导数计算公式(最新整理)
14个求导公式
14个求导公式导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在求导过程中，我们遵循一些公式和规则，以便更方便地计算导数。
本文将介绍14个常见的求导公式，并解释其应用。
1. 常数函数的导数公式对于常数函数f(x) = c，其中c是一个实数常数，其导数为f'(x) = 0。
这是因为常数函数在任何点上的变化率都为0。
2. 幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以用来求解各种幂函数的导数。
3. 指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
这个公式可以用来求解各种指数函数的导数。
4. 对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这个公式可以用来求解各种对数函数的导数。
5. 三角函数的导数公式对于正弦函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
对于余弦函数f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
对于正切函数f(x) = tan(x)，其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6. 反三角函数的导数公式对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
对于反余弦函数f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
对于反正切函数f(x) = arctan(x)，其导数为f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
7. 双曲函数的导数公式对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，其导数为f'(x) = cosh(x)。
导数的计算公式
导数的计算公式
导数的计算公式是微积分中的重要概念之一。
导数描述了函数在某一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
对于函数f(x)，它的导数可以用以下公式表示：
f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h
其中，f'(x) 表示函数f(x) 的导数，h 表示自变量x 的增量。
这个公式也可以写成更常见的形式：
f'(x) = df(x) / dx
其中df(x) 表示函数f(x) 在微小增量dx 内的变化量。
除了上述基本的导数计算公式，还有一些常见函数的导数公式可以简化计算。
以下是一些常见函数的导数公式：
1. 常数函数：
如果f(x) = c（其中c 是常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数：
如果f(x) = x^n（其中n 是常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：
如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
4. 对数函数：
如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5. 三角函数：
- sin(x) 的导数为cos(x)。
- cos(x) 的导数为-sin(x)。
- tan(x) 的导数为sec^2(x)（sec(x) 是secant 函数，为1/cos(x)）。
这些是一些常见函数的导数公式，还有更多函数的导数公式，可以通过微积分教材或在线资源进一步学习。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面将详细介绍。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示自变量的增量。
该定义表示函数f(x)在点x处的导数是函数在极限过程中的变化率。
二、导数的基本公式1.常数函数的导数公式若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
4.对数函数的导数公式若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
三、导数的运算法则1.和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
2.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
3.乘积法则若f(x)和g(x)都可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
求导公式大全
求导公式大全1、原函数:y=c(c为常数)导数: y'=0导数:y'=nx^(n-1) 3、原函数:y=tanx 导数: y'=1/cos^2x 4、原函数:y=cotx 导数:y'=-1/sin^2x 5、原函数:y=sinx 导数:y'=cosx6、原函数:y=cosx 导数: y'=-sinx7、原函数:y=a^x 导数:y'=a^xlna 8、原函数:y=e^x 导数: y'=e^x导数:y'=logae/x10、原函数:y=lnx导数:y'=1/x求导公式大全整理y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方) f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1 x^2)高中数学导数学习方法1、多看求导公式，把几个常用求导公式记清楚，遇到求导的题目，灵活运用公式。
2、在解题时先看好定义域，对函数求导，对结果通分，这么做可以让判断符号变的比较容易。
导函数公式八个公式
导函数公式八个公式导函数是微积分中的重要概念之一，它描述了一个函数在各个点上的斜率或变化率。
在实际问题中，导函数的概念有着广泛的应用。
本文将介绍八个常见的导函数公式，并通过生动的例子和详细的解释，展示它们的全面性和指导意义。
1. 常数函数导函数公式：当函数为常数时，导函数始终为零。
例如，函数y=3是一个常数函数，其导函数dy/dx=0。
这意味着无论自变量x取何值，函数的斜率始终为零，即函数是水平的。
2. 幂函数导函数公式：对于幂函数y=x^n，其导函数dy/dx=nx^(n-1)。
例如，函数y=x^2是一个幂函数，其导函数dy/dx=2x。
这表示在函数y=x^2中，任意一点的斜率是2倍的自变量x 值。
3. 指数函数导函数公式：对于指数函数y=a^x（a>0，且a≠1），其导函数dy/dx=a^x * ln(a)。
例如，函数y=2^x是一个指数函数，其导函数dy/dx=2^x * ln(2)。
这意味着在函数y=2^x中，任意一点的斜率与函数值的比例由常数ln(2)决定。
4. 对数函数导函数公式：对于对数函数y=log_a(x)（a>0，且a≠1），其导函数dy/dx=1/(x * ln(a))。
例如，函数y=log_2(x)是一个对数函数，其导函数dy/dx=1/(x * ln(2))。
这表示在函数y=log_2(x)中，任意一点的斜率与函数值的倒数成反比。
5. 三角函数导函数公式：对于常见的三角函数（如sin(x),cos(x), tan(x)等），它们的导函数可以通过基本的微积分规则得到。
例如，导函数d(sin(x))/dx=cos(x)，导函数d(cos(x))/dx=-sin(x)，导函数d(tan(x))/dx=sec^2(x)。
6. 反三角函数导函数公式：反三角函数的导函数也可以通过基本的微积分规则得到。
例如，导函数d(arcsin(x))/dx=1/sqrt(1-x^2)，导函数d(arccos(x))/dx=-1/sqrt(1-x^2)，导函数d(arctan(x))/dx=1/(1+x^2)。
求导计算公式
求导计算公式
求导是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算函数在某个点的斜率或者变化率。
在求导过程中，需要掌握一些基本的求导计算公式，包括：
1. 常数函数的导数为0，即f(x)=c，f'(x)=0；
2. 幂函数的导数为指数乘以底数的幂次减一，即f(x)=x^n，f'(x)=nx^(n-1)；
3. 指数函数的导数为e的指数乘以函数本身，即f(x)=a^x，f'(x)=a^xlna；
4. 对数函数的导数为函数自变量的倒数，即f(x)=lnx，
f'(x)=1/x；
5. 三角函数的导数为它们的各自导数，即f(x)=sinx，
f'(x)=cosx；f(x)=cosx，f'(x)=-sinx；f(x)=tanx，f'(x)=sec^2x。
以上是求导计算公式的部分内容，掌握这些公式可以帮助我们更好地理解和计算函数的导数。
当然，除了这些基本的公式，还有很多其他的求导公式，需要根据具体情况进行学习和掌握。
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求导公式及运算法则
求导公式及运算法则求导是微积分中的一项重要操作，用于计算函数在每个点的斜率，它有一系列的求导公式和运算法则。
下面是常见的求导公式和运算法则：1. 基本求导公式：- 常数函数的导数为零：(c)' = 0，其中c为常数。
- 幂函数的导数公式：(x^n)' = n*x^(n-1)，其中n为常数，x为自变量。
- 指数函数的导数公式：(e^x)' = e^x，其中e为自然对数的底数。
- 对数函数的导数公式：(ln(x))' = 1/x，其中ln为自然对数函数。
2. 四则运算法则：- 和差法则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
- 积法则：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
- 商法则：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2，其中f(x)和g(x)为可导函数，并且g(x)≠0。
3. 链式法则：- 如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，则y对x 的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
4. 反函数求导：- 如果y = f(x)的反函数为x = f^(-1)(y)，则反函数的导数可以表示为：dx/dy = 1 / (dy/dx)。
这些是求导公式和运算法则的一部分，它们在求解复杂函数的导数时非常有用。
但是，有些函数的导数可能需要用到更高级的求导技巧，如隐函数求导、参数方程求导等。
基本导数公式表
基本导数公式表导数是研究函数变化率的一个重要工具，它描述了一个函数在某一点的斜率或变化率。
在微积分中，我们可以根据函数的定义和基本运算法则推导出一系列的导数公式。
下面是一些基本的导数公式：1. 变量的幂函数：（1）常数函数：f(x) = C，其中C是一个常数，f'(x) = 0；（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n是任意实数，f'(x) = n*x^(n-1)；（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，f'(x) = ln(a)*a^x；（4）对数函数：f(x) = log_a(x)，其中a>0且a≠1，f'(x) =1/(x*ln(a))。
2. 三角函数：（1）正弦函数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)；（2）余弦函数：f(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)；（3）正切函数：f(x) = tan(x)，f'(x) = sec^2(x)；（4）余切函数：f(x) = cot(x)，f'(x) = -csc^2(x)。
3. 反三角函数：（1）反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，f'(x) = 1/√(1-x^2)；（2）反余弦函数：f(x) = arccos(x)，f'(x) = -1/√(1-x^2)；（3）反正切函数：f(x) = arctan(x)，f'(x) = 1/(1+x^2)；（4）反余切函数：f(x) = arccot(x)，f'(x) = -1/(1+x^2)。
4. 基本运算法则：（1）和差法则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；（2）乘积法则：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)；（3）商法则：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^2；（4）复合函数法则：[f(g(x))]‘ = f'(g(x)) * g'(x)。
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导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝；1x(5)y ＝f (x )＝.x 问题：上述函数的导数是什么？提示：（1）∵＝＝＝0，∴y ′＝ ＝0.Δy Δx f (x ＋Δx )－f (x )Δxc －c Δx lim Δx →0ΔyΔx 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)′＝－，(5)()′＝.(1x )1x 2x 12x函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)()′＝(x)′＝xx 1212＝，∴(x α)′＝αx α－1.112－12x基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝xα(α∈Q*)f ′(x )＝αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f(x)＝axf′(x)＝axln af(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝1xln a f(x)＝ln xf′(x)＝1x二、导数运算法则已知f (x )＝x ，g (x )＝.1x问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋，H (x )＝x －的导数．1x 1x 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋－＝Δx ＋，1x ＋Δx (x ＋1x )－Δx x (x ＋Δx )∴＝1－，∴Q ′(x )＝＝＝1－.Δy Δx 1x (x ＋Δx )lim Δx →0Δy Δx lim Δx →0[1－1x (x ＋Δx )]1x 2同理H ′(x )＝1＋.1x2问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差．导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )3.′＝(g (x )≠0)[f (x )g (x )]f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2题型一 利用导数公式直接求导[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)；x y 21log =(4)y ＝；(5).4x 312cos 2sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y [解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝；1x ln 10(3)y ′＝＝－；(4)y ′＝()′＝；(5)∵y ＝21x ln 121x ln 24x 3344x (sin x 2＋cos x 2)－1＝sin 2＋2sin cos ＋cos 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .x 2x 2x 2x2练习 求下列函数的导数：(1)y ＝x ；(2)y ＝x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg ；(5)y ＝2cos 2－1.(1e )(110)3x x 2解：(1)y ′＝′＝x ln ＝－＝－e －x ；(2)y ′＝′＝[(1e)x ](1e )1e 1ex [(110)x](110)x ln＝＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′110－ln 1010x ＝0；(4)∵y ＝3lg ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝；(5)∵y ＝2cos 2－1＝cos 3x 1x ln 10x2x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数的运算法则求函数的导数[例2] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin cos ；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝.x 2x 2ex ＋1e x －1[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －sin x ，∴y ′＝x ′－(sin x )′＝1－cos x .121212(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋.1x ln 3(4)y ′＝＝＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2.－2e x (e x －1)2练习 求下列函数的导数：(1)y ＝；(2)y ＝x sin x ＋；(3)y ＝＋；(4)y ＝lg x －.cos xxx 1＋x 1－x 1－x 1＋x1x 2解：(1)y ′＝′＝＝＝－(cos x x )(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2－x ·sin x －cos xx 2.x sin x ＋cos xx 2(2)y ′＝(x sin x )′＋()′＝sin x ＋x cos x ＋.x 12x (3)∵y ＝＋＝＝－2，∴y ′＝′＝(1＋x )21－x (1－x )21－x 2＋2x1－x 41－x (41－x －2)＝.－4(1－x )′(1－x )24(1－x )2(4)y ′＝′＝(lg x )′－′＝＋.(lg x －1x 2)(1x 2)1x ln 102x 3题型三 导数几何意义的应用[例3] (1)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．[解析] (1)y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x －10＝2，解得x 0＝20±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．(1)5x ＋y ＋2＝0 (2)(2,1)练习 若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，∵曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，∴f (0)＝a ＝g (0)＝1，且f ′(0)＝0＝g ′(0)＝b ，∴a ＋b ＝1.答案：11.切线方程的求法[典例] 已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解] 由已知得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故f ′(1)＝3－6＋3a ＝3a －3，且f (1)＝1－3＋3a －3a ＋3＝1.故所求切线方程为y －1＝(3a －3)(x －1)，即3(a －1)x －y ＋4－3a ＝0.一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x ＋4y ＋1＝0垂直的曲线f (x )＝2x 2－1的切线方程．解：所求切线与直线x ＋4y ＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝4x 0＝4，即x 0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.二、已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝3x 2－2，所以f ′(x 0)＝3x －2，且y 0＝f (x 0)＝x －2x 0.2030所以切线方程为y －y 0＝(3x －2)(x －x 0)，20即y －(x －2x 0)＝(3x －2)(x －x 0)．3020因为切线过点(1，－1)，故－1－(x －2x 0)＝(3x －2)·(1－x 0)3020即2x －3x ＋1＝0，3020解得x 0＝1或x 0＝－，12故所求切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程．解：由题意知点A (0,16)不在曲线f (x )＝x 3－3x 上，设切点坐标为M (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝3x －3，20故切线方程为y －y 0＝3(x －1)(x －x 0)．20又点A (0,16)在切线上，所以16－(x －3x 0)＝3(x －1)(0－x 0)，3020化简得x ＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)，30故切线方程为9x －y ＋16＝0.课后练习1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ； ②′＝cos ；(sinπ3)π3③若y ＝，则y ′＝－； ④′＝.1x 21x (－1x )12x x 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： (cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin ＝，而′＝0，所π332(32)以②错误；′＝＝＝－2x－3，所以③错误；(1x 2)0－(x 2)′x 4－2x x 4′＝－＝＝x ＝，(－1x )0－(x )′x 12xx 1232－12x x所以④正确．答案：B 2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析： y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.答案：14．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.解析：y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－65．求下列函数的导数：(1)y ＝x；(x 2＋1x ＋1x 3)(2)y ＝；1＋cos x x 2(3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．解：(1)∵y ＝x＝x 3＋1＋，∴y ′＝3x 2－.(x 2＋1x ＋1x 3)1x 22x 3(2)y ′＝＝.(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4－x sin x －2cos x －2x 3(3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.。