面的交线，生成端面分割线(中性轴).(4)对固定铰链端的分割线施加固定约束，对活动铰链端的分割线施加端平面内的移动约束.(5)对直杆施加载荷.(6)划分单元.(7)进行计算.(8)查看计算结果.其中步骤(1)～(5)本质上就是建立简支梁的三维有限元分析模型的步骤.简支梁是一类最常见的应用广泛的力学模型，如机械系统中部分传动轴，建筑设计中的承重梁等，一般都可简化为简支梁模型.采用有限元分析方法分析简支梁的应力和变形分布规律，可以使技术人员对梁结构设计的合理性进行评价，对梁的结构尺寸进行优化.另外，为了对简支梁的设计质量具有更深入的了解，有时还需要分析简支梁的动态特性和疲劳寿命等，因此正确建立简支梁的三维有限元分析模型，对于简支梁的计算机辅助设计具有重要实际意义.本文将材料力学理论与有限元分析软件的功能相结合，提出对梁端面的中性轴进行约束，以实现简支梁支座约束功能的方法，解决了有限元分析中实现固定铰链和活动铰链约束的技术难题，为简支梁的有限元分析和获得正确的计算结果奠定了基础.E-mail：***************.cn【相关文献】[1] 吕红明. 边界条件对短梁结构有限元分析影响的研究[J]. 工程设计学报，2013,20(4)：321-325.[2] 徐格宁,冯晓蕾,陶元芳,等. 边界条件对机械结构有限元分析结果的影响[J]. 起重运输机械，2010(2)：60-64.[3] 王晓臣,蒲军平. 变截面梁有限元分析[J]. 浙江工业大学学报，2008,36(3)：311-315.[4] 唐良兵,王伟. 基于ANSYS 的汽车传动轴的有限元分析[J]. 机械，2013,40(1)：45-48.[5] 李晓丽,袁圆.基于COSMOS/Works 的带式输送机传动滚筒的有限元分析[J]. 煤矿机械，2010,31(9)：95-96.[6] 逯艳艳,李永奎. 基于SolidWorks 轴类零件优化设计[J]. 农业科技与装备，2012(1)：24-26.[7] 罗裴. 基于有限元仿真的简支梁结构损伤分析[J]. 测试技术学报，2011,25(5)：440-444.[8] 李科, 徐海涛. 三类简支梁非线性有限元分析[J]. 低温建筑技术，2010(6)：66-67.[9] 吴襄飞, 栾振辉, 曹多美. 同步齿轮泵传动轴的有限元分析[J]. 煤矿机械，2009,30(6)：84-86.[10] 张克鹏，邵林，邓超，等. 重型卡车传动轴强度仿真与试验分析[J]. 汽车工程师，2013(7)：29-32.[11] 杨延功, 平学成. 内燃机车传动轴焊接缺陷的有限元力学分析[J]. 内燃机车，2011(2)：25-26.[12] 王延芸，韩兵，朱茂桃. 混合动力发动机传动轴有限元分析[J]. 机械设计与制造，2010(3)：6-7.。
有限元例子-简支梁受均布荷载
例1 简支梁受均布荷载计算简图：图1-(a)所示一简支梁，高3 m，长18 m，承受均布荷载10 N/m2，E=2×1010Pa ,μ= 0. 167，取t=1 m,作为平面应力问题。
由于对称，只对右边一半进行有限单元法计算，如图1-(b)所示，而在y轴上的各结点处布置水平连杆支座。
图1 计算简图图2 计算剖分图数据整理1、节点坐标文件91 551 0.750 0.5002 1.500 0.5003 2.250 0.5004 3.000 0.5005 3.750 0.5006 4.500 0.5007 5.250 0.5009 6.750 0.50010 7.500 0.50011 8.250 0.50012 0.750 1.00013 1.500 1.00014 2.250 1.00015 3.000 1.00016 3.750 1.00017 4.500 1.00018 5.250 1.00019 6.000 1.00020 6.750 1.00021 7.500 1.00022 8.250 1.00023 0.750 1.50024 1.500 1.50025 2.250 1.50026 3.000 1.50027 3.750 1.50028 4.500 1.50029 5.250 1.50030 6.000 1.50031 6.750 1.50032 7.500 1.50033 8.250 1.50034 0.750 2.00035 1.500 2.00036 2.250 2.00037 3.000 2.00038 3.750 2.00039 4.500 2.00040 5.250 2.00041 6.000 2.00042 6.750 2.00043 7.500 2.00044 8.250 2.00045 0.750 2.50046 1.500 2.50047 2.250 2.50048 3.000 2.50049 3.750 2.50050 4.500 2.50051 5.250 2.50053 6.750 2.50054 7.500 2.50055 8.250 2.50056 9.000 3.00057 8.250 3.00058 7.500 3.00059 6.750 3.00060 6.000 3.00061 5.250 3.00062 4.500 3.00063 3.750 3.00064 3.000 3.00065 2.250 3.00066 1.500 3.00067 0.750 3.00068 0.000 3.00069 0.000 2.50070 0.000 2.00071 0.000 1.50072 0.000 1.00073 0.000 0.50074 0.000 0.00075 0.750 0.00076 1.500 0.00077 2.250 0.00078 3.000 0.00079 3.750 0.00080 4.500 0.00081 5.250 0.00082 6.000 0.00083 6.750 0.00084 7.500 0.00085 8.250 0.00086 9.000 0.00087 9.000 0.50088 9.000 1.00089 9.000 1.50090 9.000 2.00091 9.000 2.500该文件第1行第1个数据为节点数91，第2个数据为内部节点数55。
均布荷载作用下的简支梁结构有限元分析1
哈工程有限元大作业均布荷载作用下简支梁结构分析院（系）名称：船舶工程学院专业名称：港口航道与海岸工程学生姓名：白天华学号：03摘要本文利用ANSYS软件中的BEAM系列单元建立简支梁有限元模型，对其进行静力分析与模态分析，得出梁的结构变形，分析梁的受力情况。
并用有限元刚度矩阵知识求解简支梁端点处得位移和旋度。
在此基础上，利用经典力学对以上所得的结果进行梁的有关计算，并将结果与有限元刚度矩阵和ANSYS软件所得结果进行比较。
通过比较得出不同方法在简支梁求解过程中自己的优势和缺点。
1.问题求解问题描述钢制实心梁的截面尺寸为10mm×10mm(如图1所示)，弹性模量为200GPa，均布荷载的大小及方向如图1所示。
图1利用力学方法求解运用力学方法将上述结构求解，易得A、B支座反力相等为500N，该简支梁的计算简图、弯矩图以及剪力图如下图所示1000N/m1000mm图2简支梁计算简图图3简支梁弯矩图支座反力500N图4简支梁剪力图利用ANSYS软件建立模型与求解通过关键点创建实体模型，然后定义材料及单元属性，然后划分网格，建立有限元模型。
具体步骤包括：添加标题、定义关键点、定义直线、选择单元，定义实常数、定义材料属性、设定网格尺寸、划分网格、施加荷载求解（选择分析类型、定义约束、施加荷载）查看分析结果。
图5简支梁变形前后的情况图6简支梁应力图图7简支梁剪力图2计算结果对比简支梁内力分析结果比较节点应力有下面公式计算求得：ᵟ=有限元计算所得结果与力学的计算结果对比如下表所示：单位(N/㎡)节点应力1 02 2703 4804 6305 7206 7507 7208 6309 48010 270ANSYS模态结果结构力学计算结果简支梁竖向位移分析结果比较（1）结构力学计算求得的简支梁最大位移由下面图乘法求得：aFpx实际荷载作用下梁弯矩表达式：M(x)=500x-500x2单位荷载作用下梁弯矩表达式：Mp= (1-a)x (0<x<a)a(1-x) (a<x<1)则在梁上任意点的竖向位移f：f=500+500dx= ……)分别代入分段点的a的数值得各点的位移如下表：a 位移（2）有限元计算所得简支梁y方向位移如下图8所示：图8端点旋度分析结果比较（1）利用结构力学图乘法求得端点处得旋度旋度：Ф=（）=（2）利用有限元刚度矩阵求得端点位移与旋度为：假设梁的两端固定，并计算等价的节点荷载用以表示均匀变化的荷载力M1 -M2R1 R2-1/2qL 12 6L -12 6L v1-1/12qL2 6L 4L2-6L 2L2Ө1-1/2qL =EI/L3-12L -6L 12 -6L v2 (a)1/12qL2 6L 2L2-6L 4L2 Ө2方程（a）是固定的精确模型，因为如果从中解出的所有位移和旋度，它们的计算值都将为零。
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有限元法分析荷载作用下简支梁受力问题
摘要：本文应用有限元数值分析方法，以简支梁为例，比较梁单元与实体单元的差异，并利用弹性力学解析解对照分析二者解的误差。
分析认为对于杆件，采用梁单元建立有限元模型计算简单迅速，结果精度满足工程要求；但对于单个构件的整个应力场进行分析时，需要采用实体单元，并且单元尺寸足够小，才能够得到与实际情况接近的应力分布。
关键字：有限元；简支梁；受力
正文：
在建筑工程技术领域，许多力学问题难以用解析方法求解。
有限元方法作为数值解法的一种，常被应用于求解工程中的力学问题和场问题。
在土建领域中，绝大多数应力应变问题都应用有限元法进行计算，得到解的精度也是满足工程需要的。
但是，在不同的单元模型之间，刚度矩阵的建立和边界条件的设定是有差异的。
有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂问题，因而成为行之有效的工程分析手段。
简支梁在土建领域有着非常广泛的应用，怎样对简支梁在实际工程中的力学性状进行准确分析，这一问题就显得十分关键。
本文以简支梁为例，比较梁单元与实体单元的差异，采用有限元结构分析方法并利用弹性力学解析解对照分析二者解的误差提高计算精度。
1有限元分析的理论和步骤
有限元法的核心部分即为求解近似变分方程，就是将有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。
有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。
每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。
根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。
有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。
有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。
结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于复杂工程
的辅助计算分析中。
有限元分析可总体分成分成三大阶段，前处理、处理和后处理。
前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，提取完整数据信息，了解模型计算分析结果。
具体分析步骤如下：
一、问题及求解域定义：根据预定的分析目的近似确定求解域的物理性质和几何区域。
二、求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，称为有限元网络划分。
单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大。
求解域的离散化是有限元法的核心步骤。
三、确定状态变量及控制方法：将分析对象用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，将微分方程化为等价的泛函形式。
四、单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。
对工程分析而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。
例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
五、总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。
总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。
六、联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。
联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。
求解结果是单元结点处状态变量的近似值。
对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
2计算模型的建立
选取的箱形钢简支梁（）跨径10m，受均部荷载q=11kN/m。
截面尺寸见图1。
梁单元模型划分20段，每段0.5m；实体单元模型为边长0.1mｘ0.1mｘ0.5m 的长方体，其延梁轴向的一段。
梁计算模型如图1。
图1 箱形钢简支梁计算单元模型
3数据比较分析
在设置好水压、位移、地应力场等初始条件后，就可以按照模拟工况进行有限元计算了。
基于实际施工过程，模拟基坑开挖工况列于表4。
轴向应力公式和利用挠曲线近似微分方程推导出跨中挠度公式分别如下式（2-1）、（2-2）：
（2-1）
（2-2）
梁跨中各数据对照见表1：
表1 跨中各数据对照
理论计算实体单元梁单元
M（kN·m）137.5 137.5 137.5
（MPa）顶部-1.39516 -1.22692 -1.39736
底部 1.39956 1.25999 1.39736
（m）0.000141 0.000152 0.000150
从各数据对照可以看出，采用实体单元无法得出弯矩值，而采用梁单元却可以得到完全正确的弯矩值。
采用实体单元可以得出梁的顶部和底部的应力是有细微的差别的，这与弹性力学分析是一致的，但实体单元的解误差相对较大，达到了10%；采用梁单元只能求得绝对值相等、符号相反的应力，但误差较小，小于0.2%。
对于跨中挠度，实体单元与梁单元得出的解答十分接近，由于挠曲线方程是近似的微分方程，其解答也不能作为评价的标准。
需要指出的是，采用表中列出的由实体单元得到的挠度是梁底部的竖向位移，同时得到的还有顶部竖向位移0.000154m,这是应为梁顶的荷载使梁在ｚ轴方向被压缩，但这个量非常的小，仅有2微米。
采用实体单元还能得到梁上各点在x方向和y方向的位移，但这些值都是微米级的，实际工程中完全可以忽略。
梁单元虽然建模简单，计算耗时少，解的精度也满足要求，但得到的应力云图显然是错的。
而实体单元能正确的反应出应力的分布（图2）。
在实体单元的应力分布云图中，可以看到边角及支座处明显的应力集中现象。
图2实体单元应力分布图
4 结论
基于应用有限元法对于简支梁力学问题的精度讨论，认识到：进行结构力学分析时，对于杆件而言采用梁单元建立有限元模型的计算方式简单迅速，结果精度能够满足工程要求；但对于单个构件的整个应力场进行分析时，需要采用实体单元，并且单元尺寸选择适当，才能够得到与实际情况接近的应力分布，分析计算结果对于实际工程的应用也就更具实际意义。
5 参考文献
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[2]陈惠发. 土木工程材料的本构方程[M]. 武汉：华中科技大学出版社,2004
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