多目标规划_matlab程序-XX的小论文
Matlab与多目标优化算法的集成方法
Matlab与多目标优化算法的集成方法I. 引言过去几十年来，多目标优化算法在解决复杂问题中显示出了巨大潜力。
然而，这些算法的实施常常很困难，并且需要大量的计算资源和专业知识。
为了克服这些挑战，研究人员一直在寻找能够简化和集成多目标优化算法的方法。
本文将介绍一种用Matlab集成多目标优化算法的方法，以帮助研究者更有效地解决多目标优化问题。
II. Matlab的优势Matlab是一种强大的数值计算和数据分析工具，拥有丰富的内置函数和开发工具，使得实现和调试多目标优化算法变得更加容易。
Matlab提供了一套经典的优化函数，如fmincon和fminunc，可以帮助研究者快速实现单目标优化算法。
此外，Matlab还具备灵活的可视化和绘图功能，有助于分析多目标优化算法的结果。
III. 多目标优化算法多目标优化算法旨在找到一组解决方案，称为无偏和非劣解集。
这些解决方案通常形成一个非支配前沿。
常见的多目标优化算法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火算法等。
这些算法通过不同的搜索策略和参数调整方法来寻找最佳解决方案。
IV. Matlab集成多目标优化算法的方法1. 选择合适的优化函数Matlab提供了许多用于多目标优化的函数，如gamultiobj和paretofront等。
研究者需要根据具体问题和算法的要求选择合适的函数。
这些函数提供了各种参数和选项，可帮助研究者进行必要的调整和控制。
2. 实现目标函数和约束条件在使用多目标优化算法之前，研究者需要编写目标函数和约束条件。
目标函数的定义决定了多目标优化算法如何评估解决方案的优劣，并提供搜索方向。
约束条件用于限制解决方案的可行空间。
Matlab的函数编程能力使得实现目标函数和约束条件变得简单和直观。
3. 设定搜索参数和调整算法多目标优化算法具有许多参数和选项，例如种群大小、迭代次数和交叉率等。
研究者可以使用Matlab提供的函数来设定这些参数，并通过调整它们来改进解决方案的性能。
matlab多目标规划精编版
多目标规划问题的典型实例
例3 生产计划问题
某工厂生产 A1、A2 和 A3 三种产品以满足市场的需要，该厂每周生产的时间为 40h， 且规定每周的能耗都不得超过 20t 标准煤，其数据表如表 8-1 所示。现在的问题时， 每周生产三种产品各多少小时，才能使得该厂的利润最多，而能源消耗最少？
产品
f1 x 500x1 400x2 600x3 f2 x 0.48x1 0.65x2 0.42x3
x1 x2 x3 40 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 20x1 700 25x2 800 15x3 500 x1, x2 , x3 0
x1 60 又考虑到购买的数量必须要满足非负的条件，由于对 x1 已经有相应的约束条件，故只 需添加对 x2 的非负约束即可。 综合以上分析，得到最优化数学模型如下：
min max
f1 x 2x1 1.5x2 f2 x x1 x2
x1 x2 120 2x1 1.5x2 300 x1 60 x2 0
f1 x的同时极小化 f2 x 。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周
的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下
述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的Leabharlann 负性，总结得到该问题的数学模型为：
Matlab在目标规划问题中的应用
Matlab在目标规划问题中的应用问题提出：在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证从中提取最佳方案。
最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。
优化问题无所不在，最优化方法的应用和研究也已经深入到了生产和科研的各个领域，如军事指挥、机械工程、运输调度、生产控制、经济规划与管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。
这学期我们系统科学专业指挥类学员开设运筹学这门课，初步见识最优化方法的魅力。
如今最优化方法的发展迅速，已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。
利用Matlab的优化工具箱，可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。
在学习运筹学的过程中，我们了解所谓优化问题，就是求解如下形式的最优解：Min fun (x)Sub. to [C.E.][B.C.]其中fun (x)称为目标函数，“Sub. to”为“subject to”的缩写，由其引导的部分称为约束条件。
[C.E.]表示Condition Equations，即条件方程，可为等式方程，也可为不等式方程。
[B.C.]表示Boundary Conditions，即边界条件，用来约束自变量的求解域，以lb≤x≤ub的形式给出。
当[C.E.]为空时，此优化问题称为自由优化或无约束优化问题；当[C.E.]不空时，称为有约束优化或强约束优化问题。
在优化问题中，根据变量、目标函数和约束函数的不同，可以将问题大致分为：·线性优化目标函数和约束函数均为线性函数。
·二次优化目标函数为二次函数，而约束条件为线性方程。
线性优化和二次优化统称为简单优化。
·非线性优化目标函数为非二次的非线性函数，或约束条件为非线性方程。
·多目标优化目标函数并非一个时，称为多目标优化问题。
线性规划等最优化方法只有一个目标函数，是单目标最优化方法。
使用Matlab进行多目标优化和约束优化
使用Matlab进行多目标优化和约束优化引言：多目标优化和约束优化是现代科学和工程领域中的重要问题。
在很多实际应用中，我们常常面对的是多个目标参数之间存在冲突的情况，同时还需要满足一定的约束条件。
这就需要我们采用适当的方法和工具进行多目标优化和约束优化。
本文将介绍如何使用Matlab进行多目标优化和约束优化。
一、多目标优化多目标优化是指在优化问题中存在多个目标函数，我们的目标是同时优化这些目标函数。
在Matlab中，可以使用多种方法进行多目标优化，其中常用的方法包括遗传算法、粒子群算法和模拟退火等。
1.1 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
它模拟了遗传的过程，通过交叉、变异和选择等操作，利用群体中不断进化的个体来搜索最优解。
在多目标优化中，遗传算法常用于生成一组非支配解，即没有解能同时优于其他解的情况。
Matlab中提供了相关的工具箱，如Global Optimization Toolbox和Multiobjective Optimization Toolbox，可以方便地进行多目标优化。
1.2 粒子群算法粒子群算法是一种基于群体行为的优化算法。
它通过模拟鸟群或鱼群等群体的行为，寻找最优解。
在多目标优化中，粒子群算法也可以生成一组非支配解。
Matlab中的Particle Swarm Optimization Toolbox提供了相关函数和工具，可以实现多目标优化。
1.3 模拟退火模拟退火是一种模拟金属冶炼过程的优化算法。
它通过模拟金属在高温下退火的过程，通过温度控制来逃离局部最优解，最终达到全局最优解。
在多目标优化中，模拟退火算法可以通过调整温度参数来生成一组非支配解。
Matlab中也提供了相关的函数和工具，可以进行多目标优化。
二、约束优化约束优化是指在优化问题中存在一定的约束条件，我们的目标是在满足这些约束条件的前提下，使目标函数达到最优。
在Matlab中，也有多种方法可以进行约束优化，其中常用的方法包括罚函数法、惩罚函数法和内点法等。
基于MATLAB的多目标规划方法实现
基于 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ的多 目标规划方法实现
曾庆 雨 张转 周 刘衍 民 吴 祥标 遵 义师 范 学 院 数 学与 计算 科学 学 院 贵 州 遵 义 ５ ６ ３ ０ ０ ２
摘要 ：数学规划所研 究的都是在 给定的约束集合 Ｒ上，求一个 目标函数 厂 （ ｘ ） 的最 大或最 小的问题
ｏ ａｌ ， ｗ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ， Ａ ， ｂ ， Ａ ｅ ｑ ， ｂ ｅ ｑ ， １ ｂ ， ｕ ｂ ， ｎ ｏ ｎ ｌ ｅ ｏ ｎ ， ｏ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ）
结果表 明：当 Ｘ ｌ ＝ ７ ５ ０ ， ｘ ￣ ＝ ２ ５ ０ 时 取 得 最 优 解 出来 ，就 是求 １ 、 ２ 使：
Ｊ
，
ｍ ａ ｘ （ ） ＝ ０ ． ６ ０ ＋ ０ ． ７ ０ 恐
，
ｆ ＋ ： １ ０ ０ ０ ｊ 二 ＿ 五 而 ｏ
ｌ ｍ ｉ ｎ Ａ （ ｘ ， ， ｘ ２ ） ＝ ０ ・ ０ ０ １ ｇ＋ ０ ・ ０ ０ ２ ｘ ￣ ＋ ０ ・ ０ ０ １ ｘ ， ｘ ￣ 且满足：【Ｘ １ ， ≥ ０
即 方 案 的好 坏 仅 以一 个 目 标去衡量 ，然 而，在很 多实际问题 中，衡 量一个 方案的好坏往往 难 以用一个指标去判 断，而且 ，这些指标有时往往不是那 么 协 调 ，甚 至是 相 互 矛 盾 的 ． 本 文 通 过 实 例 ， 介 绍 了 多 目标 规 划 问题 的处 理 方 法 ， 最 后 用 Ｍ ａ ｔ Ｉ ａ ｂ软 件 加 以实 现 。 关键 词 ： 多 目标 规 划 ：Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ ：投 资 决 策 中 图 分 类 号 ：￥ Ｆ Ａ Ｌ Ｓ Ｅ ￥ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１ ６ ７ １ — ５ ８ ６ １ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ － ０ ２ ６ １ － ０ １
多目标规划matlab程序实现——【2019数学建模+思路】
优化与决策——多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现摘要：求解多目标线性规划的基本思想大都是将多目标问题转化为单目标规划，本文介绍了理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法，然后给出多目标线性规划的模糊数学解法，最后举例进行说明，并用Matlab 软件加以实现。
关键词：多目标线性规划 Matlab 模糊数学。
注：本文仅供参考，如有疑问，还望指正。
一．引言多目标线性规划是多目标最优化理论的重要组成部分，由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性,要求使所有目标均达到最优解是不可能的,因此多目标规划问题往往只是求其有效解(非劣解)。
目前求解多目标线性规划问题有效解的方法,有理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法。
本文也给出多目标线性规划的模糊数学解法。
二．多目标线性规划模型多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函数,其数学模型表示为：11111221221122221122max n n n nr r r rn nz c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++⎧⎪=+++⎪⎨ ⎪⎪=+++⎩ （1）约束条件为：1111221121122222112212,,,0n n n n m m mn n mn a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx x x +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪ ⎨⎪+++≤⎪≥⎪⎩ （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。
我们记:()ij m n A a ⨯=,()ij r n C c ⨯=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ，12(,,,)T r Z Z Z Z = .则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为:max Z Cx =约束条件：0Ax bx ≤⎧⎨≥⎩（3）三．MATLAB 优化工具箱常用函数[3]在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为：①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。
matlab-多目标规划模型
§10.2 多目旳规划问题旳求解
1、主要目旳法
在有些多目旳决策问题中，多种目旳旳主要性程度
往往不同。其中一种主要性程度最高和最为关键旳目
旳，称之为主要目旳法。其他旳目旳则称为非主要目
旳。
optF ( X ) ( f1 ( X ), f2 ( X ),...., f p ( X ))T
2. 过程：无妨设其顺序为 f1, f2,, f p
先求解
min ( P1 )s.t.
f1 ( x) xS
再解
min (P2 )s.t.
f2 ( x) x S1
依次进行，直到
得最优值 f1*
得最优值
f
* 2
，记 S1 x f1(x) f1* S
，S2
x
f2(x)
f
* 2
S1
(Pp )ms.ti.n
f p (x) x
则
Sp
x
f p (x)
f
* p
S p1
是在分层序列意义下旳最优解集合。
3.
性质：
Sp
S
* pa
，即在分层序列意义下旳最优解是有
效解。
证明：反证。设
~
xSp
，但
~
x
S
* pa
，则必存在
~
yS
使
~
~
F(y) F(x)
即至少有一种j0 ，使
~
~
f j ( y) f j (x), j 1,, j0 1,
成本型指标
可靠性和敏捷性都属于效益型指标，其打分如下
可靠性 一般 低
高
很高
5
敏捷 高 性
3
基于matlab的线性规划论文
1 绪论随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。
企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。
过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。
在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，是难以生存的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。
在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。
这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”（Linear Programming，简记为LP）问题。
线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。
利用线性规划我们可以解决很多问题。
如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。
也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。
同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。
2 线性规划模型的建立与求解2.1线性规划模型线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有非负要求（称这样的变量为自由变量）。
为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标准形式为112211112211211222221122,min ...,,···0(1,2,,).n n n n n n m m mn n m i z f x f x f x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x i n =+++⎧⎪+++≤⎪⎪+++≤⎪⎨⎪⎪+++≤⎪≥=⎪⎩极小值模型112211112211211222221122max ...,,,0(1,2,,).n n n n n n m m mn n m i z f x f x f x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x i n =+++⎧⎪+++≥⎪⎪+++≥⎪⎨⎪⎪+++≥⎪≥=⎪⎩极大值模型 利用矩阵与向量记为min ..0T z C xs t Ax b x ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩其中C 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，b ≥0，A 为m ×n 矩阵,m<n 且rank(A)=m 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
优化与决策——多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现指导老师: XX教授学生姓名: XX多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现丁宏飞（西南交通大学数学学院四川成都 610031）摘要：求解多目标线性规划的基本思想大都是将多目标问题转化为单目标规划，本文介绍了理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法[1]，然后给出多目标线性规划的模糊数学解法[2]，最后对每种解法给出例子，并用Matlab 软件加以实现。
关键词：多目标线性规划 Matlab 模糊数学Some solutions of Multi-objective linear programming and realized by MatlabDing HongfeiSchool of Mathematics, Southwest Jiaotong University ,Chengdu, 610031Abstract: The basic ideas to solve Multi-objective linear programming are transforming the multi-objective problem into single-objective planning, This paper introduces the ideal point method, linear weighted and law, max-min method, the goal programming method, then given multi-objective linear programming Fuzzy mathematics method, finally give examples of each method and used Matlab software to achieve.Key words: Multi-objective Linear Programming Matlab fuzzy mathematics一．引言多目标线性规划是多目标最优化理论的重要组成部分，由于多个目标之间的矛盾性和不可公度性,要求使所有目标均达到最优解是不可能的,因此多目标规划问题往往只是求其有效解(非劣解)。
目前求解多目标线性规划问题有效解的方法,有理想点法、线性加权和法、最大最小法、目标规划法，然而这些方法对多目标偏好信息的确定、处理等方面的研究工作较少，本文也给出多目标线性规划的模糊数学解法。
二．多目标线性规划模型多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函数,其数学模型表示为：11111221221122221122m ax n n n nrr r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x=+++⎧⎪=+++⎪⎨ ⎪⎪=+++⎩ （1）约束条件为：1111221121122222112212,,,0n n n n m m m n n mn a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx x x +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥⎪⎩ （2）若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。
我们记:()ij m n A a ⨯=,()ij r n C c ⨯=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ，12(,,,)Tr Z Z Z Z = .则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为:m ax Z C x =约束条件：0A x b x ≤⎧⎨≥⎩ （3）三．MA TLAB 优化工具箱常用函数[3]在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为：①.[x,fval]=linprog (f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。
算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon (fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ）fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。
算法原理：基于K-T （Kuhn-Tucker ）方程解的方法。
③.[x,fval ]=fminimax (fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。
算法原理：序列二次规划法。
④.[x,fval ]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,goal 变量为目标函数希望达到的向量值, wight参数指定目标函数间的权重,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下限和上限, fval 求解的x 所对应的值。
算法原理：目标达到法。
四．多目标线性规划的求解方法及MA TLAB 实现4.1理想点法在（3）中，先求解r 个单目标问题：min (),1,2,j x DZ x j r ∈= ，设其最优值为*j Z ，称****12(,,)r Z Z Z Z = 为值域中的一个理想点，因为一般很难达到。
于是，在期望的某种度量之下，寻求距离*Z 最近的Z 作为近似值。
一种最直接的方法是最短距离理想点法，构造评价函数()Z ϕ=然后极小化[()]Z x ϕ，即求解min [()]x DZ x ϕ∈=并将它的最优解*x 作为（3）在这种意义下的“最优解”。
例1：利用理想点法求解112212121212m ax ()32m ax ()43.2318210,0f x x x f x x x s t x x x x x x =-+=+ +≤ +≤ ≥解：先分别对单目标求解：①求解1()f x 最优解的MA TLAB 程序为 >> f=[3;-2]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0]; >> [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 结果输出为：x = 0.0000 6.0000 fval = -12.0000即最优解为12.②求解2()f x 最优解的MA TLAB 程序为 >> f=[-4;-3]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0]; >> [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 结果输出为：x =3.0000 4.0000fval =-24.0000即最优解为24. 于是得到理想点：（12，24）. 然后求如下模型的最优解121212m in [()].2318210,0x Df x s t x x x x x x ϕ∈=+≤ +≤ ≥MA TLAB 程序如下：>> A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; x0=[1;1]; lb=[0;0];>> x=fmincon('((-3*x(1)+2*x(2)-12)^2+(4*x(1)+3*x(2)-24)^2)^(1/2)',x0,A,b,[],[],lb,[]) 结果输出为：x = 0.5268 5.6488则对应的目标值分别为1()9.7172f x =,2()19.0536f x =.4.2线性加权和法在具有多个指标的问题中，人们总希望对那些相对重要的指标给予较大的权系数，因而将多目标向量问题转化为所有目标的加权求和的标量问题，基于这个现实，构造如下评价函数，即1m in ()()riix Di Z x Zx ω∈==∑将它的最优解*x 作为（3）在线性加权和意义下的“最优解”。
（i ω为加权因子，其选取的方法很多，有专家打分法、容限法和加权因子分解法等）.例2：对例1进行线性加权和法求解。
（权系数分别取10.5ω=，20.5ω=） 解：构造如下评价函数，即求如下模型的最优解。
1212121212m in{0.5(32)0.5(43)}.2318210,0x x x x s t x x x x x x ⨯-+⨯-- +≤ +≤ ≥MA TLAB 程序如下：>> f=[-0.5;-2.5; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0]; >> x=linprog(f,A,b,[],[],lb)结果输出为：x =0.0000 6.0000则对应的目标值分别为1()12f x =,2()18f x =.4.3最大最小法在决策的时候，采取保守策略是稳妥的，即在最坏的情况下，寻求最好的结果，按照此想法，可以构造如下评价函数，即1()max i i rZ Z ϕ≤≤=然后求解： 1[()]m a x ()i x Dx D irm i n Z x m i n Z x ϕ∈∈≤≤= 并将它的最优解*x 作为（3）在最大最小意义下的“最优解”。
例3：对例1进行最大最小法求解：解：MA TLAB 程序如下，首先编写目标函数的M 文件：function f=myfun12(x) f(1)=3*x(1)-2*x(2);f(2)=-4*x(1)-3*x(2);>> x0=[1;1];A=[2,3;2,1];b=[18;10];lb=zeros(2,1); >> [x,fval]=fminimax('myfun12',x0,A,b,[],[],lb,[]) 结果输出为：x =0.0000 6.0000fval = -12 -18则对应的目标值分别为1()12f x =,2()18f x =.4.4目标规划法()x DA ppr Z x Z ∈→ （4）并把原多目标线性规划（3）min ()x DZ x ∈称为和目标规划（4）相对应的多目标线性规划。
为了用数量来描述（4），我们在目标空间r E 中引进点0()Z x Z 与之间的某种“距离”0*21/21[()][(())]ri i i i D Z x Z Z x Z λ==-∑，这样（4）便可以用单目标0min [()]x DD Z x Z ∈，来描述了。