2020年高考理科数学原创专题卷：《三角函数》

原创理科数学专题卷 专题 三角函数

考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）

考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I 卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点16 易

已知3cos(

)25π

?+=，且||2π

?<，则tan ?为（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．34

2．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二月考 考点16 易 设3tan =α，则

=++--+-)

2

cos()2

sin(

)cos()sin(απ

απ

αππα（ ）.

A ．3

B ．2

C ．1

D ．﹣1 3．【来源】2017届山东临沂市高三理上学期期中 考点16 易 若点22sin

,cos 33ππ?

? ??

?

在角α的终边上，则sin α的值为 A. 12-

B. 2-12

D. 2

4．【来源】2017届山东德州市高三上学期期中 考点16 中难

已知sin cos x x +=()0 x π∈，

，则tan x =（ ）

A.

5．【来源】2017届湖南五市十校高三理12月联考 考点17 中难

已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω??

?=+>< ???的部分图象如图，则2016

1

6

n n f π

=??

= ???

∑（ ）

A ．-1

B ．0

C ．

1

2

D ．1 6．【2017课标1，理9】 考点17 中难 已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +

2π

3

)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2

7.【2017课标3，理6】 考点18 易 设函数f (x )=cos (x +

3

π

)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π

B ．y =f (x )的图像关于直线x =

83

π

对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =

6π D ．f (x )在(2

π

,π)单调递减 8．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二文上学期月考 考点18 中难

定义行列式运算=a 1a 4﹣a 2a 3．将函数f （x ）=的图象向左平移n （n ＞0）

个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（）. A ．

B ．

C ．

D ．

9．【来源】2017届河南豫北名校联盟高三文上精英对抗赛 考点18 中难

已知函数()sin f x x x =+，当[0,]x π∈时，()1f x ≥的概率为（ ） A.

13 B.14 C.15 D.1

2

10．【2017天津，理7】 考点18 中难

设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，||?<π.若5()28f π=，()08

f 11π

=，

且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）

A 23ω=

，12?π= B 23ω=，12?11π=- C 13ω=，24?11π=- D 13ω=，24?7π

= 11．【来源】2017届福建厦门一中高三理上期中 考点18 难

若函数()1

sin 2cos 2

f x x a x =

+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.(],1-∞- B.[)1,-+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞

12．【来源】2017届重庆市一中高三上学期期中 考点18 难 已知)2

,

0(π

∈x ，则函数x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为（ ）

A ．)2,1[

B ．),2[+∞

C ．]2,1(

D ．),1[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题） 二.填空题（每题5分，共20分）

13．【2017北京，理12】 考点16 中难

在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称. 若1

sin 3

α=

，cos()αβ-=___________. 14．【2017课标II ，理14】 考点18 易 函数(

)23sin 4f x x x =-

（0,2x π??

∈????

）的最大值是 。 15.【来源】【百强校】2015-2016福建师大附中高一下期中考数学（实验班）试卷 考点18

中难

已知函数sin()4y x π

ω=+

（0ω>）是区间3

[,]4

ππ上的增函数，则ω的取值范围是 . 16．【来源】2016届山西太原市高三第二次模拟考试 考点18 难

已知关于x 的函

数22

2sin()4()2cos tx x x

f x x x

π

+++=+的最大值为a ，最小值为b ，若

2a

b +=，则实数t 的值为_________.

三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2017届江苏南京市高三上学期学情调研 考点16易 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单

位圆交于点,A B ，若点A 的横坐标是

310

10

，点B 的纵坐标是255.

（1）求cos()αβ-的值；

（2）求αβ+的值.

18．（本题满分12分）【来源】2017届安徽六安一中高三上学期月考 考点17 易

已知向量)

1cos 3cos 22a x b x x x R ??=-=∈ ??

?r r

，，，，，设函数()f x a b =r r g .

（1）求()f x 的表达式并完成下面的表格和画出()f x 在[]0π，范围内的大致图象；

0 2π π

32

π

x

0 π

()f x

（2）若方程()0f x m -=在[]0π，上有两个根α、β，求m 的取值范围及αβ+的值． 19.【2017山东，理16】考点18 易 设函数()sin()sin()62f x x x π

πωω=-+-，其中03ω<<.已知()06

f π

=.

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移

4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44

ππ-上的最小值.

20.（本题满分12分）【来源】2017届江西省高三第一次联考考点18 中难 已知函数()21sin 2cos ,2f x m x x x R =--

∈，若tan 3α=()3

26

f α=-． （1）求实数m 的值及函数()f x 的最小正周期；

（2）求()f x 在[]0,π上的递增区间．

21．（本题满分12分）【来源】2017届湖北省百所重点校高三联合考试 考点18 中难 已知函数()2

3

3cos cos 2

f x x x x =++

． （1）当,63x ππ??

∈-???

?时，求函数()y f x =的值域；

（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ??=+

???，若函数()g x 在区间2,36ππ??

-????

上是增函数，求ω的最大值．

22．（本题满分12分）【来源】2017届湖北襄阳五中高三上学期开学考试 考点18 难 函数()sin()(0,||)2

f x x π

ω?ω?=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[

,]1212

ππ． （1）求()f x 的解析式；

（2）将()y f x =的图象先向右平移

6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12

倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的3[,]88

x ππ

∈，不等式

|()|1g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】333cos(

),sin ,sin 2555π

???+=∴-==-

Q ，又||2

π

?<，则

4

3

cos sin tan 54cos -==∴=

???? 2．B 【解析】

sin()cos()sin cos tan 131

2cos sin 1tan 13

sin()cos()22

αππααααππ

ααααα-+-------=

===----++

3．A

【解析】21

32cos 3

2cos 32sin 3

2cos

sin 2

2-==+==

ππ

ππ

αr

y

，故选A.

4．D

【解析】因为()0 x π∈，

，

且0sin cos 1x x <+=<，所以3 2

4x π

π??∈ ???，，

由

sin cos x x +=

2sin cos x x =

，即42sin 22,33

x x x ππ===

，

tan x = D.

5．B

【解析】由题意得25244126T πππωω==-?=，sin()1,326πππ

???+=

，因为sin 6

36n n f π

ππ????

=+ ?

?????，周期为6，一个周期的和为零，所以2016

1

6

n n f π

=??=

???∑0，选B.

6.【答案】D

【解析】)6

2cos()2322cos()322sin(:2ππππ+=-+=+=x x x y C ，则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍得到x y 2cos =，再将所得曲线向左平移12

π

个单位得到2C . 7.【答案】D 【解析】

8．B

【解析】由题意可知(

)3cos sin 2cos 6f x x x x π??

=-=+

??

?

，向左平移n 个单位后得2cos 6y x n π?

?=++ ???

为偶函数566n k n πππ∴+=∴=

9．D

【解析】由()sin 3cos 2sin()13f x x x x π

=+=+

≥及[0,]x π∈得[0,]2

x π

∈，所以所求

概率为1

22

P π

π==，故选D.

15．【答案】A

11．A

【解析】∵

()1

sin 2cos 2

f x x a x =+在区间

()

0,π上是增函数，∴

()0sin 2cos >-='x a x x f ，∴0sin sin 212>--x a x ，即0122>+--at t ，

(]1,0∈t ，∴t

t a 1

2+

-<，令()

t

t t g 1

2

+-=，则()

01

22

<-

-='t

t g ，∴(

)t g 在

(]1,0∈t 递减，∴()11-=

12

．B

【解析】Θx x x x x f cot cos tan sin )(+=

x x x x x x x x x x x x x x x x x f cos sin ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin )(23322-++=

+=+=∴设2

1

cos sin )4sin(2cos sin 2-=?+=+=t x x x x x t π

)2

,0(π

∈x Θ]2,1(]1,22(

)4sin()43,4(4∈?∈+?∈+∴t x x ππππ ]2,1(,1

32

1)21

3()(2

3

222

∈--=--?-=∴t t t t t t t t t f 0)1(3)(224<---='∴t t t f )(t f ∴在区间]21，（上单调递减，21

)2()2(23)2()(2

3

min =--==f x f 13．【答案】79

- 【解析】

14．【答案】1 【解析】

15.159(0,][,]434

U 【解析】由题设因0>ω且

ππ≤≤x 43,则4

4434πωππωωππ+≤+≤+x ,结合正弦函数的图象可知240ππωπ≤+<或???

????≤+≥+ππωππ

ωππ2542

3

434,解之得410≤<ω或4935≤≤ω.故应

填1

59(0,][,]434

U . 16．1

【解析】函数2

222sin()4()2cos tx t x x f x x x π

++=+x

x x x x t tx cos 2cos 22sin 22222

2

++???? ??++= ()

()x

x x

x t t x x x x t x x t cos 2sin cos 2sin cos 2222+++

=++++=令

()x

x x

x t x g cos 2sin 2++=

，则

()x

x x

x t x g cos 2sin 2++-

=-，设()x g 的最大值为M ，最小值为N ，则0=+N M ，即有

a M t =+，

b N t =+，222==++=+t N M t b a ，解得1=t ．故答案为：1． 17．（1）－2

10（2）34π

【解析】因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是1010， 所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝310

，

从而sin

＝． ………………………………(2分) 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B

的纵坐标是，

所以sin

β＝5，从而cos

5． ………………………………

(4分)

（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝10×(

－5)

＋10

×5

＝－10． ………………………………(6分)

（2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

＝×(

－)

＋

×

＝2． ………………………………(8分)

因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π

)，

所以α＋β＝34π

． ………………………………(10分)

18．（1）)62sin()(π

-=x x f ，表格和图象见解析；（2）)1,21()21,1(-?--∈m ，=+βα3

2π

或

3

5π

． 【解析】

（1）(

)11cos cos 22cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π?

?==-=-=- ??

?r r g ， (3)

分

……………………………………(9分)

（2）由图可知111122m ????

∈--- ? ?????

U ，，，

42

12

αβ

π+=

或10

12π，

∴23

αβπ+=或5

3π． ………………………………(12分)

19.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值3

2

-. 【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62

f x x x π

π

ωω=-

+-， 所以31

()cos cos 2

f x x x x ωωω=

-- 33

cos 22

x x ωω=

- 133(sin cos )22

x x ωω=-

3(sin )3

x π

ω=-………………………………(4分)

由题设知()06

f π

=，

所以

6

3

k ωπ

π

π-

=，k Z ∈.

故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.………………………………(5分)

…………………………

……(12分) 20．（1） 3m =,T π=； （2） ()f x 在[]0,π上的递增区间是50,,,36πππ????

???

?????

. 【解析】（1）

()22212tan 11tan 4311

sin 2cos 211121tan 21tan 26

m f m m ααααααα--=--=--=-++g g ，

又∵()326

f

α=-

，4311312626m --=-，即3

2m = ………………………………(4分) 故()312cos 21sin 2126f x x x x π?

?=

--=-- ??

?， ∴函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

= ………………………………(6分) （2） ()f x 的递增区间是2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤-

≤+

，

∴

,6

3

k x k k Z

π

π

ππ-

≤≤+

∈，所以在

[]

0,π上的递增区间是

50,,,36πππ???????????? ………………………………(12分)

21．（1）3

,32??????

；（2）1.

【解析】（1）()31cos 23sin 2sin 222226x f x x x π+??=++=++ ??

?．……………………(2分) ∵,63x ππ??

∈-

????，∴52,666x πππ??+∈-????，∴1sin 2126x π??-≤+≤ ??

?，

∴函数()y f x =的值域为3,32?????

?

………………………………(4分)

（2）()sin 22123x g x f x ωππω???

?=+=++

? ????

?，

当22,,3633363x x πππωππωππω??

??∈-

+∈-++???????

?g ，………………………………(6分) ∵()g x 在2,36ππ??

-

????

上是增函数，且0ω>， ∴2,2,2,336322k k k Z ωππωππππππ????-

++?-++∈????????

， 即22332

26

32k k ωππ

ππωππππ?-+≥-+????+≤+??，化简得534

112k k ωω?≤-???≤+?，………………………………(10分) ∵0ω>，∴15

,1212

k k Z -

<<∈，∴0k =，解得1ω≤，因此，ω的最大值为1 22．（1）()sin(2)3

f x x π

=-

；（2）1

02

m <<

． 【解析】（1）由条件，

115212122T πππ=-=，∴2ππω=，∴2ω=，又5sin(2)112

π

??+=，∴3

π

?=-

，∴()f x 的解析式为()sin(2)3

f x x π

=-

．…………………………

(4分)

（2）将()y f x =的图象先向右平移

6π个单位，得2sin(2)3

y x π=-， ∴2()sin(4)3

g x x π

=-

，………………………………(6分) 而3[

,

]88x ππ

∈，∴2546

36x π

ππ-

≤-

≤，∴函数()g x 在3[,]88

ππ上的最大值为1，此时2432x ππ-

=，∴724x π=；最小值为12-，此时2436

x ππ-=-，∴8x π

=． 3[,]88

x ππ

∈时，不等式|()|1g x m -<恒成立，即1()1m g x m -<<+恒成立，

即max min ()1()1g x m g x m <+??>-?，∴11

112

m m <+???->-??，∴102m <<．………………………………(12分)