三角函数竞赛讲义
高中数学竞赛讲义第六章 三角函数
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=rx,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se cα=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
九年级竞赛 第一讲 三角函数概念
c ab B C A DC B A 第一讲《三角函数概念》1．三角函数定义：如图Rt △ABC 中，∠C ＝90° 正弦：斜边的对边A A ∠=sin ；c a A =sin 余弦：斜边的邻边A A ∠=cos ；c b A =cos 正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ；b a A =tan 根据定义，写出∠B 的三个三角函数值 =B sin ___________；=B cos ____________；=B tan _______________；2．三角函数之间关系（1）同角三角函数关系AA A cos sin tan =；1cos sin 22=+A A （2）互余角三角函数关系（A ＋B ＝90）B A cos sin =；B A sin cos =；tanA ·tanB ＝1 一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值30°、45°、60°例题1：计算（1）22sin45°＋sin60°－2cos45°； （2）(1＋2)0－｜1－sin30°｜＋(21)－1；（3）sin60°＋︒-60tan 11； （4）2-3－(0032＋π)0－cos60°－211-.4．例题2：会设计并根据三角函数关系计算15°、75°角的三角函数练习：1.求证：22365.37tan 0--+=2．求︒18sin 的值5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而_______；cos α随α的增大而_______；tan α随α的增大而_______6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。
（根据三角函数关系）例题3：sinA ＝52，求cosA 、tanA例题4：α为锐角，若sin α＜23,求α的范围 α为锐角，若cos α＜23,求α的范围例题5：已知sin α+cos α=45，求sin α·cos α的值练习：1.化简ααcos sin 21⋅-2. 已知45°＜α＜90°,16173cos sin =⋅αα，求αsin。
高三数学课件：竞赛辅导-三角函数
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【例1】（1）已知cosβ= <β<π，求sinα的值。
（2）已知sin( -α)=
，sin(α+β)=
，且0<α<
，求
的值。
提示：（1）sinα= （2）sin2α=1-2 sin2( -α)=
=
； 。
【例2】求cos
cos
cos
… cos
的值。
解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ= 得 cos cos cos cos cos cos = cos cos cos = cos cos = ==
f（ ）＝cos（sin
）－
= cos 1－
<0，
∴存在唯一的d∈（0， ），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d． 对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind）） =sin d，sin（cosc）=c。 显然c∈（0， ）。且由y=sinx在（0， ）上的单调性和d的 唯一性，知c也唯一。故存在唯一的c＜d，使命题成立。
【例6】
n∈N，n≥2，求证：cos < <·· ·< < <1
· cos ··· cos ··
>
证明：∵0<
∴0<sin <
， ，cos2
=1-sin2
>1-
=
k=2，3，…，n。
∴(cos
=( ∴cos
· cos
)>
··· ·· cos
>( )2，
)2>(
)· (
)·· ·(
)
· cos
··· cos ··
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座33三角函数
比赛讲座 33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小. 三角函数的实质就是用线段长度之比来表示角的大小，进而将两个基本量联系在一同，使我们能够借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题. 三角函数不单是一门风趣的学识，并且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题以前，除了熟知初三教材中的相关知识外，还应当掌握：（1）三角函数的单一性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随 a 的值增大而减小；当 a 为钝角时，利用引诱公式转变为锐角三角函数议论.注意到 sin45 °=cos45°=, 由 (1) 可知 , 当时 0＜ a＜45°时 ,cosa ＞ sina; 当 45°＜ a＜90°时 ,cosa ＜ sina.(2)三角函数的有界性 |sina| ≤1,|cosa| ≤1,tga 、 ctga 可取随意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出） .例 1（ 1986 年全国初中数学比赛备用题）在△ABC 中，假如等式sinA+cosA=建立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角剖析对 A 分类，联合sinA 和 cosA 的单一性用列举法议论.解当 A=90°时， sinA 和 cosA=1；当 45°＜ A＜90°时 sinA ＞，cosA＞0，∴s inA+cosA＞当 A=45°时， sinA+cosA=当 0＜ A＜45°时， sinA ＞ 0,cosA ＞∴sinA+cosA＞∵1,都大于.∴裁减（ A）、（ C），选（ B） .例 2（ 1982 年上海初中数学比赛题）ctg67 °30′的值是（）（A）-1（B）2-（C）-1（D）（ E）剖析结构一个有一锐角恰为67°30′的 Rt△，再用余切定义求之.D 使 AD=AC，连DC，则解如图 36-1 ，作等腰 Rt△ABC，设∠ B=90°， AB=BC=1.延伸 BA到AD=AC= ，∠ D=22.5°, ∠DCB=67.5°. 这时，ctg67 °30′=ctg ∠DCB=∴选 (A).例 3(1990 年南昌市初中数学比赛题 ) 如图 , 在△ ABC中, ∠A所对的 BC边的边长等于 a, 旁切圆⊙O的半径为 R, 且分别切 BC及 AB、 AC的延伸线于 D， E，F. 求证 :R≤a·O′, 分别切三边于G,H,K. 由对称性知GE=KF(如图36-2).设 GB=a，证明作△ ABC的内切圆BE=x， KC=y,CF=b. 则x+a=y+b,①且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是 ,x-a=y-b.②①+②得 ,x=y. 进而知 a=b.∴G E=BC=a.设⊙ O′半径为r. 明显 R+r≤OO′ ( 当 AB=AC)时取等 .作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例 4（ 1985 年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2 边形 A A A A（ n 为自然数）各内角都是1234n+230°的整数倍，已知对于x 的方程：x 212=0①+2xsinA +sinAx2+2xsinA 2+sinA 3=0②x2+2xsinA 3+sinA 1=0③都有实根，求这凸4n+2 边形各内角的度数 .解∵各内角只好是、、、，∴正弦值只好取当 sinA 1=时，∵ sinA2≥sinA 3≥∴方程①的鉴别式△1 =4（sin2A1-sinA 2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1≠.当 sinA 1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的鉴别式△=4（ sin A -sinA） =0.1212方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1=.综上所述，可知sinA 1=1， A1=.同理， A2=A3=.这样其他4n-1 个内角之和为这些角均不大于又 n 为自然数，∴n=1, 凸 n 边形为 6 边形 , 且A4+A5 +A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、 b、 c、 S 与 a′、 b′、 c′、 S′. 若我们在正、余弦定理以前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由 .（1）解三角形例 5（第 37 届美国中学生数学比赛题）在图 36-3 中，AB是圆的直径， CD是平行于 AB的弦，且AC和 BD订交于 E，∠ AED=α , △CDE和△ ABE的面积之比是 ( ).22(A)cos α (B)sin α (C)cos α (D)sinα (E)1-sin α解如图，由于AB∥DC,AD=CB,且△ CDE∽△ ABE,BE=AE,所以连接 AD，由于 AB是直径，所以∠ ADB=在直角三角形ADE中， DE=AEcosα .∴应选 (C).例 6(1982年上海初中数学比赛题) 如图 36-4, 已知 Rt△斜边 AB=c,∠A=α , 求内接正方形的边长.解过 C作 AB的垂线 CH，分别与GF、 AB 交于 P、 H，则由题意可得又∵△ ABC∽△ GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包含下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法. 其特色是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，经过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，进而减少几何计算和证明中技巧性很强的作协助线的困难 .例 7（ 1986 年全国初中数学比赛搜集题）如图36-5 ，在△ ABC中， BE、 CF是高，∠ A=，则△ AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（ B）2∶3（ C）1∶1（ D）3∶4解由 BE、 CF 是高知 F、B、 C、 E 四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在 Rt△ABE中，∠ ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例 8(1981年上海中学生数学比赛题) 在△ ABC中∠C为钝角 ,AB 边上的高为h, 求证 :AB ＞2h.证明如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①∵∠C是钝角 , ∴∠ A+∠B＜, ∴ctgB ＞ ctg(- A)=tgA. ②由①、②和代数基本不等式，得例9（第一组对边与一条对角线之长的和为18 届国际数学比赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中16cm.试确立另一条对角线的全部可能的长度.解如图36-7 ，设四边形ABCD面积S 为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z. 则x+y+z=16(cm)由但 S=32，∴ sin θ =1,sin=1, 且 x-8=0. 故θ = =且x=8,y+z=8. 这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例 10(1964年福建中学数学比赛题) 设 a、b、c 是直角三角形的三边， c 为斜边，整数n≥3, 求证 :a n+b n＜ c n.剖析如图为三角不等式34-8,sin注意到nα+cosRt△ABC的边角关系nα＜ 1 来议论 .:a=csinα＞ 0,b=ccosα＞ 0, 可将不等式转变证明设直角三角形一锐角∠BAC= α ( 如图 ),则。
竞赛讲座(三角函数及其应用教师版)
三角函数及其应用三角是代数与几何联系的“桥梁”，同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具． ☆三角与代数☆ 【例1】求证：20720sin 31<︒<． 证明：证法1：由)2,0(,sin π∈<x x x ，20799sin20sin <<=︒ππ， 由)6,0(,3sin ππ∈>x x x ，31939sin 20sin =⨯>=︒πππ． 证法2：2320sin 420sin 360sin 3=︒-︒=︒，设x =︒20sin ，则023343=+-x x ，设2334)(3+-=x x x f ，21,0312)(2±==-='x x x f ，∴函数)(x f y =单调区间)21,(--∞↗，)21,21(-↘，),21(+∞↗，又∵2120sin 0<︒<，及0231274)31(>+-=f ，02757.13)207(<-=f ，∴20720sin 31<︒<． 【补充】求证：9210tan 61<︒<【练习】N n ∈，2≥n ，求证：321cos 31cos 21cos>⋅⋅n ． 证明：∵121311110<<<<-<<n n ， ∴kk 11sin0<<， ∴n k k k k k k k ,,3,2,)1)(1(111sin 11cos 2222=+-=->-=． ∴)11()4543()3432()2321()1cos 31cos 21(cos2nn n n n +⋅-⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅ 2)32(21121>>+=n n ，∴321cos 31cos 21cos>⋅⋅n ． 【例2】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：233sin sin sin 2≤++<C B A ． 证法1：因为x y sin =在区间)2,0(π上为上凸函数，由琴生(Jensen)不等式得2333sin3sin sin sin =++≤++C B A C B A ， 又由)2,0(,2sin ππ∈>x x x 得，2)(2sin sin sin =++>++C B A C B A π．证法2：C BA CB A B AC B A sin 2sin 2sin 2cos 2sin2sin sin sin ++≤+-+=++ .233)46(332)2sin 1)(2sin 33(332)2sin 1(2cos 2)2sin 1(2cos 24322=≤+-=+=+=C C C C C CC B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，不妨设C B A ≥≥，∴C B A C B A <-+<,，2cos 2cos ,22CB AC B A >-<-， ∴C CB AC B A B A C B A sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2sin sin sin ++>+-+=++ 2sin cos 1sin 2cos 22>++=+=C C C C．【练习】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：23cos cos cos 1≤++<C B A ．证明：C B A B A C B A cos 2cos 2cos 2cos cos cos +-+=++C BA cos 2cos 2++≥ 2323)212(sin 22sin 212sin 222≤+--=-+=C C C ，2)(cos 2cos 2)2cos(2cos B A B A B A +-+=-++πππ，2cos 2cos 2cos cos BA B A B A -+=+，<-2B A 2)(B A +-π， ∴2cos 2)(cos 2cos CB A B A =+->-π，∴C CC B A B A B A sin 2cos 2sin 22cos 2cos2cos cos =>-+=+， ∴1cos sin cos cos cos >+>++C C C B A ．【例3】已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，求证：4331111222≤+++++<cc b b a a ．证明：方法1：由已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，可设2tan ,2tan ,2tanC c B b A a ===， 其中C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，则A A A a a sin 212tan 12tan122=+=+，B B B b b sin 212tan 12tan 122=+=+，C C C c c sin 212tan 12tan122=+=+， 原不等式等价于233sin sin sin 2≤++<C B A ，证法见例2．方法2：))()(())((122c b c a b a acab c a b a a bc ac ab a a a a ++++=++=+++=+，=+++++222111c c b b a a ))()((2c b c a b a +++， 只需证433))()((21≤+++<c b c a b a ，即2))()((938<+++≤c b c a b a ． 由1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，可知3≥++c b a ，只需证加强不等式))()((9))((8c b c a b a ca bc ab c b a +++≤++++，即)2(9)3(8222222222222b c a c a b c b c a b a abc b c a c a b c b c a b a abc ++++++≤++++++，即≤abc 6b c a c a b c b c a b a 222222+++++，由均值可知显然成立．【练习】已知abc c b a c b a =++>,0,,，求证：231111111222≤+++++<cb a ．提示：设C c B b A a tan ,tan ,tan ===，原不等式等价于23cos cos cos 1≤++<C B A ．【变式】已知1),,0(,,=+++∞∈ca bc ab c b a ，求证：231111222≤+++++<cc b b a a ．提示：设2tan ,2tan ,2tan C c B b A a ===，原不等式等价于232sin 2sin 2sin 1≤++<C B A ．（或将c b a ,,分别替换为cb a 1,1,1将变为上面练习．） 【例4】设12π≥≥≥z y x ，且2π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值．)12,245.(83246cos 142cos 1cos 21cos )sin(21cos )]sin()[sin(21cos sin cos 2πππ===+=+≤+==+≤--+=z y x z zz y x z y x y x z y x)12,3.(81432cos142cos 1cos 21)sin(cos 21)]sin()[sin(cos 21cos sin cos 2πππ====+≥+==+≥-++=z y x x xz y x z y z y x z y x 【练习】设C B A ,,是三角形的三个内角，求证：3233sin 3sin 3sin 2≤++<-C B A ，并确定其中的等号何时成立．解析：不妨设︒≥60A ，则︒≤+120C B ，从而︒≤+<-≤︒180)(23||230C B C B ， 由此可得)(23c o s )(23c o s C B C B +>-．再由0)(23s i n ≥+C B ，得到)(23cos )(23sin 2)(23cos )(23sin 2C B C B C B C B ++≥-+，即)(3sin 3sin 3sin C B C B +≥+，于是2)(3sin 3sin 3sin 3sin 3sin -≥++≥++C B A C B A ， 为使23sin 3sin 3sin -=++C B A ，必须满足1)(3sin 3sin -=+=C B A ，0)(23sin =+C B ，这是不可能的，从而23sin 3sin 3sin ->++C B A ． 另一方面，由︒≥60A 可知，)(23cos )(23sin 23sin 3sin 3sin 3sin C B C B A C B A -++=++)(23sin 23sin C B A ++≤A A 23cos 23sin -=A A 23cos )123(sin 2-=33)23sin 1)(323sin 3(312)23sin 1)(123(sin 2A A A A -+=-+=323)46(3124=≤． 当且仅当,1)(23cos ),23sin 1()323sin 3(=--=+C B A A即︒==︒=20,140C B A 时，等号成立．【例5】对于任意的正数x 、y 、z 、及△ABC 三内角A 、B 、C ，总有：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．证明：0)sin sin ()cos cos (sin sin 2sin sin )cos cos (cos cos 2cos cos cos 2)cos cos (cos 2cos 2cos 2),,(22222222222222222≥-+--=-++--=----++--=---++=B z C y C y B z x C B yz B z C y C y B z x C B yz C y B z A yz z y C y B z x Cxy B zx A yz z y x z y x f ∴C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．【补充】求证：02cos 22cos 22cos 2222≥+++++C xy B zx A yz z y x【变式】求证：)(21cos cos cos zxy y zx x yz C z B y A x ++≤++ 求证：23cos cos cos ≤++C B A 求证：C ab B ca A bc c b a cos 2cos 2cos 2222++=++求证：C B A B A C A C B C B A cos sin sin 2cos sin sin 2cos sin sin 2sin sin sin 222++=++求证：)(21cos cos cos cabb ac a bc C c B b A a ++≤++ 【练习】给定正整数n ，求最小的正数λ，使得对于任何=i θ),,2,1)(2,0(n i =π，只要2212tan tan tan nn =⋅⋅⋅θθθ ，就有n θθθcos cos cos 21+++ 不大于λ．解析：1°当2,1=n 时，=λ33n ， 当1=n 时，33cos ,2tan 11==θθ，当2=n 时，,2tan tan 21=θθ设x =12tan θ，则x4tan 22=θ， xx 41111tan 11tan 11cos cos 221221+++=+++=+θθθθ x x xx x x x x x x x x 45345214545242411112++-+++=+++++++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++设]31,0(451∈=++t xx ，则341234111122≤++-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++t t x x ， =+21cos cos θθ33241111≤+++xx，当2=x 即21θθ=时取等号． 2°当3≥n 时，1-=n λ，先证1cos cos cos 21-<+++n n θθθ ①不妨设n θθθθ≥≥≥≥ 321，要证明①式成立，只要证2cos cos cos 321<++θθθ，②2212tan tan tan n n =⋅⋅⋅θθθ ，故22tan tan tan 321≥⋅⋅θθθ．2sin 1sin 1cos 22ii i θθθ-<-=，32322232sin sin 22sin sin 2cos cos θθθθθθ-≤+-<+，322212322212tan tan 81cos 1,tan tan 8tan θθθθθθ+≥∴≥， 32223222323222321sin sin cos cos 8sin sin tan tan 8tan tan cos θθθθθθθθθθθ+=+≤，)sin sin cos cos 811(sin sin 2cos cos cos 3222322232321θθθθθθθθθ+--<++2cos cos cos 321<++θθθ，⇔1sin sin cos cos 832223222≥+θθθθ⇔)tan 1)(tan 1(sec sec tan tan 8322232223222θθθθθθ++=≥+ ⇔7tan tan 3222≤+θθ ③．若③式成立，则②式成立．AB CP若③式不成立，即7tan tan 3222>+θθ，从而27tan tan 2212>≥θθ，32cos cos 21<≤θθ，21322cos cos cos 321<+<++θθθ．从而①式得证． 现证1-=n λ为最小的．事实上，若10-<<n λ，则取11<-=n a λ，从而存在,,,2,1)2,0(n i i =∈πθ使得)1,,2,1(1tan ,cos 2-=-==n i a a a i i θθ，1221(2tan --=n nn a aθ从而2212tan tan tan nn =⋅⋅⋅θθθ ，但λθθθθθθ=+++>+++-12121cos cos cos cos cos cos n n ， 当3≥n 时，最小的正数λ为1-n ．综上所求最小正数⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)3(,1)2,1(,33n n n n λ．【练习】设8,0,0,0=>>>abc c b a ，求证：21111111<+++++<cb a ．☆三角与几何☆【例6】已知点P 是锐角△ABC 内一点，使得∠PAB =∠PBC =∠PCA ．求证：C B A PAB cot cot cot cot ++=∠． 证明：证法1：设z PC y PB x PA ===,,，∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ则θcos 2222xc c x y -+= θcos 2222ya a y z -+= θcos 2222zb b z x -+=)(cos 2222cx bz ay c b a ++=++θ，又)(sin 21cx bz ay S ABC++=∆θ，∴ABCS c b a ∆++=4cot 222θ， Rabc c b a R a bc a c b CC B B A A C B A 4422sin cos sin cos sin cos cot cot cot 222222⨯++=⋅-+=++=++∑，RabcC ab S ABC 4sin 21==∆，∴C B A PAB cot cot cot cot ++=∠．证法2：由角元式赛瓦（Ceva ）定理得1)sin(sin )sin(sin )sin(sin =-⋅-⋅-θθθθθθC B A ，1)cos cot )(sin cos cot )(sin cos cot (sin =---C C B B A A θθθ，01)cos (cot )cos cos sin (cot )cos sin sin (cot )sin (23=--+-∏∑∑∏A C B A C B A A θθθ由C B A C B A C B A C B A sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin =++， C B A C B A C B A C B A cos cos cos 1cos sin sin sin cos sin sin sin cos +=++得 0)1)cos ((cot )sin (cot )1)cos ((cot )sin (23=+-++-∏∏∏∏A A A A θθθ0)1))(cot 1)cos ((cot )sin ((2=++-∏∏θθA A ， 0)1)cos ((cot )sin (=+-∏∏A A θ，CB A CB A CB AC B A C B A AA cot cot cot sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin 1)cos (cot ++=++=+=∏∏θ 证法3：（平面几何证法）略【练习】设P 为△ABC 内或边界上一点，点P 到三边的距离为PD 、PE 、PF ．求证：)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++．BPF C PE B PF C PE B PF C PE C B PEPF C B PEPF PF PE C B PEPF PF PE EF A PA sin sin )cos cos ()sin sin (sin sin 2cos cos 2)cos(2sin 222222+≥-++=+-+=+-+== ∴A BPF A C PE PA sin sin sin sin +≥， 同理B C PD B A PF PB sin sin sin sin +≥，CAPE C B PD PC sin sin sin sin +≥， )(2)sin sin sin sin ()sin sin sin sin ()sin sin sin sin (PF PE PD B AA B PF C A A C PE C B B C PD PC PB PA ++≥+++++≥++ 【补充】H 为锐角△ABC 的垂心，F E D ,,为垂足，求证：（1）垂足△DEF 的周长)(21cos cos cos c b a C c B b A a ++≤++=； （2）H 为垂足△DEF 的内心；（3）九点圆半径为外接圆半径的一半。
高中数学竞赛辅导课件(八)-三角函数(一)
2024/11/15
第一讲─三角函数的性质及应用
三角函数的性质的基本知识见《教程》P183 ,自学 课本例 1、例 2、例 5、例 6.
你知道反三角函数吗?
,
arc cos(
1),
arccot(
5) ,则(B )
4
3
4
(A) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (B) f () f ( ) f ( ) f ( )
(C) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (D) f ( ) f () f ( ) f ( )
2024/11/15
练习1
练习 1.
C ⑴(教程
P209
训练
1)已知
( 2
,
3
2
)
,则
arc
cos(sin
)
等于(
)
(A) (B) (C) (D) 3
2
2
2
D ⑵(教程
P210
训练
2)设
f
(x)
arc tan
x
1 2
arc sin
x
的值域为(
)
(A) ( , )
(B)
3 4
,
4
(C) ( 3 , 3 )
44
(D)
2
,
2
⑶(教程 P211 训练 9)
若 arc sin(sin sin ) arc sin(sin sin ) ,
2
1 则 sin2 sin2 的值是______.
竞赛三角函数教案高中模板
年级：高中学科：数学课时：2课时教学目标：1. 让学生掌握三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦、正切函数的定义、周期性、奇偶性、周期性等。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解题技巧，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
教学重点：1. 三角函数的基本概念和性质2. 解三角函数方程和不等式教学难点：1. 三角函数方程和不等式的解法2. 解题技巧和策略教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中阶段学习的三角函数知识，引导学生思考三角函数在高中数学中的重要性。
2. 引出本节课的学习内容：竞赛三角函数。
二、新课讲解1. 正弦、余弦、正切函数的定义：以单位圆为基础，介绍正弦、余弦、正切函数的定义，讲解函数的几何意义。
2. 周期性：讲解三角函数的周期性，并举例说明。
3. 奇偶性：讲解三角函数的奇偶性，并举例说明。
4. 三角函数的诱导公式：介绍诱导公式，讲解公式的推导过程和应用。
三、课堂练习1. 基本概念和性质的应用：让学生完成相关练习题，巩固所学知识。
2. 课堂讨论：引导学生讨论三角函数在实际问题中的应用。
四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学内容，检查学生对基本概念和性质的理解。
2. 引导学生思考如何运用三角函数解决实际问题。
二、新课讲解1. 三角函数方程和不等式的解法：讲解三角函数方程和不等式的解法，介绍解题技巧和策略。
2. 实际问题中的应用：举例说明三角函数在实际问题中的应用，如物理、工程、经济等领域。
三、课堂练习1. 解三角函数方程和不等式：让学生完成相关练习题，巩固所学知识。
2. 课堂讨论：引导学生讨论三角函数在实际问题中的应用。
四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对三角函数知识的掌握程度。
2019-2020年高考数学竞赛 三角函数教案讲义(6)
2019-2020年高考数学竞赛三角函数教案讲义（6）一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se cα=,余割函数c s cα=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,s inα=，co sα=；商数关系：tan α=；乘积关系：tanα×co sα=s inα,cotα×s inα=co sα；平方关系：s in2α+co s2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1=c s c2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=-co sα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, co s(-α)=co sα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=-co sα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）s in=co sα, co s=s inα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=s inx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y 取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。
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sin x 1 3 2cos x 2sin x
( 0 x 2 ) 的值域是 （C）[2,0 ]
(B)[-1,0]
（D）
19 求函数 y 7 4sin x cos x 4cos2 x 4cos4 x 的最大值与最小值。
π 3 － 3cos2x＋ ，x∈R. 4 3
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求
π f(x)在闭区间 － 4
π ， 上的最大值和最小值． 4
15（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一 1 点,∠BPC=90°(1)若PB= ,求PA;(2)若∠APB=150°,求 2
u r
u r
r
r
2
2
若
f ( x) m递增区间；
（Ⅱ）已知 ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且
A a 3， f 3 2 12 2
（A 为锐角）， 2sin C sin B ，求 A、 c、b 的值.
������ ������ ������ ������
6.已知函数 f（x）=Asin（wx+φ ）（A>0,w>0, 0<φ < ） 的图像关于 B（- ，0）对称，点 B 到函数 y=f(x)图像的
������ ������
对称轴的最短距离为
������ ������
，且 f( )=1.求：
������
������
(1)A,w,φ 的值；（2）若 0<θ <π ,且 f（θ ）= cos2θ 的值。
������ ������
，求
7.（数列与三角函数）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数， 使得这 n+2 个数 构成递增的等比数列，将这 n+2 个数的乘 积记作������������ ,再令������������ = ������������������������ ,n≥1.求：（1）数列{������������ }的通 项公式；（2）设������������ = ������������������ ������������ ·tan ������������+������ 。 8.（向量与三角函数）已知函数
三角函数思维方法篇 在三角函数类型问题中，我们对各类公式的运用和所 给条件的观察、变换能力有较高的要求。三角函数问题多 和不等式、其他函数等问题结合。各位同学在平时训练三 角函数竞赛题时，要注意多方面，多角度思考，尝试多种 解法，一题多做，多解，除了常规解法（配凑法，换元法， 放缩法等），还要锻炼思维如利用数形结合，分类讨论， 方程函数不等式转换和利用坐标运算等简化解题过程。 1.（不等式与三角函数问题） 求值������������������ （ ������ − ������ ������ + ������������ + ������ + ������ ������ + ������������ + ������)=_______. 2.(换元法的考察) 已知（1+sint）(1+cost)= ,则（1-sint）(1-cost)=____.
（1）当 x ,
f ( x) 3 1 sin 2 x cos 2 x x R 2 2
5 12 12
时，求函数 f x 取得最大值和最小值；
（2）设锐角 ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别是 a, b, c ，且
a 1, c N * ，若向量 m 1,sin A 与向量 n 2,sin B 平行，求 c 的
值.
10．设函数 （Ⅰ）求
， 的最大值，并写出使 取最大值时 x 的集合；
（Ⅱ）已知 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 ， a 1 ，求 ABC 的面积的最大值．
1 1 11．已知向量 m m cos x n x m 3 sinx x cos x,1 ,， n ,n cos , cos 3 sin ,1 x,
12 ∆ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 是∆ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ)求 sin B ;
sin C
(Ⅱ) 若 AD =1， DC =
2 2
求 BD 和 AC 的长.
13 已知向量 a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数 f(x)＝ a· b，且
tan∠PBA
16 将函数 y 3sin( x ) 的图象 F 按向量 ( ,3) 平移得到图象 F ,
3
若 F 的一条对称轴是直线 x ,则 的一个可能取值是 A
4
A. D.
11 12
5 12
B.
5 12
C.
11 12
18 函数 f(x)= （A）[[3,0 ]
π y＝f(x)的图像过点 ， 12 2π 3和点 ，－2. 3
(1)求 m，n 的值； (2)将 y＝ f(x)的图像向左平移 φ(0＜φ＜π )个单位后得 到函数 y＝g(x)的图像，若 y＝g(x)图像上各最高点到点(0， 3)的距离的最小值为 1，求 y＝g(x)的单调递增区间． 14 已知函数 f(x)＝cos x·sin x＋
������ ������
3.（正余弦定理与三角函数结合,边化角） 在三角形 ABC 中，������������ + ������ ������ = ������������ + ������������,且 =
������ ������ ������+������ ������
,则
sinC=____. 4.（构造相似三角形） 在三角形 ABC 中，已知 2b=a+c，且 a<b<c,C-A=90°,求 sinA:sinB:sinC 的值。 5. （几何引入三角函数助解题，此题方法较多解法不唯一） 在三角形 ABC 中，∠C=90°，M 是 BC 的中点，若 sin∠ BAM= ，则 sin∠BAM=_____.